专题09 数列（下）（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题9 数列（下） 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）给定正整数．求最大的实数，使得存在一个公比为的实数等比数列，满足对所有正整数成立．(表示实数到与它最近整数的距离．) 2．（2024·全国联赛B卷）设无穷等比数列的公比满足．若的各项和等于各项的平方和，求的取值范围． 3．（2022·全国联赛A卷）给定正整数．设正项等差数列与正项等比数列满足：的首项等于的公比，的首项等于的公差，且．求的最小值，并确定当取到最小值时与的比值． 4．（2022·全国联赛A1卷）设正整数数列同时具有以下两个性质： (i)对任意正整数，均有； (ii)对任意正整数，均存在正整数，使得． 求的最大值． 5．（2022·全国联赛A2卷）已知数列的各项均为非负实数，且满足：对任意整数，均有．若，求的最大可能值． 6．（2022·全国联赛B卷）设正数满足：成公差为的等差数列，成公比为的等比数列，且．求的最小值，并确定当取到最小值时的值． 各省预赛试题汇编 7．（2022·重庆预赛）已知，若数列有上界，即存在常数，使得对恒成立，则实数的最大值为_____． 8．（2022·广西预赛）设且．若，则_____． 9．（2022·四川预赛）已知数列满足：，且，则的末两位数字为_____． 10．（2022·浙江预赛）已知数列，则_____． 11．（2022·浙江预赛）把与143互质的全体正整数按从小到大排列成一个数列，则该数列的第2022项为_____． 12．（2022·福建预赛）已知各项均为正数的等比数列中，．数列满足：对任意正整数，有，则_____． 13．（2022·甘肃预赛）已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则_____． 14．（2022·苏州预赛）若等差数列满足，则的值为_____． 15．（2022·吉林预赛）已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数，总有，且，则_____． 16．（2022·吉林预赛）设数列的前项和满足：，则通项_____． 17．（2022·北京预赛）设递推数列满足：，如果对任意的首项且，数列中一定存在某项，则不超过的最大整数是_____． 18．（2023·四川预赛）给定正整数．数列满足： 若对任意的正整数，都有，求实数的最小值． 19．（2023·苏州预赛）已知正数数列满足：． 求证：(1)； (2)． 20．（2023·新疆预赛）设是一个无限实数列，满足不等式对一切正整数都成立，证明：． 21．（2023·重庆预赛）已知为正实数，数列满足：．若对任意的，都有，求的最小值． 22．（2022·四川预赛）已知各项均为正整数的数列满足：对于任意的正整数都有及，求数列的通项公式． 23．（2022·浙江预赛）设数列满足，证明： (1)数列单调递减； (2)存在一个常数使得． 24．（2022·江西预赛）数列满足：．证明：该数列的各项皆为自然数，且对于数列中的任意连续的三项，其两两的乘积加1皆是正整数的平方． 25．（2022·甘肃预赛）已知数列满足：对任意正整数，有，其中表示数列的前项和．证明： (1)对任意正整数，有； (2)对任意正整数，有． 26．（2022·苏州预赛）已知数列满足，且． (1)证明：； (2)证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题9 数列（下） 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）给定正整数．求最大的实数，使得存在一个公比为的实数等比数列，满足对所有正整数成立．(表示实数到与它最近整数的距离．) 【答案】当为奇数时，所求的最大值为；当为偶数时，所求的最大值为 【详解】情形1：为奇数． 对任意实数，显然有，故满足要求的不超过． 又取的首项，注意到对任意正整数，均有为奇数，因此．这意味着满足要求．从而满足要求的的最大值为． 情形2：为偶数． 设．对任意实数，我们证明与中必有一数不超过，从而． 事实上，设，其中是与最近的整数(之一)，且． 注意到，对任意实数及任意整数，均有，以及． 若，则． 若，则，即，此时 另一方面，取，则对任意正整数，有，由二项式展开可知，其中为整数，故．这意味着满足要求． 从而满足要求的的最大值为． 综上，当为奇数时，所求的最大值为；当为偶数时，所求的最大值为． 2．（2024·全国联赛B卷）设无穷等比数列的公比满足．若的各项和等于各项的平方和，求的取值范围． 【答案】 【解析】设，则是以为首项，为公比的等比数列． 设的前项和为的前项和为．则． 由题意知，即，整理得，因为，即， 所以． 3．（2022·全国联赛A卷）给定正整数．设正项等差数列与正项等比数列满足：的首项等于的公比，的首项等于的公差，且．求的最小值，并确定当取到最小值时与的比值． 【答案】的最小值为，此时 【详解】根据条件，可设的首项为，公差为的首项为，公比为，其中，则． 记，则由上式知 利用元平均值不等式，得 即有． 当，即时，等号成立，此时(即)取到最小值，相应有，故 4．（2022·全国联赛A1卷）设正整数数列同时具有以下两个性质： (i)对任意正整数，均有； (ii)对任意正整数，均存在正整数，使得． 求的最大值． 【答案】 【详解】由于为正整数数列，在(i)中令知，故． 以下证明：对任意正整数，有或． 根据(ii)，对任意正整数，显然有． 当时，由及知或3，故结论成立． 假设时结论成立，考虑的情形． 由(ii)知存在正整数，使得． 当时，由(i)及，可知 于是不等号均为等号，这表明，符合结论． 当时，． 若，则，符合结论； 若，则，此时 故对任意正整数，总有，与(ii)矛盾，即该情形不会发生． 综上，时结论也成立．从而由数学归纳法知结论成立． 从上述证明进一步可见，对任意正整数与不能同时成立．因此，对任意正整数，均有 所以 当，且对任意正整数，取时，易验证数列具有性质(i)、(ii)，并且①取到等号． 从而的最大值为． 5．（2022·全国联赛A2卷）已知数列的各项均为非负实数，且满足：对任意整数，均有．若，求的最大可能值． 【答案】 【详解】根据条件，对任意正整数，有 进而 ① 设，则． 由①知的各项均为非负实数当且仅当，即 注意到 故 由得，且显然． 由②进一步得．利用在(0，1)上单调减，可知 当时等号成立． 所以的最大可能值为． 6．（2022·全国联赛B卷）设正数满足：成公差为的等差数列，成公比为的等比数列，且．求的最小值，并确定当取到最小值时的值． 【答案】的最小值为，此时 【详解】记，其中． 由条件知，并且记，则有，所以 利用平均值不等式，得 即有． 当，即时，等号成立，此时(即)取到最小值，相应有，故 各省预赛试题汇编 7．（2022·重庆预赛）已知，若数列有上界，即存在常数，使得对恒成立，则实数的最大值为_____． 【答案】 【详解】考虑即可．由于， 则当时，数列单调递增，无上界； 当时，下证时，． 时，结论成立； 假设时结论成立，即 时，， 则时结论也成立． 由归纳法原理，对任意时，． 所以实数的最大值为． 8．（2022·广西预赛）设且．若，则_____． 【答案】3333 【详解】 ， 则 9．（2022·四川预赛）已知数列满足：，且，则的末两位数字为_____． 【答案】32 【详解】成等比数列，成等差数列， 数列的前几项为：， 利用数学归纳法容易证明． 所以． 10．（2022·浙江预赛）已知数列，则_____． 【答案】 【详解】 所以也满足上式． 11．（2022·浙江预赛）把与143互质的全体正整数按从小到大排列成一个数列，则该数列的第2022项为_____． 【答案】2410 【详解】由于，在内与143互质的正整数有个．由于，在内与143互质的正整数(从大到小排列)是142，141，140，139，138，137，136，135，134，133，131，129，128，127，126，125，124，123，122，第102个数是122．所以该数列的第2022项为． 12．（2022·福建预赛）已知各项均为正数的等比数列中，．数列满足：对任意正整数，有，则_____． 【答案】 【详解】 而， 又，所以． 13．（2022·甘肃预赛）已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则_____． 【答案】 【详解】，设，其中．则 ，若，则，矛盾； 从而只能．所以． 14．（2022·苏州预赛）若等差数列满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】设的公差为，则． 15．（2022·吉林预赛）已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数，总有，且，则_____． 【答案】32 【详解】，于是． 16．（2022·吉林预赛）设数列的前项和满足：，则通项_____． 【答案】 【详解】时，， ，且， 所以． 17．（2022·北京预赛）设递推数列满足：，如果对任意的首项且，数列中一定存在某项，则不超过的最大整数是_____． 【答案】21 【详解】考虑二次函数，它的不动点为与．设其二阶不动点为，则有， 代入． 构造周期为2的数列：，则数列中各项． 下面证明数列中一定有某项．用反证法，假设． 如果数列中有数，由二次函数的单调性，，矛盾． 因此我们假设或(舍去)，于是 有． 另一方面，对任意正整数 成立，矛盾． 综上，． 18．（2023·四川预赛）给定正整数．数列满足： 若对任意的正整数，都有，求实数的最小值． 【答案】 【详解】引理1：对任意，有． 由累加法得． 引理2：记，则对任意，有． 时，，结论成立； 假设时结论成立，即． 则时， ，结论也成立． 由归纳法原理，则对任意，均有． 引理3：． 首先由 知存在，设其值为，易知． 回到原题，记，则 注意到， 则． 另一方面， 综上，的上确界为，所以实数的最小值为． 19．（2023·苏州预赛）已知正数数列满足：． 求证：(1)； (2)． 【答案】证明见解析 【详解】(1)． 下面用数学归纳法证明：对恒成立． 时，，结论成立；假设时结论成立， 即． 则时， 且， 于是，即时结论也成立． 综上，对恒成立，且等号成立时当且仅当． 所以． (2)由(1)知时， 所以． 20．（2023·新疆预赛）设是一个无限实数列，满足不等式对一切正整数都成立，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】先用数学归纳法证明：． 时，，命题成立； 假设时，命题成立，即．则时， 由， 于是 ，即时命题也成立． 综上，对任意都成立． 下面用数学归纳法证明：． 时，，命题成立； 假设时，命题成立，即．则时， 由，于是 即时命题也成立． 综上，对任意都成立． 21．（2023·重庆预赛）已知为正实数，数列满足：．若对任意的，都有，求的最小值． 【答案】1 【详解】，设， 当时，， 由数学归纳法原理知，对任意均成立． 又数列单调递增，于是 从而当时，． 另一方面， ． 由前述知，， 因此时，的上确界为1． 综上，的最小值为1． 22．（2022·四川预赛）已知各项均为正整数的数列满足：对于任意的正整数都有及，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】利用恒等式，得， ，结合条件得 下面用数学归纳法证明． 当时，，且，则，结论成立； 当时，，结论成立； 假设时结论成立， 若，且，则； 若， 且，则，于是时结论也成立． 综上，由归纳法原理，对任意，都有． 23．（2022·浙江预赛）设数列满足，证明： (1)数列单调递减； (2)存在一个常数使得． 【答案】证明见解析 【详解】(1)显然时，利用数学归纳法易证，此时结论显然成立． 当时，； 假设，由于 ．从而对任意，都有． 又，所以数列单调递减． (2)显然时，，取，结论显然成立．当时， 令 其中． 于是 而，记． 则有，所以 综上，存在一个常数使得． 24．（2022·江西预赛）数列满足：．证明：该数列的各项皆为自然数，且对于数列中的任意连续的三项，其两两的乘积加1皆是正整数的平方． 【答案】证明见解析 【详解】 ， 计算得，于是． 所以数列的各项皆为自然数． 由于 同理可得 ， 所以对于数列中的任意连续的三项，其两两的乘积加1皆是正整数的平方． 25．（2022·甘肃预赛）已知数列满足：对任意正整数，有，其中表示数列的前项和．证明： (1)对任意正整数，有； (2)对任意正整数，有． 【答案】证明见解析 【详解】(1)， 结合时，，于是或． 所以． (2)只需考虑同号的情况， 若均为正，此时，则． 于是，从而 同理可证均为负的情况．所以对任意正整数，有． 26．（2022·苏州预赛）已知数列满足，且． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】证明见解析 【详解】(1) ， 于是与同号，又，从而． 所以． 综上，有． (2)由于 ， 于是． 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$