第三章 第六节 二次函数性质综合题-【练客中考】2026年安徽新中考数学课后提升练PPT

课后提升练 数学 第三章　函　数 第六节　二次函数性质综合题 更符合安徽新中考 1. 定义：若两个二次函数y1，y2的图象关于x轴对称，则称y1，y2互为“对称二次函数”. (1)已知二次函数y＝x2－2x－1，求它的“对称二次函数”的顶点坐标； 3 2 1 解： ∵二次函数为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∴其顶点为(1，－2)， ∴其顶点关于x轴对称的点为(1，2)， ∴它的“对称二次函数”的顶点坐标为(1，2)； 更符合安徽新中考 返回目录 (2)已知二次函数y1＝－2x2＋4mx＋3m－2和y2＝ax2＋bx－2(a≠0)，其中y1的图象经过点(2，1)，y1＋y2与y1互为“对称二次函数”. (i)求二次函数y2的表达式； 解：(i)∵y1＝－2x2＋4mx＋3m－2， ∴其“对称二次函数”为－y＝－(－2x2＋4mx＋3m－2)， 即y'＝2x2－4mx－3m＋2. 又∵y2＝ax2＋bx－2(a≠0)，∴y1＋y2＝(－2＋a)x2＋(4m＋b)x＋3m－4. ∵y1＋y2与y1互为“对称二次函数”， ∴2＝－2＋a，－4m＝4m＋b，3m－4＝－3m＋2，∴a＝4，m＝1， 则b＝－8m＝－8， ∴二次函数y2的表达式为y2＝4x2－8x－2； 3 2 1 更符合安徽新中考 返回目录 (ii)当n≤x≤n＋1时，y2的最小值为－2，求n的值. 解：(ii)由(1)得y2＝4x2－8x－2＝4(x－1)2－6，∴对称轴是直线x＝1， ∴当x＝1时，y2取最小值为－6. 又∵当n≤x≤n＋1时，y2的最小值为－2， ∴①当n＋1≤1时，即n≤0，y2在x＝n＋1处取得最小值， ∴4(n＋1－1)2－6＝－2，解得n＝－1或n＝1(不合题意，舍去)； ②当n＞1时，y2在x＝n处取得最小值为4(n－1)2－6＝－2， 解得n＝0(不合题意，舍去)或n＝2. 综上，n＝－1或n＝2. 3 2 1 更符合安徽新中考 返回目录 2.(2025浙江)已知抛物线y＝x2－ax＋5(a为常数)经过点(1，0). (1)求a的值； 解： 把(1，0)代入y＝x2－ax＋5， 得1－a＋5＝0，解得a＝6； 3 2 1 更符合安徽新中考 返回目录 (2)过点A(0，t)与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值； 解：由(1)知y＝x2－6x＋5， ∴对称轴为直线x＝－＝3. ∵点A(0，t)在y轴上，过点A(0，t)与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t. 又∵B为线段AC的中点，∴xc＝2xB， ∴＝xB＝3，解得xB＝2. 当x＝2时，y＝x2－6x＋5＝－3，∴t＝－3； 3 2 1 更符合安徽新中考 返回目录 (3)设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2－ax＋5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为16，求n－m的最大值. 解：∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， ∴抛物线的顶点坐标为(3，－4). 当抛物线的一段y＝x2－ax＋5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线交点的横坐标， ∴要使n－m最大，则m，n为一条直线与抛物线交点的横坐标，x＝m和x＝n关于对称轴对称. 3 2 1 更符合安徽新中考 返回目录 ∴当x2－6x＋5＝12时，解得x1＝7，x2＝－1， ∴n＝7，m＝－1， ∴n－m的最大值为7－(－1)＝8. 又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，－4)， 即y＝－4时，n－m最大， 此时另一条直线的表达式为y＝16－4＝12， 如解图， 第2题解图 3 2 1 更符合安徽新中考 返回目录 3.(2025芜湖镜湖区校级三模)已知抛物线y＝x2－2mx＋n的顶点A始终在直线y＝2x－3上，且与直线y＝2x－3的另一个交点为B，抛物线与y轴的交点为C. 3 2 1 (1)用含m的代数式表示n，并求出n的最小值； 解： ∵y＝x2－2mx＋n＝(x－m)2－m2＋n， ∴顶点A的坐标为(m，－m2＋n)， ∵点A始终在直线y＝2x－3上， ∴－m2＋n＝2m－3， ∴n＝m2＋2m－3＝(m＋1)2－4， ∵(m＋1)2≥0， ∴当m＝－1 时，n取最小值，最小值为－4； 更符合安徽新中考 返回目录 (2)已知点A在第一象限，过点B作BM⊥x轴于点M，过点A作AE⊥BM于点E，连接AC，CE，BC. (i)BE的长是否为定值？请说明理由； 解：(i)BE的长为定值，理由： 如解图1，由(1)知y＝x2－2mx＋m2＋2m－3， 令x＝0得y＝m2＋2m－3， ∴A(m，2m－3)，C(0，m2＋2m－3)， 令x2－2mx＋m2＋2m－3＝2x－3， ∴x2－2mx＋m2＋2m－2x＝0， 第3题解图1 3 2 1 更符合安徽新中考 返回目录 ∴(x－m)2－2(x－m)＝0， ∴(x－m)(x－m－2)＝0， ∴x－m＝0或x－m－2＝0， ∴x＝m 或x＝m＋2， 把x＝m＋2代入y＝2x－3，得y＝2m＋1， ∴点B的坐标为(m＋2，2m＋1)， ∵BM⊥x轴，AE⊥BM， ∴点E的坐标为(m＋2，2m－3)， ∴BE＝2m＋1－(2m－3)＝4， ∴BE的长为定值； 3 2 1 更符合安徽新中考 返回目录 (ii)若△ABC的面积是△ACE的面积的2倍，求m的值. 解：(ii)如解图2，延长EA交y轴于点F，则点F的坐标为(0，2m－3)， ∴AF＝m，AE＝m＋2－m＝2，EF＝m＋2，CF＝m2＋2m－ 3－(2m－3)＝m2， ∵S四边形AEBC＝S△ABC＋S △ ABE＝S △ ACE＋S △ BCE， 且S △ ABC＝2S △ ACE，∴2S △ ACE＋S △ ABE ＝S △ ACE＋S △ BCE，∴S △ ACE＝S △ BCE－S △ ABE， S △ ACE＝AE·CF＝×2×m2＝m2， S △ BCE－S △ ABE＝BE·EF－AE·BE＝×4(m＋2)－×2×4＝2m， ∴m2＝2m，解得m＝2或 m＝0(不合题意，舍去)，∴m的值为2. 第3题解图2 3 2 1 更符合安徽新中考 返回目录 $