2.2.1向量的加法（教学课件）高一数学北师大版必修第二册

§ 2从位移的合成到向量的加减法 2.1向量的加法 第二章 平面向量及其应用 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握向量加法的概念.（重点） 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算。（重点） 了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性。（难点） 1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 向 量：既有方向又有大小的量，数学中的向量是自由向量。 平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？ 向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。 温故知新 3.物理中的位移是如何合成的？遵循了什么法则？ 情景导入 天车是大型生产车间或工地起重作业的重要设备，如下图，物体在天车的作用下，同时进行竖直方向的位移和水平方向的位移。 + 位移的合成遵循平行四边形法则。 3.物理中的位移是如何合成的？遵循了什么法则？ 读教材 阅读课本P84-P86，5分钟后完成下列问题： 1.向量的加法的运算法则有哪些？向量加法的结果还是向量吗？ 2.向量加法的三角形法则有何特点？ 3.向量加法的平行四边形法则有何特点？ 4.向量加法有哪些运算律？ 单击此处添加备注 5 1.定义：求两个向量和的运算，称为向量的加法。 从运算的角度看，可以认为是与的和，即力的合成可以看作向量的加法。 探索新知 一、向量的加法及加法法则 2.向量的加法法则——平行四边形法则 如下图是在力F1、F2的作用下产生的合力F，则力F与F1、F2之间的关系如何？ F=F1+F2 即：+ O A B C 　　步骤：①平面内任取一点A，以A为起点作,; ②以有向线段，为邻边作平行四边形ABCD， ③以A为起点的对角线就是与的和. A D C B 力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型 探索新知 一、向量的加法及加法法则 2.向量的加法法则——平行四边形法则 向量加法的平行四边形法则 如图，已知两不共线的向量，求。 秘诀：“起点相同，过起点的对角线为和” B C A a b O b a a b + 　　在平面内任取一点O．作，，以OA、OB为邻边做平行四边形OACB，连接OC，则 + 例1.如图，已知向量 ，求作向量 。 典例讲解 典例讲解 如图，已知向量 ，求作向量 。 两向量共线，不能构成平行四边形了，该怎么办？ 向量加法的平行四边形法则不适用两共线向量！ 典题巩固 如图，某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移怎么表示？ C B A 从运算的角度看，可以认为是与的和，即位移可以看作向量的加法。 探索新知 一、向量的加法及加法法则 2.向量的加法法则——三角形法则 向量加法的三角形法则 B A O 　　步骤：①在平面内任取一点O，作=，=; ②向量叫做和的和，即+=． 探索新知 一、向量的加法及加法法则 2.向量的加法法则——三角形法则 如图，已知两不共线的向量，求 秘诀：“首尾相连首尾连” B C A a b O b a a b + 　　在平面内任取一点O．作，，连接OC，则 + 例1.如图，已知向量 ，求用三角形法则作向量 。 典例讲解 向量加法的三角形法则与平行四边形法则结果一样！ 典例讲解 如图，已知向量 ，求作向量 。 （1） （2） （3） （4） 向量加法的三角形法则适合所有关系的向量。 典题巩固 典例讲解 如图所示，已知向量，，不共线，作向量++ 解：法一：三角形法则 法二：平行四边形法则 A O B D A O B D C E 变式训练 4.对于零向量与任一向量，规定： ． 互为相反向量的两个向量的和为零向量：+（-）=（-）+= 典例讲解 方法总结 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题： 1.向量的加法运算结果还是向量。 2.三角形法则推广：三个及以上向量加法同样适用 （1）三角形法则可以推广到<m></m>个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即<m></m>个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第<m></m>个向量的终点的向量； （2）求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单. 3.平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合； 提分笔记 用适当的向量填空： 典例讲解 变 式 训 练 向量三角不等式 当 ， 同向时，右边取等号； 当，反向时，左边取等号。 探索新知 对任意两个向量，之间具有怎样的大小关系？通过作图进行解释。 典例讲解 例2：轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40nmile到达B处，再由B处沿正北方向行驶40nmile到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.(精确到0.1nmile)。 分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合成位移， ， 设正东方向所在直线为，过点作垂线，垂足为点，在Rt△中，，，||=40n mile， ∴ =| ·40 ·sin30°)n mile( |=| ·40·cos30°（n mile） . 在Rt∆中，，|||=60（n mile）， |(n mile). 由||，得， 因此，此时轮船位于港北偏东30°且距港（n mile）的处. 某小船发动机突然发生故障停止转动，失去动力的小船在水中漂行，此时， 风向是北偏东 ,风速大小是，水的流向是正东方向，流速大小 是 .若不考虑其他因素,小船在水中漂行的速度的方向是北偏东_____， 大小是______ . 典例讲解 [解析] 如图，风速大小是，即 ， 水的流速大小是,即,则小船速度的大小为 . 由题意可知，四边形为菱形，且 ， ∴ ， ∴小船在水中漂行的速度的方向是北偏东 ,大小为 . ① 交换律: 探究：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 探索新知 二、向量的加法的运算律 ② 结合律: 一组首尾相接的向量和： “首尾相接，连首尾” 探索新知 二、向量的加法的运算律 + 典例讲解 方法1：向量加法的三角形法则： 如图，在平面上任取一点A， ， 作 ， 例3：如图，已知向量，作出，并说出多个向量求 和的方法及依据. 则 . 典例讲解 方法2：向量加法的交换律 如图，在平面上任取一点A´， 作， 则 . A´ ， ， 例3：如图，已知向量，作出，并说出多个向量求 和的方法及依据. 方法总结 向量加法应用的关键及技巧 （1）三个关键： ①是搞清构成平面图形的向量间的相互关系； ②是熟练找出图形中的相等向量； ③是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量. （2）应用技巧： ①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量； ②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何 意义进行求解． 典例讲解 提分笔记 典例讲解 如图，，，，分别是梯形的边 ， ，， 的中点，化简下列各式： （1） ； （2） ． 解： （1） . （2） ． 典题巩固 化简 (1) (2) (3) (4) 典例讲解 变式训练 课堂检测 1.在正六边形中， ( ). D A. B. C. D. 2.（多选题）已知，为非零向量，且 ，则( ). AB A.，且与的方向相同 B.， 是共线向量 C. D.， 无论什么关系均可 3.（多选题）如图所示，在正方体 中，下列各式 运算结果是 的为( ). ABC A. B. C. D. 基础巩固题 $