精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

汽开三中2025-2026学年度上学期期末考试 高二数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列通项公式代入即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由， 可得， 所以. 故选：B 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助离心率定义计算即可得. 【详解】可化为，则离心率． 故选：B. 3. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则直接求导即可. 【详解】函数的导函数. 故选：C 4. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件及平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行， 所以有，所以有， 又因为这两条平行线间距离为， 所以有，或舍去， 所以. 故选：D. 5. 若数列满足，，则（    ） A. 1020 B. 1024 C. 2044 D. 2048 【答案】C 【解析】 【分析】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 6. 已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用设动点坐标，表示距离，结合题意可得轨迹方程，再用坐标法来求距离的最大值即可. 【详解】设点，则根据题意可得：， 整理得：， 则， 因为，所以当时，， 故选：C 7. 已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求出、的值，可得出数列的通项公式，分析数列奇数项和偶数项的单调性，可得出、的值，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，由，解得， 所以，， 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减， 故，，， 故选：D． 8. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到恒成立，转化为在恒成立，即，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为且， 因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立， 即在恒成立，即， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 若，则 D. 以为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和几何性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由抛物线，可得其焦点为，所以A正确； 对于B中，抛物线的准线方程为，所以B错误； 对于C中，因为点在上，根据抛物线的定义，可得， 解得，所以C正确； 对于D中，由抛物线的定义，可得， 则线段的中点坐标（即圆心）到轴的距离为， 故以为直径的圆与轴相切，所以D正确． 故选：ACD． 10. 设是数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若等差数列的项数为，为所有奇数项的和，为所有偶数项的和，则 B. 若是等差数列，则是与的等差中项 C. 若为等比数列，，，则 D. 若数列，，…，是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列项的性质及等差数列前项和公式及性质，等比数列项的性质及等比数列前项和公式及性质逐个判断各个选项. 【详解】， 即， ∴，A选项正确； ，， ， ，∴是和的等差中项， 即是与的等差中项，选项正确； 等比数列中，成等比数列， ∴， ∴，选项错误； 数列的通项公式， ∴， ∴，D选项正确； 故选：ABD. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若有两个不同的实根，则a的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据导函数的正负得出函数单调性进而得出极值判断A，根据单调性判断C，应用对数运算判断B，应用单调性结合函数值域即可判断D. 【详解】由已知得， 令得，令得， 故在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，A正确； 又令得，即，所以只有1个零点，B不正确； 函数在上单调递减，因为，所以，故C正确； 若有两个不同的实根，由在上单调递增，在单调递减， 所以的最大值为， 当时，，当时，， 当有两个不同的实根，则，故D不正确． 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线方程为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得导数，结合题意可得，解得，的值，相加即可得答案． 【详解】解：根据题意，曲线的导数为， 若曲线在点处的切线方程为，则有， 解得，，则. 故答案为2． 【点睛】本题考查利用函数的导数计算切线方程，考查了函数导数的几何意义，属于基础题． 13. 已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的基本性质，求出公比，求出数列的项 【详解】设等比数列公比为，则，所以，所以. 故答案为：. 14. 已知动圆上总存在不同的两点，到坐标原点的距离都等于1，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出以坐标原点为圆心，半径为1的圆为，设该圆为圆，由圆的方程分析圆心坐标和半径，分析可得若动圆上总存在不同的两点，到坐标原点的距离都等于1，则圆与圆有2个交点，由圆与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，以坐标原点为圆心，半径为1的圆为，设该圆为圆， 圆，即，其圆心为，半径，则， 若动圆上总存在不同的两点，到坐标原点的距离都等于1，则圆与圆有2个交点， 则有，即，解得， 即的取值范围为； 故答案为：． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线C的焦点坐标为，，实轴长为6． （1）求双曲线C标准方程； （2）若双曲线C上存在一点P使得，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，求出，即可求解对应双曲线方程； （2）由垂直可得，再结合第一定义可得，联立求解求出，即可求解 【详解】（1）由条件得，，，∴，∴双曲线方程为：． （2）由双曲线定义知且， 联立解得，∴的面积为：． 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，焦点三角形面积的求法，属于基础题 16. 已知函数在时取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点求出值并验证，再解导数大于0、小于0的不等式即得. （2）利用（1）中单调区间求出极小值及端点处的函数值即得. 【小问1详解】 函数，求导得， 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此，，当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，函数的在上单调递增，在上单调递减， ，， 所以函数在区间上的最小值是. 17. 已知数列的前项和为，且1，，成等比数列. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）1，3； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义可得，进而求出. （2）由（1）的结论，利用求出通项公式. （3）由（2）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 由1，，成等比数列，得，所以，. 【小问2详解】 当时，，而满足上式， 所以的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）知，， 则， 则. 18. 已知数列满足：，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和； （3）记，其中表示不超过x的最大整数，如，．求数列的前2025项和． 【答案】（1）； （2）； （3）4968. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求出其前n项和. （3）根据给定条件，当时，；当时，；当时，；当时，，，进而计算得解. 【小问1详解】 数列中，由，得，则，而，解得， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 则，， 两式相减得， 所以. 【小问3详解】 由（1）得， 当时，，，共有9项； 当时，，，共有90项； 当时，，，共有900项； 当时，，，共有9000项； 而，所以. 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与圆相切，与椭圆相交于两点． ①若直线过椭圆的右焦点，求的长； ②求证：． 【答案】（1） （2）①， ②当直线斜率不存在时，直线，代入椭圆方程求得， 由对称性，不妨取 则，则，即； 当直线斜率存在时设，∵与圆相切， ∴，即， 联立方程，整理得， 设，则， ∵， ∴， 即， ∴∵， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）由离心率及椭圆上的点建立方程组，解得，即可写出椭圆方程； （2）①由（1）求得焦点坐标，讨论斜率是否存在，得到直线的方程，由直线与圆相切求得直线方程，联立直线方程与椭圆方程，整理得到一元二次方程，由韦达定理及交点弦长公式求得的长； ②讨论切线斜率是否存在，写出直线方程，联立方程组整理得到一元二次方程，由韦达定理及向量的数量积证明两直线垂直. 【小问1详解】 由题意得，解得， ∴椭圆 【小问2详解】 ①点，当直线斜率不存在时，，此时与圆不相切， 所以设直线，即， 所以圆心到直线的距离，∴， 即或， 由对称性不妨取， 联立方程组得，整理得， 设，则， 则. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开三中2025-2026学年度上学期期末考试 高二数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 4. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 5. 若数列满足，，则（    ） A. 1020 B. 1024 C. 2044 D. 2048 6. 已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 7. 已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 若，则 D. 以为直径的圆与轴相切 10. 设是数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若等差数列的项数为，为所有奇数项的和，为所有偶数项的和，则 B. 若是等差数列，则是与的等差中项 C. 若为等比数列，，，则 D. 若数列，，…，是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若有两个不同的实根，则a的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线方程为，则______． 13. 已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 14. 已知动圆上总存在不同的两点，到坐标原点的距离都等于1，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线C的焦点坐标为，，实轴长为6． （1）求双曲线C标准方程； （2）若双曲线C上存在一点P使得，求的面积． 16. 已知函数在时取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值. 17. 已知数列的前项和为，且1，，成等比数列. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 18. 已知数列满足：，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和； （3）记，其中表示不超过x的最大整数，如，．求数列的前2025项和． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与圆相切，与椭圆相交于两点． ①若直线过椭圆的右焦点，求的长； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $