21.2.1平行四边形及其性质 课件 2025～2026学年人教版数学八年级下册

学习目标 1. 能运用平行四边形对角线性质证明线段相等. 2. 理解并掌握两条平行线之间距离的概念及性质，会运用相关知识解决简单几何证明与计算问题. 回 顾 平行四边形有哪些性质？ ①平行四边形的两组对边分别平行. ②平行四边形的对边相等. ③平行四边形的对角相等. ④平行四边形的对角线互相平分. AB∥CD，AD∥BC. AB＝CD，AD＝BC. ∠A＝∠C，∠B＝∠D. AO＝CO，BO＝DO. 如何根据平行四边形的性质解决其它问题呢？ B C D A O 例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F. 求证OE＝OF. 证明：在□ABCD中，AB∥CD， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO. 又OA＝OC， ∴△AOE≌△COF. ∴OE＝OF. A B C D E F O 变 式 将EF延长，与AD、BC的延长线交于点M、N，求证OM＝ON. A B C D E F O M N 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠M＝∠N， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∵∠AOM＝∠CON， ∴△AOM≌△CON(AAS)， ∴OM＝ON. △AEM≌△CFN、 △DMF≌△BNE. 距离是几何中的重要度量之一. 我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离，在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，学习两条平行线之间的距离. 探 究 (1)把两张平行四边形纸条随意叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，存在哪些等量关系？为什么？ 动手试一试吧！ A B C D AB＝CD，AD＝BC . 原因：由两张平行四边形纸条得AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC. 两条平行线间的平行线段相等. 探 究 (1)把两张平行四边形纸条随意叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，存在哪些等量关系？为什么？ 探 究 (2)当两张纸条互相垂直时，线段AB 和CD还相等吗？你能得到什么结论？ A B C D AB ＝CD ； 结论：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离． 思 考 两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别? 点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离. 任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 归纳总结 平行线间的距离： 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离. 2.性质：两条平行线间的距离处处相等. 数学语言： 如图，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，垂足 为B，线段AB的长就是平行线a，b之间的距离. A B a b 例1 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC. 求证∠B＝∠C. ∟ ∟ 证明：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F. ∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离， ∴AE＝DF. 分析：由于AD//BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明. 又AB＝DC， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF. ∴∠B＝∠C. 你还有其他证明方法吗？ A B C D E F 方法二 证明：如图，在梯形ABCD中，过点D作DE//AB交BC于点E. ∵AD//BC，DE//AB， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB＝DE. 又AB＝DC， ∴DC＝DE， A B C D E ∴∠DEC＝∠C. 由DE//AB可得∠B＝∠DEC， ∴∠B＝∠C. 例1 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC. 求证∠B＝∠C. 1. 如图，为方便游客进行观光游玩，某景区计划新建一条观光公路，已知公路的两边互相平行，图中哪条线段的长能比较准确地描述这一段公路的宽度(　　) B A. 线段AD   B. 线段CF C. 线段BE   D. 线段AG 2. 已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是(　　) A. 3cm   B. 7cm C. 3cm或7cm   D. 以上都不对 C 3. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝5，BC＝3，则以下结论不正确的是(　　) A．AD＝3 B．OB＝2 C．AC＝ D．▱ABCD的面积为6 D 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任意作直线分别交AB、CD于点E、F． (1)求证：△BEO≌△DFO； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴AB∥CD，OB＝OD， ∴∠OEB＝∠OFD， 在△BEO和△DFO中， ∴△BEO≌△DFO(AAS)． 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任意作直线分别交AB、CD于点E、F． (2)若CD＝10，AD＝8，OE＝3，求四边形BEFC的周长． 解：由(1)得△BEO≌△DFO， ∴OE＝OF＝3，BE＝DF，∴EF＝2OE＝6， ∵CB＝AD＝8，CD＝10， ∴BE＋CF＝DF＋CF＝CD＝10， ∴EF＋BE＋CF＋CB＝6＋10＋8＝24， ∴四边形BEFC的周长为24． 6. 如图，是一个户外摇椅，固定杆AB平行于地面，李华想要利用一根足够长的绳子验证固定杆AB和座椅CD是否平行，请你帮他设计一个验证方案，并说明理由． 解：方案：在座椅静置的情况下，将绳子一端固定在点A处，让绳子自然下垂，在绳子上标记绳子与座椅的交点E，再将这根绳子的同一端固定在点B处，让绳子自然下垂，在绳子上标记绳子 与座椅的交点F，比较AE与BF的长短. 若AE=BF，则AB∥CD；反之，则不平行. 理由：平行线之间的距离处处相等． (E) (F) 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间 的距离. 性质：两条平行线间的距离处处相等. 平行线间 的距离 $ 学习目标 1.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分. 2.能利用平行四边形对角线的性质解决相关问题. 我打算按照如图所示的方法，将我的地平分给我的四个儿子. 老人的儿子们都觉得不公平，你认为他的做法合理吗？ 遥远的山村里住着一位年迈且智慧的老人.老人有一块平行四边形的肥沃田地，由四个儿子共同继承.现需要将这块田地平均分成四份，每份地的面积要相同，以方便各自耕种. 思 考1 如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O. OA与OC，OB与OD有什么关系? B A C D O 我猜测：OA＝OC，OB＝OD. 如何证明这个猜想呢？ 已知：□ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O. 求证：OA＝OC，OB＝OD. B A C D O 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△AOD≌△COB(ASA)， ∴OA＝OC，OB＝OD. 1 2 3 4 平行四边形的对角线互相平分. 拓展思考1 这块平行四边形土地的周长为80米，且△AOB的周长比△BOC的周长小2，边AB和边BC的长为多少？ B A C D O 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)， 由题可知△BOC的周长－△AOB的周长＝2. ∴BC＋OB＋OC－(AB＋OA＋OB)＝2. ∴BC－AB＝2. 又∵▱ABCD的周长为80m， 即2(AB＋BC)＝80，∴AB＋BC＝40. ∴AB＝19m，BC＝21m. 归纳总结 相邻两个小三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值. 问题1 △ABO，△BCO，△CDO，△DAO的面积有什么关系? B A C D O 解：S△ABO ＝ S△BCO ＝ S△CDO ＝ S△DAO ，理由如下： 在△ABD中，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分)，∴OA是BD边上的中线， ∴S△ABO＝S△DAO . 同理可得：S△ABO＝S△BCO，S△BCO＝S△CDO， ∴S△ABO ＝ S△BCO ＝ S△CDO ＝ S△DAO . 平行四边形的两条对角线将其平分成面积相等的4个三角形. 例1 如图，在□ ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC，CD ， AC ， OA的长，以及□ABCD的面积. 解： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ BC＝AD＝8，CD＝AB＝10. ∵ AC⊥BC ， ∴△ABC是直角三角形. 在Rt△ABC中，根据勾股定理， 又OA＝OC＝ AC＝3 ， ∴S□ ABCD＝BC·AC＝8×6＝48. 解： ∵四边形ABCD 是平行四边形，AC＝26， ∴DC＝AB，OA＝OC＝13，OB＝OD. 在Rt△AOD中，根据勾股定理 ， ∴OB＝OD＝5，BD＝10. 在Rt△ABD中，根据勾股定理 . ∴ ，S□ABCD＝12×10＝120. 变 式 如图，在□ABCD中，AD=12，对角线AC＝26，∠ADB=90°.求DC的长和四边形ABCD的面积. 探 究 如果老人想把这块地平均分成两份，你会如何分？ 方法1：沿着对角线平分 B A C D B A C D 平行四边形的两条对角线将其平分成面积相等的2个三角形. 探 究 如果老人想把这块地平均分成两份，是你你会如何分？ 方法2：沿着一组对边中点的连线平分 B A C D B A C D S四边形ABFE ＝ S四边形CDEF S四边形ADHG ＝ S四边形BCHG E F G H 平行四边形对边中点的连线平分其面积. 思 考2 方法1和方法2有什么共同点？ B A C D B A C D B A C D B A C D E F G H 都过平行四边形两条对角线的交点. B A C D E F 过平行四边形对角线交点的任意一条直线，平分其面积和周长. 请自主完成证明. 做一做 过平行四边形对角线的交点任意作一条直线，你能发现什么？ 拓展思考2 如图，四边形ABCD和四边形ECFG均为平行四边形，如何等分不规则图形ABFGED的面积？ B A C D E F G O I M N 解： 连接AC、BD交于点O，连接EF、CG交于点I. 过点O、点I作直线交AB于点M，交GF于点N， 此时MN将图形ABFGED的面积等分. 1.(2025 湖北)如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A(－1，2)，则点C的坐标是(　　) A．(2，－1) B．(－2，1) C．(1，－2)　　 D．(－1，－2) C 2.(2024 贵州)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A．AB＝BC B．AD＝BC C．OA＝OB D．AC⊥BD B 3.如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为18，则△ABE的周长为__________． 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，若S▱ABCD＝12，则S阴影＝__________． 9 3 第3题图 第4题图 5.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF． 求证：BE＝DF． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AE＝CF， ∴AO－AE＝CO－FO，即EO＝FO. 在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF(SAS)， ∴BE＝DF． 6.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若DO＝3cm，AB＝10cm，BC＝8cm，求▱ABCD的面积． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2DO＝2×3＝6 cm，CD＝AB＝10 cm， 在△BCD中，BC2＋BD2＝CD2， ∴△BCD为直角三角形，∠CBD＝90°， ∴DB⊥BC. ∴S▱ABCD＝BC·BD＝8×6＝48 cm2． 1.平行四边形的两条对角线将其分成面积相等的4个三角形. 2.经过对角线交点的任意一条直线平分平行四边形的面积和周长. 平行四边形 对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分 $ 学习目标 1. 理解平行四边形的概念. 2. 探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等. 回 顾 观察下面的图形，你能说出他们的形状吗？ 三角形 等腰三角形 直角三角形 ∟ 在一般图形的基础上研究特殊图形 对于四边形，从组成它的四条边的位置关系来看，位置关系不同，四边形有什么变化？ 四边形 平行四边形 梯形 两组对边分别平行 只有一组对边平行 本节课我们重点学习平行四边形，研究它边和角的性质. 问 题1 观察以下图形，它们有什么共同特征？ 都有平行四边形. 你还能举出一些例子吗？ 学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等都有平行四边形的形象. B C D A 要按照顶点顺时针或者逆时针的顺序. 注意 我们知道：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 问 题2 请写出平行四边形ABCD的基本元素. 边 角 对边：AB 与 CD；AD 与 BC. 邻边：AB 与BC；AB 与 AD； BC 与DC；AD 与 DC . 对角：∠A与∠C；∠B与∠D. 邻角：∠A与∠B；∠B与∠C； ∠C与∠D；∠D与∠A. B C D A 平行四边形的两组对边平行 即：四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC. 平行四边形的两组对边分别平行. B C D A 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 平行四边形的两组对边分别平行是平行四边形求角度题中经常用到的性质. 画一画 根据平行四边形的定义，画一个平行四边形ABCD. D A B C 探 究 用尺子等工具度量平行四边形的四条边，你能发现什么? A B C D 测量得到AB=DC，AD=BC. 量一量 用量角器等工具度量平行四边形的四个角，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗? A B C D 测量得到∠A =∠C，∠B =∠D. 猜测：① 平行四边形对边相等； ② 平行四边形对角相等. 怎样证明呢? 猜测：平行四边形的对边相等，对角相等. 已知：如图，四边形ABCD为平行四边形. 求证： AB＝CD，AD＝BC； ∠B＝∠D，∠A＝∠C. 分析：借助全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法.通过添加辅助线，构造两个全等三角形. B C D A 证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC, ∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4. 1 2 3 4 猜测：平行四边形的对边相等，对角相等. 已知：如图，四边形ABCD为平行四边形. 求证： AB＝CD，AD＝BC； ∠B＝∠D，∠BAD＝∠DCB. 又AC是△CBA和△ADC的公共边， ∴△ADC≌△CBA， ∴AB=CD，AD=BC，∠B = ∠D. 又 ∵∠1 = ∠2,∠3 = ∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3， 即∠BAD =∠BCD. B C D A 1 2 3 4 思 考 不添加辅助线、你能证明平行四边形的对角相等吗? B C D A 证明：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC, ∴∠A+∠B=180°，∠C+∠B=180°， ∴∠A = ∠C. 同理，可得∠B = ∠D. 归纳总结 平行四边形的性质：1. 平行四边形的对边相等． 2. 平行四边形的对角相等． 数学语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∠B＝∠D. B C D A 例1 如图，在 □ABCD 中，∠B = 40°，求∠A、∠C、∠D的度数. 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠D ＝∠B ＝40°，∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠A＋∠B＝180°， ∴∠A＝∠C ＝180°－∠B＝ 140°. B C D A 在平行四边形中，知道一个内角的度数，即可求得其它三个内角的度数． 1.判断题： (1)平行四边形两组对边分别平行且相等. ( ) (2)平行四边形的四个内角都相等. ( ) (3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180°. ( ) (4)平行四边形相邻两边长是2cm和3cm，周长为10cm. ( ) (5)在▱ABCD中，若∠A=42°，则∠B=48°. ( ) √ √ √ × × 2.(2025贵州)如图，小红想将一张矩形纸片沿AD，BC剪下后得到一个▱ABCD，若∠1=70°，则∠2的度数是 ( ) A. 20°   B. 70° C. 80°   D. 110° B 3.如图是一个平行四边形，有一个角不小心被裁掉了，已知∠A＝70°，则被裁掉的角的度数为( ) A. 60°   B. 70° C. 80°   D. 110° B 4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为( ) A. 3°   B. 4 C. 5°   D. 以上都不对 B 5.(2025宜宾)如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD＝5， ∴∠D＝∠FCE， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， 5.(2025宜宾)如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长． ∴△ADE≌△FCE(ASA)， ∴FC＝AD＝5， ∴BF＝BC＋FC＝5＋5＝10． 平行四边形的 边、角性质 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 平行四边形 的定义 边：平行四边形的对边平行且相等； 角：平行四边形的对角相等. 性质 $