专题04 数列专项训练-【备战2026年高中数学竞赛+强基计划】（竞赛+强基考前专用）

专题04 数列（真题专项训练） 强基计划真题专项训练 一、单选题 1．（23-24高三下·全国·强基计划）正整数，且，满足这样条件的的组数为（    ） A．60 B．90 C．75 D．86 二、多选题 2．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C．是等比数列 D． 3．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24高三下·全国·强基计划），，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，（，）．下列选项中正确的有（    ） A．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 B．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 C．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 D．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 三、填空题 6．（23-24高三下·全国·强基计划）数列，，则命题“，，”的否定是 ． 7．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知，若，满足的最小k为 . 8．（23-24高三下·全国·强基计划），，…是一个1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一个大于（），则满足的排列的总数为 ． 四、解答题 9．（24-25高三下·山东·强基计划）已知数列，有，，求通项. 10．（23-24高三下·全国·强基计划）已知斐波那契数列满足，，求的个位数字． 11．（23-24高三下·北京·强基计划）已知数列 ，求第 2024 项模 5 的余数. 12．（24-25高三下·北京·强基计划）求. 13．（23-24高三下·北京·强基计划），用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . 14．（23-24高三下·全国·强基计划），则等于多少？比较与. 15．（24-25高三下·全国·强基计划）数列的前项和，满足，若，求的值，使得取最小值． 16．（24-25高三下·全国·强基计划）已知首项为2的等差数列，满足成等比数列，若，求数列的前项和． 数学竞赛真题专项训练 五、单选题 17．（2024高三上·全国·竞赛）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2024高三上·全国·竞赛）已知等比数列满足，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 六、多选题 19．（2024高三下·全国·竞赛）设数列满足：，则可以是（   ） A．212 B．410 C．2293 D．4896 20．（2024高三下·全国·竞赛）若定义在上不恒为0的，，且，则下列说法中，正确的有（    ） A．可以是 B．若时，，则在上单调递增 C．任意满足题意的函数，设定义在（是整数）的，则使得 D． 七、填空题 21．（2024高三上·北京·竞赛）整数列，，，对有，为固定正整数，求使成立的的个数 22．（2024高三上·全国·竞赛）若数列满足对任意，数列的前项至少有项大于，且，则称数列具有性质．若存在具有性质的数列，使得其前n项和恒成立，则整数的最小值是 ． 八、解答题 23．（2024高三上·北京·竞赛）等差数列中，，公差，，求最大的正整数n，使. 24．（2024高三上·全国·竞赛）设数列满足：，，且，对成立. (1)证明：是等比数列； (2)求和的通项公式. 25．（2024高三上·北京·竞赛）首项是整数的等差数列，公差，前n项和，求所有n值的和 26．（2024高三上·全国·竞赛）已知等比数列的公比，成公差为的等差数列． (1)求的最小值； (2)当取最小值时，求集合中所有元素之和． 27．（2024高三下·上海·竞赛）数列满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同. 28．（2025高三下·重庆·竞赛）已知数列满足，数列满足，，为数列前项和. (1)若，求的通项公式； (2)对于给定的，求所有可能的. 29．（2024高三上·全国·竞赛）数列满足且，，，构成等差数列. (1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得为等比数列. (2)若，求的通项公式. 30．（2024高三下·上海·竞赛）将正整数填入方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第行的10个数之和为. 设满足：存在一种填法，使得均大于第列上的10个数之和，求的最小值. 31．（2024高三下·全国·竞赛）函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列，简记为，数列中的每一项即为．我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭，其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去．第一天截下，第二天截下，第天截下不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0．我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，记为． (1)已知数列，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比． (2)设数列满足，且，证明：． (3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”．问题解决：定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”． 32．（2024高三下·全国·竞赛）记表示不小于实数的最小整数，设． (1)证明：为定值． (2)对，令，其中为虚数单位，又设为数列的前项积．若对任意的，都有，求的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列（真题专项训练） 强基计划真题专项训练 一、单选题 1．（23-24高三下·全国·强基计划）正整数，且，满足这样条件的的组数为（    ） A．60 B．90 C．75 D．86 【答案】D 【分析】由可得，，成等差数列，设，，通分后为，，，其中，则可结合分为奇数与为偶数进行讨论，再分类后逐个列举出所有符合要求的数即可得． 【详解】因为，所以，，成等差数列， 设，，通分后为，，，其中； 则，，， ， ， 所以当为奇数时，，； 当为偶数时，，，； （1）当为奇数时，设， 则， ①若，则，所以， 所以，2，3，4，5，6， 取，，，2，，16； 取，，，2，，6； 取，，，2，3； 取，，，2； 取，，； 取，，； 共种； ②若，则，所以， 所以，2，3，4，考虑到，从而，2，4， 取，，，2，3，4，5； 取，，，2； 取，，； 共种； ③若，则，所以， 所以，2，3， 取，，，2； 取，，； 取，，； 共种； ④若，则，所以， 所以，2， 取，，； 取，，；共2种， ⑤若，则， 所以，所以，所以， 所以，矛盾； （2）当为偶数时，设， 则， ①若，则，所以， 所以，2，3，4，5，6，7，8，考虑到，从而，3，5，7， 取，，，2，，16； 取，，，2，，5； 取，，，2； 取，，， 共种； ②若，则，所以， 所以，2，3，4，5，6，7，考虑到，从而，3，5，7， 取，，，2，，6； 取，，，2； 取，，； 取，，； 共种； ③若，则， 所以， 所以，2，3，4，5，考虑到，从而，5， 取，，，2，3； 取，，； 共种； ④若，则， 所以； 所以，2，3，4，考虑到，从而，3， 取，，，2； 取，，； 共种； ⑤若，则，所以， 所以， 所以，，12， 取，，； 取，，；共2种， 综上所述，共有组． 故选：D． 【点睛】易错点点睛：本题考查了点列、递推数列及数学归纳法，根据新定义分类讨论求解即可，本题容易讨论不全致错. 二、多选题 2．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C．是等比数列 D． 【答案】ABD 【分析】先根据递推公式化简得出数列的单调性及极限判断A,C,再应用数列求和判断B,D. 【详解】由题可知， 于是可求得． 故，A选项正确； 数列中，不是等比数列，C选项错误； 于是单调递增且有极限，故．D选项正确； 又因为,所以B选项正确. 故选：ABD. 3．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，，下列选项中正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由数列递推式结合放缩法推出，利用求极限判断A，进而可判断C；判断,范围，确定的值，判断BD； 【详解】由题意得，，显然单调递增，， 当时，， ∴， ∴ ， ∴ ∴， 又因为， ∴，A选项正确； ∴，C选项错误； ∵， ∴， ∴，B选项错误； ∵， ∴， ∴，D选项正确， 故选：AD 4．（23-24高三下·全国·强基计划），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】通过裂项及导数方法证明，然后确定和的大致范围，即可判断A，C；先证明数列无界，然后利用并结合递推式得到，然后利用极限的平均数性质得到，最后使用极限的四则运算即可得到，，从而判断B，D. 【详解】由已知有，故数列单调递增. 对于A，C，由于，且. 故对，有，从而归纳即知. 故， 所以对有. 从而. 设，则对有， 所以在上递增，从而对有，即. 对，在中令，得，即. 所以. 综上，对，有. 这就得到，. 从而由，， 知，从而，故A错误； 再由，， 知，从而，故C正确； 对于B，D，假设数列有界，则存在，设. 则，且，从而，矛盾. 所以数列无界，这就得到，故. 而，故. 所以由极限的平均数性质得到，即. 而，故. 从而，故B正确； 而，故D错误； 故选：BC. 5．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，（，）．下列选项中正确的有（    ） A．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 B．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 C．存在λ，使存在正整数N，使时，恒成立 D．存在λ，使不存在正整数N，使时，恒成立 【答案】BCD 【分析】分和情况进行讨论分析即可 【详解】若，则，，则正负交替，B,D选项正确； 若，令，即时，即时，即成立，即成立，显然存在正整数N，使时，. ∴，A选项错误，C选项正确． 故选：BCD． 三、填空题 6．（23-24高三下·全国·强基计划）数列，，则命题“，，”的否定是 ． 【答案】，， 【分析】根据全称命题和特称命题的否定即可解答. 【详解】其否定是“，，”． 故答案为：. 7．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知，若，满足的最小k为 . 【答案】6073 【分析】根据递推公式，逐步计算各项分析即可. 【详解】由题意，为奇数， 为偶数， 为偶数，为奇数， … 故，…. 则，即，，，. 故满足的最小k为6073. 故答案为：6073 8．（23-24高三下·全国·强基计划），，…是一个1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一个大于（），则满足的排列的总数为 ． 【答案】512 【分析】先应用数列的新定义分析得出三种情况，再列根据情况得出组合数的和，最后应用二项式系数和公式计算即可. 【详解】若，考虑（），必有可知从第i项开始，数列开始递增； 再考虑前面的项，若，说明此情况下数列在第1项到第i项递减． 若，则将原来的i改为同理考虑即可． 由以上分析可知，该数列只有三种情况，单调递减，单调递增，先减后增 故排列总数为． 故答案为：512. 四、解答题 9．（24-25高三下·山东·强基计划）已知数列，有，，求通项. 【答案】 【分析】将两边同时取倒数，构造可得数列是等比数列，求出的通项公式后即可求解. 【详解】将两边同时取倒数，得， 因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，解得. 10．（23-24高三下·全国·强基计划）已知斐波那契数列满足，，求的个位数字． 【答案】9 【分析】采用枚举法列举出前70项的个位数，可得斐波那契数列个位数是以60为周期的循环数列，根据周期数列的性质求解即可. 【详解】采用枚举法列举出前70项的个位数如下表: 所以斐波那契数列个位数是以60为周期的循环数列， 因为， 所以的个位数与的个位数相同，即的个位数是9． 11．（23-24高三下·北京·强基计划）已知数列 ，求第 2024 项模 5 的余数. 【答案】4 【分析】设，可得，从而得到，即可求解 【详解】设数列满足：，，，，，，，，，，， 设， 所以，， 则，故 所以64模5余数为4 12．（24-25高三下·北京·强基计划）求. 【答案】 【分析】令得，结合已知求和公式，讨论、得到，即可得. 【详解】令，则，而，故， 对于且，则区间中共有个数值， 对于，则区间中共有个数值， 所以， 令，则， 所以，则， 所以. 13．（23-24高三下·北京·强基计划），用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：，，求  . 【答案】 【分析】求出，，用归纳法证明，从而求出. 【详解】因为，， 所以， 同理， 猜想：， ①当时，成立； ②假设时成立，即， 则时， ， 所以，猜想成立， 综上可得：对，都有成立； 故数列为公差为2，首项为的等差数列， 则. 14．（23-24高三下·全国·强基计划），则等于多少？比较与. 【答案】，. 【分析】由数列递推公式列出前几项，找规律假设，并用数学归纳法证明，再求，通过求极限得，故可判断与的大小. 【详解】由题意可知，， 当时，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 猜想：. 证：当时，，表达式成立， 当时，表达式成立，即， 则当时， ， 表达式成立. 综上所述，. 所以， 故， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推公式及数列的极限，解题关键是由递推公式列出前几项，猜想数列的通向公式，并用数学归纳法证明，以及数列极限的求解. 15．（24-25高三下·全国·强基计划）数列的前项和，满足，若，求的值，使得取最小值． 【答案】4 【分析】由递推关系求 ，求通项 ，进而计算的前面几个值，猜测分析证明结论. 【详解】给定的递推关系是：， 可以改写为：， 两边同时除以 ：， 令 ，则递推关系变为：， ， ，因此：. 于是：， 根据 ： ， 验证 ：， 但题目给定 ，所以：， 所以. 计算几个 的值：，，，，，, 观察数值， 在 时取得最小值. 对于， 的值增大（从负到正），因此 时取得最小值. 16．（24-25高三下·全国·强基计划）已知首项为2的等差数列，满足成等比数列，若，求数列的前项和． 【答案】当时数列的前项和;当时数列的前项和. 【分析】先求得等差数列的公差或,然后利用作差法得到得,其中为数列的前项和，即，再次作差并检验初始值得到,在两种情况下分别求得的表达式，进而代回得到. 【详解】设公差为,由已知得,解得或, ，得， 相减得,其中为数列的前项和. ∵,∴① ∴  当时 ②, ①②两式相减得③, ,,, , , ∴③式对于都成立. 当时，,代入①得. 当时,代入③得, , 为首项为，公比为的等比数列， , 代入①得. 数学竞赛真题专项训练 五、单选题 17．（2024高三上·全国·竞赛）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再由5个数均为正数，列d的不等式求解. 【详解】设5个正数组成数列， 则， 则，解得. 故选：D 18．（2024高三上·全国·竞赛）已知等比数列满足，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列的公比的范围，再结合通项公式及单调性求解即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得， 而，则，又，因此数列是递减数列，又， 所以. 故选：C 六、多选题 19．（2024高三下·全国·竞赛）设数列满足：，则可以是（   ） A．212 B．410 C．2293 D．4896 【答案】AC 【分析】根据数列递推式，可推得，对于A,C,分别找出一组符合题意得解即可；对于B,D,可以从34与21 互为质数角度，通过，构造出的形式，从而推得，的形式，由的范围判断值不存在即可. 【详解】因，故 . 对于A，由，因故应该为偶数， 当时，，恰好符合题意，故A正确； 对于B，因，则， 设， 整理得， 因34与21 互为质数，则必存在，满足， 则，， 而，， 故且， 故且，故此时不存在， 故无符合要求的解，即不能取410，故B错误； 对于C，由，因故应该为奇数， 当时，，恰好符合题意，故C正确； 对于D，因，则, 设， 整理得，因34与21 互为质数， 则必存在，满足，， 即， 故且， 所以且， 故且，值不存在， 故无符合要求的解，即不能取4896，故D错误. 故选：AC. 20．（2024高三下·全国·竞赛）若定义在上不恒为0的，，且，则下列说法中，正确的有（    ） A．可以是 B．若时，，则在上单调递增 C．任意满足题意的函数，设定义在（是整数）的，则使得 D． 【答案】AD 【分析】A项，求出定义域，验证等式成立；B项，赋值法得与可得奇偶性，再利用奇偶性转化为的符号判断即可得；C项，令函数，结合函数值域分析可得恒成立，故等式无解；D项，由裂项相消法可化简求和，再结合赋值法可得. 【详解】，有， 且，即. A项，若，由，解得，函数定义域为. 则； 且；所以. 所以函数，满足题意，故A正确； B项，由对任意都有， 令，可得，所以， 任取，得，可得， 所以，所以函数是上的奇函数. 设，可得，则， 则有， 所以当时，恒成立，可得， 即，即， 所以在为减函数，则在上单调递增必不成立，故B错误； C项，由已知，令，， 要使， 则首先有意义，且有意义， 故，， 由，故， 则， 由， 则，所以，即， 当时，，所以恒成立； 即恒有， 所以不存在，使得，故C错误； D项，因为函数为奇函数， 可得， 所以 ， 所以，又， 则，故D项正确. 故选：AD. 七、填空题 21．（2024高三上·北京·竞赛）整数列，，，对有，为固定正整数，求使成立的的个数 【答案】2 【分析】当可得，不符合题意，当（），代入计算可得的周期为6，进而可得，对2024进行因式分解即可求得结果. 【详解】①设，则， 若，则由可得， 故对任意正整数，，这与项矛盾，所以. ②设（），则，，，，，， 因此整个数列是以6为周期的循环数列. 因此， 设是整数（，都是正整数），则， 因此只可能是1或2，对应的也只有2个，即2024与1012. 故答案为：2. 22．（2024高三上·全国·竞赛）若数列满足对任意，数列的前项至少有项大于，且，则称数列具有性质．若存在具有性质的数列，使得其前n项和恒成立，则整数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】先根据特例得到，再通过特例检验等号成立，故可求整数的最小值. 【详解】因为为的数列，故的前项至少有项大于，即， 所以，故即. 构造如下数列：， 对于任意，,,, 其中， 则数列的前项比大的有，共个， 满足题设条件. 下证：满足恒成立. 证明：对任意，存在，使得， 当时， 若，则 ， 若，则 ， 当， . 所以恒成立. 综上，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：离散型变量的最值问题，可以先根据题设条件得到变量的一般范围，再通过特例检验等号成立即可. 八、解答题 23．（2024高三上·北京·竞赛）等差数列中，，公差，，求最大的正整数n，使. 【答案】使的最大的正整数. 【分析】先由已知得出且，再由等差数列的性质和求和公式得出结论. 【详解】由于，又因为，所以，且， 从而， 故有，， 即使的最大的正整数. 24．（2024高三上·全国·竞赛）设数列满足：，，且，对成立. (1)证明：是等比数列； (2)求和的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）变换得到，计算，得到证明； （2）确定，变换得到，解得答案. 【详解】（1）移项得到，， 相加得，所以， 因为，所以是首项为5，公比为的等比数列； （2），，所以对成立， 解得，对成立， 故和. 25．（2024高三上·北京·竞赛）首项是整数的等差数列，公差，前n项和，求所有n值的和 【答案】4320 【分析】由等差数列的通项公式和前项和公式，得到，再根据，结合计数原理，即可求解. 【详解】设首项为，由题意，则， ，(的取值没有限制)， 根据题意可知可以取遍， 则所求之和为. 26．（2024高三上·全国·竞赛）已知等比数列的公比，成公差为的等差数列． (1)求的最小值； (2)当取最小值时，求集合中所有元素之和． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由条件代入进行基本量运算，将用替代消元,再凑项运用基本不等式即得； （2）将表示为的函数，借助于求导判断函数单调性，求得函数的最小值点，再按照集合的要求取舍元素即得. 【详解】（1）由题设知，即，化简得：； 而． 于是当时，，当且仅当，即时等号成立． 故的最小值为3． （2）由，令，． ，令得，当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增，则时，取最小值， 从而取最小值时，．代入中，解得：， 又则，． 因不是偶数，故，则，因此当时，． 所以当取最小值时，A中所有元素之和为． 27．（2024高三下·上海·竞赛）数列满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同. 【答案】证明见解析 【分析】以斐波那契数列为背景，涉及整除问题. 【详解】设除以为余数为.构造有序数对的序列:       注意到,则序列中至多有个不同的项, 根据抽屉原理,在序列的前项中必有相同的两项,不妨设为 由于, 于.继续上述过程,可以得到. 又,,显然,所以且. 综上,在数列中存在相邻的两项,它们除以的余数相同. 【点睛】根据抽屉原理反复迭代构造. 28．（2025高三下·重庆·竞赛）已知数列满足，数列满足，，为数列前项和. (1)若，求的通项公式； (2)对于给定的，求所有可能的. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）假设，利用和分别表示出，使其相等，辨析规律，得到的取值，即可得到的通项公式. （2）假设所有可能的，使用归纳演绎法，说明时命题成立，假设时命题成立，得出时，命题也成立. 【详解】（1）若，则， 设，其中，则，故只能是，所以. （2）我们归纳证明，所有可能的. 时，，命题成立； 假设时命题成立，即，则当时， ，即或，， 即.故时，命题也成立. 29．（2024高三上·全国·竞赛）数列满足且，，，构成等差数列. (1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得为等比数列. (2)若，求的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】(1）由题意可知，化简得，从而可得，由于的任意性，从而可令，从而求得恒成立，从而可求解. (2)由题意可记，可知是的两根，从而求出，然后利用归纳法证明，从而可求解. 【详解】（1）依题意得 设， 则   又因为，则 从而为常数， 由的任意性知 ，于是，又由于等比数列中不能有， 故， 于是， 此时恒为 ，满足等比数列的要求. （2）记   注意到是关于的一元二次方程的两根，故 下面归纳证明：， 当时，结论显然成立； 对，假设结论对成立， 注意到，故 从而结论对也成立，完成归纳. 综上. 【点睛】关键点点睛：（2)中关键是根据，构造出，然后利用数学归纳法证明，从而可求解. 30．（2024高三下·上海·竞赛）将正整数填入方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第行的10个数之和为. 设满足：存在一种填法，使得均大于第列上的10个数之和，求的最小值. 【答案】5 【分析】先给出一个使得成立的例子，然后证明不能成立，即可确定的最小值. 【详解】将第列10个数之和记为.考虑下表填法, 此时有，即满足题意. 100 99 98 97 6 5 4 3 2 1 96 95 94 93 12 11 10 9 8 7 92 91 90 89 18 17 16 15 14 13 88 87 86 85 24 23 22 21 20 19 84 83 82 81 30 29 28 27 26 25 80 79 78 77 36 35 34 33 32 31 76 75 74 73 42 41 40 39 38 37 72 71 70 69 48 47 46 45 44 43 68 67 66 65 54 53 52 51 50 49 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 以下假设存在一种填法,满足均大于，我们来导出矛盾. 对，记为第行、第列所填的数. 不失一般性，设 对，记为表格的前行与前3列相交所构成的方格表, 为表格的前行与后7列相交所构成的方格表. 考虑到每行的数从左到右依次递减，则对每个 中个数中的最大者是位于左下角的,于是. 对,记与中的数之和分别为与, 则 由假设得， 从而 则，于是. 因此 ， 矛盾！故假设不成立，又结合知均不满足题意. 综上，的最小值为5. 故答案为：5. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，分别构造例子说明能够取到，以及论证无法取到，二者同时进行，即可求得最小值为. 31．（2024高三下·全国·竞赛）函数的定义域为全体正整数集合，则称或为数列，简记为，数列中的每一项即为．我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭，其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去．第一天截下，第二天截下，第天截下不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限接近于0，那么我们就说数列的极限为0．我们定义：设为数列，为定数，若对给定的任意正数，总存在正整数，使得时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，记为． (1)已知数列，证明：当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比． (2)设数列满足，且，证明：． (3)材料：设是个实数列，对任意给定的，若存在，使得凡，且，都有，则称为“柯西列”．问题解决：定义，证明：时，不是“柯西列”，时，是“柯西列”． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设可得，可知为方程的两个根，进而得到，由此得，即可证结论； （2）根据已知有数列单调递增，进而证结论； （3）讨论、，结合数列新定义证明即可. 【详解】（1）设常数满足：数列， 则常数满足如下条件：， 由韦达定理知，常数为方程的两个根，令， 当时，有，即， 上式共个式子，累乘得， 将直到，按照上述递推关系式进行展开有： ， 可见是首项为，公比为，末项为的等比数列， 根据等比数列通项公式有， 将常数代入得， ， 当不断增大时，的值会不断趋向于黄金分割比． （2）数列满足，且， ，数列单调递增， 所以，即， 根据数列极限定义知，若对给定的任意正数，总存在正整数，使时有． （3）当时，， 当，且， 都有，此时不是“柯西列”． 当时，， 对任意给定的，存在，使，且， 都有，则为“柯西列”． 【点睛】关键点点睛：第一问，根据已知，令并得到为关键. 32．（2024高三下·全国·竞赛）记表示不小于实数的最小整数，设． (1)证明：为定值． (2)对，令，其中为虚数单位，又设为数列的前项积．若对任意的，都有，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先定义数列，然后证明，即可得到相应结论； （2）补充定义，设，通过归纳出的表达式，再用类似（1）的方法证明，推导得到，将表示为三角形式，研究为实数，结合复数除法的几何意义得，进而知辐角和为，再计算并放缩即可得解. 【详解】（1）设， 则， 故，从而， 又有，，故为整数， 进而依次归纳可知：是整数， 由于， 故，而是整数，所以， 而，所以. （2）补充定义，显然，设，则 ， 由（1）可知， 所以， 用与（1）的证明类似的方法可证，从而有， 整理得， 记，，其中，， 令，，由共轭复数的性质可知， 则， 先计算， 记为，其中实部，虚部， 此时， 其中虚部， 所以的虚部为，即是实数，所以是实数， 对于分子辐角为，分母辐角为， 根据复数除法的几何意义及是实数有，即， ， 而，故根据复数乘法的几何意义，有， 又， 注意到，所以，， 故，从而符合， 另一方面，时，，此时，故不符合， 综上的最小值是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $