2026年高中数学强基计划模拟卷（四）（11题版）

)强塞计知 参数学竟 2026年高中数学强基计划模拟卷（四） (考试时间：180分钟) 一、填空题 1.在ABC中， 2sin2A+sinBsinC的最小值为， sinAsinBsinC 【答案】3 【分析】根据余弦定理结合基本不等式计算结合换元法计算得出最小值 【详解】由余弦定理及均值不等式，cos4-+c-a≥2c-。=1-心，所以20之4-4os4 2bc 2be 2bc bc 于是由正弦定理，原式=2a+bc-1(2a 5-4cosA -+1≥ bcsinA sinA bc sinA 令tan4=1>0,则5-4cos4_ 2+c0s2A） -4-sin24 2 2 1+9tan2 4 2=92+1、2V9 -=3 2 sin 2sin 4 2tan 4 2t 2t 2 当且仅当92=l,即t=ta 23时等号成立， A I 故原式的最小值为3 故答案为：3. 2.已知{sin0,sin20,sin30}={cos0,cos20,cos30},则0= 【答案】4+ Lπ，keZ 【分析】利用和差化积公式化简求解即可，注意集合的互异性 【详解】：{sin0,sin20,sin30}={cos0,cos20,cos30y .sin0+sin 20+sin 30 cos0+cos 20+cos30 由和差化积公式得： sin+sin 30=2sin3 cos-2sin 20 cos(-0)=2sin 20 cos0 2 c0s6+c0s30=2c0s0+30c0s9-30-2c0s200s(-9)=2c0s20c0s0 -cos 2 2 .'sin0+sin 20+sin 30=2sin 20 cos0+sin 20 sin 20(2cos0+1) cos0+cos20+cos30=2cos20 cos0+cos20=cos20(2cos0+1) 1/11 个强基钟动 参数学党金 .'sin 20(2cos0+1)=cos 20(2cos0+1) sin20=c0s20或cos0=-1 2 当c0s0=-时，0-2经+2ka或7+2，keZ, 2 3 3 此时c0s0=c0520=分不满足集合的互异，放会去， 当sin20=cos20时，20=2+k,k∈Z, 日+经，大eZ,满足题意 日=亚+红 0=(4k+ 8 2π，k∈Z 故答案为：0=4+ 2π，k∈Z. 8 3.函数f(x)=x2+Vx+-3x2+2x+5的值域是 【答案】[2，+o) 【分析】将函数f(x)=x2+V-3x2+2x+5变形为f)=x2+x2-2'+(x+)2,则fx)表示抛物线 y=x2上的点到点(-1,2)和x轴的距离之和，由几何意义即可得到答案。 【详解】将f)=x2+V-3x2+2x+5变形可得fx)=x2+x2-2+(x+12, 设P(x,x2),则Px,x2)的轨迹方程为y=x2,设A(-1,2), 则f(x)表示抛物线y=x2上的点到点A和x轴的距离之和， 过P点作PB⊥x轴于B,过A点作AC⊥x轴于C,交抛物线y=x2于点B, A(-1,2) 故用PA+PB2PA+PC=AC=2 所以f(x)∈[2，+o) 故答案为：[2，+o). 2/11 )强连计动 参数学竟接 kπ 4,求∑sim “2021 sin- 【答案】2021 1-cos π 2021 【分析】利用复数加法的几何意义求解. 而我们易得 觉品1+ea sin 1n2021i, 1-e2011-cos,元 i k °2021 2020 sin、 所以∑sin于 kπ 2021 k=1 "2021 1-cos z 2021 sin 故答案为： 2021 1-cosπ 2021 5.已知V1-x2=4x3-3x,则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为 【答案】12 【分析】采用三角换元，令x=cos0∈[0，π)，代入题干中的式子解得 9-专或g成子。即可求出答突 8 【详解】令x=cos0(0∈[0，π]).则V1-cos20=4cos30-3cos0，sin0=2cos30+2cosθ-cos0-2cos0 =2cos30-cos0-2(1-cos20)cos0 cos0(2cos20-1)-2sin20 cos0 cos20 cos0-sin 20 sin0 cos(20+0)=cos0 sin0 cos30, 后-小c.r-引， 所以0-受-0晚30-号-0+2红成30=0-受+2x或30=-（月-0 解得0=或0或3江或8=-乃（舍）. 81 4 4 因而其全部解为x=cos。或cos 3π 8 5r或cos 41 3/11 强基计动 参数学境食 由题意知，所求值为： 3 6 12 =12. π 5π 3π 3π π π π cos P cOS- 4 -cos g sin g cos 8 4 sin cos 4 4 Sin 2 故答案为：12. 6.f(x)=lnx+cosx的所有极值点依次为的a,a2,,a,…,则ima1-an= 【答案】刀 【分析】先证明f-hx+co0s的所有极值点恰为英导函数的零点，然后研究了国在(0+60+切上 的零点的性质，即可得到结果。 【详解】由于f'()=】-sinx,而当0<x<1时f'(x)=1-sinx>1-1=0,所以f(x)的极值点都不小于1. 1 同时，由于当f)=0时，有}-sinx=0,即上=sinx W5+1 2 5-1sin 但 5-，不，所以cs故 =7o=-sm-co=mx-w1{osr0 这表明，f(x)的全体极值点就是'(x)的全体零点 由于题目所求的是iman1-an,而'(x在有限区间上只有有限个零点，故我们可以只考虑f'(x)在 +60元，+0 上的零点 100 1 100 从而由x> 1 10+60m,知xC100+m,100+儿keZ,k≥60). +100+keZ,k≥60)有f刘=-子 1 而对x∈ 10 100 了（到=子-cos>-旷cod0其符号总是相定的，所以倒在(0+红0+）keZk≥60)上 100 单调。 4/11 强速快划 参数学境食 sin- 100 /八100 这表明，当x> 60时，八到的零点均落入某个而红o+)keZk≥60，且在每个 1 100 1 100 +亿，00+红k∈Z,k之60上恰有一个零点 设0+红o+如kez20上的零色为，则k-a小卢回- k净 而f=sin,6小=/"6E0.故Sm6-@sin石TP + 100 11 同有6.-+小z(ac如有 arcsin I 所u6-6-=h-k:z列-h-e2a2ao如》 这就得到imlb1-b=元，所以lima-a=limb1-b=元. 故答案为：刀 A(2,),若△OMA的面积不超过3，则满足条件的整点 M个数为. 【答案】60 【分析】设M,).由题意可得直线01的方程为x-2y=0,表示出：0M4的面积50-区，2列≤3， 2 设-2%=，长=0L之且45,6，则=2+代入点+营≤1化简时论即可 【详解】设M,直线Q1的方程为=，即x-2y=0, 5/11 )强垫计动 参数学党金 521 S-042-k,2≤3. 5 设x0-2y0=k,则k=0,±1，±2，±3，±4，±5，±6，x=2y。+k, 代入发+5≤1并化简得29+4，≤200-k2, 2008 当k=0时，三点不能组成三角形，舍去； 当k=1时，29y+4y≤199，y=0,±1，±2，有5个整点； 当k=2时，29y+8y。≤196，=0，±1，±2，有5个整点： 当k=3时，29y6+12y≤191，=0，±1,2，有5个整点： 当k=4时，29y+16y。≤184，y=0,±1，±2，有5个整点： 当k=5时，29y+20y≤175，y=0,±1，±2，有5个整点： 当k=6时，29y+24y。≤164，y。=0,±1，±2，有5个整点； 根据对称性，当k=-1,-2,-3,,-6时，也分别有5个整点. .共有60个整点. 故答案为：60 【点晴】关键点点晴：此题考查点到直线的距离公式的应用，解题的关键是根据题意表示出△OMA的面积， 由aOMA的面积不超过3，列不等式讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题， 8.已知数列a,满足a=12,a1-3+a,+3,+2a),则a最接近的整数为 4 【答案】4 【分析】令b,=V1+2an,将原递推化简为bn1-3= 6,-3到可得6.-3是以6-3=2为首项，公比为，的 1 等比数列，进而得到b,一2+3，再根据6的范围确定a的范围即可 ,-b-1 【详解】令bn=V1+2an,则b=5且an= 2 6/11 个强建钟知 参数学境食 2-4 整理后即为4b2=b2+6bn+9，由bn>0得2b1=bn+3, 即6-3-么-引，放-到是以6-3=2为首项，公比为的等比载列所以6-3=2-引=2 2+3>30,-1 所以b,=、 >4, 2 1 1 另一方面，6。=256+3< +3=V10, 10+3 -1<4.5, 所以ao= 2 综上所述，4<a。<4.5,所以与之最接近的整数为4. 故答案为：4 二、解答题 9.设a,阝∈(0，π)，满足a+B<π. (1)证明：若a>B,则当x∈(0,1)时，asin(ax+)>Bsin(βx+a). (2)若存在x∈(0，l)满足sin(a)sin(ax+β)=sin(β)·sin(Bx+a),证明a=B 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】(1)构造f(x=asin(ax+B)-Bsin(Bx+a),求导后得到其单调性，再构造gx)=sinx xe(0,π)，得到f(0)=a sinB-Bsina>0,从而证明出结论： (2)在(1)的基础上得到结论， 【详解】(1)令fx=asin(ax+B)-Bsin(Bx+a), 则f'(x)=a2cos(ax+B)-B2cos(βx+a), 由于a>B,x∈(0,1， 故ax+B-(Bx+a=(a-B)x-(a-B)=(a-B)(x-1)<0, 即ux+B<Bx+, 又x∈(0,1)，a,B∈(0，π)，a+B<π，故0<x+阝<Bx+a<B+a<π， 7/11 强垫计动 参数学境食 由于y=cos1在t∈(0，π上单调递减，故cos(ax+B)>cos(Bx+a, 所以f'(x=a2cos(ax+B)-B2cos(Bx+a)>0恒成立， 所以f(x=asin(ax+β)-psin(Bx+a)在xe(0,1上单调递增， 设g(x)=sinx ，x∈(0，π)， 则g'(x)=xCOS-sinx 2 h(x)=xcosx-sinx,xe(0,), 则h'(x=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0在x∈(0，π)上恒成立， 故h(x)=xcOSx-sinx在xe(0,)上单调递减， 故h(x<h0)=0,故g'(x<0, 所以g(x=s血在xe0,)上单调递减， 由于a>B,a,B∈(0，)，故na<simB a B 即f0)=a sin B-B sina>0, 故f(x>f(0)>0,即asin(ax+B)>Bsin(Bx+a): (2)存在x∈(0，l)满足sin(a)sin(ax+β)=sin(β)·sin(βx+a), 即inax+m-snB在x∈O,)上有根， sin(βx+a)sina 由（1D可得iax+m_卫与inB-E等号成立的条件均为a=B sin(βx+a）a sina a 故若存在x∈(0,1)满足sin(a)sin(aux+β)=sin(β)·sin(Bx+o),则有a=阝. 【点晴】构造函数证明不等式或比较大小，是高考常考题目，需要将不等式变形为同种结构或常见的不等 式，如e≥x+1或x-1≥lnx,再构造出适当的函数进行求解 10.如图，O0是ABC的外接圆，D是弧BC(不含A)上一点，S为弧BAC的中点.P为线段SD上一点， 过P作DB的平行线交AB于点E,过P作DC的平行线交AC于点F,过O作SD的平行线交弧BDC于点 T.己知O0上的点Q满足∠QAP被AT平分.证明：QE=QF. 8/11 )强垫计动 参数学员家 S E C TD 【答案】证明见解析 【详解】设M是弧BDC的中点，OT,SD分别与BC交于点K,L D 由∠AEP+∠AFP=∠ABD+∠ACD=π知A,E,P,F共圆 由∠ASP=∠ACD=∠AFP知S,A,P,F共圆，即S,A,E,P,F五点共圆 注意∠SEF=∠S1F=∠5BC,同理∠SFE=x-LSAE=∠SCB可知aSEP与△SBC相似.因此SE=S沿 SE SF. 2∠Tac=∠70c=∠IKC-∠Kc0=∠DLC-{8-∠4 LDBC+ZBDS- 4sc--任4 -ZDSC+A 由AT平分∠QAP可知： 04C=2∠T4C-∠PAC=∠Dc+5A-∠PSF=A+∠ 因此 ∠QSF=∠QSC-∠FSC=∠OAC-∠FSC=1∠A=∠ESF 即QS是∠ESF的平分线，结合SE=SF可知SQ是EF的垂直平分线，故QE=QF 9/11 强速计动 参数学境食 11.设f(x的定义域为R,且对元1,22≥0，元1+2=1及x,x2∈R,有 f1+2x2≤元1fx)+2f(x2) (1)廿21,2，元n≥0(n≥2），入+入+…+入n=1,及x,x2,…,xneR,证明： fx+22为3+…+nxn)≤入f（x)+2fx2)+…2nf（xn). (2)设x<<x<x4,证明： )-)- x2-X1 x4-X3 【答案】(1)证明过程见解析. (2)证明过程见解析 【分析】(1)结合题目条件，用数学归纳法证明. (2)令“=5-，先根据x<<5得出0<<1，=x+1-):再根据题目条件得出 X:-x fsuf小+1-4fx整理可得，)-sf,)-),同理得出 x2-x1 X3-x2 ()-)- ；最后根据不等式的传递性即可得证 X3-x2 X4-X3 【详解】(1)证明：用数学归纳法证明： 由题意可知：对21，元2≥0，入1+元2=1及x,x2∈R,有f入x+元，x2)≤元1f(x)+元2∫(x2),故当n=2时， 不等式成立 假设不等式对n=k,(k≥2)时成立，即元1,2，元≥0(k≥2)，元1+2+…+元=1，及 x,x2,…,xk∈R,有fx1+2x2+…+x≤1fx,)+2fx2+…+fxt 则当n=k+1,（k≥2)时，取2，入2，…，元，元+1≥0(k22),入+元2+…+元4+九1=1， 若某个元，=0(1≤i≤k+1),则可以转化为n=k的情况，此时不等式对于n=k+1成立： 若元>01≤i≤k+1,令1=元+元+…+元4，y=5+入出++2 则21=1-t,入x+九2x2+…+元x=y,0<1<1, 且f(y川=f 西++色+0小++f八园》 所以f(2x+2x2+…+元x+元1X =f[y+(1-)x1] 10/11)窟垫守知 参数学镜制 2026年高中数学强基计划模拟卷（四） (考试时间：180分钟) 一、填空题 1.在ABC中， 2sin2A+sinBsinC的最小值为一 sinAsinBsinC 2.已知sin0,sin20,sin30}={cos6,cos26,cos38},则0=_ 3.函数f(x)=x2+Vx4-3x2+2x+5的值域是 4驾脚 2021 5.己知V1-x2=4x-3x,则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为 6.f(x)=nx+cosx的所有极值点依次为的a,a,,a,…,则im口1-a= 7.在平面直角坐标系肉，Me+。≤ 200+8≤1， A(2,1),若aOMA的面积不超过3，则满足条件的整点 M个数为 1/4 强速饼划 参数学境食 8.已知数列a,满足a=2a=+a,+3+2a,则aw最接近的整数为 二、解答题 9.设a,B∈(0，π)，满足a+阝<π. (1)证明：若a>B,则当x∈(0,1)时，asin(ax+β)>Bsin(Bx+a). (2)若存在x∈(0，l)满足sin(a)·sin(ax+B)=sin(β)·sin(Bx+au),证明a=阝. 2/4 )强速计动 参数学镜金 10.如图，OO是ABC的外接圆，D是弧BC(不含A)上一点，S为弧BAC的中点.P为线段SD上一点， 过P作DB的平行线交AB于点E,过P作DC的平行线交AC于点F,过O作SD的平行线交弧BDC于点 T.已知OO上的点Q满足∠QAP被AT平分.证明：QE=QF. A E 0 B Q 3/4 座连计知 参数学员赛 11.设f(x的定义域为R,且对元1,22≥0，元1+2=1及x,x2∈R,有 fx1+2x2≤1fx1+元2f(x2) (1)廿21,2，元n≥0(n≥2），入+入+…+入n=1,及x,x2,…,xneR,证明： fx+22为3+…+nxn)≤入f（x)+2fx2)+…2nf（xn) ②)设<<x,<x,证明：)fsf)- x2-x1 X4-x3 4/4