专题05 不等式综合专项训练-【备战2026年高中数学竞赛+强基计划】（竞赛+强基考前专用）

专题05 不等式综合（真题专项训练） 强基计划真题专项训练 一、单选题 1．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）对于，的最大值为（    ） A． B． C． D．以上全错 【答案】B 【分析】不妨设，由重要不等式得，再根据得即可. 【详解】不妨设， 则 因为， 当且仅当取等号. 所以 . 当且仅当时等号成立. 所以的最大值为. 故选：B. 二、填空题 2．（24-25高三下·北京·强基计划）已知正数满足，则最小值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式的相关知识即可求解. 【详解】由题意， 等号成立当且仅当， 所以最小值为. 故答案为：. 3．（24-25高三下·北京·强基计划）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质放缩即可求解可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 当时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 4．（23-24高三下·全国·强基计划）已知（），则的最大值、最小值分别为 ． 【答案】无最大值，最小值为2 【分析】当时，可得无最大值；就分成两种情况讨论，① 当a，b，c中没有0时，推理可得；② 当a，b，c中至多有一个0时，不妨设，可得，从而可得的最小值为2. 【详解】因时，易得， 故（）无最大值． ①若a，b，c中没有0，则由均值定理，． 同理可得，．故有， 当且仅当时，等号成立，而a，b，c中没有0时，该方程组无实数解，故； ②若a，b，c中有0，则至多有一个0，不妨设，此时所求， 当且仅当时，取得最小值2． 综上，无最大值，当，时，取得最小值2． 故答案为：无最大值，最小值为2. 5．（23-24高三下·全国·强基计划），，有零点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将方程看成关于的二元一次方程，转化为原点到直线的距离的平方，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，方程有实数根， 将关于的方程看成关于的直线方程， 则可视为直线上的点到原点的距离的平方， 其最小值即为原点到直线的距离的平方， 所以距离的平方， ， 令，则， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 则， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是方程主次元的转化，构造的几何意义. 6．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值. 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 三、解答题 7．（24-25高三下·北京·强基计划）求的最大值. 【答案】 【分析】根据给定条件，确定目标式取最大值的条件，再分情况求出最大值并比较大小即可. 【详解】要取最大值，当且仅当， 当或时，； 当时，，当且仅当取等号； 当时，，当且仅当取等号； 当时， ，当且仅当时取等号， 而，所以的最大值为. 8．（23-24高三下·北京·强基计划）在体积为的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为个长方体，求这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值. 【答案】 【分析】先通过不等式方法证明这个长方体中至少有个的体积不超过，再说明当，，时，这个长方体中恰有个的体积不超过，即可说明这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值为. 【详解】设该正方体的长宽高分别被切成长度为和，和，和的两段，这里，且根据据对称性，可不妨设. 此时，个长方体的体积分别是 . 由，可知，. 由于，故. 而，故和中至少有一个数不超过， 所以这个长方体中至少有个的体积不超过. 当，，时，个长方体的体积分别是，此时这个长方体中恰有个的体积不超过. 综上，这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值为. 9．（23-24高三下·北京·强基计划）在中，若边上的高为，求的范围. 【答案】 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理得到，从而表达出，求出，结合基本不等式求出，得到结论. 【详解】由三角形面积公式得， 即， 由余弦定理得，故， ，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故. 10．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知，，判断是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出最大值和最小值. 【答案】无最大值，最小值为4 【分析】直接将目标展开，消掉即得最小值和取等条件，关于的函数永远有根，则关于的一元二次方程单增，故没有最大值. 【详解】，， =，当且仅当“”时取等； ，即，此时，即为任意正值，都有解，即都有这样的. 看成关于的二次单增函数，所以无最大值. 所以无最大值，最小值为4. 11．（20-21高三·江苏·强基计划）已知实数，满足，，，求的取值范围． 【答案】. 【分析】把视为参数，用含的式子写出与，进而利用一元二次方程根与系数的关系求出结果即可. 【详解】解：视为参数，则方程组有实数解， 可得， ，即，， 所以. 假设，是关于的一元二次方程的两个根， 所以， 因为， 所以解得. 则的取值范围是，即. 数学竞赛真题专项训练 四、单选题 12．（2024高三上·全国·竞赛）某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能赋分97分及以上．若这些学生的原始分的最大值为a，最小值为b，令为满足的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分．已知小赵原始分96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是（    ） A．97 B．98 C．99 D．98或99 【答案】D 【分析】根据题意设，得到，从而得到 ，代入不等式即可求解. 【详解】设(, 为常数) ，由题可得，，即， 由于，令 ，即，解得：， 所以，则，即， 所以小林原始分89，他的赋分是98或99. 故选：D 五、多选题 13．（2024高三上·全国·竞赛）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意在同一平面直角坐标系中作出曲线的图形、的图形以及的图形通过观察图形即可逐一判断每一选项. 【详解】若，当时，方程即， 当时，方程即， 当时，方程即， 若，当时，方程即， 当时，方程即， 当时，方程即， 在同一平面直角坐标系中作出曲线的图形、的图形以及的图形如图所示： 发现曲线的图形包含在的图形之间，即，故D正确； 对于A，曲线的图形夹在曲线的图形之间，所以，故A正确； 对于B，曲线的图形夹在曲线的图形之间，所以，故B正确； 对于C，取，则，故C错误. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：关键是准确画出图形，通过数形结合即可顺利得解. 六、填空题 14．（2024高三下·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【详解】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 15．（2024高三下·上海·竞赛）若3个整数满足，则这样的有序整数组共有 组. 【答案】14 【分析】涉及整数的不等式问题，先使用常见的不等式缩小范围，进一步求解即可. 【详解】由 （1）或2时,,此时共有6组; （2）或2时,,此时共有4组; （3）或2时,,此时共有4组. 综上,满足题意的有序整数组共有14组. 故答案为：14. 16．（2022高三·浙江金华·竞赛）已知正数和实数满足，若存在最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】 将原方程配成，利用基本不等式可判断出何时取最大值，从而得到的取值范围. 【详解】注意到，下分情况讨论. ①当，即时，，则的最大值为1，符合题意. ②当，即时，则 所以，所以， 当且仅当时取等号，此时有最小值，无最大值，与题意矛盾. ③当，即时，则. 当，即时，，所以， 不妨设，则，即，故， 此时无最大值，与题意矛盾； 当，即时，，所以， 当且仅当时取等号，此时有最大值，符合题意； 当，即时，恒成立， 此时无最大值，不符题意. 综上所述，若存在最大值，. 故答案为：. 17．（2021高三·全国·竞赛）实数a､b满足，则的最大值是 . 【答案】 【详解】解析：不妨设，则： ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故答案为：. 18．（2024高三下·全国·竞赛）设实数满足：对任意的实数，存在实数，使得均为整数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】取，,,设，，其中为整数，通过计算得到表达式， 方程组无整数解，因此，之后证明不等式成立. 【详解】一方面，取，,, 设，，其中为整数，易知 而方程组，无整数解，因此. 当，时第二个等号成立，这表明时不符合要求. 另一方面，对每个实数，存在唯一的使得为整数，记 对任意实数，当时，取， 其中为待定的整数，于是有. 注意到区间是长度为1的半开半闭区间，故它恰好包含一个整数，取为这样的整数，从而，置， 置，，整理得   （1） .  (2) 而的定义域可以拆分为，     （3） 或.    （4） 由（3）得，，若，则用（3）的右端，否则用（3）的左端，得,于是.此时有 由（4）得，，，且有， 故，且，此时有 当时等号成立. 若，则，由前一种情形，存在实数，使得均为整数，且 ，取，，则有. 综上，的最小值为 ，且无上界，因此取值范围为 . 故答案为： 19．（2024高三下·全国·竞赛）已知，我们设.则当，，时， ；，， . 【答案】 / / 【分析】由条件可知，，，进而可以推出，进而可以求解. 【详解】因为 所以① ② 所以③ ①+②+③得： 所以，并且等号成立，如时等号成立 所以当，，时，; ，， 故答案为：； 七、解答题 20．（2024高三下·全国·竞赛）求所有的，使对恒成立. 【答案】 【分析】根据题意分析可知没有零点，可得，在分和两种情况，根据恒成立问题结合基本不等式分析求解； 【详解】若有零点，则，解得， 若时，则，解得， 但在时不成立，不合题意； 可知不存在零点，则在上恒成立， 则，解得， 可得， 当，则，整理得， 因为，则， 可知，解得； 当，则，整理得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 21．（2024高三上·北京·竞赛）为正实数，满足，求的最大值 【答案】 【分析】设，，可得，利用待定系数法，结合基不等式求解，即设待定常系数，使得，求出，，再利用条件，即可求得答案. 【详解】由题意知为正实数，设，，则， 设待定常系数，使得 ， 当且仅当时等号成立； 因此需要，解得，， 因此， 等号在时取得， 故的最大值为. 22．（2022高三·浙江丽水·竞赛）设实数，且，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】先根据可设，将变形为，再利用基本不等式即可求证. 【详解】证明：由，可得， 不妨设，则， 令，， 则 ① ， 所以①式 ， 当，时取等号，即. 故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $①强基计幼 参数学觉家 85/21 专题05不等式综合（真题专项训练） 圆强基计划真题专项训练 一、单选题 1.(23-24高三下·福建厦门·强基计划)对于a,cc0,2,fa,6d=Va-+Vb-q+Vc-可的最 大值为() 43 B.2+V2 C.32 D.以上全错 二、填空题 之(2425商三下·北京·强紫计划》已知正数5：满足3+y+-则 2最小值为一。 3.(24-25商三下·北京·强基计划)已知r+广+2++2+z≤1 ,则+2+22 的最大值为一 4.(23-24高三下·全国·强基计划)已知a,b,c)= a b Vb+cVc+aVa+b(a,b,c≥0)，则f(a,b,c) 的最大值、最小值分别为一· 5.（23-24商三下·全国·强基计划f侧=+a+6-2,=x+ +x,f)有零点，则a2+b2的最小值 为一· 6.(23-24高三下·江苏南京·强基计划已知函数/=r+r+cb>a,对于x∈R,f八≥0恒 b-a 成立，求a+b+c的最大值是一 三、解答题 1/3 强垫计动 参数学党奇 85/21 xy+2yz 7.(24-25高三下·北京·强基计划)求2+y+2的最大值. 8.(23-24高三下·北京·强基计划)在体积为1的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面 的平面，将正方体分为8个长方体，求这些小长方体中体积不大于8的长方体个数的最小值. 1 (b+c2 9.(23-24高三下·北京·强基计划)在△4BC中，若BC边上的高为3”，求bc一的范围. 0图3将三下苏京：已0.o咖，为r沿层台 存在最大值和最小值，若存在，请求解出最大值和最小值. 11.(20-21高三·江苏·强基计划)已知实数a,b满足，a2+ab+b2=1,t=ab-a2-b2,求t的取值 范围 数学竞赛真题专项训练 四、单选题 12.(2024高三上·全国·竞赛)某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学 才能赋分97分及以上.若这些学生的原始分的最大值为4，最小值为，令0为 为满足 f(a)=100,f(b)=97的一次函数.对于原始分为x(b≤x≤)的学生，将f(x)的值四舍五入得到该学生的赋 分.已知小赵原始分96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是() A.97 B.98 C.99 D.98或99 五、多选题 13.(2024高三上·全国·竞赛)已知实数y满足K+++川2，则《) A.-1≤x+y≤1 B.-2≤x-y≤2 2/3 ①强基计砌 参数学党赛 211 C.Isx+ys2 D.-1≤r3+y2s1 六、填空题 14.(2024高三下·上海·竞赛)若正实数a,b满足ab=2a+b,则a+2b的最小值是一 15.(2024高三下·上海·竞赛)若3个整数a,b,c满足a2+b2+c2+3<ab+3b+3c,则这样的有序整数 a,b,c 组 共有组。 16.(2022高三·浙江金华·竞赛)已知正数a,b和实数t满足a2+ab+b2=1,若a+b存在最大值，则t 的取值范围是 17.(2021高三·全国·竞赛)实数a,b满足4+=1，则b+maxa,b ,则 的最大值是一 18.(2024高三下·全国·竟赛)设实数M满足：对任意的实数 存在实数“，使得C-8d-1 ,b,s,t c,d 均为整数，且c2+d)°-2a(c-d)≤M+4cd,则M的取值范围是 19.(2024高三下·全国·竞赛)已知/(y=am+br+c,我们设M=max/(x(-1≤x≤)，则当a=l, b=0'c=-2时，M=—:Va≠0'b,c∈R’minM)=— 七、解答题 20.(2024高三下·全国·竞赛)求所有的4，使+a+22k+对x∈R恒成立. 21.(2021商三上·北京·竞赛)4C为正实数，满足0+b+c=1,求0+6+C的最大值 22.(2022高三·浙江丽水·竞赛)设实数x,y,z>0,且y+z+zx=z,求证： +中 3/3