28.2.2　应用举例 第2课时 课件 2025--2026学年人教版九年级数学下册

28.2　解直角三角形及其应用 单击此处编辑母版文本样式 28.2.2　应用举例 第2课时　坡度、方位角问题 单击此处编辑母版文本样式 1.知道坡度、坡角、方位角的概念,根据解直角三角形的知识解决实际问题. 2.体会数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,加强数学应用的意识. ◎重点:用解直角三角形的知识解决与坡角、方位角有关的实际问题. ◎难点:将实际问题抽象为数学问题. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 上午10时整,一渔轮在小岛O的北偏东30°方向,距离小岛10海里的A处,正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行.那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间(精确到1分)?怎样判断方位角?你能根据题意画出图形吗? 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 方位角问题   请你阅读课本本课时“例5”填空: 归纳总结　利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程:(1)将实际问题抽象为　 　问题(画出　 ,转化为　 　的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用　 　等解直角三角形;(3)得到　 　;(4)得到　 　.    数学 平面图形 解直角三角形 锐角三角函数 数学问题的答案 实际问题的答案 单击此处编辑母版文本样式 坡度问题     请你阅读课本本课时“练习”第2题,填空(阅读时注意坡度、坡角的关系). 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　 如图,坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度(或叫作　 　),一般用i表示,即i=  　,常写成i=h∶l的形式,坡面与水平面的夹角α叫作　 　.坡度与坡角α之间的关系是　 　.  坡比 i=tan α 单击此处编辑母版文本样式 坡度问题 1.如图,这是某游乐公司修建的轮滑滑道草图,设计师从土台上直立大树的底端F出发,水平滑行10米到E点,沿着一个坡比为8∶15的斜坡下行8.5米到B点,然后惯性滑行5.5米到C点停止,此时测得树梢P点的仰角为24°,若A,B,C,D均在一直线上,请你依据图中数据试求树高多少米.(参考数据:sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.45) 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,作EQ⊥AB于点Q. 由题意得四边形AQEF是矩形,∴AQ=EF=10米,EQ=FA. 在Rt△BQE中,∵EQ∶QB=8∶15,BE=8.5米, ∴EQ=FA=4米,QB=7.5米. ∵BC=5.5米, ∴AC=AQ+QB+BC=10+7.5+5.5=23(米). 单击此处编辑母版文本样式 在Rt△PAC中,PA=AC·tan 24°≈23×0.45=10.35(米), ∴PF=PA-FA=10.35-4=6.35(米). 故树高大约6.35米. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 如图,我市在建高铁的某段路基,其横断面为四边形ABCD,DC∥AB.BC长为6米,坡角β为45°,AD的坡角α为30°,则AD长为　 　米(结果保留根号).  6 单击此处编辑母版文本样式 方位角问题 2.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”,如图,“海宝”从圆心O出发,先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处,再沿正南方向行走14米至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B,C都在圆O上. (参考数据:sin 67.4°≈,cos 67.4°≈,tan 67.4°≈ ) 单击此处编辑母版文本样式 (1)求弦BC的长. (2)请判断点A和圆的位置关系,试说明理由. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)如图,连接OB,过点O作OD⊥AB于点D, 则四边形ODBE为矩形, ∴OD=BE.∵AB∥SN,∴∠A=∠AON=67.4°. 在Rt△AOD中,OD=AO×sin 67.4°≈13×=12, ∴BE=OD=12. 由垂径定理得BC=2×12=24(米). 单击此处编辑母版文本样式 (2)点A在圆内. 理由如下:AD=AO×cos 67.4°≈13×=5, ∴DB=14-5=9, ∴OB===15, ∴圆O的半径为15. ∵OA=13,13<15,∴点A在圆内. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 如图,这是某景区五个景点A,B,C,D,E的平面示意图,B,A在C的正东方向,D在C的正北方向,D和E均在B的北偏西18°方向上,E在A的西北方向上,C,D相距1000米,E在BD的中点处,求景点B,A之间的距离.(参考数据:sin 18°≈0.309;cos 18°≈0.951;tan 18°≈0.325;sin 72°≈0.951;cos 72°≈0.309;tan 72°≈3.078;≈1.414) 单击此处编辑母版文本样式 解:由题意,得∠C=90°,∠CAE=45°. 如图,过点E作EF⊥AC于点F. ∵E在BD的中点处,∴EF=CD=500. 在Rt△BEF中, BF=EF·tan 18°≈500×0.325=162.5(米). 单击此处编辑母版文本样式 ∵AF=EF=500(米), ∴AB=AF-BF=500-162.5=337.5(米). 答:景点B,A之间的距离为337.5米. 单击此处编辑母版文本样式 1河堤的横断面如图所示,堤高BC的长是5米,迎水斜坡AB的长是13米,那么斜坡AB的坡度i是 ( ) A.1∶3 B.1∶2.6 C.1∶2.4 D.1∶2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏西32°,那么从A观测此时的C处的方向为 ( ) A.南偏东32° B.东偏南32° C.南偏东68° D.东偏南68° A 单击此处编辑母版文本样式 3 如图,在屋顶的设计图中,AB=AC,屋顶的宽度l为10米,坡角α为35°,则屋顶高度h为　 　米.(结果精确到0.1米;sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)  3.5 单击此处编辑母版文本样式 4如图,海面上有A,B两岛分别位于C岛的正北方向和正东方向上,一艘船从C岛出发,以20海里/时的速度向正北方向航行2小时到达A岛,此时测得B岛在A岛的南偏东58°方向上,B,C两岛之间的距离为　 　海里.(参考数据:sin 58°≈0.8,cos 58°≈0.5,tan 58°≈1.6)  64 单击此处编辑母版文本样式 5若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10 m,则他所在的位置比原来的位置升高　 　.  6 m 单击此处编辑母版文本样式 6王英同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地,再从B地向正南方向走200 m到C地,此时王英同学离A地 ( ) A.150米 B.50米 C.100米 D.100米 D 单击此处编辑母版文本样式 7 为了抵御洪水的侵袭,某市政府决定今年将1200 m长的堤坝的迎水坡面铺石加宽,如图,堤高DF=4 m,堤面加宽2 m,坡度由原来的1∶2改为1∶2.5,则完成这一工程需要的石方数为　 　m3.  14400 单击此处编辑母版文本样式 8如图,小刚在一山坡上依次插了三根木杆,第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30°,且坡面距离是16米的坡面上,而第二根与第三根又在倾斜角为45°,且坡面距离是8米的坡面上,则第一根与第三根木杆的水平距离是　 　米.  (8+4) 单击此处编辑母版文本样式 9如图,这是一座人行天桥示意图,天桥高BC=12米,原设计的坡面坡度为1∶1,为了方便行人推车过天桥,政府有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1∶,且新坡角下需留3米宽的普通人行道和1米宽的盲道. (1)新坡面的坡角是多少度? (2)原天桥底部正前方12米处的花坛M是否需要拆除?请说明理由.(≈1.73) 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵tan∠CDB=, ∴∠CDB=30°,即新坡面的坡角为30°. (2)需要拆除.理由如下: ∵=,BC=12,∴DB=BC=12. 在Rt△ABC中,tan∠CAB==1,∴AB=BC=12. ∵12-(12-12)=24-12≈3.24<4,∴花坛M需要拆除. 单击此处编辑母版文本样式 10 如图,某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处.某同学在博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东27°方向,B处在博物馆C的东南方向.(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.90,tan 27°≈0.50,≈2.45) (1)请计算博物馆C到B处的距离.(结果保留根号) 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 (2)博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道.某同学通过计算后发现,轨道线路铺设到B处时,只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设,就能使轨道线路恰好避开绿地.请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道.(结果精确到个位) 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)如图1,过点C作CG⊥AB于点G, 在Rt△BCG中,∠CBG=45°, ∴△BCG是等腰直角三角形, ∴CG=BG, 设CG=BG=x米,则BC=x米, 在Rt△ACG中,∠CAG=27°, 单击此处编辑母版文本样式 tan∠CAG==tan 27°≈0.50,∴AG≈2CG=2x米. ∵AG=AB+BG=(184+x)米, ∴2x≈184+x, 解得x≈184, ∴BC=x≈184(米). 答:博物馆C到B处的距离约为184米. 单击此处编辑母版文本样式 (2)如图2,过点C作CH⊥BE于点H, 由题意得∠CBG=45°,∠DBE=15°, ∴∠CBE=∠CBG+∠DBE=60°, 由(1)可知,BC≈184米, 在Rt△CBH中, CH=BC·sin 60°≈184×=92≈225(米). 答:博物馆C周围至少225米内不能铺设轨道. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 37 $