专题07 解析几何（直线与圆、椭圆双曲线抛物线）专项训练-【备战2026年高中数学竞赛+强基计划】（竞赛+强基考前专用）

专题07 解析几何（直线与圆、椭圆双曲线抛物线） （真题专项训练） 强基计划真题专项训练 一、单选题 1．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 2．（24-25高三下·北京·强基计划）正方形，点满足，则的可能取值为（    ）． A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．1，3 二、多选题 3．（23-24高三下·全国·强基计划）抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（    ） A．． B．的最大值为16． C． D． 4．（23-24高三下·全国·强基计划）直线l：，，，，下列选项中正确的有（    ）． A．若，则l与射线PQ相交 B．若，则l与射线PQ平行 C．若，则l与射线PQ垂直 D．若x存在，则Q在l上 5．（23-24高三下·全国·强基计划）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点两点，l过B且与抛物线在A处的切线平行，l交抛物线与另一点，交y轴于E点，则下列选项中正确的有（    ）． A． B． C．面积的最小值为16 D． 三、填空题 6．（23-24高三下·全国·强基计划）直线与双曲线的交点个数是 ． 7．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）双曲线，过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A，B，C，D，若ABCD构成正方形，求双曲线的离心率为 . 8．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为 . 9．（23-24高三下·全国·强基计划）双曲线，斜率为的直线与交于两点，点在上，且，的外心为，的重心为，的重心为，，则的离心率 ． 10．（23-24高三下·全国·强基计划）双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为 ． 11．（23-24高三下·全国·强基计划）在平面直角坐标系内，，，若的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为 ． 四、解答题 12．（23-24高三下·北京·强基计划）在离心率为的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求. 13．（24-25高三下·全国·强基计划）已知圆和轴相切，且和相切于，求圆的半径． 14．（22-23高三·北京·强基计划）椭圆为左焦点，为椭圆上两点且，求直线的斜率的范围． 15．（24-25高三下·全国·强基计划）已知直线和的交点都是整点．则满足的直线有几条． 16．（24-25高三下·山东·强基计划）已知椭圆：，，为椭圆上两点，为原点，有，求最小值. 数学竞赛真题专项训练 五、单选题 17．（2024高三下·全国·竞赛）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 18．（2024高三上·全国·竞赛）设椭圆的左､右焦点为，椭圆上一点和平面一点满足，则的最大值与最小值之和是（    ） A．48 B．50 C．52 D．54 19．（2024高三下·全国·竞赛）记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（2024高三上·全国·竞赛）设焦距相同的椭圆和双曲线相交于分别位于第一象限､第二象限的两点，两圆锥曲线的公共左焦点为，则的值是（    ） A． B． C． D． 21．（2024高三下·全国·竞赛）给定椭圆：（其中）和直线：交于点、（其中点的横纵坐标分别满足，），点M、N分别为椭圆T的右焦点和右顶点，若直线平分线段，且的长度为4，则的值为（    ） A．14 B．68 C．40 D．49 22．（2023高三下·全国·竞赛）设圆的圆心为，点，，为直线上一点．若圆上存在两点A，B，使得点满足，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 六、多选题 23．（2024高三上·全国·竞赛）设双曲线，则（    ） A．的实轴长为2 B．的焦距为4 C．的离心率为2 D．的渐近线方程为 24．（2023高三下·全国·竞赛）设直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线分别交轴，轴于点，，并记点．下列命题中正确的是（    ） A． B．是与的等比中项 C．存在定点，使得为定值 D．存在定点，使得为定值 七、填空题 25．（2024高三上·全国·竞赛）椭圆经过双曲线的焦点，则 ． 26．（2025高三下·重庆·竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为 . 27．（2024高三下·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知抛物线：和它的两个零点（点在点的左侧），点是第一象限中的图象上一动点，设直线和直线分别交轴于点，若，则的值为 . 28．（2024高三上·全国·竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为 ． 29．（2024高三下·全国·竞赛）若椭圆与圆有交点，则的最小值是 ． 30．（2024高三上·全国·竞赛）设双曲线Γ:，，B，C在Γ上且直线经过A.设分别为Γ在B，C处的切线，点D满足，则D的轨迹方程是 ;若D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是 .(写出1个即可). 八、解答题 31．（2024高三下·上海·竞赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 32．（2025高三下·重庆·竞赛）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 33．（2023高三下·全国·竞赛）设点在抛物线上，的焦点为．、为过的两条倾斜角互补的直线，且、与的另一交点分别为、．已知直线的斜率为． (1)求直线的斜率； (2)记、与轴的交点分别为、．设和分别为和的面积，当时，求的取值范围． 34．（2024高三上·全国·竞赛）已知A是抛物线上一点（异于原点），斜率为的直线与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行）． (1)当时，求点A的纵坐标； (2)斜率为的直线与抛物线交于B，C两点，且是正三角形，求的取值范围． 35．（2024高三上·全国·竞赛）17世纪德国天文学家约翰内斯·开普勒提出描述行星运动的三大基本定律： (a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内； (b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等. (c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比. 开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a，b，，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于，地球的公转轨道可近似看成圆，火星的公转轨道可近似看成圆，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示.    (1)计算霍曼转移轨道E的离心率.(参考数据：，计算结果保留两位小数) (2)设天问一号位于E上的一点P，当P不在上时，上存在依赖于P的两点A，B，使得为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆，使得直线AB恒与相切？证明你的结论. 36．（2024高三上·北京·竞赛）在平面直角坐标系xOy中，方程表示椭圆，求m的取值范围. 37．（2024高三下·上海·竞赛）求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆. 38．（2024高三下·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：. (1)若点在：上，记G的几何中心为点，则当取得最大值时，求点的坐标. (2)已知动点、在C上，分别过、作抛物线的切线、，设和相交于点T，若点T恒在直线：上，求证：直线经过定点. (3)将绕原点顺时针旋转90°得到，给定点，上有四点、、、，满足，、均三点共线，且、都在x轴上方，设线段和的中点分别为T、S，试判断：直线是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由. 39．（2024高三上·全国·竞赛）已知抛物线的焦点关于原点的对称点是为为圆心，为半径的圆.直线是过上异于原点的一点的的切线，切点为. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 40．（2024高三下·全国·竞赛）设双曲线的渐近线为． (1)上是否存在横纵坐标都是整数的点？证明你的结论． (2)设上有共圆的四点，其中在左支上，在右支上，．记的外接圆为，的外接圆为，设，，证明：． 41．（2024高三下·全国·竞赛）如图，已知二次函数：经过点，，，点P是第一象限内抛物线上一点，设点P关于直线的对称点为点Q.作轴于点D，连接，点M是位于抛物线对称轴右边的线段上一点，连接.若有，.    (1)求C的解析式. (2)求M点的坐标. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解析几何（直线与圆、椭圆双曲线抛物线） （真题专项训练） 强基计划真题专项训练 一、单选题 1．（23-24高三下·福建厦门·强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解. 【详解】 显然直线，上无整点， 当，，有1个点； 当，，有1个点； 当，，有2个点； 当，，有3个点； 当，，有3个点； 当，，有4个点； 当，，有5个点； 当，，有5个点； 当，，有6个点； 当，，有7个点； 得到37个整点. 故选：C. 【点睛】利用数形结合的方法进行求解. 2．（24-25高三下·北京·强基计划）正方形，点满足，则的可能取值为（    ）． A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．1，3 【答案】B 【分析】根据题意建立坐标系，由，即，然后分别可得点的轨迹方程，再利用赋值验证法分别分析是否符合题意即可. 【详解】设点，以为原点建立坐标系， 不妨设正方形边长为1，则， 又，所以，， 即，整理得：， 此时点在以为圆心，半径为的圆上， 又，所以， 当时，此时点在的垂直平分线上， 代入中，得， ，方程无解，所以不符合题意； 当时，整理得：， 此时点在以为圆心，半径为的圆上 要使这样的点存在，则圆与圆要有交点， 当时，， 此时，，故符合题意； 当时，， 此时，，故符合题意； 当时，， 此时，，圆与圆内含，故不符合题意； 综上，或符合题意. 故选：B. 二、多选题 3．（23-24高三下·全国·强基计划）抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（    ） A．． B．的最大值为16． C． D． 【答案】CD 【分析】对于，设直线的方程为，联立抛物线方程用韦达定理即可判断； 对于，求导得，则直线的斜率为，进而可得直线的方程，联立抛物线方程用韦达定理即可判断； 对于，过作轴平行线交于，结合选项知，的面积等于的2倍，根据直线的方程可得，可求，进一步可求得，利用基本不等式结合即可判断． 对于，由直线的方程可得坐标，进一步可得，即可判断； 【详解】 如图所示，切线记为，记为． 对于，直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，消去得，， 所以，故，故错误； 对于，因为，所以，则直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 联立，消去得，故，故正确； 对于，不妨设，过作轴平行线交于，根据选项知，的面积等于的2倍．（下面证明一下）, ，，由D选项的证明知道，则 直线的方程为，当时，， 故，由选项知， 故 ，当且仅当，即时取等号， 即，所以，故错误． 对于，由直线的方程可得，，， 所以，故正确； 故选：CD. 4．（23-24高三下·全国·强基计划）直线l：，，，，下列选项中正确的有（    ）． A．若，则l与射线PQ相交 B．若，则l与射线PQ平行 C．若，则l与射线PQ垂直 D．若x存在，则Q在l上 【答案】AB 【分析】若，则，或，根据点与直线的位置关系判定A；若，则，进而得到，根据两直线斜率的关系判断B；为两点到直线的距离，判断C；点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而判断D． 【详解】若，则，或， 即点在直线的同侧，且直线与线段不平行．故A正确； 若，则，即， 若，则，过两点的直线与直线斜率都不存在，故平行， 若，则，，即过两点的直线与直线平行，故B正确； 因为，即为两点到直线的距离， 若，则，即两点到直线的距离相等，且直线l两侧， 但l与射线PQ不一定垂直，即C不正确； 若点在直线上，则， 结合题设及分母不为0，不存在实数，使点在直线上，故D不正确. 故选：AB 5．（23-24高三下·全国·强基计划）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点两点，l过B且与抛物线在A处的切线平行，l交抛物线与另一点，交y轴于E点，则下列选项中正确的有（    ）． A． B． C．面积的最小值为16 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，求出点A处的切线方程，从而可求出直线l的方程，化简后利用根与系数的关系判断，对于B，由直线l的方程可表示出点的坐标，由直线AB的方程表示出点的坐标，再结合抛物线的定义分析判断，对于C，表示出点到直线的距离，表示出弦长，从而可表示出的面积，化简结合基本不等式分析判断，对于D，由化简判断. 【详解】对于A，点A处的切线方程为，斜率为， 所以直线l的方程为代入，并化简得， 该方程的解为，，由韦达定理可知，A选项错误， 对于B，设E（0，），代入可解得， 因为，所以直线为， 化简得，该直线过点F（0，1），∴， ∴，又∵，，∴，B选项正确， 对于C，直线l的方程可化为，即， ∴的面积 ，当且仅当时可以取等号，C选项正确， 对于D，，D选项正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的理解，考查抛物线中三角形的面积问题，考查抛物线的切线问题，解题的关键是根据题意表示出切线方程，从而可表示出直线的方程，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题. 三、填空题 6．（23-24高三下·全国·强基计划）直线与双曲线的交点个数是 ． 【答案】0，1，2 【分析】利用一元二次方程解的个数就可以判断方程组解的个数即可. 【详解】因为直线是二元一次方程，双曲线是二元二次方程， 所以它们联立方程组，利用二元一次方程代入消元后，得到的是关于的一元二次方程， 根据一元二次方程解的个数为0，1，2， 则可以判断方程组解的个数也为0，1，2， 即它们的交点个数就为0，1，2． 故答案为：0，1，2. 7．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）双曲线，过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A，B，C，D，若ABCD构成正方形，求双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意表示出，再由化简可求出离心率. 【详解】， 当时，，， 则，所以， 所以， 因为为正方形，所以， 所以，化简得 所以， 所以，解得， 因为，所以 故答案为： 8．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】利用导数求出点处切线的斜率，即可得到切线方程，从而求出点坐标，再求出焦点坐标，即可得到四边形的面积. 【详解】当时，，则，则， 所以切线方程为，即， 令，解得，所以，又抛物线的焦点， 所以. 故答案为： 9．（23-24高三下·全国·强基计划）双曲线，斜率为的直线与交于两点，点在上，且，的外心为，的重心为，的重心为，，则的离心率 ． 【答案】 【分析】先确定外心的坐标，然后利用重心坐标公式求出的坐标，再利用已有的集合关系得到，最后即可相应确定. 【详解】 设，，. 由于，故的外心就是线段的中点，即. 而三角形重心的坐标就是三个顶点的平均值，故，. 所以. 而都在上，，故，. 这就得到. 而的斜率为，故，所以. 由又可以得到，，. 从而，，. 故，所以. 这就得到，所以离心率. 故答案为：. 10．（23-24高三下·全国·强基计划）双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由中点弦的结论可得，，又，可得，即可得到双曲线的离心率. 【详解】在中，取中点，由P为的重心，则P在上， 设，则， 则有， 两式作差得，， 可得， 则 则，即， 同理可得，， 又，所以，又， 可得， 所以，进而． 故答案为：. 11．（23-24高三下·全国·强基计划）在平面直角坐标系内，，，若的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为 ． 【答案】60 【分析】设，由题意可得直线OA的方程为，表示出的面积，设，，则代入化简讨论即可. 【详解】设，直线OA的方程为，即， ， 设，则，， 代入并化简得， 当时，三点不能组成三角形，舍去； 当时，，，有5个整点； 当时，，，有5个整点； 当时，，，有5个整点； 当时，，，有5个整点； 当时，，，有5个整点； 当时，，，有5个整点； 根据对称性，当时，也分别有5个整点． ∴共有60个整点． 故答案为：60 【点睛】关键点点睛：此题考查点到直线的距离公式的应用，解题的关键是根据题意表示出的面积，由的面积不超过3，列不等式讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题. 四、解答题 12．（23-24高三下·北京·强基计划）在离心率为的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求. 【答案】 【分析】根据离心率确定，根据椭圆定义及求出，在中，由余弦定理求得，再计算面积即可. 【详解】由题意得，即， 由椭圆定义知，，又，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 所以.    13．（24-25高三下·全国·强基计划）已知圆和轴相切，且和相切于，求圆的半径． 【答案】或 【分析】设圆的圆心为，则其半径，确定曲线在点处的切线方程，从而圆心到此切线的距离等于半径及圆心到切线的直线的斜率为，联立可得的值，从而得圆的半径． 【详解】设圆的圆心为，依题意可知，其半径， 在处的切线的斜率为， 故曲线在处的切线方程为：，即， 由于圆心到此切线的距离等于半径，故：， 即或， 又因为圆心到切线的直线的斜率为，故：， 即， 联立解得； 联立解得； 故半径为或. 14．（22-23高三·北京·强基计划）椭圆为左焦点，为椭圆上两点且，求直线的斜率的范围． 【答案】 【分析】 利用三角换元结合三角变换公式及余弦函数值域可求斜率的范围. 【详解】由题意可知：，设. 设，， 故，故， 故，同理，其中， 故. 而， 故 故 ， 整理得到：， 而， 故且， 故且， 整理得到： 且， 因为，故由可得， 而，且， 故，又， 故即， 故，所以. 【点睛】思路点睛：当点在椭圆上变化时，我们可以利用三角换元把点的坐标表示为三角函数，再结合三角变换公式和三角函数的性质来某些目标代数式的范围. 15．（24-25高三下·全国·强基计划）已知直线和的交点都是整点．则满足的直线有几条． 【答案】 【分析】先求出圆上的整数点，再用表示这些整数点中的不同两点， 求出直线方程，进而得出，再逐一代入检验. 【详解】圆上的整数点有，，，， 用表示这些整数点中的不同两点， 则直线与为同一直线， 因，则与轴交点为，与轴交点为， 故由形成的直线的斜率必然存在且不为，且不过原点， 因， 令，得；令，得， 则，， 则 条 符合 符合 符合 由于对称性可知，同上共条 由对称性可知，同上共条 共条 符合 符合 符合 符合 由对称性可知，同上共条 综上可知，符合题意的直线共条. 16．（24-25高三下·山东·强基计划）已知椭圆：，，为椭圆上两点，为原点，有，求最小值. 【答案】 【分析】通过设椭圆上两点的坐标，代入椭圆方程，进而得出与三角形面积相关的表达式，再利用三角函数的性质求面积的最小值. 【详解】设，因，根据两垂直直线斜率乘积为-1， 设. 把代入椭圆方程，得到， 化简变形可得：. 把代入椭圆方程，得到， 变形可得：. 因为，根据三角形面积公式，可得 又 因为， 所以. 因为正弦函数值域为，所以. 当时，取最小值，即 故最小值为：. 数学竞赛真题专项训练 五、单选题 17．（2024高三下·全国·竞赛）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把抛物线可化为，再根据图象平移规律可得答案. 【详解】抛物线可化为， 因为其图象是把的图象上的点先向左平移个单位， 再向上平移个单位得到的， 且的焦点坐标为，根据上面平移规律可得， 的焦点坐标为即为. 故选：A. 18．（2024高三上·全国·竞赛）设椭圆的左､右焦点为，椭圆上一点和平面一点满足，则的最大值与最小值之和是（    ） A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】B 【分析】设,根据，求得，利用两点间的距离即可求出答案. 【详解】可以设，因为，，得到，所以， 那么， 所以，最小值和最大值之和为. 故选：B 19．（2024高三下·全国·竞赛）记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出直线所过定点分析可知，求出点的轨迹方程，再应用直线和圆的位置关系判断即可. 【详解】直线与直线的交点的轨迹为， 直线方程可化为， 由可得，所以直线过定点， 直线方程可化为， 由可得，所以直线过定点， 设线段的中点为，设点，因为，则两直线垂直，即， 由直角三角形的几何性质可得， 即，化简可得， 所以点的轨迹为圆（除去点）， 直线过定点，在轨迹上， 直线与圆相切时，直线与恰有一个交点，此时, 直线经过时，直线与恰有一个交点，此时, 过圆上的一点做切线只有一条故使得直线与恰有一个交点的的个数是2个. 故选：C. 20．（2024高三上·全国·竞赛）设焦距相同的椭圆和双曲线相交于分别位于第一象限､第二象限的两点，两圆锥曲线的公共左焦点为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设右焦点，则，结合椭圆与双曲线的定义计算即可求解. 【详解】椭圆的半焦距为，则， 所以，设右焦点，则， 所以. 故选：D 21．（2024高三下·全国·竞赛）给定椭圆：（其中）和直线：交于点、（其中点的横纵坐标分别满足，），点M、N分别为椭圆T的右焦点和右顶点，若直线平分线段，且的长度为4，则的值为（    ） A．14 B．68 C．40 D．49 【答案】B 【分析】设，根据题意可得的中点在直线PM上，即可将的中点坐标代入直线PM方程，化简可得，结合的长度为4，求出，即可求得答案. 【详解】由题意可知P点在第二象限，则Q在第四象限，设， 结合题意知，且， 由于直线平分线段，故的中点在直线PM上， 直线PM的方程为，将的中点坐标代入， 得，化简可得，结合， 解得，故， 故， 故选：B 22．（2023高三下·全国·竞赛）设圆的圆心为，点，，为直线上一点．若圆上存在两点A，B，使得点满足，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，利用平面向量的基本运算化简得到，根据为圆上两点圆上的两点得到的范围，设点，代入不等式中，求出的取值范围，要求解得面积，则求出点到直线的距离，及的长，利用三角形面积公式结合参数的取值范围即可解决问题. 【详解】由题意如图所示： 因为， 所以， 所以， 因为为圆上两点，且圆的圆心半径为， 所以， 所以， 因为为直线上一点，所以设，且 所以有， 解得：， 又，所以， 所以， 所以点到直线的距离为： ， 因为，所以， 又， 所以 所以， 面积的取值范围为：. 故选：A. 六、多选题 23．（2024高三上·全国·竞赛）设双曲线，则（    ） A．的实轴长为2 B．的焦距为4 C．的离心率为2 D．的渐近线方程为 【答案】AD 【分析】由题意得，由此即可逐一判断每一选项. 【详解】由题意，所有， 所以的实轴长为2，的焦距为，的离心率为，的渐近线方程为. 故选：AD. 24．（2023高三下·全国·竞赛）设直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线分别交轴，轴于点，，并记点．下列命题中正确的是（    ） A． B．是与的等比中项 C．存在定点，使得为定值 D．存在定点，使得为定值 【答案】ABC 【分析】联立方程组，得到，即可根据已知得出，化简为，而时不满足题意，则，即可证明选项A； 由，，求出切点横坐标，即可得出切点坐标，再根据已知设出过且垂直于的直线为：，即可代入得出，再通过已知，，得出，即可得出，即可求出、与，即可验证选项B； 得出，，即可代入曲线化简，得出的轨迹为双曲线的一只，即可根据双曲线的定义验证选项C与D. 【详解】对于选项A： 联立方程组，消去得：， 直线与曲线相切于点， ， 即， 则， 若时，即，直线与曲线无法相切， ，则， 故选项A正确； 对于选项B： 设切点， ，， 解得：， 则， 即， 过且垂直于的直线为：，即， 代入点得：， 则，解得：， 过且垂直于的直线分别交轴，轴于点，， ，即， 则， 则，，， 则， ， ， 则， 故是与的等比中项， 故选项B正确； 对于选项C与选项D： ，，则， ，，则， 在曲线上，代入化简得：， 则当为双曲线的焦点时，为定值4，无法确定， 故选项C正确，选项D错误， 综上所述：选项ABC正确， 故选：ABC. 七、填空题 25．（2024高三上·全国·竞赛）椭圆经过双曲线的焦点，则 ． 【答案】1 【分析】将双曲线的焦点坐标代入椭圆方程，解方程求得的值即可. 【详解】由题可得双曲线的焦点坐标为，代入椭圆方程得，解得. 故答案为：1 26．（2025高三下·重庆·竞赛）已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设点及，再应用双曲线定义结合边的关系计算求解，最后计算离心率即可. 【详解】不妨在双曲线靠近的这一支上，取中点，则. 设，由双曲线的第一定义知， 从而. 由知，可得. 又由及可得， 解得. 于是，可得离心率. 故答案为：. 27．（2024高三下·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知抛物线：和它的两个零点（点在点的左侧），点是第一象限中的图象上一动点，设直线和直线分别交轴于点，若，则的值为 . 【答案】3 【分析】设，，点在抛物向上，求得直线和直线的方程进而解得点，，再计算得到的值； 【详解】设， 由题意可知，，点在抛物向上， 直线和直线的斜率一定存在， 则直线为，得； 直线为，得； 则 . 故答案为：3. 28．（2024高三上·全国·竞赛）设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】由题意得，，由此可得点坐标（用表示），结合斜率公式即可得解. 【详解】不妨设，又，由题意，， 解得，所以. 故答案为：. 29．（2024高三下·全国·竞赛）若椭圆与圆有交点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取点，圆心，求出直线与轴于，求出的距离，再利用托勒密不等式即可得到答案. 【详解】记椭圆两焦点，，圆心，为圆上一点， ， 不妨令，即，取， 易得直线，当时，， 记交轴于， 取为椭圆和圆的交点，，易知， ， 由托勒密不等式得 ， 而，故， ，即， 当且仅当与重合时取等号，.    30．（2024高三上·全国·竞赛）设双曲线Γ:，，B，C在Γ上且直线经过A.设分别为Γ在B，C处的切线，点D满足，则D的轨迹方程是 ;若D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是 .(写出1个即可). 【答案】 （答案不唯一） 【分析】第一空：设方程为: ，联立双曲线方程得，进一步设方程为: ，方程为:，由交轨法即可得点的轨迹方程；第二空：设，其中由题意，即满足注意到若 是的一组解: 则也是 的一组解.由此即可进一步得解. 【详解】设方程为: ，联立双曲线方程得， ， 显然上任意一点的切线斜率存在，不妨设切线方程为， 联立双曲线方程得，化简并整理得， 所以，解得， 所以方程为: ，方程为:，   联立解得 ， ， 注意到 故 而时，, 此时, 故不在 D 的轨迹上. 从而 D 的轨迹方程是 或写成 若 D 的横纵坐标均为正整数，可设  从而 x 是 3的倍数, 可设, 于是显然是的一组解, 同时注意到若 是的一组解: 则也是 的一组解. 从而可以得出一系列的解: ， 而 ，故可取, 此时, 符合要求. 故答案为：； (627,1813)（答案不唯一）. 【点睛】关键点点睛：第一空的关键是得出方程为: ，方程为:，以及，由此即可顺利得解. 八、解答题 31．（2024高三下·上海·竞赛）在平面直角坐标系中，已知椭圆，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆内（包括边界）的一个动点. 若动点满足，求的最大值. 【答案】 【分析】先考虑的中点到原点的距离以及线段的长度，进而可将命题转化为求的最大值，最后可求出的最大值. 【详解】如图,记中点为，过点作轴的垂线，记垂足为， 因为点在以线段为直径的圆上,则 又,,即当点位于椭圆上时,取得最大值. 令,则点在椭圆上. 易知,等号成立时当且仅当. 于是椭圆上的点,除点外均在椭圆的内部. 综上所述,的最大值为. 故答案为：. 32．（2025高三下·重庆·竞赛）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为.若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 【答案】 【分析】需要排除x轴的情况，假设，坐标并根据，坐标表示出，坐标，写出直线和直线方程，由、在椭圆上可得，设出中点，结合相交弦定理和平行四边形性质或者过、、、四点的圆的方程得到，联立直线的方程和椭圆方程并根据韦达定理得到，在椭圆上，将的坐标代入椭圆方程即可解得实数的值. 【详解】若轴，则由四边形为平行四边形及椭圆的对称性知，、为椭圆长轴两端点， 故若、、、四点共圆，则圆心必为，即圆以为直径， 而、又在椭圆上，显然矛盾，故轴的情况不存在，即直线的斜率存在. 设，，则，. 设（其中），并设，. 由、在椭圆上可得，从而. 法一： 设中点为，由相交弦定理和平行四边形性质有和，，故,即， 于是可得① 及②， 由、、在椭圆上可得，，③， 于是有④， 结合①③④可得， 代入②可得，结合可得， 联立得，由韦达定理知， 进而， 注意在椭圆上，于是有，即， 即，解得. 法二： 由于、、、四点均满足和， 故过、、、四点的圆的方程为， 考察项的系数可知，结合可得. （下同法一） 33．（2023高三下·全国·竞赛）设点在抛物线上，的焦点为．、为过的两条倾斜角互补的直线，且、与的另一交点分别为、．已知直线的斜率为． (1)求直线的斜率； (2)记、与轴的交点分别为、．设和分别为和的面积，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点、、，则，利用斜率公式结合已知条件可求得的值，进而可得出点的坐标，由此可求得直线的斜率； （2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出，根据可求得的取值范围，求出、，可得出，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：设点、、，则， ，同理可得，， 因为直线、的倾斜角互补，则， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，，即点， 易知点，所以，直线的斜率为. （2）解：设直线的方程为， 联立可得， 则且，可得且， 由韦达定理可得，可得，整理可得，解得， 所以，， 此时，，同理可得， 所以，. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 34．（2024高三上·全国·竞赛）已知A是抛物线上一点（异于原点），斜率为的直线与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行）． (1)当时，求点A的纵坐标； (2)斜率为的直线与抛物线交于B，C两点，且是正三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，直线代入抛物线方程，根据方程有两个相等的实根即可求出，根据即可求解； （2）设直线，代入抛物线求出和的关系式，设直线，同理求出和的关系，不妨设A，B，C是绕着的重心逆时针排列，由求出和的关系式，据此即可求解. 【详解】（1）由题意可设，直线， 代入抛物线得， 由题意，方程有两个相等的实根，故，又， 所以点A的纵坐标； （2）    由题意可设直线， 代入抛物线得，故， 设直线，同理可得， 由知， 不妨设A，B，C是绕着的重心逆时针排列的，由知， 代入化简得， 由图易知时与同号， 当时如图，   点不存在，所以， 对于，想象这个图顺时针转了一个小角度，AC直线延长和抛物线的交点在轴下面，所以， 所以，又，进而， 代入化简得， 得， 当时，易知轴，B位于坐标原点，此时， 而均不符合题意，因此， 的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于不妨设A，B，C是绕着的重心逆时针排列，由求出和的关系式. 35．（2024高三上·全国·竞赛）17世纪德国天文学家约翰内斯·开普勒提出描述行星运动的三大基本定律： (a)行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内； (b)行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等. (c)行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比. 开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中.设a，b，，地球、太阳、火星均可视为点，太阳位于，地球的公转轨道可近似看成圆，火星的公转轨道可近似看成圆，且火星的公转周期约为地球公转周期的1.882倍.霍曼转移轨道E是以太阳所在位置为其中一个焦点，并且与均相切的椭圆.2020年，我国自主研制的火星探测器天问一号从地球发射，经霍曼转移轨道到达火星，如下图所示.    (1)计算霍曼转移轨道E的离心率.(参考数据：，计算结果保留两位小数) (2)设天问一号位于E上的一点P，当P不在上时，上存在依赖于P的两点A，B，使得为观测地球的最大视角(即地球不可能位于该角的外部)，问：轨道平面内是否存在定圆，使得直线AB恒与相切？证明你的结论. 【答案】(1) (2)存在，证明见解析. 【分析】（1）根据开普勒第三定律以及，结合离心率的计算公式即可求解， （2）根据切线方程可得，的方程，进而可得直线方程，根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）设分别为地球、火星的公转周期. 由开普勒第三定律得 ,又， ， 因此 （2）存在. 证明：设， 首先证明切点为,曲线的切线方程为， 设切线上任意不同于点的点， 由于,所以， 由于， 两式子相可加得，得证. 由与相切可知, 直线的方程为，(*1), 由与相切可知, 直线的方程为 (*2) 由于点在直线，上， 所以且， 因此均满足 所以直线的方程为                                               取， 则到的距离为 ， 接下来证明椭圆的焦半径公式： 对于椭圆的两焦点，相应的准线方程分别是和. ∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率， ∴同理有, 化简得 因此 故 故始终与圆相切. 【点睛】结论点睛：①切点为,曲线的切线方程为， ②椭圆的焦半径公式. 36．（2024高三上·北京·竞赛）在平面直角坐标系xOy中，方程表示椭圆，求m的取值范围. 【答案】 【分析】通过换元法，分离参数后根据椭圆的第二定义求解. 【详解】令，将原式整理为， 因此， 易知：其中分式为任意点到定直线距离与定点距离之比为定值， 由椭圆的第二定义知，， 所以，从而. 37．（2024高三下·上海·竞赛）求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆. 【答案】或4 【分析】当较为容易，需要证明时没有满足条件得正多边形. 【详解】当时,正三角形、正方形均能内接于椭圆(如图所示). 下面证明:当时,不存在椭圆的内接正边形. 设椭圆的方程为,正边形的外接圆方程为 （1）若,联立 ,这是一个关于的二次方程,它至多有两个实数根, 再由得方程组至多有4组实数解. （2）若,则 于是 因此, 这是一个关于的4次方程,它至多有4个实数根, 再由得方程组(**)至多有4组实数解. 综上,椭圆与正边形的外接圆至多有4个公共点,即当时,不存在椭圆的内接正边形. 所以满足题意的正整数. 【点睛】关键点点睛：关键是选取正多边形的外接圆与椭圆方程联立，通过方程解的个数来研究交点的个数，由此即可顺利得解. 38．（2024高三下·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：. (1)若点在：上，记G的几何中心为点，则当取得最大值时，求点的坐标. (2)已知动点、在C上，分别过、作抛物线的切线、，设和相交于点T，若点T恒在直线：上，求证：直线经过定点. (3)将绕原点顺时针旋转90°得到，给定点，上有四点、、、，满足，、均三点共线，且、都在x轴上方，设线段和的中点分别为T、S，试判断：直线是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)会，且该定点为 【分析】（1）借助圆的性质结合三角形两边之差小于第三边计算即可得； （2）设出、、的坐标后，结合导数的几何意义可得两切线方程，代入点的坐标后可得、均在直线上，即可得其定点； （3）得出的方程后，设出直线的方程，结合韦达定理可表示出其中点坐标，同理可得中点坐标，即可得直线的方程，即可得解. 【详解】（1）由：可知，， 由， 故， 当且仅当、、三点共线且在、之间时，等号成立， 此时且点在直线上， 即有，即，则， 即； （2）设，，， 由，则， 整理得， 则有，整理得， 同理可得，有， 即点、均在直线上， 即有， 即，则有，解得， 故直线经过定点，且该定点为； （3）将绕原点顺时针旋转90°得到， 则点为抛物线焦点， 由，、均三点共线， 故、都经过， 设，，不妨设， 设，则，由，得， 故，，，， 所以，由，则同理可得． 若，则，直线过点， 若，则，直线过点． 综上，直线过定点． 39．（2024高三上·全国·竞赛）已知抛物线的焦点关于原点的对称点是为为圆心，为半径的圆.直线是过上异于原点的一点的的切线，切点为. (1)求的最大值； (2)求的最大值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据题意可得抛物线方程，设，不妨设，求出，求出过点T的切线方程，由到的距离不大于1，得到，得解； （2）设过点A的另一条切线与相切于，可得，所以直线，证明，可得，可证，进而，求得. 【详解】（1）根据题意，可得，，，抛物线方程为， 设，根据对称性，不妨设，则， 因为点在曲线上，在点处导数为， 所以的方程是， 存在A使得等价于到的距离不大于1， 所以，解得，所以. （2）设过点A的另一条切线与相切于， 由（1）同理可得，又因为点A分别在上， 所以直线， 先证明， 由. 联立直线和抛物线，得到是方程的两根，由根与系数的关系，， 代入， 得到，所以， 又因为 ， 因为，所以，， ， 所以，所以，当且仅当时等号成立. 【点睛】思路点睛：第一小问，设，利用导数求出的方程是，根据直线到的距离不大于1，求得，代入得解；第二小问，设过点A的另一条切线与相切于，求得直线，先证明，可得，可证，进而，求得. 40．（2024高三下·全国·竞赛）设双曲线的渐近线为． (1)上是否存在横纵坐标都是整数的点？证明你的结论． (2)设上有共圆的四点，其中在左支上，在右支上，．记的外接圆为，的外接圆为，设，，证明：． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，若存在整数解，则是偶数，可设，，进而可得矛盾，可得结论； （2）证明引理一：设是双曲线上不会共线的四点（这里的字母与原题无关）， 且的斜率和的斜率均存在，则四点共圆，当且仅当；证明引理二：设的外心为，则；结合题意可证结论. 【详解】（1）上不存在横纵坐标都是整数的点，理由如下： 因为双曲线的渐近线为，则得，解得， 故可得，若存在整数解，则是偶数，可设，， 于是可得，即，因，显然该方程无整数解，故上不存在横纵坐标都是整数的点； （2）引理一：设是双曲线上不会共线的四点（这里的字母与原题无关）， 且的斜率和的斜率均存在，则四点共圆，当且仅当，    理由如下：若，则由对称性成立， 下设与交于点， 记，，， ，，其中， 由四点共圆，所以，又有，所以， 由不会共线和，由在双曲线上知， 是关于的方程的两根， 由韦达定理可得。 同理可得， 而，所以， 由于一条直线至多和双曲线有两个交点，故不在双曲线上，于是， 结合，且， 由，可得， 所以，所以，所以引理一得证； 引理二：设的外心为，则， 理由：设，可得垂直平分，故， 又 ， 故，又，所以，同理， 所以四边形是平行四边形，于是， 故，引理二得证； 回到原题，由引理一知， 由四点共圆，可得， 由四点共圆，可得， 由四点共圆，可得， 由以上各式得，故四点共圆， 由根心定理，三线共点，记这点为， 设圆与圆的另一个交点为， 注意到， 故四点共圆，又由， 所以，故， 于是，同理可得， 所以就是圆的圆心，现用分别代替， 由引理二：得，故，于是. 41．（2024高三下·全国·竞赛）如图，已知二次函数：经过点，，，点P是第一象限内抛物线上一点，设点P关于直线的对称点为点Q.作轴于点D，连接，点M是位于抛物线对称轴右边的线段上一点，连接.若有，.    (1)求C的解析式. (2)求M点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数图象经过的三点坐标，运用待定系数法即可求得函数解析式； （2）先根据设出，利用点与点关于直线对称求得，结合点在抛物线上解得，继而得到利用推得，最后通过设点，利用求得点. 【详解】（1）因二次函数：经过点，，故可设， 又图象经过点，则，，解得， 即二次函数的解析式为：，即； （2）    如图，设,直线的斜率为，因，则的斜率为, 设，则，即，又点P关于直线的对称点为点Q， 易知直线的方程为：， 设点，则，解得，， 依题意，在抛物线上， 则，解得，，则得，, 由图知，,,则,因轴，故. ,则,故, 由可得,即（*）. 又点到直线的距离为：，因点在直线上，故可设， 则由（*）可得，，解得：或. 当时，点在抛物线对称轴的左侧，不符题意，舍去； 当时，点在抛物线对称轴的右侧，符合题意. 故点的坐标为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $