专题02 全等三角形（期末培优，10个高频易错考点训练）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

八年级数学期末复习【苏科版 2024】 专题二 全等三角形 目录 一、知识点回顾 二、考点分析 【考点1：全等图形】 【考点2：全等三角形的性质】 【考点3：概念辨析】 【考点4：“ASA”判定全等】 【考点5：“SAS”判定全等】 【考点6：“AAS”判定全等】 【考点7：“SSS”判定全等】 【考点8：“HL”判定全等】 【考点9：画出唯一三角形】 【考点10：三角形稳定性】 【考点11：格点三角形】 【考点12：添加条件证明全等】 【考点13：尺规作图】 【考点14：实际应用】 【考点15：判定定理与性质定理结合】 【考点16：动点问题】 【考点17：倍长中线法】 【考点18：截长补短法】 【考点19：一线三等角】 【考点20：手拉手模型】 一、知识点回顾 1．全等形 （1）定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关． （3）平移、翻折、旋转前后的图形全等． 2．全等三角形 （1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”． （3）对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角． （4）常见的全等类型 ①平移型；②翻折型；③旋转型． 3．全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 4．证明三角形全等的常用方法： （1）SSS（基本事实）：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． （2）ASA（基本事实）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． （3）AAS（判定定理）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． （4）SAS（基本事实）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． （5）HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． 5．判定两个三角形全等的常用思路： （1）已知两边 （2）已知一边一角 （3）已知两角 6．证明几何命题的一般步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 二、考点分析 【考点1：全等图形】 1．（2025秋•道外区期末）下列图形是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】能够完全重合的两个图形是全等形，根据全等形的定义对各图形进行判断即可． 【解答】解：A．两个图形不全等，故此选项不符合题意； B．两个图形全等，故此选项符合题意； C．两个图形不全等，故此选项不符合题意； D．两个图形不全等，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的性质是解题的关键． 2．（2025秋•南充校级期末）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等图形的定义：大小一样，形状相同的两个图形称为全等图形，求解即可． 【解答】解：D中大小一样，形状相同，符合题意；A、B、C中形状相同，但大小不同，不符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了全等图形的定义，解题的关键是掌握全等图形的定义． 3．（2025秋•皮山县月考）下列各学科使用的教学器具中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个平面图形进行分析判断． 【解答】解：A．将一个图形旋转180°，再平移与另一个图形叠放在一起能完全重合，是全等形，故符合题意； B．将一个图形平移与另一个图形叠放在一起不能完全重合，不是全等形，故不符合题意； C．将一个图形平移与另一个图形叠放在一起不能完全重合，不是全等形，故不符合题意； D．将一个图形旋转180°，再平移与另一个图形叠放在一起不能完全重合，不是全等形，故不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了全等图形．熟练掌握全等图形概念是解题的关键． 【考点2：全等三角形的性质】 4．（2025秋•普兰店区期末）如图所示的两个三角形全等，则∠D的度数为（　　） A．44° B．50° C．66° D．70° 【分析】根据全等三角形的对应角相等可知，边长为m和边长为n的两条边的夹角相等，即∠D＝∠C，据此可得答案． 【解答】解：∵如图所示的两个三角形全等，∠C＝44°， ∴∠D＝∠C＝44°（全等三角形对应角相等）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握． 5．（2025秋•海淀区期末）如图，已知△ADC≌△AEB，AB＝8，CE＝5，则AD的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由全等三角形的性质得AC＝AB＝8，AD＝AE，即可求解． 【解答】解：∵△ADC≌△AEB，AB＝8， ∴AC＝AB＝8（全等三角形对应边相等）， AD＝AE， ∴AE＝AC﹣CE ＝8﹣5＝3， ∴AD＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握． 6．（2025秋•石家庄校级月考）若△ABC≌△DEF，点A和点D，点C和点F是对应顶点，若△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝9，则DF的长为（　　） A．5 B．6 C．9 D．5或9 【分析】根据全等三角形的对应边相等，由对应顶点关系确定DF对应AC，再通过周长求出AC即可得DF． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，点A和点D，点C和点F是对应顶点， ∴DF＝AC（全等三角形对应边相等）， ∵AB＝5，BC＝9， ∴AB+BC+AC＝20， 即5+9+AC＝20， 解得AC＝6， ∴DF＝6， 则DF的长为6， 故选：B． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【考点3：概念辨析】 7．（2025秋•南京期中）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【分析】根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【解答】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不一定全等，所以该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，所以该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，所以该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，所以该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 8．（2024•桥西区一模）下列说法中不正确的是（　　） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形能重合 D．全等三角形一定是等边三角形 【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，即可判断A；根据全等三角形的性质得出△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，即可判断B、C；根据图形即可判断D． 【解答】解： A、∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF， ∴AB+AC+BC＝DE+DF+EF，故本选项错误； B、∵△ABC≌△DEF， 即△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，即两三角形的面积相等，故本选项错误； C、∵△ABC≌△DEF， 即△ABC和△DEF放在一起，能够完全重合，故本选项错误； D、如图△ABC和DEF不是等边三角形，但两三角形全等，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的定义和性质的应用，能运用全等三角形的有关性质进行说理是解此题的关键，题目较好，但是一道比较容易出错的题目． 9．（2024秋•汶上县校级月考）下列说法中正确的是（　　） A．全等三角形的角平分线相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的高相等 D．全等三角形的面积相等 【分析】全等三角形的对应边、对应边上的高和中线，对应角分别相等，对应角的角平分线分别相等，但要注意“对应”两个字的含义． 【解答】解：A、全等三角形的对应角的角平分线相等，故本选项错误； B、全等三角形的对应边的中线相等，本选项错误； C、全等三角形的对应边上的高相等，故本选项错误； D、全等三角形的面积相等，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的性质，属于基础知识的应用，解答本题要细心理解全等三角形的性质，注意“对应”两个字的含义，即只有相对对应的两个相同部分才相等． 【考点4：“ASA”判定全等】 10．（2025秋•平凉期末）亮亮的直角三角板被折断一部分，留下的部分如图所示，很快他就根据所学知识画出一个与原三角板完全一样的三角形．其依据是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】根据图形中能测量的条件及全等三角形的判定定理ASA进而可求解． 【解答】解：如图： ∠A，AB，∠B都能测量，即他的依据是ASA， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 11．（2025秋•中山区期末）如图，点E在AC上，点F在AB上，AB＝AC，∠B＝∠C，判断△ABE≌△ACF的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【解答】解：在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴判断△ABE≌△ACF的依据是ASA． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握：ASA． 12．（2025秋•永吉县期末）如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE． 【分析】由∠BAD＝∠CAE可得∠BAC＝∠DAE，即可证明． 【解答】解：由条件可知∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【考点5：“SAS”判定全等】 13．（2025秋•兴隆台区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝6cm，AB＝8cm，∠DAB＝∠ABC，点E在线段AB上由点A向点B运动，同时点F在线段BC上由点B向点C运动．当△ADE与△BEF全等时，AE＝　2cm或4cm cm． 【分析】当△ADE≌△BFE时，得到AE＝BEAB＝4（cm）；当△ADE≌△BEF时，推出BE＝AD＝6cm，得到AE＝2cm，即可得到答案． 【解答】解：当△ADE≌△BFE时， ∴AE＝BEAB8＝4（cm）； 当△ADE≌△BEF时， ∴BE＝AD＝6cm， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2（cm）， ∴AE＝2cm或4cm． 故答案为：2cm或4cm． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是要分两种情况讨论． 14．（2025秋•兴隆台区期末）如图，已知点D，C在线段BE上，且∠ABC＝∠FED＝90°，CB＝DE，要使△ABC≌△FED，可以添加的条件是AB＝FE（答案不唯一）　 ． 【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SAS）， ∴△ABC≌△FED，可以添加的条件是AB＝FE（答案不唯一）． 故答案为：AB＝FE（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 15．（2025秋•平凉期末）如图，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE．求证：△ADE≌△CFE． 【分析】直接根据“SAS”进行证明即可． 【解答】证明：如图所示，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE． 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的应用． 【考点6：“AAS”判定全等】 16．（2025秋•丰满区期末）如图，AD平分∠BAC，∠B＝∠C，求证△ABD≌△ACD． 【分析】利用角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，加上AD为公共边，则可根据“AAS”判定△ABD≌△ACD． 【解答】证明：因为AD平分∠BAC（已知）， 所以∠BAD＝∠CAD（角平分线定义）． 又因为∠B＝∠C（已知）， 所以在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（AAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 17．（2025秋•延边州期中）如图，AD与BC相交于点O，连接AC、BD，AC＝BD，∠C＝∠D，求证：△OAC≌△OBD． 【分析】根据AAS证明三角形全等即可． 【解答】证明：在△OAC与△OBD中， ， ∴△OAC≌△OBD（AAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟记定理内容是解题关键． 18．（2024秋•夏津县期末）如图，在Rt△ABC中，直角顶点A在直线l上，AB＝AC，过点B，C分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．请你在图中找出一对全等三角形．并加以证明． 【分析】根据垂直的性质可得∠ABD＝∠CAE，然后运用“AAS”即可求证． 【解答】解：△ABD≌△CAE， 理由：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵CE⊥l，BD⊥l， ∴∠CEA＝∠BDA＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△EAC中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【考点7：“SSS”判定全等】 19．（2025秋•蛟河市期末）如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径作弧，再以顶点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD；则△ABC≌△CDA的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【解答】解：由题意知：CD＝AB，AD＝CB， ∵AC＝CA， ∴ABC≌△CDA（SSS）， 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握：SSS． 20．（2025秋•海沧区校级月考）如图，点A、C、D，B在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，AE＝BF，CE＝DF，AD＝BC．求证：△ACE≌△BDF． 【分析】由线段的和差可得AC＝BD，再根据SSS即可证明结论． 【解答】证明：∵AD＝BC（已知）， ∴AD﹣CD＝BC﹣CD， ∵AC＝AD﹣CD，BD＝BC﹣CD， ∴AC＝BD， 在△ACE和△BDF ， ∴△ACE≌△BDF（SSS）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握运用SSS判定三角形全等是解题的关键． 21．（2025春•南海区校级月考）如图：△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，试说明△ABC≌△DEF． 【分析】由BE＝CF，得到BC＝EF，即可证明△ABC≌△DEF（SSS）． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握：SSS． 【考点8：“HL”判定全等】 22．（2025秋•漠河期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24cm，AC＝12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动（　　）秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合） A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【分析】依题意得△DEB与△BCA都是直角三角形，且有以下三种情况讨论：①当E在线段AB上，且AC＝BE＝12cm时，则可依据“HL”判定Rt△ACB和Rt△BED全等，进而得AE＝AB﹣BE＝12（cm），由此即可得出点E的运动时间为4秒；②当E在BN上，且AC＝BE＝12cm时，则可依据“HL”判定Rt△ACB和Rt△BED全等，进而得AE＝AB+BE＝36cm，由此即可得出点E的运动时间为12秒；③当E在BN上，AB＝EB＝24cm时，则可依据“HL”判定Rt△ACB和Rt△BED全等，进而得AE＝AB+BE＝48cm，由此即可得出点E的运动时间为16秒．综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B， ∴∠EBD＝∠A＝90°， ∴△DEB与△BCA都是直角三角形， 又∵E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动（点E与A不重合），AB＝24cm，AC＝12cm， ∴有以下三种情况讨论： ①当E在线段AB上，且AC＝BE＝12cm时，则Rt△ACB≌Rt△BED（HL）， ∴AE＝AB﹣BE＝12（cm）， ∴点E的运动时间为：12÷3＝4（秒）； ②当E在BN上，且AC＝BE＝12cm时，则Rt△ACB≌RT△BED（HL）， ∴AE＝AB+BE＝24+12＝36（cm）， ∴点E的运动时间为：36÷3＝12（秒）； ③当E在BN上，AB＝EB＝24cm时，则Rt△ACB≌RT△BED（HL）， ∴AE＝AB+BE＝24+24＝48cm， ∴点E的运动时间为：48÷3＝16（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，△DEB与△BCA全等． 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 23．（2025秋•海淀区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，且PQ＝AB，要使△ABC和△APQ全等，则AP的长为　6或12　 ． 【分析】因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：AP＝BC或AP＝AC即可得出． 【解答】解：∵PQ＝AB，∠C＝∠CAQ＝90°， ∴要使△ABC和△APQ全等，分两种情况： ①当AP＝BC＝6时，△ABC≌△QPA（HL）， ②当AP＝AC＝12时，△ABC≌△PQA（HL）． 综上所述，要使△ABC和△APQ全等，AP的长为6或12． 故答案为：6或12． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 24．（2025秋•路北区期中）如图，点A，E，B，D在一条直线上，AE＝BD，AC＝DF，∠C＝∠F＝90°． 求证：△ABC≌△DEF． 【分析】由AE＝BD，得到AB＝DE，由HL判定Rt△ABC≌Rt△DEF． 【解答】证明：∵AE＝BD， ∴AB＝DE， ∵∠C＝∠F＝90°， ∴△ABC和△DEF是直角三角形， 在Rt△ABC≌Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 【点评】本题考查全等三角形判定，关键是掌握：HL． 【考点9：画出唯一三角形】 25．（2025秋•拜泉县期末）根据下列条件，能画出唯一三角形的是（　　） A．AB＝2，BC＝3，AC＝6 B．BC＝6，AC＝5，∠B＝123° C．AB＝7，BC＝10.2，∠B＝53° D．∠A＝50°，∠B＝100°，∠C＝30° 【分析】根据两个三角形全等的判定定理逐项判断即可完成． 【解答】解：A、∵3+2＜6， ∴此三条线段不能围成一个三角形，所以不能画出，此选项错误，不符合题意； B、已知两边的长和其中AC边的对角，根据全等三角形的判定方法SSA是不能画出唯一三角形，此选项错误，不符合题意； C、已知两个边和这两个边的夹角，根据SAS判定定理可以画出唯一三角形，此选项正确，符合题意； D、已知三个角，根据两个三角形全等的判定方法，可以画出无数个这样的三角形，不能画出唯一三角形，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形判定定理是关键． 26．（2025秋•黄埔区期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝6，CA＝8 C．AB＝6，BC＝10，∠B＝60° D．AB＝4，∠A＝60°，∠B＝45° 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解． 【解答】解：根据全等三角形的判定定理逐一判断， A．已知两边和一边的对角，不能画出唯一的△ABC，所以该选项错误，符合题意； B．可根据SSS，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； C．可根据SAS，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； D．可根据ASA，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 27．（2025秋•新野县期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝5，CA＝10 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60° C．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝5 【分析】根据全等三角形的判定方法，三角形的三边关系，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵4+5＝9＜10， ∴AB+BC＜AC， ∴不能组成三角形， 故A不符合题意； B、∵AB＝4，BC＝3，∠A＝60°， ∴∠A不是AB和BC的夹角， ∴不能画出唯一△ABC， 故B不符合题意； C、∵∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴三个角相等的两个三角形不一定全等， ∴不能画出唯一△ABC， 故C不符合题意； D、∵∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝5， ∴根据ASA能画出唯一△ABC， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【考点10：三角形稳定性】 28．（2025秋•西湖区校级月考）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故选：B． 【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 29．（2025春•漳州期末）数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（　　） A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS 【分析】根据直线的性质，三角形的稳定性，垂线段最短以及全等三角形的判定方法进行分析判断． 【解答】解：A、图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线，解释正确，不符合题意； B、图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性，解释正确，不符合题意； C、图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最，解释正确，不符合题意； D、图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法ASA，解释不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了直线的性质，三角形的稳定性，垂线段最短以及全等三角形的判定方法，熟练掌握这些知识点即可解答，难度不大． 30．（2025秋•厦门校级期中）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的数学道理是（　　） A．全等三角形的性质 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【解答】解：结合脱氨内容，可知这里所用的数学道理是三角形的稳定性， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，正确理解三角形具有稳定性是解题的关键． 【考点11：格点三角形】 31．（2025秋•铁岭县期末）如图，在4×4方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据方格的特点和全等三角形的判定结合轴对称图形作图即可解答． 【解答】解：如图所示： 以BC为公共边可以画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等； 以AB为公共边可以画出△ABG一个三角形和原三角形全等； 以AC为公共边不能画出三角形与原三角形全等， 综上所述，在4×4方形网格中，一共可以画出4个三角形和原三角形全等．只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，利用方格的特点和全等三角形的判定正确作图是解题的关键． 32．（2025秋•赣州期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据全等三角形的定义画出图形，即可判断． 【解答】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 33．（2024秋•尤溪县期末）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． （1）已知线段MN及点P，如图1．过P作点M，N的一条等距线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） （2）如图2，A，B，C是正方形网格中的三个格点． ①在该网格中，过点C用无刻度的直尺画出点A，B的所有等距线； ②在该网格中，是否存在异于点C的格点P，使得△ABP与△ABC的面积相等？若存在，在图3将所有满足条件的格点涂黑，并依次用P1，P2，…，Pn标识这些格点；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据等距线的定义，结合图形分2种情况：①等距线l经过线段MN的中点；②等距线l∥MN，分别利用尺规作图的方法作出对应的图形即可； （2）①分别作出经过线段AB的中点或平行于AB的直线，2种情况的直线即为点A，B的所有等距线；②由△ABP与△ABC的面积相等，可得点P在过点C的点A，B的等距线m1上，或者在m1关于直线AB对称的直线上，再根据格点作图找出所有的格点P即可． 【解答】解：（1）如图，若等距线l经过线段MN的中点， 如图，若等距线l∥MN， ∴等距线l即为所求作； （2）①如图，等距线m1，m2即为所求作； ②如图，P1，P2，P3，P4，P5为所求作． 【点评】本题考查了尺规作图、格点作图、点到直线的距离，理解题意，掌握等距线的定义并正确作图是解题的关键． 【考点12：添加条件证明全等】 34．（2024秋•石嘴山期末）如图，已知AB∥CD，点E、F在线段BD上，且BE＝DF．请你添加一个条件，使得△ABF≌△CDE．你添加的条件是：　 （只填一个）．添加条件后证明：△ABF≌△CDE． 【分析】由题意添加的条件是：AB＝CD，先推出BF＝DE，再由平行线的性质得∠B＝∠D，然后根据SAS证明△ABF≌△CDE即可．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【解答】解：添加的条件是：AB＝CD． 证明：∵BE＝DF， ∴BE﹣EF＝DF﹣EF， ∴BF＝DE， ∵AB∥CD（已知）， ∴∠B＝∠D（两直线平行，内错角相等）， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）． 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 【点评】本题考查三角形全等的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 35．（2025秋•宁江区期中）如图，点C，F在线段BE上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，请只添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF． （1）根据“SAS”，需添加的条件是 ；根据“HL”，需添加的条件是 ． （2）请从（1）中选择一种加以证明． 【分析】（1）根据“SAS”和“HL”证明三角形全等所需要的条件解答即可； （2）根据“SAS”和“HL”证明三角形全等即可． 【解答】解：（1）根据“SAS”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即DE＝AB， 根据“HL”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即DF＝AC， 故答案为：AB＝DE，AC＝DF； （2）添加“AB＝DE”得证明过程如下： 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 选择“AC＝DF”的证明过程如下， ∵∠DEF＝∠ABC＝90°， ∴△ABC，△DEF都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 【点评】本题考查了三角形的全等的性质，熟练掌握三角形的全等性质的解题的关键． 36．（2025秋•临汾期中）如图，已知AD＝CB，点E，F在线段BD上，且BF＝DE．请从①∠B＝∠D；②AF＝CE；选择其中一个选项作为已知条件，使得△ADF≌△CBE． 你添加的条件是： （只填写一个序号）． 添加条件后，请证明AF∥CE． 【分析】添加①∠B＝∠D，由两个三角形全等的判定定理（SAS）得到△ADF≌△CBE（SAS），从而由性质得到∠AFE＝∠CEB，再由内错角相等两直线平行判定即可得证； 添加②AF＝CE，由两个三角形全等的判定定理（SSS）得到△ADF≌△CBE（SSS），从而由性质得到∠AFE＝∠CEB，再由内错角相等两直线平行判定即可得证． 【解答】解：添加①∠B＝∠D， 证明：∵BF＝DE， ∴BF+EF＝DE+EF， ∴BE＝DF， 在△ADF与△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠AFE＝∠CEB（全等三角形对应角相等）， ∴AF∥CE（内错角相等，两直线平行）； 或添加②AF＝CE， 证明：∵BF＝DE， ∴BF+EF＝DE+EF， ∴BE＝DF， 在△ADF与△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SSS）， ∴∠AFE＝∠CEB（全等三角形对应角相等）， ∴AF∥CE（内错角相等，两直线平行）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 【考点13：尺规作图】 37．（2024秋•威海期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点（CD＞AD），连接BD，求作△DEF（点E在线段CD上：点F在线段AC的右侧），使得△DEF≌△DAB（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）；并简要说明其中道理． 【分析】在DC上截取DE＝DA，在BD的延长线上截取DF＝DB，连接EF，△DEF即为所求作的三角形． 【解答】解：理由如下： 在△DEF和△DAB中， ， ∴△DEF≌△DAB（SAS）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握：SAS． 38．（2021•柳南区模拟）已知：如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OC＝OD，CE平分∠ACO交AB于点E，DF平分∠BDO交AB于点F． （1）请用尺规作图补出图中的线段DF（不写作法．保留作图痕迹） （2）求证：△OCE≌△ODF． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据平行线的性质得到∠ACO＝∠BOD，根据角平分线的定义得到∠ECO＝∠FDO，由全等三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）解：如图，DF就是所作的角平分线． （2）证明：∵AC∥DB， ∴∠ACO＝∠BOD， ∵CE，DF分别平分∠ACO，BDO， ∴∠ECO＝∠FDO， 在△OCE与△ODF中， ， ∴△OCE≌△ODF（ASA）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键． 39．（2021春•金川区校级期末）求证：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等． 要求：根据给出的Rt△ABC和Rt△A′B′C′（∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′）， （1）在此图形上用尺规作出BC与B′C′边上的中线，不写作法，保留作图痕迹， （2）写出已知、求证和证明过程． 【分析】（1）分别作线段BC和B′C′的垂直平分线，与BC和B′C′的交点即为线段BC和线段B′C′的中点，连接AD和A′D′即可； （2）先证明Rt△ADC≌Rt△A′D′C′（HL），可得CD＝C′D′，进一步可得BC＝B′C′，再根据SAS证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′即可． 【解答】解：（1）所作的图形如图所示： （2）已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AD与A′D′分别为BC与B′C′边上的中线，且AD＝A′D′， 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′． 证明：∵∠C＝∠C′＝90°， 在Rt△ADC和Rt△A′D′C′中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′（HL）， ∴CD＝C′D′， ∵AD与A′D′分别为BC与B′C′边上的中线， ∴BC＝2CD，B′C′＝2C′D′， ∴BC＝B′C′， 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SAS）． 【点评】本题考查了直角三角形的全等的判定，熟练掌握直角三角形判定全等的方法是解题的关键． 【考点14：实际应用】 40．（2025秋•韶关期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，BC＝EC，最后测出DE的长即为A，B的距离． 乙：如图②，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有　甲、乙　 ； （2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由． 【分析】（1）两位同学作出的都是全等三角形，然后根据性质即可得出结果； （2）甲同学的方法利用“SAS”方法，证明△ACB≌△DCE，乙同学的方法利用“ASA”方法，证明△ABD≌△CBD，据此进一步解答即可． 【解答】解：（1）甲同学的方法利用“SAS”方法，证明△ACB≌△DCE， ∴AB＝DE， ∴测出DE的长即为A，B的距离； 乙同学的方法利用“ASA”方法，证明△ABD≌△CBD， ∴BC＝AB， ∴测出BC的长即为A，B的距离， 故答案为：甲、乙； （2）选甲：在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴AB＝DE； 选乙：∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝∠CBD＝90°， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（ASA）， ∴BC＝AB． 【点评】此题考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的证明方法． 41．（2025秋•相城区校级月考）如图，某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使得点B，C，D在一条直线上，同时测得垂直于地面的大树顶端A的视线AC与居民楼顶墙E的视线EC的夹角为90°（即∠ACE＝90°），已知AB⊥BD，ED⊥BD．若AB＝CD＝7米，BD＝35米，请你帮助建筑测量队计算出该居民楼ED的高度． 【分析】先根据∠ACE＝90°以及AB＝CD＝7可以推出Rt△ABC≌Rt△CDE，从而得到ED＝BC，进而计算出BC即可． 【解答】解：由题意可知：∠B＝∠CDE＝∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC， ∴∠DCE＝∠BAC， 在Rt△ABC和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS）， ∴ED＝BC， 又CD＝7米，BD＝35米， ∴BC＝BD﹣CD＝35﹣7＝28（米）， ∴ED＝28米， 答：该居民楼ED的高度为28米． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 42．（2025秋•绥德县期末）综合实践 【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点B，C，D，使得A，B，C在同一条直线上，且AB＝BC，∠BCD＝∠BAP，当D，B，P在同一条直线上时，只需测量CD的长度，即可得出AP的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】CD＝50m． 【测量目的】求湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离AP． 【分析】根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【解答】解：在△CBD和△ABP中， ， ∴△CBD≌△ABP（ASA）， ∴CD＝AP， ∵CD＝50m， ∴AP＝50m． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质知识，证明△CBD≌△ABP是解题的关键． 【考点15：判定定理与性质定理结合】 43．（2025秋•云阳县期中）（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D，求证：△ABD≌△CAF； （2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC，求证：△ABE≌△CAF． 【分析】（1）先根据同角的余角相等得出∠CAF＝∠ABD，再根据AAS证明△ABD≌△CAF（AAS）即可； （2）先根据已知条件证明∠AFC＝∠BEA，∠4＝∠ABE，再根据AAS证明△ABE≌△CAF（AAS）即可． 【解答】证明：（1）∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°， ∴∠MAN＝∠BDA＝∠AFC＝90°， ∴∠BAD+∠CAF＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠CAF＝∠ABD， ∵AB＝AC， ∴△ABD≌△CAF（AAS）； （2）对图标注如下： ∵∠1＝∠2， ∴∠AFC＝∠BEA， ∵∠3+∠4＝∠BAC，∠1＝∠ABE+∠3，∠1＝∠BAC， ∴∠4＝∠ABE， ∵AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 44．（2025秋•南京期末）如图，A为BE上一点，D为AF上一点，C为ED延长线上的一点，AB＝AD，AE＝AF，AF⊥BE． （1）求证：BF＝DE； （2）若CE＝BC+BF，∠ADC＝110°，求∠BCE的度数． 【分析】（1）通过证明△ABF≌△ADE，得出对应边相等，从而证明BF＝DE； （2）先利用已知条件和（1）的结论得出线段相等关系，再证明△ABC≌△ADC，结合三角形内角和等知识求出∠BCE的度数． 【解答】（1）证明：∵AF⊥BE， ∴∠BAF＝∠DAE＝90°， 在△ABF与△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（SAS）， ∴BF＝DE； （2）解：连接AC， ∵BF＝DE，CE＝BC+BF， ∴BC＝DC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠ABC＝∠ADC＝110°， ∵， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝25°， ∴∠ACD＝∠ACB＝25°， ∴∠BCE＝50°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等． 45．（2025秋•昂仁县期末）如图，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC＝AE，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝15°，求∠CDE的度数． 【分析】（1）先证明∠BAC＝∠DAE，再利用SAS证明△ABC≌△ADE即可； （2）根据全等三角形的性质，得到∠E＝∠C，由已知得到∠CAE＝15°，对顶角相等，得到∠AOE＝∠DOC，进而得到∠CAE＝∠CDE，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠CAE+∠DAC＝∠DAE， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； （2）解：由（1）知：△ABC≌△ADE， ∴∠E＝∠C， ∵∠AOE＝∠DOC， ∴∠CAE＝∠CDE， ∵∠BAD＝∠CAE，∠BAD＝15°， ∴∠CAE＝15°， ∴∠CDE＝15°． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【考点16：动点问题】 46．（2025秋•通榆县期末）如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿直线AM上运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t． （1）试求∠ACB的度数； （2）若S△ABD：S△BEC＝2：3，试求动点D，E的运动时间t的值； （3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 【分析】（1）易求∠BAC＝45°，根据BC⊥BA可得∠ABC＝90°，即可解题； （2）作BF⊥AM，BG⊥AC，则BF＝BG，根据S△ABD：S△BEC的值可得AD：CE的值，分别用t表示AD，CE即可求得t的值，即可解题； （3）当D点在A点上方时，易得AD＝CE时，△ADB≌△BEC，分别用t表示AD，CE即可求得t的值；当D点在A点下方时，t＝2t﹣6，求解即可． 【解答】解：（1）∵AM⊥AN，AB平分∠MAN， ∴∠BAC＝45°， ∵BC⊥BA， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°； （2）作BF⊥AM，BG⊥AC，则BF＝BG， ∵S△ABD：S△BEC＝2：3， ∴AD：CE＝2：3， 当E点在C点左侧时， ∵AD＝t，CE＝6﹣2t， 3t＝2（6﹣2t）， 解得：ts； 当E点在C点右侧时，CE＝2t﹣6， ∴3t＝2（2t﹣6），解得t＝12． （3）当D点在A点上方时， ∵AB＝BC，∠BAM＝∠BCA＝45°， ∴当AD＝CE时，△ADB≌△BEC（SAS）， 即6﹣2t＝t，或2t﹣6＝t， 解得：t＝2或6（舍去）， 当D点在A点下方时， ∵∠BAD＝135°， ∴AE＝CE， ∴t＝2t﹣6， ∴t＝6； 答：t＝2或6时，△ADB≌△BEC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出求证△ADB≌△BEC的条件是解题的关键． 47．（2025秋•鸡西期末）如图，BC＝6cm，∠PBC＝∠QCB＝60°，点M在线段CB上以3cm/s的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线CQ上以1cm/s的速度运动，它们运动的时间为t（s）（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线BP上取点A，在M、N运动到某处时，有△ABM与△MCN全等，求此时AB的长度． 【分析】根据题意得到CM＝3t，CN＝t，则BM＝BC﹣CM＝6﹣3t，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【解答】解：由题意可知，点M从C→B的时间为6÷3＝2（s）， 设运动的时间为t（s）， 则CM＝3t，CN＝t，BM＝BC﹣CM＝6﹣3t， 当△ABM≌△MCN时， ∴BM＝CN，AB＝CM， ∴6﹣3t＝t， 解得， ∴； 当△ABM≌△NCM时， ∴AN＝NC，BM＝CM， ∴6﹣3t＝3t， 解得t＝1， ∴AB＝NC＝t＝1cm； 综上所述，AB的长度为或1cm． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 48．（2025秋•荣县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动．设运动的时间为ts． （1）直接写出：①BP＝ 　4t cm；②CP＝ 　（16﹣4t）　 cm；③CQ＝ at cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【分析】（1）根据速度与时间可得路程BP和CQ，根据边长和中点定义可得BD和CP的长； （2）根据∠B＝∠C，可知：分两种情况：①若△DBP≌△QCP，②若△DBP≌△PCQ，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 【解答】解：（1）由题意得：∵BC＝16cm，点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动． ∴①BP＝4t（cm）；②CP＝BC﹣BP＝16﹣4t（cm）； ∵点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动， ∴③CQ＝at（cm）； 故答案为：4t；（16﹣4t）；at； （2）∵BP＝4tcm，BD＝12cm，CP＝（16﹣4t）cm，CQ＝atcm， ∵∠B＝∠C， ∴分两种情况： ①若△DBP≌△QCP， 则， ∴， ∴； ②若△DBP≌△PCQ， 则， ∴， ∴； 综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是能根据题意得出方程． 【考点17：倍长中线法】 49．（2025秋•湖北期中）李老师在数学课上，让同学们以“三角形的中线”为主题开展数学探究活动，并设计如下问题，引导同学们进行探究思考． 已知：如图，AE是△ABD的中线，AB＝CD＝BD． （1）若△ABE的面积为5，则△ABC的面积＝　20　 ；（直接写出结果） （2）探究与证明：请探究线段（AB+AD）与线段2AE的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：． 【分析】（1）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分求出△ABD的面积，继而求出△ABC的面积； （2）如图，延长AE到F，使EF＝AE，利用SAS证得△BEF和△DEA全等，得出FB＝AD，再根据三角形三边关系定理得出AB+FB＞AF，从而问题得证； （3）结合（2）中的条件先证△ABF和△CDA全等，得出AF＝AC，从而问题得证． 【解答】解：（1）∵△ABE的面积为5，AE是△ABD的中线， ∴， ∴S△ABD＝2S△ABE＝2×5＝10， ∵CD＝BD， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2×10＝20， 故答案为：20； （2）AB+AD＞2AE， 证明：如图，延长AE到F，使EF＝AE，连接BF， ∵AE是△ABD的中线， ∴BE＝DE， 在△BEF和△DEA中， ， ∴△BEF≌△DEA（SAS）， ∴FB＝AD， 在△ABF中，AB+FB＞AF， 即AB+AD＞2AE； （3）证明：由（2）知△BEF≌△DEA， ∴AD＝FB，∠FBE＝∠ADE， ∵AB＝BD， ∴∠BAD＝∠ADB， ∴∠FBE＝∠BAD， ∵∠ADC是△ABD的一个外角， ∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD， ∵∠ABF＝∠FBE+∠ABD， ∴∠ABF＝∠ADC， 在△ABF和△CDA中， ， ∴△ABF≌△CDA（SAS）， ∴AF＝AC， 由（2）知， ∴． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形中线的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 50．（2025秋•南关区期末）【问题提出】 如图①，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AB＝7，AC＝5，请求出AD的取值范围． 【问题解决】 如图②，在探究问题时，小明尝试构造全等三角形求解． 以下是小明的部分解题过程： 解：延长AD至E，使ED＝AD，连结CE， 解题过程缺失 请补全缺失的解题过程． 【问题拓展】 （1）如图③，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点N在DA的延长线上，以N为顶点作∠DMF，使∠DNF＝∠DAB，过C作CM∥AB交NF于点M，点B与点M在直线AC的同侧．若AB＝9，CM＝2，则MN的长为 　7　 ； （2）如图④，在△ABC中，点D是边BC的中点，点P是边CD的中点，连结AD、AP．若AC＝CD，AP＝m，则AB的长为 　2m ．（用含m的代数式表示） 【分析】【问题解决】延长AD至E，使ED＝AD，连结CE，证明△ABD和△ECD全等得EC＝AB＝7，在△ACE中，由三角形三边之间的关系得EC﹣AC＜AE＜EC+AC，即7﹣5＜2AD＜7+5，由此即可得出AD的取值范围； 【问题拓展】（1）延长CM交AD于点H，证明△DHC和△DAB全等得CH＝AB＝9，由此得MH＝CH﹣CM＝7，再根据∠DNF＝∠DAB得∠H＝∠DNF，进而得MN＝MH＝7； （2）延长AP到K，使KP＝AP＝m，连接KD，则AK＝2m，证明△KPD和△ACP全等得KD＝AC，∠KDP＝∠C，由此得KD＝CD，∠CDA＝∠CAD，再根据三角形外角性质得∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠ADK，进而再证明△ADB和△ADK全等得AK＝AB＝2m，据此即可得出答案． 【解答】【问题解决】解：延长AD至E，使ED＝AD，连结CE，如图②所示： ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴EC＝AB＝7， 在△ACE中，EC﹣AC＜AE＜EC+AC， ∴7﹣5＜2AD＜7+5， ∴1＜AD＜6， ∴AD的取值范围是：1＜AD＜6； 【问题拓展】解：（1）延长CM交AD于点H，如图③所示： 在△ABC中，AD是边BC上的中线， ∴CD＝BD， ∵CM∥AB， ∴∠H＝∠DAB，∠DCH＝∠B， 在△DHC和△DAB中， ， ∴△DHC≌△DAB（AAS）， ∴CH＝AB， ∵AB＝9，CM＝2， ∴CH＝AB＝9， ∴MH＝CH﹣CM＝9﹣2＝7， ∵∠DNF＝∠DAB， ∴∠H＝∠DNF， ∴MN＝MH＝7， 故答案为：7； （2）延长AP到K，使KP＝AP＝m，连接KD，如图④所示： ∴AK＝KP+AP＝2m， ∵点P是边CD的中点， ∴DP＝CP， 在△KPD和△ACP中， ， ∴△KPD≌△ACP（SAS）， ∴KD＝AC，∠KDP＝∠C， ∵AC＝CD， ∴KD＝CD，∠CDA＝∠CAD， ∴∠ADK＝∠CDA+∠KDP＝∠CAD+∠C， ∵∠ADB是△ACD的外角， ∴∠ADB＝∠CAD+∠C， ∴∠ADK＝∠ADB， ∵点D是边BC的中点， ∴BD＝CD， ∴KD＝BD， 在△ADB和△ADK中， ， ∴△ADB≌△ADK（SAS）， ∴AK＝AB＝2m， 即AB的长为2m． 故答案为：2m． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 51．（2025秋•昌黎县期中）阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：AB+AC＞2AD． 证明方法如下： 证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA， 在△ABE中，AB+BE＞AE， ∴AB+AC＞2AD． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： （1）如图3，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是 　　 ； （2）如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，证明△ABD≌△ECD（SAS），得出AB＝EC＝4，由三角形三边关系可得出答案； （2）延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，证明△ABD≌△MCD（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，证明△EAF≌△MCA（SAS），由全等三角形的性质得出AM＝EF，则可得出答案． 【解答】解：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，如图所示： ∴AE＝2AD， ∵AD是中线， ∴CD＝BD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝EC＝3， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE， ∴AC﹣AB＜AE＜AC+AB， ∵AB＝3，AC＝4， 即4﹣3＜2AD＜4+3， ∴1＜2AD＜7， ∴， 故答案为：； （2）EF＝2AD． 理由如下： 延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，如图所示： ∵AD是中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△MCD中， ， ∴△ABD≌△MCD（SAS）， ∴∠ABD＝∠MCD，AB＝MC， ∴AE＝CM，AB∥CM， ∴∠ACM+∠BAC＝180°， ∵∠CAF＝∠BAE＝90°， ∴∠EAF+∠BAC＝180°， ∴∠EAF＝∠ACM， 又∵AF＝AC， ∴△EAF≌△MCA（SAS）， ∴EF＝MA， ∵AM＝2AD， ∴EF＝2AD． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【考点18：截长补短法】 52．（2025秋•五华区校级期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C，求证：AC＝AB+BD； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （1）根据以上材料，任选一种方法证明：AC＝AB+BD； （2）如图④，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠C＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据角平分线及辅助线得到△BAD≌△EAD，△AED≌△ACD的条件即可得到答案； （2）根据角平分线及辅助线得到△AEF≌△EDC的条件即可得到答案； 【解答】（1）证明：方法一， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD＝AD，AB＝AE， ∴△BAD≌△EAD（SAS）， ∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C， ∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∴BD＝EC， ∴AC＝AE+EC＝AB+BD； 方法二： ∵BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE， ∴∠ABC＝∠E+∠BDE＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠E＝∠C， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD＝AD， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴AC＝AE＝AB+BE＝AB+BD； （2）解：BE＝DC+CE， 如图，在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF， ∵EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴2∠DAE+∠AED＝180°， ∵∠DAE+∠B＝90°， ∴2∠DAE+2∠B＝180°， ∴∠AED＝2∠B， ∵∠C＝2∠B， ∴∠AED＝∠C， ∵∠BED＝∠AEB+∠AED＝∠CDE+∠C， ∴∠AEB＝∠CDE， 在△AEF和△EDC中， EF＝DC，∠AEF＝∠EDC，AE＝ED， ∴△AEF≌△EDC（SAS）， ∴AF＝EC，∠AFE＝∠C＝2∠B， ∵∠AFE＝∠B+∠BAF， ∴∠B＝∠BAF， ∴BF＝AF， ∴BF＝CE， ∵BE＝BF+EF， ∴BE＝DC+CE． 【点评】本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，掌握角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质是解题的关键． 53．（2024秋•高安市期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝2，求AB的长． 【分析】（1）在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，根据角平分线的定义得出∠BAD＝∠DAC，利用SAS证明△ABD≌△AED，从而可得∠B＝∠AED，BD＝DE，再利用三角形外角的性质可得∠AED＝∠C+∠EDC，从而可得∠C＝∠EDC，推出DE＝CE，进而得出BD＝EC，即可得证； （2）在AE上截取AF＝AD，连接CF，由三角形内角和定理可得∠DAC＝30°，证明△DAC≌△FAC（SAS）得出∠AFC＝∠D＝110°，再证明△CEF≌△CEB（AAS）得出EF＝BE，求出BF＝2BE＝4，即可得解． 【解答】（1）证明：在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AD＝AD， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE， ∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， ∵∠AED是△DEC的一个外角， ∴∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE， ∴BD＝EC， ∵AE+EC＝AC， ∴AB+BD＝AC； （2）在AE上截取AF＝AD，连接CF， 由题意可得： ∴∠DAC＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝30°， ∴∠FAC＝∠BAD﹣∠DAC＝30°， ∴∠DAC＝∠FAC＝30°， ∵AC＝AC， 在△DAC和△FAC中， ， ∴△DAC≌△FAC（SAS）， ∴∠AFC＝∠D＝110°， ∴∠CFE＝180°﹣∠AFC＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠FAC＝70°， ∴∠B＝∠CFE， ∵CE⊥AB， ∴∠CEF＝∠CEB＝90°， ∴CE＝CE， 在△CEF和△CEB中， ， ∴△CEF≌△CEB（AAS）， ∴EF＝BE， ∴BF＝2BE＝4， ∴AB＝AF+BF＝10+4＝14， ∴AB的长为14． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 54．（2025春•雅安期末）【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+DF，试探究∠EAF，∠BAD之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先说明△ABE≌△ADG，再说明△AEF≌△AGF，则可得到∠EAF，∠BAD之间的数量关系是　∠BAD＝2∠EAF ． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，若EF＝BE+DF，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°方向以80海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的距离EF＝140海里，求此时∠EOF的度数． 【分析】（1）延长CD到点G，使得DG＝BE，可证△ABE≌△ADG（SAS），∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再证△AEF≌△AGF（SSS），∠EAF＝∠GAF，根据角的和差计算即可求解； （2）延长延长CD到点H，使得DH＝BE，可证△ABE≌△ADG（SAS），∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再证△AEF≌△AGF（SSS），∠EAF＝∠GAF，由此即可求解； （3）如图所示，过点B作BQ⊥x轴于点Q，延长FB到点M，使得BM＝AE，连接EF，同理可证∠AOB＝2∠EOF，由此即可求解． 【解答】解：（1）∠BAD＝2∠EAF，理由如下， 如图所示，延长CD到点G，使得DG＝BE， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝90°＝∠B， 在△ABE，△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+DF，FG＝DF+DG， ∴EF＝GF， 在△AEF，△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF， ∵∠GAF＝∠GAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，∠BAD＝∠BAE+∠DAF+∠EAF， ∴∠BAD＝2∠EAF； 故答案为：∠BAD＝2∠EAF； （2）成立，理由如下， 如图所示，延长延长CD到点H，使得DH＝BE， ∵∠ADC+∠ADH＝180°，∠B+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADH， 在△ABE，△ADH中， ， ∴△ABE≌△ADH（SAS）， ∴AE＝AH，∠BAE＝∠DAH， ∴FH＝DF+DH＝BE+DF， ∵EF＝BE+DF， ∴FH＝FE， 在△AEF，△AHF中， ， ∴△AEF≌△AHF（SSS）， ∴∠EAF＝∠HAF＝∠HAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF， ∴∠BAD＝2∠EAF； （3）如图所示，过点B作BQ⊥x轴于点Q，延长FB到点M，使得BM＝AE，连接EF， ∵舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处， ∴∠AON＝30°，∠POB＝70°，AN∥x轴，则∠BOQ＝90°﹣∠POB＝20°， ∴∠ANO＝90°，则∠A＝60°， ∵舰艇乙沿北偏东50°方向以80海里/时的速度前进， ∴∠QBF＝50°，BF＝80×1＝80（海里），AE＝60×1＝60（海里）， ∵BQ⊥x轴， ∴OP∥BQ，则∠POB＝∠OBQ＝70°， ∴∠OBF＝∠OBQ+∠QBF＝70°+50°＝120°， ∴∠OBM＝180°﹣∠OBF＝60°＝∠A， ∴△AOE≌△BOM（SAS）， ∴∠AOE＝∠BOM，AE＝BM＝60（海里）， ∴MF＝60+80＝140°＝EF， 在△OEF和△OMF中， ， ∴△OEF≌△OMF（SSS）， ∴∠EOF＝∠MOF＝∠BOM+∠BOF＝∠AOE+∠BOF， ∴∠AOB＝∠AOE+∠BOF+∠EOF＝2∠EOF， ∵∠AOB＝∠AON+∠NOQ+∠BOQ＝30°+90°+20°＝140°， ∴∠EOF＝70°． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，方位角的运用，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是关键． 【考点19：一线三等角】 55．（2025秋•美兰区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，直接写出DE、AD、BE的关系为：DE＝AD﹣BE （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC＝∠CEB＝90°，根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD． （2）根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝BE，所以DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE． （3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE＝BE﹣AD．证明的方法与（2）相同． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， 而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE． 在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝DC+CE＝BE+AD； （2）DE＝AD﹣BE， 在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； 故答案为：DE＝AD﹣BE （3）DE＝BE﹣AD． 易证得△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，DC＝BE， ∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质． 56．（2025秋•西湖区月考）直线m上有3个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α． （1）如图1，当α＝90°时，猜想DE，BD，CE之间的数量关是 DE＝BD+CE （直接写出结论）； （2）如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由． 【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE； （2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE． 【解答】解：（1）DE＝BD+CE；理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE； （2）（1）中的结论还成立；理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 57．（2023秋•天元区期末）（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，即可得出结论； （2）由∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案； （3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CEA中，， ∴△ABD≌△CEA（AAS）， ∴S△ABD＝S△CEA， 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h， ∴S△ABCBC•h＝12，S△ACFCF•h， ∵BC＝2CF， ∴S△ACF＝6， ∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6， ∴△ABD与△CEF的面积之和为6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出∠CAE＝∠ABD是解决问题的关键． 【考点20：手拉手模型】 58．（2024秋•冷水江市期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BE． （2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由∠BDP＝∠ADC，得到∠BPD＝∠DCA＝90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE； （3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP＝∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF＝∠ACF＝90°，即AD⊥BE． 【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°， ∴∠CBA＝∠CAB， ∴BC＝CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE． （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BDP＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠DCA＝90°， ∵AB＝AE， ∴AD平分∠BAE． （3）AD⊥BE不发生变化． 如图2， ∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BFP＝∠AFC， ∴∠BPF＝∠ACF＝90°， ∴AD⊥BE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD． 59．（2025春•七里河区校级期末）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F， （1）如图①，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝　120°　 ；如图②，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝　90°　 ；如图③，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝　60°　 ； （2）如图④，若∠ACD＝α，则∠AFB＝　180°﹣α　 （用含α的式子表示）； （3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 【分析】（1）如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC＝∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数． 如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC＝∠DBC，又有∠FDE＝∠CDB，进而得出∠AFB＝90°． 如图3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC＝∠BDC，又有∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB得到∠FAB+∠FBA＝120°，进而求出∠AFB＝60°． （2）由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE＝∠CDB，从而得出∠DFA＝∠ACD，得到结论∠AFB＝180°﹣α． （3）由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB＝180°﹣α． 【解答】解：（1）如图1，CA＝CD，∠ACD＝60°， 所以△ACD是等边三角形． ∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°， 所以△ECB是等边三角形． ∵AC＝DC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠BCD＝∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD． ∵AC＝DC，CE＝BC， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC＝∠BDC． ∠AFB是△ADF的外角． ∴∠AFB＝∠ADF+∠FAD＝∠ADC+∠CDB+∠FAD＝∠ADC+∠EAC+∠FAD＝∠ADC+∠DAC＝120°． 如图2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，EC＝CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠AEC＝∠DBC， 又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°， ∴∠EFD＝90°． ∴∠AFB＝90°． 如图3，∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACD﹣∠DCE＝∠BCE﹣∠DCE． ∴∠ACE＝∠DCB． 又∵CA＝CD，CE＝CB， ∴△ACE≌△DCB（SAS）． ∴∠EAC＝∠BDC． ∵∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB＝180°﹣（180﹣∠ACD）＝120°， ∴∠FAB+∠FBA＝120°． ∴∠AFB＝60°． 故填120°，90°，60°． （2）∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE＝∠DCB． ∴∠CAE＝∠CDB． ∴∠DFA＝∠ACD． ∴∠AFB＝180°﹣∠DFA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣α． （3）∠AFB＝180°﹣α； 证明：∵∠ACD＝∠BCE＝α，则∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE， 即∠ACE＝∠DCB． 在△ACE和△DCB中， 则△ACE≌△DCB（SAS）． 则∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和知∠EFB＝∠ECB＝α． ∠AFB＝180°﹣∠EFB＝180°﹣α． 【点评】本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识． 60．（2025秋•小店区校级月考）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE，CD，则BE与CD的数量关系为 BE＝CD ，位置关系为 BE⊥CD ； （2）类比探究 如图2，在△ABC中，分别以AB，AC为边作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE．∠BAD＝∠CAE＝90°，点D，E，C在同一直线上，AM为△ACE中CE边上的高，猜想DC，BC，AM之间的数量关系并说明理由； （3）解决问题 运用（1）（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点D，C的距离，已经测得∠ACB＝45°，∠DAB＝90°，AB＝AD，米，BC＝24米，CD的长为 　26　 米． 【分析】（1）根据∠BAD＝∠CAE＝90°得∠CAD＝∠EAB，再根据AB＝AD，AE＝AC可依据“SAS”判定△ABE和△ADC全等得BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，再根据三角形内角和定理得∠BFH＝∠BAD＝90°，由此即可得出BE与CD的数量关系及位置关系； （2）根据等腰直角三角形性质得∠DAE＝∠BAC，AB＝AD，AC＝AE，CE＝2AM，进而可依据“SAS”判定△ABC和△ADE全等得BC＝DE，由此即可得出DC，BC，AM之间的数量关系； （3）过点A作AM⊥AC，且使AM＝AC米，连接CM，BM，先证明∠BAM＝∠DAC，进而可依据“SAS”判定△BAM和△DAC全等得BM＝CD，再根据等腰直角三角形性质即勾股定理得∠ACM＝45°，CM＝10米，继而得∠BCM＝90°，然后在Rt△BCM中，由勾股定理求出BM＝26米即可得出CD的长． 【解答】解：（1）BE与CD的数量关系为：BE＝CD，位置关系为：BE⊥CD，理由如下： 设BE与CD相交于点F，CD交AB于点H，如图1所示： ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAB， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC， 在△BFH中，∠ABE+∠BHF+∠BFH＝180°， 在△ADH中，∠ADC+∠DHA+∠BAD＝180°， 又∵∠BHF＝∠DHA， ∴∠BFH＝∠BAD＝90°， ∴BE⊥CD， 即BE与CD的数量关系为：BE＝CD，位置关系为：BE⊥CD； （2）DC，BC，AM之间的数量关系：DC＝BC+2AM，理由如下： 如图2所示： ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°，AM⊥CE， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD﹣∠BAE＝∠CAE﹣∠BAE，AM＝EM＝CM＝1/2CE， ∴∠DAE＝∠BAC，CE＝2AM， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴BC＝DE， ∴CD＝DE+CE＝BC+2AM； （3）过点A作AM⊥AC，且使AM＝AC米，连接CM，BM，如图3所示： ∴∠DAB＝∠CAM＝90°， ∴∠DAB+∠DAM＝∠CAM+∠DAM， ∴∠BAM＝∠DAC， 在△BAM和△DAC中， ， ∴△BAM≌△DAC（SAS）， ∴BM＝CD， 在Rt△ACM中，AM＝AC（米），AM⊥AC， ∴△ACM是等腰直角三角形， ∴∠ACM＝45°， 由勾股定理得：由勾股定理得：CM10（米）， ∵∠ACB＝45°， ∴∠BCM＝∠ACB+∠ACM＝90°， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM26（米）， ∴BM＝CD＝26米． 故答案为：26． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末复习【苏科版 2024】 专题二 全等三角形 目录 一、知识点回顾 二、考点分析 【考点1：全等图形】 【考点2：全等三角形的性质】 【考点3：概念辨析】 【考点4：“ASA”判定全等】 【考点5：“SAS”判定全等】 【考点6：“AAS”判定全等】 【考点7：“SSS”判定全等】 【考点8：“HL”判定全等】 【考点9：画出唯一三角形】 【考点10：三角形稳定性】 【考点11：格点三角形】 【考点12：添加条件证明全等】 【考点13：尺规作图】 【考点14：实际应用】 【考点15：判定定理与性质定理结合】 【考点16：动点问题】 【考点17：倍长中线法】 【考点18：截长补短法】 【考点19：一线三等角】 【考点20：手拉手模型】 一、知识点回顾 1．全等形 （1）定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关． （3）平移、翻折、旋转前后的图形全等． 2．全等三角形 （1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”． （3）对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角． （4）常见的全等类型 ①平移型；②翻折型；③旋转型． 3．全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 4．证明三角形全等的常用方法： （1）SSS（基本事实）：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． （2）ASA（基本事实）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． （3）AAS（判定定理）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． （4）SAS（基本事实）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． （5）HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． 5．判定两个三角形全等的常用思路： （1）已知两边 （2）已知一边一角 （3）已知两角 6．证明几何命题的一般步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 二、考点分析 【考点1：全等图形】 1．（2025秋•道外区期末）下列图形是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•南充校级期末）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•皮山县月考）下列各学科使用的教学器具中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点2：全等三角形的性质】 4．（2025秋•普兰店区期末）如图所示的两个三角形全等，则∠D的度数为（　　） A．44° B．50° C．66° D．70° 5．（2025秋•海淀区期末）如图，已知△ADC≌△AEB，AB＝8，CE＝5，则AD的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025秋•石家庄校级月考）若△ABC≌△DEF，点A和点D，点C和点F是对应顶点，若△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝9，则DF的长为（　　） A．5 B．6 C．9 D．5或9 【考点3：概念辨析】 7．（2025秋•南京期中）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 8．（2024•桥西区一模）下列说法中不正确的是（　　） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形能重合 D．全等三角形一定是等边三角形 9．（2024秋•汶上县校级月考）下列说法中正确的是（　　） A．全等三角形的角平分线相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的高相等 D．全等三角形的面积相等 【考点4：“ASA”判定全等】 10．（2025秋•平凉期末）亮亮的直角三角板被折断一部分，留下的部分如图所示，很快他就根据所学知识画出一个与原三角板完全一样的三角形．其依据是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．AAS 11．（2025秋•中山区期末）如图，点E在AC上，点F在AB上，AB＝AC，∠B＝∠C，判断△ABE≌△ACF的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 12．（2025秋•永吉县期末）如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE． 【考点5：“SAS”判定全等】 13．（2025秋•兴隆台区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝6cm，AB＝8cm，∠DAB＝∠ABC，点E在线段AB上由点A向点B运动，同时点F在线段BC上由点B向点C运动．当△ADE与△BEF全等时，AE＝　 cm． 14．（2025秋•兴隆台区期末）如图，已知点D，C在线段BE上，且∠ABC＝∠FED＝90°，CB＝DE，要使△ABC≌△FED，可以添加的条件是　 ． 15．（2025秋•平凉期末）如图，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE．求证：△ADE≌△CFE． 【考点6：“AAS”判定全等】 16．（2025秋•丰满区期末）如图，AD平分∠BAC，∠B＝∠C，求证△ABD≌△ACD． 17．（2025秋•延边州期中）如图，AD与BC相交于点O，连接AC、BD，AC＝BD，∠C＝∠D，求证：△OAC≌△OBD． 18．（2024秋•夏津县期末）如图，在Rt△ABC中，直角顶点A在直线l上，AB＝AC，过点B，C分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．请你在图中找出一对全等三角形．并加以证明． 【考点7：“SSS”判定全等】 19．（2025秋•蛟河市期末）如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径作弧，再以顶点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD；则△ABC≌△CDA的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 20．（2025秋•海沧区校级月考）如图，点A、C、D，B在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，AE＝BF，CE＝DF，AD＝BC．求证：△ACE≌△BDF． 21．（2025春•南海区校级月考）如图：△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，试说明△ABC≌△DEF． 【考点8：“HL”判定全等】 22．（2025秋•漠河期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24cm，AC＝12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动（　　）秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合） A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 23．（2025秋•海淀区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，且PQ＝AB，要使△ABC和△APQ全等，则AP的长为　　 ． 24．（2025秋•路北区期中）如图，点A，E，B，D在一条直线上，AE＝BD，AC＝DF，∠C＝∠F＝90°． 求证：△ABC≌△DEF． 【考点9：画出唯一三角形】 25．（2025秋•拜泉县期末）根据下列条件，能画出唯一三角形的是（　　） A．AB＝2，BC＝3，AC＝6 B．BC＝6，AC＝5，∠B＝123° C．AB＝7，BC＝10.2，∠B＝53° D．∠A＝50°，∠B＝100°，∠C＝30° 26．（2025秋•黄埔区期末）根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝6，CA＝8 C．AB＝6，BC＝10，∠B＝60° D．AB＝4，∠A＝60°，∠B＝45° 27．（2025秋•新野县期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝5，CA＝10 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60° C．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝5 【考点10：三角形稳定性】 28．（2025秋•西湖区校级月考）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 29．（2025春•漳州期末）数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（　　） A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS 30．（2025秋•厦门校级期中）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的数学道理是（　　） A．全等三角形的性质 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【考点11：格点三角形】 31．（2025秋•铁岭县期末）如图，在4×4方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 32．（2025秋•赣州期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 33．（2024秋•尤溪县期末）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． （1）已知线段MN及点P，如图1．过P作点M，N的一条等距线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） （2）如图2，A，B，C是正方形网格中的三个格点． ①在该网格中，过点C用无刻度的直尺画出点A，B的所有等距线； ②在该网格中，是否存在异于点C的格点P，使得△ABP与△ABC的面积相等？若存在，在图3将所有满足条件的格点涂黑，并依次用P1，P2，…，Pn标识这些格点；若不存在，说明理由． 【考点12：添加条件证明全等】 34．（2024秋•石嘴山期末）如图，已知AB∥CD，点E、F在线段BD上，且BE＝DF．请你添加一个条件，使得△ABF≌△CDE．你添加的条件是：　 （只填一个）．添加条件后证明：△ABF≌△CDE． 35．（2025秋•宁江区期中）如图，点C，F在线段BE上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，请只添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF． （1）根据“SAS”，需添加的条件是 ；根据“HL”，需添加的条件是 ． （2）请从（1）中选择一种加以证明． 36．（2025秋•临汾期中）如图，已知AD＝CB，点E，F在线段BD上，且BF＝DE．请从①∠B＝∠D；②AF＝CE；选择其中一个选项作为已知条件，使得△ADF≌△CBE． 你添加的条件是： （只填写一个序号）． 添加条件后，请证明AF∥CE． 【考点13：尺规作图】 37．（2024秋•威海期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点（CD＞AD），连接BD，求作△DEF（点E在线段CD上：点F在线段AC的右侧），使得△DEF≌△DAB（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）；并简要说明其中道理． 38．（2021•柳南区模拟）已知：如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OC＝OD，CE平分∠ACO交AB于点E，DF平分∠BDO交AB于点F． （1）请用尺规作图补出图中的线段DF（不写作法．保留作图痕迹） （2）求证：△OCE≌△ODF． 39．（2021春•金川区校级期末）求证：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等． 要求：根据给出的Rt△ABC和Rt△A′B′C′（∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′）， （1）在此图形上用尺规作出BC与B′C′边上的中线，不写作法，保留作图痕迹， （2）写出已知、求证和证明过程． 【考点14：实际应用】 40．（2025秋•韶关期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，BC＝EC，最后测出DE的长即为A，B的距离． 乙：如图②，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有　　 ； （2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由． 41．（2025秋•相城区校级月考）如图，某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使得点B，C，D在一条直线上，同时测得垂直于地面的大树顶端A的视线AC与居民楼顶墙E的视线EC的夹角为90°（即∠ACE＝90°），已知AB⊥BD，ED⊥BD．若AB＝CD＝7米，BD＝35米，请你帮助建筑测量队计算出该居民楼ED的高度． 42．（2025秋•绥德县期末）综合实践 【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点B，C，D，使得A，B，C在同一条直线上，且AB＝BC，∠BCD＝∠BAP，当D，B，P在同一条直线上时，只需测量CD的长度，即可得出AP的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】CD＝50m． 【测量目的】求湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离AP． 【考点15：判定定理与性质定理结合】 43．（2025秋•云阳县期中）（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D，求证：△ABD≌△CAF； （2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC，求证：△ABE≌△CAF． 44．（2025秋•南京期末）如图，A为BE上一点，D为AF上一点，C为ED延长线上的一点，AB＝AD，AE＝AF，AF⊥BE． （1）求证：BF＝DE； （2）若CE＝BC+BF，∠ADC＝110°，求∠BCE的度数． 45．（2025秋•昂仁县期末）如图，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC＝AE，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝15°，求∠CDE的度数． 【考点16：动点问题】 46．（2025秋•通榆县期末）如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿直线AM上运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t． （1）试求∠ACB的度数； （2）若S△ABD：S△BEC＝2：3，试求动点D，E的运动时间t的值； （3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由． 47．（2025秋•鸡西期末）如图，BC＝6cm，∠PBC＝∠QCB＝60°，点M在线段CB上以3cm/s的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线CQ上以1cm/s的速度运动，它们运动的时间为t（s）（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线BP上取点A，在M、N运动到某处时，有△ABM与△MCN全等，求此时AB的长度． 48．（2025秋•荣县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动．设运动的时间为ts． （1）直接写出：①BP＝ 　4t cm；②CP＝ 　（16﹣4t）　 cm；③CQ＝ at cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【考点17：倍长中线法】 49．（2025秋•湖北期中）李老师在数学课上，让同学们以“三角形的中线”为主题开展数学探究活动，并设计如下问题，引导同学们进行探究思考． 已知：如图，AE是△ABD的中线，AB＝CD＝BD． （1）若△ABE的面积为5，则△ABC的面积＝　 　 ；（直接写出结果） （2）探究与证明：请探究线段（AB+AD）与线段2AE的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：． 50．（2025秋•南关区期末）【问题提出】 如图①，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AB＝7，AC＝5，请求出AD的取值范围． 【问题解决】 如图②，在探究问题时，小明尝试构造全等三角形求解． 以下是小明的部分解题过程： 解：延长AD至E，使ED＝AD，连结CE， 解题过程缺失 请补全缺失的解题过程． 【问题拓展】 （1）如图③，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点N在DA的延长线上，以N为顶点作∠DMF，使∠DNF＝∠DAB，过C作CM∥AB交NF于点M，点B与点M在直线AC的同侧．若AB＝9，CM＝2，则MN的长为 　 　 ； （2）如图④，在△ABC中，点D是边BC的中点，点P是边CD的中点，连结AD、AP．若AC＝CD，AP＝m，则AB的长为 　 　 ．（用含m的代数式表示） 51．（2025秋•昌黎县期中）阅读下列材料，解决相应问题： 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：AB+AC＞2AD． 证明方法如下： 证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA， 在△ABE中，AB+BE＞AE， ∴AB+AC＞2AD． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 解决下列问题： （1）如图3，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是 　 　 ； （2）如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由． 【考点18：截长补短法】 52．（2025秋•五华区校级期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C，求证：AC＝AB+BD； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （1）根据以上材料，任选一种方法证明：AC＝AB+BD； （2）如图④，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠C＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明． 53．（2024秋•高安市期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． （1）为了证明结论“AB+BD＝AC”，小亮在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝10，EB＝2，求AB的长． 54．（2025春•雅安期末）【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+DF，试探究∠EAF，∠BAD之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先说明△ABE≌△ADG，再说明△AEF≌△AGF，则可得到∠EAF，∠BAD之间的数量关系是　 　 ． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，若EF＝BE+DF，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°方向以80海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的距离EF＝140海里，求此时∠EOF的度数． 【考点19：一线三等角】 55．（2025秋•美兰区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，直接写出DE、AD、BE的关系为：　 　 （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 56．（2025秋•西湖区月考）直线m上有3个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α． （1）如图1，当α＝90°时，猜想DE，BD，CE之间的数量关是 　 　 （直接写出结论）； （2）如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由． 57．（2023秋•天元区期末）（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 【考点20：手拉手模型】 58．（2024秋•冷水江市期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 59．（2025春•七里河区校级期末）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F， （1）如图①，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝　 　 ；如图②，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝　 　 ；如图③，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝　 　 ； （2）如图④，若∠ACD＝α，则∠AFB＝　 　 （用含α的式子表示）； （3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 60．（2025秋•小店区校级月考）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE，CD，则BE与CD的数量关系为 　 　 ，位置关系为 　 　 ； （2）类比探究 如图2，在△ABC中，分别以AB，AC为边作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE．∠BAD＝∠CAE＝90°，点D，E，C在同一直线上，AM为△ACE中CE边上的高，猜想DC，BC，AM之间的数量关系并说明理由； （3）解决问题 运用（1）（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点D，C的距离，已经测得∠ACB＝45°，∠DAB＝90°，AB＝AD，米，BC＝24米，CD的长为 　 　 米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $