第七章 微专题 路径与最值-【练客中考】2026年安徽新中考数学课后提升练PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“图形的变化”核心考点，针对“路径与最值”微专题（5年3考）系统梳理，结合中考说明分析考点权重，归纳出动点轨迹、对称转化、几何图形最值等常考题型，覆盖三角形、四边形、圆等图形，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题实战+素养导向”，精选2024合肥三模、2025广州等中考真题，通过构造全等（如第6题）、轨迹分析（第7题）等方法突破考点，培养几何直观与推理能力。教师可依此开展专题训练，帮助学生掌握转化思想，提升中考得分率。

课后提升练 数学 第七章　图形的变化 微专题 路径与最值 (5年3考) 更符合安徽新中考 1.如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，∠ACB＝45°，连接BC，M，N分别为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为(　　) A.3 B.4 C.3 D.3＋ 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第1题图 C 更符合安徽新中考 返回目录 2.(2024合肥庐阳区三模)已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在AB的延长线上有一点D，使得BD＝3，平面内有一点P到B，C的距离相等，则DP的最小值是(　　) A.2.4 B.3 C.4.8 D.5 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 C 更符合安徽新中考 返回目录 3.(2025广州)如图，☉O的直径AB＝4，C为中点，点D在上，＝，点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是(　　) A.2＋ B.2＋2 C.3＋ D.4＋4 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第3题图 B 更符合安徽新中考 返回目录 4.(2023芜湖三模)如图，正方形ABCD的边长是4，动点E，F分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿AB，CD向终点B，D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为G，连接AG，则AG长的最小值为(　　) A.2－1 B.－ C.2－2 D.2 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第4题图 B 更符合安徽新中考 返回目录 5.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动(不与点A，D重合)，∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE∶DF＝1∶，连接BF交CD于点G，连接EB，EF，EG，则△DEF面积的最大值是(　　) A. B. C.2 D. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第5题图 C 更符合安徽新中考 返回目录 6.(2024合肥肥西县二模)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，AB＝8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，OE的最小值为(　　) A.4 B. C. D.2 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第6题图 D 更符合安徽新中考 返回目录 【解析】如解图，设AB的中点为Q，连接DQ，过点Q作QH⊥BC于点H.∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠QAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠OAE＝120°，∴∠QAD＝∠OAE.∵Q是AB的中点，O是AC的中点，AB＝AC，∴AQ＝AO，在△AQD和△AOE中，， ∴△AQD≌△AOE(SAS)，∴QD＝OE， ∴当QD最小时，OE最小. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第6题解图 更符合安徽新中考 返回目录 ∵Q为AB的中点，AB＝8，点D在直线BC上运动，∴QD≥QH，当点D与点H重合时，QD为最小，最小值为QH的长，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝30°，在Rt△BQH中，∠B＝30°，BQ＝AB＝4， ∴QH＝BQ＝2，∴QD的最小值为2， 即OE的最小值为2. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第6题解图 更符合安徽新中考 返回目录 7.(2025合肥校级模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在线段BC上运动，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AFE，连接DF，则线段DF的最小值为(　　) A.2－1 B. C.2 D.4－2 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第7题图 B 更符合安徽新中考 返回目录 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 【解析】如解图1，分别取BC，AD的中点P，Q， 连接AP，BQ，FQ，PQ，过点D作DH⊥BQ交BQ 的延长线于点H.∵四边形ABCD是矩形，AB＝2， AD＝4，∴DC＝AB＝2，BC＝AD＝4，∴BP＝CP ＝BC＝2，AQ＝DQ＝AD＝2，∵BP∥AQ，BP＝AQ＝2，CP∥DQ，CP＝DQ＝2，∴四边形ABPQ和四边形QPCD都是平行四边形.∵∠BAQ＝∠CDQ＝90°，AB＝AQ＝DC＝DQ＝2， 第7题解图1 更符合安徽新中考 返回目录 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 ∴四边形ABPQ和四边形QPCD都是正方形， ∴∠PAQ＝∠APB＝∠AQB＝45°. ∵△AFE是以AE为斜边的等腰直角三角形， ∴AF＝EF，∠AFE＝90°，∴∠EAF＝∠AEF＝45°， ∴∠FAQ＝∠EAP，∵＝＝cos 45°， ∴△FAQ∽△EAP，∴∠AQF＝∠APE＝45°＝∠AQB，∴点F在正方形ABPQ的对角线BQ所在的直线上运动，∴DF≥DH，∵∠DHQ＝90°，∠DQH＝∠AQB＝45°，∴＝sin 45°＝，∴DH＝DQ＝×2＝，∴DF≥， 第7题解图1 更符合安徽新中考 返回目录 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 如解图2，点E与点C重合，连接CQ，则∠DCQ＝ ∠ACF＝∠PCQ＝∠APB＝45°，∴CQ∥AP， ∠ACQ＝∠FCD＝45°－∠FCQ，∴∠ACQ＝ ∠CAP＝45°－∠CAQ＝∠FAQ，∴∠FCD＝ ∠FAQ.∵CF＝AF，CD＝AQ，∴△FCD≌ △FAQ(SAS)，∴∠CFD＝∠AFQ，∴∠DFQ＝∠AFQ＋∠CFQ＝∠AFC＝90°，∴点F与点H重合，∴DF的最小值为. 第7题解图2 更符合安徽新中考 返回目录 8.(2025山东省卷)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是_____. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第8题图 4.8 更符合安徽新中考 返回目录 9.如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE＋PF取得最小值时，的值是. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第9题图 更符合安徽新中考 返回目录 【解析】如解图，作点E关于AC的对称点E'，连接 FE'交AC于点P'，连接PE'，∴PE＝PE'， ∴PE＋PF＝PE'＋PF，当PE＋PF取得最小值时，点 P位于点P'处.∵正方形ABCD关于AC所在直线轴对称， ∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上，且AE' ＝AE，过点F作FG⊥AB交AC于点G，则∠GFA＝90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°， 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第9题解图 更符合安徽新中考 返回目录 ∴GF＝AF，△AE'P'∽△GFP'，∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，∴AE'＝AE＝EF＝FB，∴GC＝AC，＝＝，∴AG＝AC，＝＝，∴AP'＝AG＝×AC＝AC， ∴P'C＝AC－AP'＝AC－AC＝AC，∴＝＝. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第9题解图 更符合安徽新中考 返回目录 10.(2025合肥寿春中学一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点B，C分别落在B'，C'处. (1)若C'为线段AD的中点，则CN＝； (2)当N为CD的中点时，B'到AB的最大距离是___. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第10题图 1 更符合安徽新中考 返回目录 11.(2025自贡)如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2.以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第11题图 ＋ 更符合安徽新中考 返回目录 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝＝2.∵△BCD为等边三角形，∴CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，如解图，取AC的中点E，连接OE，DE，作EF⊥CD交DC的延长线于点F，则AE＝CE＝OE＝AC＝，∠FCE＝180°－∠ACB－ ∠BCD＝30°， ∴EF＝CE＝，CF＝ ＝，∴DF＝DC＋CF＝，∴DE＝＝， 根据三角形三边关系可得OD＜DE＋OE＝＋， 当O，D，E三点共线时，OD＝DE＋OE，∴OD的最大值 为＋. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第11题解图 更符合安徽新中考 返回目录 12.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点P是矩形ABCD内部一点，E，F，G分别是边AB，BC，CD上的中点，连接EF，PE，PF，PD，PG.若S△PDG＝S△PEF，则线段PG长的最小值为___. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第12题图 1 更符合安徽新中考 返回目录 【解析】∵ 在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2， E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点， ∴AE＝BE＝1，BF＝CF＝，DG＝CG＝1， ∴ 在△EBF中，由勾股定理得EF＝＝2， 如解图，过点P分别作EF，CD的垂线，垂足为M，N.∵S△PDG＝S△PEF，∴×PM·EF＝PN·DG，即×2PM＝PN，∴PM＝PN，延长EF，DC交于点H，易得△BEF≌△CHF(ASA). 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第12题解图 更符合安徽新中考 返回目录 ∵ 点P到EH和DH的距离相等，∴ 点P在∠DHE的平分线上运动，作射线HP，过点G作GI⊥PH于点I，当点P和点I重合时，PG的长取得最小值.∵CH＝BE＝1，CF＝BF＝，∴tan∠CHF＝，∴∠CHF＝60° ，∴∠CHP＝30°.∵GH＝CG＋CH＝2，∴GI＝1，∴线段PG长的最小值为1. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第12题解图 更符合安徽新中考 返回目录 13.(2025陕西)如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°.动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边△MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上.当△MNP的面积最大时，DN的长为___. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第13题图 5 更符合安徽新中考 返回目录 【解析】如解图，连接AP并延长，交BC于点H. ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°， ∴∠BAD＝120°.∵△MNP是等边三角形， ∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面积＝MP2.∵AM＝AN，AP＝AP，∴△AMP≌△ANP(SSS)，∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°，∴∠AMP＝90°，∴MP＝AM，AP＝2AM， ∴MP＝AP，∴△MNP的面积＝AP2， 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第13题解图 更符合安徽新中考 返回目录 ∴当AP最大时，△MNP的面积最大.∵∠B＝∠BAH＝60°，∴△ABH是等边三角形，∴AB＝AH＝6.∵AM＝AN，MP＝NP，∴点P在AH上运动.∵点P始终在▱ABCD的内部或边上，∴AP的最大值为AH的长，即AP的最大值为6，∴AM＝AN＝3，∴DN＝5. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第13题解图 更符合安徽新中考 返回目录 14.【多解法】(2025苏州)如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点(不与端点B，C重合)，连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边△ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第14题图 更符合安徽新中考 返回目录 【解析】解法1：如解图1，过点A作AH⊥BC于H， 在Rt△AHC中，∵∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3， ∴AH＝AC·sin C＝，∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°＝∠C，又∵∠DAC＝∠FAD， ∴△DAC∽△FAD，∴＝，∴AF＝＝， ∵CF＝AC－AF，∴当AF有最小值时，CF有最大值，∴当AD有最小值时，AF有最小值，当AD⊥BC时，AD有最小值，此时点D与点H重合，∴AD的最小值为，∴AF的最小值为＝，∴CF的最大值为3－＝. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第14题解图1 更符合安徽新中考 返回目录 解法2：如解图2，延长CB至点M，使CM＝ AC＝3，连接AM，则△ACM是等边三角形， ∴∠M＝60°，AM＝AC＝3，设CD＝x，则 MD＝3－x，∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°，∴∠1＋∠2＝120°， ∵∠C＝60°，∴∠3＋∠2＝120°，∴∠1＝∠3，又∵∠M＝∠C，∴△MAD∽△CDF，∴＝，∴CF＝＝－(x－)2＋，∵－＜0，0＜x＜2，∴当x＝时，CF最大， 最大值为. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第14题解图2 更符合安徽新中考 返回目录 15.(2025内江)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC上的动点，则△DEF周长的最小值是______. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第15题图 2 更符合安徽新中考 返回目录 【解析】如解图，作点D关于AB，AC的对称点N，M， 连接AM，AN，EN，FM，MN，AD，∴△DEF周长为 DE＋EF＋FD＝NE＋EF＋FM≥MN，当N，E，F，M 四点共线时取得最小值.∵N，M是D关于AB，AC的对称 点，∴∠NAE＝∠EAD，∠FAD＝∠FAM，AN＝AD＝ AM.又∵∠EAD＋∠FAD＝45°，∴∠NAM＝∠NAE＋∠EAD＋∠FAD＋∠FAM＝90°，∴△AMN是等腰直角三角形，∴MN＝AN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小.又∵∠B＝60°，AB＝2，∴ADmin＝AB·sin 60°＝2×＝，∴△DEF周长的最小值为AD＝×＝2. 4 5 3 2 1 9 10 8 7 6 11 12 13 14 15 第15题解图 更符合安徽新中考 返回目录 $