2026年高中数学竞赛模拟卷（四）（11题版）

2026年高中数学竞赛模拟卷（四） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考生注意: 1、本试卷共二个大题(11个小题)，全卷满分120分. 2、用黑色的钢笔或签字笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器. 一、填空题：本题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1．已知，如果有且仅有四个不同的复数，同时满足和，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复数模的运算性质，再数形结合，转化为三次函数来研究即可. 【详解】由可得， 又由可得，复数在复平面上对应的点在单位圆上， 设单位圆上动点，，，则表示长度，表示长度， 即，又因为，所以， 令，可设， ，令，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 由，，， 所以当时，在有两解，即在轴上方一定存在两个复数对应的点满足条件， 再利用圆关于轴对称，所以在轴下方也一定存在两个复数对应的点满足条件， 综上此时有四个不同的复数， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用数形结合，把问题转化为，再利用消元，然后再利用函数求导来研究值域，即可求得的范围. 2．已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再将不等式转化为，再将不等式，转化为，利用基本不等式求最值，即可求解. 【详解】因为的定义域为， ， 所以为奇函数.因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 所以在上单调递增. 因为为R上的奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以不等式即为，则. 因为，所以，即. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数奇偶性和单调性，利用函数的单调性，解抽象不等式. 3．已知正方形的边长为，两个不同的点M，N都在的同侧（但M和N与A在的异侧），点M，N关于直线对称，若，则点到直线的距离的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，即可得到直线、的方程，设，根据点关于直线对称的计算方法求出点坐标，再根据，则，即可得到、的关系，最后根据、在的同侧得到不等式，求出的取值范围，即可得解； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，，所以直线的方程为，直线的方程为， 设，关于对称点， 则，解得，即， 所以，， 当，则，， 此时，此时不成立， 所以， 所以，即， 所以， 又、在的同侧，所以， 即，即，所以， 即点到直线的距离的取值范围为； 故答案为： 4．已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由三角形内切圆的性质结合椭圆的定义可得，再结合条件可得，，然后在与中，结合余弦定理列出方程，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设的内切圆与相切于点， 由切线长定理可得， 又，则，即， 由椭圆的定义可得， 即， 所以，又，即，所以， 则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 化简可得，即，即， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 利用三角形内切圆的性质和椭圆的定义，得到，从而得到的值. 5．已知数列满足：对任意，，且，，其中，则使得成立的最小正整数为 . 【答案】298 【解析】先求出，确定是以3为首项，1为公差的等差数列，求出，从而，求出，最后通过求解，得出正整数的最小值. 【详解】，所以， 由，得， ， 即， 数列是首相为，公差为1的等差数列， ， 又，，， 从而， ， 令，解得，又，的最小值为298， 故答案为：298. 【点睛】本题考查了三角函数的求导、等差数列的定义、同角三角关系式以及根式不等式的求解，属于综合题，难度较大. 6．3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是 ．（用数字作答） 【答案】168． 【分析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；据此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置， 若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置， 可分4种情况讨论： ①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置， 若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有种排法， 若乙在6号位置，有种排法， 由分类计数原理可得，共有种排法； ②当甲在5号位置，同理①，有36种排法； ③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置， 若乙在1号位置，有种排法， 若乙在5号位置，有种排法， 若乙在6号位置，有种排法， 由分类计数原理可得，共有种排法； ④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有种不同的排法； 故答案为168． 【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理综合应用，本题解题的关键是在计算时，合理分类做到不重不漏，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 7．正方体的棱长为，为侧面内的动点（含边界），若、分别与直线所成角的正切值之和为，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】利用异面直线所成角的定义可得出，利用余弦定理结合三角形面积公式可求出面积的最大值及其点的位置，可得出三棱锥体积的最大值，然后建系，设球心为，根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心的坐标，可求出外接球的半径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】在正方体中，， 所以与直线所成角为，与直线所成角为， 因为平面，平面，所以， 所以，同理， 由题意可知，可得， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，由余弦定理可得 ， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，此时为等腰直角三角形， 因为，此时点， 易知点、、， 设三棱锥的外接球球心为， 由可得，解得， 即点，此时三棱锥的外接球半径为， 故其外接球的表面积为. 故答案为：. 8．一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生:有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，有的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则至多为 . 【答案】 【分析】若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为，由题知，，由于，则，得. 【详解】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为， 那么若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为. 由题知，， 从而有，即， 由于，则，得.故至多为. 故答案为： 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.其中 9 题 16 分，10 题 20 分，11 题 20 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)设；若是方程的两个不同实根，求证： (3)若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分别求解与，结合点斜式求解曲线的切线斜率； （2）令，可得，设，于是可将证明不等式转化为证明，构造函数，求导确定单调性从而证得结论； （3）令，将已知不等式转化为，由函数的单调性可得，讨论，，验证不等式是否恒成立，从而得实数的取值范围． 【详解】（1）由题意可知当时，， 则点， ，所以， 所以在处的切线方程为，即； （2）证明：由题意知， 令，又， 即，所以， 所以，设函数， 则， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 欲证，即证， 不妨设，则，则， 令， 由 ， 所以在上单调递减，， 所以，即 又在上单调递增，所以，即， 故得证； （3）恒成立等价于， 令，上述不等式化为 令，则该函数单调递增， 即， 所以， 若，取，显然，与题设矛盾； 若，取，有，也与题设矛盾； 所以，则， 不妨设， 则 当时，， 所以在上单调递增，则，此时满足， 当时，令， 则 ， 由导数的意义可知在的极小的区域内值为负，则取，有，与题设矛盾； 综上所述： 【点睛】方法点睛:本题的关键方法是利用分析法，将需要证明得不等式与已知的关系式相结合，得到新的需要证明得不等式，然后利用作差法构建函数，由函数的导数求函数的最小值. 10．已知抛物线及点，直线过点且相交于两点，与相交于两点，过分别作抛物线切线，过两点的切线相交于点，过两点的切线相交于点. (1)已知的轨迹是同一条直线，求直线的方程. (2)求线段的最小值. (3)求四边形面积S的取值范围. (注: （1） 若点是抛物线 上一点，则过的抛物线的切线方程为 （2） 若点 是抛物线外一点，过作抛物线的切线，切点分别是，则直线方程为) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用抛物线的切点弦方程结合同解方程计算即可； （2）利用两直线垂直得出，结合两点间距离公式及基本不等式计算即可； （3）联立与抛物线方程结合弦长公式得出，同理计算，根据的关系结合二次函数的性质计算即可. 【详解】（1）设，由题意可知， 又交于，即， 即都是方程的解，所以都在直线上， 所以直线的方程为； （2）易知斜率都存在且不为0，由上可知，则， 又 ， 当且仅当时取得等号，所以； （3）由（1）知，与抛物线方程联立有， 可得，所以， 则， 同理可得，因为， 所以 易知，当且仅当时取得等号， 可设，则. 所以. 11．实系数一元三次方程，在复数集内的根为，方程可变形为，展开可得如果一元次方程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立． (1)已知方程有三个根，其中一个为1，求方程的另两个根； (2)设三个顶点在复平面内对应的复数分别为，满足，求内切圆半径； (3)记区间的长度为，若关于的不等式：的解集为，求中所有区间的长度之和（结果用表示）． 【答案】(1)2，3． (2) (3) 【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可； （2）设，由可知计算可得，得出三角形三个点的坐标，利用等面积法计算即可求得内切圆半径； （3）设，可确定在每一段区间内单调递减，可确定直线与曲线的交点区间，可知不等式的解集为，结合韦达定理可求得所有区间长度之和. 【详解】（1） 利用根与系数的关系可得：，解得． （2）根据三次方程根与系数的关系可知，为的三个根，首先必定有一个为0， 不妨设，则为的两个根， 分解因式得，所以， 所以三角形的三个顶点为， 设三角形内切圆的圆心为，半径为， 则三角形的面积， 即． 因为， 所以． （3）设函数． 反比例函数只存在递减区间，所以只存在递减区间， 故函数在上递减， 易得为函数图象的渐近线． 所以函数的图象与直线相交于个点． 这些点的横坐标为， 它们即为方程的所有解． 故由图象得，原不等式的解集为，    故解集中有个区间，所有区间长度之和为， 联系韦达定理： 可得一个关于的一元次方程，由韦达定理，只需考虑项与项的系数， 易得最高次项的系数为，项的系为，即． 所以有． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解韦达定理的形式，将所求区间长度转化为求解一元高次方程根与系数关系的问题，从而利用韦达定理求得结果. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高中数学竞赛模拟卷（四） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考生注意: 1、本试卷共二个大题(11个小题)，全卷满分120分. 2、用黑色的钢笔或签字笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器. 一、填空题：本题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1．已知，如果有且仅有四个不同的复数，同时满足和，则的取值范围是 . 2．已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 3．已知正方形的边长为，两个不同的点M，N都在的同侧（但M和N与A在的异侧），点M，N关于直线对称，若，则点到直线的距离的取值范围是 . 4．已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为 ． 5．已知数列满足：对任意，，且，，其中，则使得成立的最小正整数为 . 6．3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是 ．（用数字作答） 7．正方体的棱长为，为侧面内的动点（含边界），若、分别与直线所成角的正切值之和为，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 . 8．一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生:有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，有的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则至多为 . 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.其中 9 题 16 分，10 题 20 分，11 题 20 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)设；若是方程的两个不同实根，求证： (3)若对任意，都有，求实数的取值范围． 10．已知抛物线及点，直线过点且相交于两点，与相交于两点，过分别作抛物线切线，过两点的切线相交于点，过两点的切线相交于点. (1)已知的轨迹是同一条直线，求直线的方程. (2)求线段的最小值. (3)求四边形面积S的取值范围. (注: （1） 若点是抛物线 上一点，则过的抛物线的切线方程为 （2） 若点 是抛物线外一点，过作抛物线的切线，切点分别是，则直线方程为) 11．实系数一元三次方程，在复数集内的根为，方程可变形为，展开可得如果一元次方程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立． (1)已知方程有三个根，其中一个为1，求方程的另两个根； (2)设三个顶点在复平面内对应的复数分别为，满足，求内切圆半径； (3)记区间的长度为，若关于的不等式：的解集为，求中所有区间的长度之和（结果用表示）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $