2026年高中数学强基计划模拟卷（二）（11题版）

2026年高中数学强基计划模拟卷（二） 一、填空题 1．过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】利用导数求出点处切线的斜率，即可得到切线方程，从而求出点坐标，再求出焦点坐标，即可得到四边形的面积. 【详解】当时，，则，则， 所以切线方程为，即， 令，解得，所以，又抛物线的焦点， 所以. 故答案为： 2．已知在上三个不等实根，则的可能取值为 . 【答案】（区间上的所有实数，答案不唯一） 【分析】通过赋值得到，然后根据三个根的范围求的范围. 【详解】设 则， 设，，，则， 所以，所以， 所以. 故答案为：（区间上的所有实数，答案不唯一）. 3．已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值. 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 4．若函数有一个二重零点，则a的所有可能取值是 ． 【答案】 【分析】根据零点的定义，将问题转化为三次方程求解问题，结合韦达定理，可得答案. 【详解】由题意等价于三次方程存在一个二重根与一个根， 设其二重根为m，另一实根为n， 则由韦达定理可知，解得． 故答案为：. 5．已知正整数a，b，c满足，则的组数是 ． 【答案】5 【分析】变形得到，分，，，几种情况，讨论得到答案. 【详解】整理得． 当时，，只可能是，，； 当时，，解得，其中，2，3，4，共4组； 当时，，解得，无正整数解． 显然当时亦无正整数解，则共有5组正整数解． 故答案为：5 6．,,,为非负整数，对任意恒成立，则所有的非负整数对为 ． 【答案】 【分析】方法一：先取特值，再计算得，，再取特值即可； 方法二：先证明，去分母有，再对大小关系分类讨论即可. 【详解】方法一：先取，显然， 若，左右奇偶性矛盾，故，此时， 则原式：， 不妨令， 显然有，若此时， 若，左右两边奇偶性矛盾，故. 方法二：当等式两边同时乘以时， 只有当时满足等式两边常数项都为1， 去分母有， 当时有，故， 取可得， 若，则， 若，则，矛盾， 故， 即，故； 当时有，，故 左侧的系数为，右侧的系数为，矛盾， 若，左侧等于2，右侧等于1，矛盾，故， 当时，有，故， 所以，矛盾， 综上，． 故答案为：. 7．设展开式为，则 ． 【答案】 【分析】利用恒等式计算即可. 【详解】首先，由二项式定理可知：，因此． 我们将使用如下结论：， 证明如下：记， 注意到， 因此， 又因为， 联立两式可得，所以． 同时我们也证明了． 则， 故答案为：. 8．，、、是复数，且，则的（实部）最小值为 ． 【答案】 【分析】设，利用已知条件可得，再由柯西不等式得，结合，解不等式可得答案. 【详解】设， 因为，所以， 又， 所以，可得， 所以， 两式相加得， 即，， 又因为，当且仅当等号成立， 所以，即， ，可得， 可得，或， 由得，解得， 由得，解得， 所以； 由得，解得， 由得，显然，故， 解得，所以， 综上所述，， 则的（实部）最小值为. 故答案为：. 二、解答题 9．在中，求的最大值的取等条件. 【答案】， 【分析】先分析得最大，再利用和差化积公式得到，再利用换元法构造函数，，结合导数研究得最大值，从而得解. 【详解】显然要使取最大值，则最大， 所以，都为锐角，，， 由于， 所以， 则，当时，取等号； 令，，构造函数，， 所以， 令，解得：或(舍去)， 因为，所以，且， 当时，，在单调递增； 时，，在单调递减； 所以当时，即，， 所以当，时，取得最大值. 10．数列的前项和，满足，若，求的值，使得取最小值． 【答案】4 【分析】由递推关系求 ，求通项 ，进而计算的前面几个值，猜测分析证明结论. 【详解】给定的递推关系是：， 可以改写为：， 两边同时除以 ：， 令 ，则递推关系变为：， ， ，因此：. 于是：， 根据 ： ， 验证 ：， 但题目给定 ，所以：， 所以. 计算几个 的值：，，，，，, 观察数值， 在 时取得最小值. 对于， 的值增大（从负到正），因此 时取得最小值. 11．将10个不同的球放入编号1，2，3的3个盒子，要求每个盒子内的球数不少于盒的编号，求放法总数. 【答案】34800 【分析】方法一：利用不定方程结合隔板法得到解的个数，然后利用排列数消序计算即可； 方法二：利用容斥原理来求解计算； 方法三：利用构造多项式展开式来研究对应项系数来求解计算 【详解】法一（不定方程）：设盒子1放个球，盒子2放个球，盒子3放个球， 由已知得，，，且， 令，，， 则原方程变为，即， 其非负整数解为.但因球是不同的， 故对每个解的放法种数又为， 其中，（，，），枚举如下15种： ，，，，，，，，，，，，，，， 计算15次并求和，可得放法总数为34800. 法二（容斥）：总放法有，盒子1的球数0个时有，盒子2的球数是0、1个有，盒子3的球数是0、1、2个时有， 盒子1球数是0且盒子2球数时，有，盒子1球数是0且盒子3球数时， 有，盒子2球数且盒子3球数时，有，三个盒子球数都小于编号时，有0个， 由容斥公式可得总放法种数为 . 法三（指数型生成函数）：展开式的系数 由得，展开化简得 ， 其中的系数为 得的系数为 【点睛】方法点睛：这类问题不好用分类或分步方法能解决的，需要构造多项式展开式，需要用到容斥原理，需要用到隔板法. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高中数学强基计划模拟卷（二） 一、填空题 1,过点P4,4作抛物线=4r的切线交'轴于点O,焦点为F,则四边形OFP的面积为一 2.已知r+m+9+r=0在0,2)上三个不等实根，则P+g+”的可能取值为一 b-a 3.已知函数f(x)=a2+bx+cb>a,对于x∈R'f≥0恒成立，求a+b+e的最大值是一 4.若函数)=++2有一个二重零点，则a的所有可能取值是一 5.己知正整数a,b,c满足 0a+1h+12c=123,则a6,o 的组数是一 6.m'n'a6为排负整数，对任意x>0,+)少+1=+ xm x 。恒成立，则所有的非负整数对，m,b,a)为一 1/4 7.设1-x)展开式为名 学1= ,则a一 8.u+v+w=1+i,“、y、”是复数，且叫=州=网=1，则尼“的（实部）最小值为一 2/4 二、解答题 9.在△ABC中，求2sinA+sinB+sinC的最大值的取等条件. Sa 10.数列a,的前n项和S,满足nS,=(n+S+2mn2-,若a=-50,求n的值，使得a,取最小值. 3/4 11.将10个不同的球放入编号1,2,3的3个盒子，要求每个盒子内的球数不少于盒的编号，求放法总数. 4/4