专题19 不等式（2）三元不等式（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题19不等式(2)三元不等式 全国各地竞赛真题试题汇编一 一、单选题 1.(2025·吉林预赛)已知x2+y2+z2≤1，则x2+2y-2z+3取值范围是 A.[1,4] B.[0,5] C.[3-22,3+22] D.（V2,5+V2) 二、填空题 2.(2025·山东预赛)已知正数a,b,c满足bc>1,则b49的最小值为_一 abc-1 3.(2025·福建预赛)若不等式x+Vy+yz≤k(x+y+z)对任意正实数x,y,z恒成立，则实数 k的最小值为一一 4.(2025·浙江预赛)设x,y,z∈R,且5x2+6y2+6z2-8yz≤1，则x+y+z的最大值为一 5.(2024·贵州预赛)设2x+y-V5z=2,则x2+y2+z2的最小值为 · 6.(2024·北京预赛)对于c>0,若非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0,且使2a+b最大， 则景-音+的最小值为 7.(2024江西预赛)正实数x,y,z满足x+2y2+4xy2z2=8,则1og4X+1ogy+1og32的最大值为 8.(2024·浙江预赛)设实数a,b,c∈(0,2]，且b≥3a或a+b≤号，则max{b-a,c-b4-2c}的 最小值为一 9.(2024·内蒙古预赛)设a,b,c是实数，满足a+b十c=1,a2+b2+c2=1,a≠0，等的取值范 围为 10.(2023·吉林预赛)若不等式ab+b2+c2≥入(a+b)c对满足b+c≥a的正实数a,b,c均成立，则 实数入的最大值为一 11.（2023山东预赛)已知xy,z>0,则f=++2+++16 9x+3y+52 的最小值是， 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.(2022·江西预赛）若Xy,zER4，满足Xy+yz+zx=1，则函数 f(x,y,z)=Vxy+5+Vyz+5+Vzx+5的最大值是. 13.(2022福建预赛)已知%，B,YE(0,π)，且+B+2y=π，则cosa+cs3+sin2Y的最大值为 14.(2022·苏州预赛)已知正实数a,b,c满足2(a+b)=ab,且a+b+c=abc,则c的最大值为 15.(2022·北京预赛)已知x,yz是3个大于等于1的实数，那么 y-134y3 +-4 22x-1)+x2】 ZX 的最小值写成最简分数后的分子分母之和为· 三、解答题 16.(2025·贵州预赛)对任意满足1≤x≤y≤z≤4的实数x,y,z,记 f=1++yX+2X2+4) XVZ 求f的最小值. 17.(2025·江西预赛)已知n为正整数，正实数a,b,c满足a+b十c=3.求证： g+可+之 a4n 4 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(2025·广西预赛)己知a,b,c是正实数，求证： abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b). 19.(2025·新疆预赛)设正实数a,b,c,求证：(1+号)(1+号+号)(1+号+号+)≥16. 20.(2024·四川预赛)设复数xy,z满足：x+2y+3z=1.求|x2+y+|z+x2+y2+z2 的最小值. 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 21.(2024·江西预赛)实数a,b,c满足ab+bc+ca=44,求(a2+4)(b2+4)(c2+4)的最小值. 22.(2024·新疆预赛)设xy,z∈(0,2)，且满足x4+y4+24之16.求z十十z的最 大值. 23.(2024·北京预赛)设a,b,c是三个正数，求证： 2公 2b 2c 32(a+b+c) ee2cVa5Setabibetca 24.(2023·江西预赛)设a≥c,b≥c,c>0.求证：Vc(a-c)+Vc(b-c)≤Vab,并确定等号 成立的条件 4/7 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 25.(2023·山东预赛)已知a,b,c为正实数.证明：（a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca) 26.(2023·重庆预赛)设x,y,z≥0，且x+y+z=2,证明：3x+8xy+16xyz≤12，并指出其中 “=”号成立的条件. 27.(2022·广西预赛)已知x,y,z都是正数，且(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0. 求证：x(y+z)2+y(z+x)2+z(x+y)2-(x3+y3+z3)≤9xyz. 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 28.（2022·四川预赛)对任意正实数a,b,c及任意正实数r>1,求证： 品+品+品≤品++品 29.(2022·江西预赛)设xy,z为正实数，满足xyz=1.证明：V1+8x+V1+8y+V1+8z≥9. 回 全国联赛真题试题汇编？ 一、解答题 1.(2025·全国联赛A卷)设x为实数，m,n为正整数，且sinma·sinna≠0. 1 证明：mma十amnG>z4 sinma sinnd+sin网. 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2023·全国联赛B卷)求出所有满足下面要求的不小于-1的实数t:对任意a∈[-2，t],总存在 b,cE[-2,t],使得ab+c=1. 3.(2022·全国联赛B1卷)对任意三个两两不同的非负实数a,b,c,定义 s(ab,c)=等+等+臂， 并设S(a,b,c)能取到的最小值为mo. (I)证明：当a,b,c均为正数时，S(a,b,c)>mo: (2)求所有非负实数组(x,y,z),使得S(x,y,z)=mo 7/7 专题19 不等式（2）三元不等式 一、单选题 1．（2025·吉林预赛）已知，则取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 则，且，可得， 当且仅当时，等号成立； 又因为，则， 可得． 且， 设点和标准单位圆面内点，则， 又因为，可得， 则， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：所求取值范围是． 二、填空题 2．（2025·山东预赛）已知正数满足，则的最小值为_____． 【答案】16． 【详解】设，整理可得：， 即，由均值不等式可得： 从而，令，则不等式变为，由于 ，从而，即，． 综上所述，的最小值为16，当时取到． 3．（2025·福建预赛）若不等式对任意正实数恒成立，则实数的最小值为_____． 【答案】 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数，所以 所以．因此． 又当时，，所以的最大值为． 所以的最小值为． 4．（2025·浙江预赛）设，且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】解法1：令，则条件变形为． 于是， 当取到等号． 解法2：由对称性，不妨设，则题设条件变形为． 又（以下略）． 5．（2024·贵州预赛）设，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 6．（2024·北京预赛）对于，若非零实数满足，且使最大，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 由柯西不等式得，， 当最大时，有，所以，， 所以， 当，即时，上式取得最小值． 7．（2024·江西预赛）正实数满足，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】 则， 于是，等号成立时． 所以的最大值为． 8．（2024·浙江预赛）设实数，且或，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】令，则，，， 当时，，即， 当时，，即， 当，，时，， 所以的最小值为． 9．（2024·内蒙古预赛）设，，是实数，满足，，，的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 所以，即，，又， 所以由韦达定理得和是关于的方程：的两个根， 所以，整理有：，解得， 又，所以，所以，， 令，，，， 令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 当时，，，， 所以，， 所以的取值范围为． 10．（2023·吉林预赛）若不等式对满足的正实数均成立，则实数的最大值为_____． 【答案】 【详解】 ， 等号成立时 所以实数的最大值为． 11．（2023·山东预赛）已知，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】由于， 同理可得．三式相加得 等号成立时．所以的最小值为． 12．（2022·江西预赛）若，满足，则函数的最大值是_____． 【答案】 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以函数的最大值是． 13．（2022·福建预赛）已知，且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】，记 ，于是， 等号成立时．所以的最大值为． 14．（2022·苏州预赛）已知正实数满足，且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】， 又， 等号成立时，于是．所以的最大值为． 15．（2022·北京预赛）已知是3个大于等于1的实数，那么 的最小值写成最简分数后的分子分母之和为_____． 【答案】11 【详解】 同理可得， 三式相加得， 所以原式最小值的最简分数的分子分母之和为11． 三、解答题 16．（2025·贵州预赛）对任意满足的实数，记 求的最小值． 【详解】由题意，得 先证如下引理． 引理设，e为自然对数的底数，则 当且仅当时等号成立． 设，则，故是凸函数，由Jensen不等式，得 即． 当且仅当时等号成立．引理得证． 解法1：令，则 其中，即． 由引理可得 因此，的最小值是． 当且仅当，即时等号成立． 设，则，故． 此时． 解法2：因为是凸函数，所以曲线上任一点处的切线位于曲线下方，即 取，得 取，则得到 因此，的最小值是． 当且仅当，即时等号成立． 设，则，故． 此时． 解法3：令，则，由引理 可得 所以 因此，的最小值是． 当且仅当时等号成立． 设，则，故． 此时． 17．（2025·江西预赛）已知为正整数，正实数满足．求证： 【详解】由题及均值不等式得，所以 据此和Cauchy不等式得 又注意到 所以，也即 18．（2025·广西预赛）已知是正实数，求证： 【详解】（1）由可得 故，从而． 因此，． （2）不妨设，则． （i）若，则． （ii）若，令，则均为正实数，且 由可得． 同理可得． ，于是，故． 综上（1）（2），． 19．（2025·新疆预赛）设正实数，求证：． 【详解】记， ， 则，由均值不等式得 因此 20．（2024·四川预赛）设复数满足：．求的最小值． 【详解】一方面，当均为实数时，， 即，当且仅当时取等号， 则当或时，； 另一方面，下证：， 由于旋转同一个角度，已知和结论不变， 因此，不妨设为实数， 设，，，其中， 则条件变为：，且，① 待证式变为：，即， 因此，只需证明：，② （反证法）假设结论不成立，即，从而， 在空间直角坐标系中，设，，，， 则，，由，得， 记在面上的投影为，则， 因此 ， 这里为向量与的夹角， 类似得，， 于是， 这与，矛盾， 则假设不成立，即有成立， 所以的最小值为． 21．（2024·江西预赛）实数满足，求的最小值． 【详解】注意到 若，由柯西不等式得 等号成立时； 若，同理可得， 等号成立时（如）； 若，不妨设，则 ， 等号成立时； 若一正二负或一负二正时，不妨设，且， 此时． 综上，的最小值为6400． 22．（2024·新疆预赛）设，且满足．求的最大值． 【解析】令 ．则 当且仅当 即 时，上式取等号． 所以， ，因此 当且仅当 时，上式取等号． 所以原代数式的最大值是． 23．（2024·北京预赛）设是三个正数，求证： 【详解】由于原不等式是齐次不等式，故我们可以不妨设． 此时有， 且． 故我们需要证明的不等式即为． 设，则，． 对，有，所以由Jensen不等式得． 这就得到，即． 24．（2023·江西预赛）设．求证：，并确定等号成立的条件． 【详解】注意到 ，等号成立时． 于是， 等号成立时． 25．（2023·山东预赛）已知为正实数．证明：． 【详解】解法一：先证明． 原不等式 ． 由柯西不等式得 解法二：由抽屉原理知，中必有两数同时不小于0，或者同时不大于0， 不妨设为． 则． 于是 26．（2023·重庆预赛）设，且，证明：，并指出其中“”号成立的条件． 【详解】由于 则 ，显然成立． 等号成立时 27．（2022·广西预赛）已知都是正数，且． 求证：． 【详解】依题意，是的三边长，由于 ． 于是原不等式等价于． 而 等号成立时是正三角形，即．所以原不等式成立． 28．（2022·四川预赛）对任意正实数及任意正实数，求证： 【详解】设，则 于是． 考虑函数，其中． 则， 则函数单调不减，即． 所以，等号成立时． 29．（2022·江西预赛）设为正实数，满足．证明：． 【详解】，同理可得 所以． 一、解答题 1．（2025·全国联赛A卷）设为实数，，为正整数，且． 证明：． 【详解】不等式两边乘以，化简为 事实上，我们证明 ① 记．存在整数，使得，记 则．易知 ② ③ 由于，由②知，故． 若，则，故由②、③知 ， 即． 若，则对，利用的上凸性易知，故 这就证明了①，从而原不等式得证． 2．（2023·全国联赛B卷）求出所有满足下面要求的不小于的实数：对任意，总存在，使得． 【答案】实数满足要求当且仅当 【详解】当时，对任意，取，则，且，满足要求． 当时，取，则对任意，有 不满足要求． 当时，取，则对任意，有，不满足要求．15分 当时，对任意，取，则，且，满足要求． 综上，实数满足要求当且仅当． 3．（2022·全国联赛B1卷）对任意三个两两不同的非负实数，定义 并设能取到的最小值为． (1)证明：当均为正数时，； (2)求所有非负实数组，使得． 【详解】(1)不妨设，则将同时减去，得三个两两不同的非负实数，此时 而，从而． (2)设．由(1)知中有一个为零，不妨设，则 其中为两个不相等的正数． 假如，则，故，矛盾．所以． 设，则利用基本不等式得 等号成立当且仅当，即(从而)． 由轮换性，满足条件的所有非负实数组为，其中． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $