2026年贵州省中考数学一轮复习：第四章三角形 课件

微专题4　 巧用平行线解决三角板中角的问题 　　中考中常以一副三角板或以一把直尺与一块三角板或两块三角板为背 景，考查不同摆放位置下某个角的度数，解决此类题常用三角形内角和等 于180°、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和、平行线的判定 与性质等求解，必要时需作辅助线，如平行线、构造成三角形的线等. 平行线拐点的常见类型： 已知AB∥CD，过点E作EF∥AB. 　　　 【典例】把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个 直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（　B　） B A. 90° B. 105° C. 120° D. 135° 1. （2025·贵州黔西南州模拟）如图，一副直角三角板按如图所示的方式 摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（　B　） A. 30° B. 15° C. 18° D. 45° B 2. （2025·贵州黔南州一模）将一副直角三角板（∠B＝45°，∠E＝ 30°）按如图所示摆放，点D在BC上且点F在AC的延长线上.若 AB∥DE，则∠CDF的度数为（　B　） A. 80° B. 75° C. 70° D. 65° B 3. （2024·贵州黔东南州二模）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三 角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直 线a，b上.若∠1＝22°，则∠2的度数是（　A　） A. 38° B. 45° C. 58° D. 60° A 4. （2024·贵州模拟预测）一把直尺和一个直角三角板按如图方式叠合在 一起（三角板的直角顶点在直尺的边上）.若∠1＝26°，则∠2的度数是 （　A　） A. 64° B. 56° C. 45° D. 28° A 5. （2024·贵州遵义模拟预测）如图，直线a∥b，将直角三角板的直角顶 点放在直线b上.若∠1＝50°，则∠2的度数是（　B　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° B 6. （2024·贵州黔东南州二模）一副含30°角和45°角的直角三角板如图 摆放，则∠1的度数为（　C　） A. 60° B. 65° C. 75° D. 70° C 7. （2024·贵州一模）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，若∠GEF ＝60°，∠MNP＝45°，AB∥CD，则下列结论不正确的是（　C　） A. GE∥MP B. ∠EFN＝150° C. ∠BEF＝60° D. ∠AEG＝∠PMN C 8. （2024·贵州黔东南州一模）将一副三角板按如图所示方式摆放在一组 平行线内.若∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　C　） A. 55° B. 65° C. 70° D. 75° C 9. 如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°， 直尺的一边DE经过顶点A. 若DE∥CB，则∠BAE的度数为（　C　） A. 30° B. 50° C. 60° D. 70° C 10. （2025·贵州毕节模拟预测）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直 尺的一边上.若∠1＝50°，则∠2＝（　A　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° A $微专题7　 与三角形有关的中点问题 构造中位线 作法 在三角形中，当出现一个或 两个中点，连接中点，构造 相似三角形.如图，点D，E 分别是AB，AC的中点，则 连接DE 在三角形中，当出现三个中点时， 连接各中点，构造平行四边形，同 时也构造了相似比为1∶2的相似三 角形.如图，点D，E，F分别是 AB，AC，BC边的中点，则连接 DE，EF，DF 图示 结论 1.DE∥BC； 2.DE＝ BC； 3.△ADE∽△ABC 1.DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB； 2.DE＝ BC，DF＝ AC，EF＝ AB； 3.△ADE∽△DBF∽△EFC∽△ABC∽△FED 4.四边形ADFE为平行四边形 1. 如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝11，D是AC的中点，E是△ABC内 一点，DE∥BC. 若∠AEB＝90°，则DE的长为 ⁠. 2　 2. 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，E，F分别为边AC， BC上的点，M，N分别为EF，AB的中点.若AE＝BF＝2，则MN的长 为 ⁠. 　 3. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 ，BC＝3，D，E分别 是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接DF，EF，则 EF的长为 ⁠. 　 直角三角形斜边上的中线 作法 遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，连接CD 图示 结论 CD＝ AB＝AD＝BD 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中 点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接EF. 若AB＝10，则EF的长是 （　A　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 A 5. 如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON 上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动.若矩形ABCD的 形状保持不变，且AB＝2，BC＝1，则在运动过程中，点D到点O的最大 距离为 ⁠. ＋1　 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点， E，F分别是AC，BC上的点，且AE＝CF，请判断△DEF的形状，并写 出证明过程. 解：△DEF是等腰直角三角形.证明如下： 如图，连接CD. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°. ∵AC＝BC，D为AB的中点， ∴CD⊥AB，∠FCD＝∠ACD＝45°， ∴∠A＝∠ACD＝∠FCD，∴AD＝CD. ∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF， ∠ADE＝∠CDF. ∵∠ADE＋∠CDE＝90°， ∴∠CDF＋∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形. 等腰三角形“三线合一” 作法 遇等腰三角形底边中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合 一”解题. 如图，在等腰三角形ABC中，点D是底边BC的中点，若连接 AD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD 图示 结论 ①BD＝CD； ②∠BAD＝∠CAD； ③△ABD≌△ACD 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点， MN⊥AC于点N，则MN的长为（　D　） A. 3 B. 3 C. D. D 8. 如图，点D在△ABC的边BC上，AD＝AB，E是BD的中点，点F在边 AC上，AF＝ AC＝6，连接EF，则EF的长为 ⁠. 6　 倍长中线 作 法 如图，在△ABC中， AD为BC边上的中线， 延长AD到点E，使得 ED＝AD，连接CE 如图，在△ABC中，D是BC的中 点，点E是AB上一点，作法一： 延长ED到点F，使得DF＝DE， 连接CF； 作法二：过点C作CF∥AB，交ED 的延长线于点F 图 示 结论 △ABD≌△ECD △BDE≌△CDF 9. 如图，已知AB＝12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD＝5，BC ＝10.若点E是CD的中点，则AE的长为 ⁠. 　 如图1，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值 范围. 图1 图2 小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点 E，使DE＝AD，连接BE. 请根据小颖的方法思考： 10. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题. （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是（　B　） A. SSS B. SAS C. AAS D. HL （2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ⁠ ⁠. 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全 等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. 完成上题的解答之后，小颖乐于探究，她又提出了如下的问题，请你 解答. B 2＜AD＜ 10　 ①如图3，若AD是△ABC的中线，且AF＝EF，求证：AC＝BE. ②如图4，若E是BF的中点，求证：AF·CD＝AC·BD. 图3 图4 （3）在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，E是AD上一点，连接BE 并延长，交边AC于点F. 证明：①如图1，延长AD到点G，使DG＝AD. ∵AD＝GD，∠ADC＝∠GDB，CD＝BD，∴△ADC≌△GDB （SAS），∴AC＝BG，∠DAC＝∠G. ∵AF＝EF，∴∠AEF＝ ∠EAF. 又∵∠AEF＝∠BEG， ∴∠BEG＝∠G，∴BE＝BG，∴AC＝BE. 图1 图2 ②如图2，延长AD到点H，使得EH＝AE，连接BH. ∵AE＝HE， ∠AEF＝∠HEB，EF＝EB， ∴△AEF≌△HEB（SAS），∴BH＝AF，∠H＝∠EAF，∴BH∥AC， ∴△BDH∽△CDA，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AF·CD＝AC·BD. $4.5　相似三角形 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　1　比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫作这两条线段的比（注意：求两条线 段的比时必须统一单位） 成比例线段 四条线段a，b，c，d中，如果 ＝ ，那么这四条线段 a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段 黄金分割 线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC＞ BC），如果 ＝ ，这时称点C是AB的黄金分割点，这 个比值称为黄金比，它的值为 ≈0.618 1. 判断四条线段是否成比例，只要将四条线段按大小顺序排列好，判断前 两条线段之比是否等于后两条线段的比，还可以看最短的线段与最长线段 的积是否等于中间两线段的积. 2. 一条线段有两个黄金分割点. 知识点　2　比例性质 基本性质 ＝ ⇔① （abcd≠0） 合比性质 ＝ ⇔② 　 ＝ 　（bd≠0） 等比性质 ＝ ＝…＝ ＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔ ③ ⁠ ad＝bc　 ＝ 　 ＝k　 知识点　3　平行线分线段成比例 文字描述 图形 几何语言 定理 两条直线被一组 平行线所截，所 得的对应线段成 比例 l1∥l2∥l3，则 ＝ ， ＝ ， ＝ 文字描述 图形 几何语言 推论 平行于三角形一 边的直线截其他 两边（或两边的 延长线），所得 到的对应线段成 比例 DE∥BC，则 ＝ ， ＝ ， ＝ 1. （教材整合）如图，点C，D在线段AB上，AC∶CD＝CD∶DB，且 AC＝2.5 cm，DB＝10 cm，则CD＝ cm，AB＝ cm， CD是线段 和 的比例中项. 2. （北师九上P96例4变式）如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞ BC），且AC＝ ，则AB＝ ，BC＝ 　 　. 5　 17.5　 AC　 DB　 1　 　 3. （北师九上P80随堂练习变式）已知 ＝ ，则 ＝ 　 　， ＝ 　 　， ＝ 　 　. 4. （教材整合）如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点 A，B，C及点D，E，F，且AB＝3，DE＝4，EF＝2，则： 　 　 　 （1）BC∶AB＝ ⁠； （2）AB∶AC＝ ⁠； （3）BC·DE＝ ⁠； （4）BC·EF＝ ⁠. 1∶2　 2∶3　 6　 3　 知识点　4　相似三角形的性质与判定 1. 相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边④ ，对应角⑤ ⁠ 性质2 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比 都等于⑥ ⁠ 性质3 相似三角形的周长比等于⑦ ；相似三角形的面积 比等于⑧ ⁠ 成比例　 相等　 相似比　 相似比　 相似比的平方　 2. 相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相 交，所构成的三角形与原三角形⑨ ⁠ 判定1 有⑩ ⁠个角对应相等的两个三角形相似 判定2 两边对应⑪ 且夹角⑫ ⁠的两个三角形 相似 相似　 两　 成比例　 相等　 判定3 三边⑬ ⁠的两个三角形相似 直角三角 形的 特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的 斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 对应成比例　 判定三角形相似的常用方法： （1）有平行线，则找等角，证相似； （2）有一对等角，则找另一对等角或找夹这对等角的两边对应成比例； （3）两边对应成比例，则找夹角相等或另一组对边对应成比例； （4）直角三角形，则找一对锐角相等或斜边、直角边对应成比例； （5）等腰三角形，则找顶角相等或底角相等或底和腰对应成比例. 知识点　5　相似多边形 定义 对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似 性质 （1）对应边⑭ ，对应角⑮ ⁠； （2）对应对角线的比、周长的比等于⑯ ⁠； （3）面积比等于⑰ ⁠ 成比例　 相等　 相似比　 相似比的平方　 5. （教材整合）已知两相似三角形对应角平分线的比为3∶10，且大三角 形的面积为400 cm2. （1）两相似三角形对应边上的中线比为 ⁠； （2）小三角形的面积为 cm2； （3）若这两个三角形的周长差为560 cm，则大三角形的周长 为 cm. 3∶10　 36　 800　 6. （北师九上P93习题T3变式）如图，D，E分别是△ABC两边AB， AC上的点，判断满足下列条件下△ADE与△ACB是否相似.（直接判断 即可） （1）∠AED＝∠B； （1）相似　 （2）∠A＝60°，∠C＝70°，∠AED＝50°； （2）相似　 （3）AD＝3，BD＝5，AE＝4，EC＝2. （3）相似 7. （教材整合）已知两个相似多边形的相似比为5∶7，若较小的一个多边 形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为 ；若较大的一个多 边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是 ⁠. 49　 　 知识点　6　位似图形 定义 两个相似图形，如果对应点的连线交于⑱ ，对应 边平行或在同一直线上，像这样的两个图形叫作位似图形，这 个点叫作⑲ ⁠ 性质 （1）任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于⑳ ⁠ ⁠； （2）任意一组对应点所在直线都相交于一点； （3）对应边互相平行或在一条直线上； （4）位似图形是特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质 同一点　 位似中心　 相似 比　 画位 似图 形的 步骤 （1）确定㉑ ⁠； （2）连接原图形中关键点与位似中心； （3）按相似比确定原图形中关键点的对应点的位置； （4）顺次连接各关键的对应点，所得的图形就是所求的图形 位似中心　 8. （教材整合）（1）△ABC与△A'B'C'相似，且对应点的连线交于一 点O. ①这种特殊的相似叫 ⁠； ②若AB＝3，A'B'＝6，则△A'B'C'与△ABC的相似比为 ⁠； 位似　 2∶1　 （2）点O是△ABC与△A'B'C'的位似中心，周长比为1∶2.若△ABC的面积 为6，则△A'B'C'的面积为 ⁠. 24　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　比例的性质 1. （2025·贵州兴义模拟）若 ＝ ，则 的值为 　 　. 　 命题点2　相似三角形的性质与判定（5年4考） 2. （2025·贵州）如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1，若DF＝ 2，则AC的长为（　C　） 　　 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 C 3. （2024·贵州六盘水二模）如图，D，E两点分别在△ABC的边AB， AC上，且∠ADE＝∠C， ＝ .若△ADE的面积是3，则四边形BCED 的面积是（　B　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 B 4. （2025·贵州黔东南州三模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于 P（4，4）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（6，2），则木杆 AB在x轴上的影长CD为 ⁠. 12　 命题点3　黄金分割 5. （2024·贵州贵阳一模）一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人 以美感.如图，若将AB抽象地看成一条线段，点P为AB的黄金分割点 （AP＞PB），则下列各式正确的是（　A　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ A 6. 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分 割，称为最早的有关黄金分割的论著.“黄金分割”给人以美感，它在建 筑、艺术等领域有着广泛的应用.如图，点C把线段AB分成两份，如果 BC∶AC＝AC∶AB，那么称点C是线段AB的黄金分割点. 冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、爱、活泼，他泛着可爱笑容的 嘴巴位于黄金分割点处.若“冰墩墩”身高2 m，则“冰墩墩”嘴巴离地面 的高度是（　D　） D A. m B. m C. m D. （ －1）m 命题点4　位似图形的判定与性质 7. （2024·贵州铜仁三模）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫作格点 三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC，△DEF成位似关 系，则位似中心的坐标为（　A　） A. （－1，0） B. （0，0） C. （0，1） D. （1，0） A 命题点5　平行线分线段成比例 8. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线 上的三个点A，B，C都在横线上.若线段BC＝4 cm，则线段AC的长是 （　C　） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm C 9. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB与AD上一点，连接 CE，BF，交点为G，且CE⊥BF，连接DG. 若DG＝CD，则tan∠DGF 的值为（　B　） A. B. C. D. B 命题点6　相似三角形判定与性质的综合应用（5年3考） 10. （2024·贵州贵阳一模）已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝8，O为AC 的中点，E为线段BC上的动点，连接OE. （1）如图1，用尺规作图作出点C关于OE的对称点G（不写作法，保留作图痕迹）； 解：如图所示，点G为所求作的点. 图1 图2 图3 （2）如图2，将△OCE沿OE边折叠得△OGE，连接OG. 当EG⊥BC 时，求EG的长； 解： EG的长为2或6. 图1 图2 图3 （3）如图3，在OE的左侧作△OME∽△ABC，且∠OME＝∠ABC， ∠MOE＝∠BAC，连接BM，求BM的最小值. 图1 图2 图3 解： BM的最小值是 . （2）已知两边对应成比例：找夹角相等或另一边对应成比例； （3）平行线：平行线分线段成比例，平行线得同位角相等，找等角； （4）直角三角形：找一对锐角相等或两条边对应成比例. 方法点拨　常见相似三角形的判定思路 （1）已知等角：找另外一对角相等或夹边对应成比例； 11. （2025·贵州黔东南州一模）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD， BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的 对应点为G，PG交BC于点H. 图1 图2 图3 （1）如图1，求证：△DEP∽△CPH； 证明：略. （2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长； 图1 图2 图3 解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A ＝∠D＝∠C＝90°.∵P为CD的中点，∴DP＝CP＝ ×2＝1.设EP＝ AE＝x，∴ED＝AD－x＝3－x.在Rt△EDP中，EP2＝ED2＋DP2，即x2 ＝（3－x）2＋1，解得x＝ ，∴EP＝AE＝x＝ ，∴ED＝AD－AE＝ . ∵△EDP∽△PCH，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴PH＝ .∵PG＝AB＝2， ∴GH＝PG－PH＝ . （3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与 AB的数量关系，并说明理由. 解：AB＝ BG. 理由略. 图1 图2 图3 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [跨学科·物理]大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1 个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午 有端，与景长，说在端.”如图所示的小孔成像实验中，若物距为10 cm， 像距为15 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8 cm，则蜡烛火焰的高度是 （　C　） A. cm B. 6 cm C. cm D. 8 cm C 2. [传统文化]（2025·平凉）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”风筝 古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化 遗产名录.为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了 一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线 AC⊥BD. 已知大、小风筝的对应边之比为3∶1，如果小风筝两条对角线 的长分别为30 cm和35 cm，那么大风筝两条对角线长的和为 cm. 195　 3. [数学生活化]综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.直角三角板 EDF中，∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的 中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB， AC交于点M，N. 猜想证明： （1）如图1，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的 中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： 图1 解： 四边形AMDN为矩形.理由如下： ∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴MD∥AC，∴∠AMD＋∠A＝180°. ∵∠A＝90°，∴∠AMD＝90°. ∵∠EDF＝90°， ∴∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°， ∴四边形AMDN为矩形. （2）如图2，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长； 解： 在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC ＝8， ∴∠B＋∠C＝90°，BC＝ ＝10. ∵点D是BC的中点，∴CD＝ BC＝5. ∵∠EDF＝90°，∴∠MDB＋∠NDC＝90°. ∵∠B＝∠MDB，∴∠NDC＝∠C，∴ND＝NC. 如图1，过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN＝90°，∴CG＝ CD＝ . 图2 图2 ∵∠C＝∠C，∠CGN＝∠CAB＝90°， ∴△CGN∽△CAB， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴CN＝ . （3）如图3，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，求线段AN的长. 图1 图2 图3 图2 解： 如图2，延长ND至点H，使DH＝DN，连接MH，NM，BH. ∵MD⊥HN，∴MN＝MH. ∵D是BC的中点， ∴BD＝DC. 又∵∠BDH＝∠CDN， ∴△BDH≌△CDN， ∴BH＝CN，∠DBH＝∠C. ∵∠BAC＝90°，∴∠C＋∠ABC＝90°， ∴∠DBH＋∠ABC＝90°，∴∠MBH＝90°. 设AM＝AN＝x，则BM＝6－x，BH＝CN＝8－x，MN＝MH＝ x. 图2 图2 在Rt△BMH中，BM2＋BH2＝MH2， ∴（6－x）2＋（8－x）2＝（ x）2， 解得x＝ ，∴线段AN的长为 . $4.2　三角形及其性质 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　1　三角形的分类及性质 1. 三角形的分类 三角形 2. 三角形的性质 稳定性 三角形具有稳定性 三边 关系 三角形的任意两边之和① 第三边，任意两边 之差② 第三边. 若在一个三角形中，已知两边为a，b，则第三边c的取 值范围是③ ⁠ 大于　 小于　 ｜a－b｜＜c＜a＋b　 稳定性 三角形具有稳定性 内角和 定理及 推论 三角形的内角和等于④ ⁠ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 ⑤ ⁠ 三角形的一个外角⑥ ⁠与它不相邻的任意一个 内角 180°　 和　 大于　 稳定性 三角形具有稳定性 边角关系 同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小 角 面积公式 S＝ ah（h为边a上的高）；同底（等底）等高（同 高）的三角形面积相等 1. （北师七下P84习题T2变式）在△ABC中，请依据下列条件判断三角形 的形状. （1）如果∠A＝60°，∠B＝60°，那么△ABC是 ⁠； （按边分） （2）如果∠A＝∠C－∠B，那么△ABC是 三角形；（按角 分） （3）如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3，那么△ABC是 三角形. （按角分） 等边三角形　 直角　 钝角　 知识点　2　三角形中的重要线段 线段 定义 结论 高 从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形这条边上的高 （1）锐角三角形的三条高都在三角形的 ⑦ ；直角三角形有⑧ ⁠ 条高在三角形内部，⑨ ⁠条高就是 两直角边；钝角三角形有⑩ ⁠条高 在三角形内部，⑪ ⁠条高在三角形 外部； （2）三角形三条高所在的直线交于一点， 为三角形的垂心 内部　 一　 两　 一　 两　 线段 定义 结论 中线 三角形中，连接一 个顶点和它所对边 中点的线段叫作三 角形的中线 （1）三角形的中线将三角形分成面积 ⑫ 的两部分； （2）三角形三边上的中线交于一点，这个 点叫作三角形的重心，重心与一边中点的 连线的长是对应中线长的 相等　 线段 定义 结论 角平 分线 三角形一个内角的 平分线与这个角的 对边相交，顶点与 交点之间的线段叫 作三角形的角平分 线 （1）三角形的三条角平分线相交于一点， 这个点是三角形的内心，它到三角形三边 的距离相等； （2）S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝BD∶CD AD是△ABC的角平分线 中位线 连接三角形两边中 点的线段叫作三角 形的中位线 三角形的中位线⑬ 第三边， 并且等于第三边的⑭ ⁠ 平行于　 一半　 当三角形中遇到中点时，常构造三角形的中位线，利用其证明线段平行或 倍分问题，可简单地概括为“已知中点找中位线”；在平行四边形或菱形 中，边上有中点时，需连接中点与对角线的交点构造中位线. 2. （教材整合）如图，AD，AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B＝36°，∠C＝76°. （1）∠BAC＝ ⁠； （2）由AF是∠BAC的平分线，可得∠BAF＝ ∠BAC＝ ⁠； （3）由∠AFC是△ABF的外角，可得∠AFC＝∠B＋∠BAF ＝ ⁠； 68°　 34°　 70°　 （4）在△DAF中，由三角形内角和定理可得∠DAF＝ ⁠； （5）若BC＝7，AD＝4，则△ABC的面积为 ⁠. 20°　 14　 3. （人教八上P56复习题T12变式）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，AC＝6，BC＝8，CD＝3. （1）DE的长为 ⁠； （2）S△ACD∶S△ADB＝ ⁠. 3　 3∶5　 4. （北师八下P152随堂练习T2变式）如图，DE是△ABC的中位线，若 DE＝10，∠BAC＝70°，则∠BDE＝ ，AC的长为 ⁠. 70°　 20　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　三角形的三边关系 1. （2025·贵州铜仁模拟预测）小颖同学有长度分别为4 cm和6 cm的两根 木条，想再找一根木条与它们首尾相接组成三角形，则所找木条的长可以 是（　B　） A. 2 cm B. 4 cm C. 10 cm D. 11 cm B 2. （2025·贵州贵阳二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主 要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等.如图是一座双坡式房屋的剖面 图，其中AB段与AC段长度相等，经测量，BC段的长为6 m，则AB段的 长可能为（　D　） A. 2.4 m B. 2.8 m C. 3 m D. 4 m D 3. （2025·贵州一模）等腰三角形ABC中，AB＝5，BC＝7，则△ABC的 周长为 ⁠. 19或17　 命题点2　三角形内角和定理及推论（5年1考） 4. （2025·贵州）下列图中能说明∠1＝∠2一定成立的是（　A　） A B C D A 5. （2025·贵州铜仁三模）如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大 于 BC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N. 作直线MN，交AC于点 D，交BC于点E，连接BD. 若∠DBC＝28°，则∠ADB的度数为 （　C　） A. 28° B. 50° C. 56° D. 62° C 6. （2025·贵州黔东南州二模）如图，一把直尺的边缘AB经过一块三角板 DCB的直角顶点B，交斜边CD于点A，直尺的边缘EF分别交CD，BD于 点E，F. 若∠D＝60°，∠ABC＝15°，则∠1的度数为 度. 45　 命题点3　三角形中的双角平分线问题 7. 如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. （1）求证：点F在∠DAE的平分线上； 证明：如图，作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N， FG⊥AC于点G. ∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，∴FM＝FN. 同理，FG＝FN，∴FM＝FG. ∵FM⊥AB，FG⊥AC， ∴点F在∠DAE的平分线上. （2）若∠A＝50°，求∠F的大小. 解：∵BF，CF分别为△ABC两外角∠CBD， ∠BCE的平分线，∠A＝50°， ∴∠BCF＝ （∠A＋∠ABC）， ∠CBF＝ （∠A＋∠ACB），∴∠BFC＝180°－∠BCF－∠CBF ＝180°－ （∠A＋∠ABC）－ （∠A＋∠ACB） ＝180°－ [∠A＋（∠A＋∠ABC＋∠ACB）] ＝180°－ （∠A＋180°）＝90°－ ×50°＝90°－25°＝65°. 方法点拨　双角平分线模型 条件 图形 结论 BO，CO分别平分∠ABC和 ∠ACB ∠BOC＝ 90°＋ ∠A BO，CO分别平分∠DBC和 ∠ECB ∠BOC＝ 90°－ ∠A BO，CO分别平分∠ABC和 ∠ACD ∠BOC＝ ∠A 8. 如图，在△ABC中，∠ABC＝44°，∠ACB＝66°，BD是AC上的 高，CE平分∠ACB，BD，CE交于点F，则∠ABD的度数 为 ，∠BFC的度数为 ⁠. 20°　 123°　 9. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF 与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点.若∠BOC＝ 130°，则∠E－∠D的度数为 ⁠. 10°　 命题点4　三角形的中线、中位线问题（5年3考） 10. （2025·贵州黔东南州二模）如图，菱形部件的对角线AC，BD交于点 O，点E为边BC的中点.小明想用刻度尺（单位： cm）测量菱形部件中 OE的尺寸.他将边BC与刻度尺重合，使得点B，C对应的刻度分别为1， 6，则OE的长为（　B　） A. 2 cm B. 2.5 cm C. 3 cm D. 3.5 cm B 11. （2025·贵州）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB， DC，AD边上，BE＝2CF，FM分别交对角线BD、线段DE于点G， H，且H是DE的中点.若CF＝2，∠ABD＝30°，则HG的长为 ⁠. 　 方法点拨　当条件中出现双中点，通常利用三角形的中位线的性质解题. 当感觉困难时可构造新的中点，与原有中点构造出中位线. 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. （2025·潍坊）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地. 甲：A→C→B，路程为l甲. 乙：A→D→E→F→B，路程为l乙. 丙：A→G→H→B，路程为l丙. 下列关系正确的是（　D　） 甲 乙 丙 D A. l甲＞l乙＞l丙 B. l乙＞l甲＞l丙 C. l甲＞l丙＞l乙 D. l甲＝l乙＞l丙 2. [新考向]【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半. 如图1，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则DE＝ BC， DE∥BC. 【问题解决】（1）如图2，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形. 图1 图2 （1）证明：如图，连接AC，BD. ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中 点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ADC的中位 线， ∴EF＝ AC，EF∥AC，GH＝ AC，GH∥AC， ∴EF＝GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形. （2）连接AC，BD，加上条件 后能使得四边形EFGH为矩形.请 从①AB＝CD；②AC⊥BD；③AC＝BD这三个条件中选择一个进行填空 （填序号），并说明理由. ②　 解：②　理由：∵F，G分别是BC，CD的中点， ∴FG是△BCD的中位线， ∴FG∥BD. ∵AC⊥BD，EF∥AC，FG∥BD， ∴EF⊥FG， ∴平行四边形EFGH为矩形. $微专题9　构造直角三角形解决线段2，3倍的数量关系 见 构造45°的直角三角形 结论中有 时，构造等腰直角三角形. 1. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，CB＝CD. 求 证：AB＋AD＝ AC. 证明：如图，过点C作CE⊥AC，交AB的延长线于点E. ∵∠DAB＝∠DCB＝90°， ∴∠D＋∠ABC＝180°＝∠ABC＋∠EBC， ∴∠D＝∠EBC. ∵∠DCB＝∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠ECB. ∵CD＝CB，∠ACD＝∠ECB，∠D＝∠EBC， ∴△ACD≌△ECB（ASA）， ∴AC＝CE，AD＝BE，∴AE＝ AC， ∴AB＋AD＝AB＋BE＝AE，∴AB＋AD＝ AC. 2. 已知边长为4的正方形ABCD与边长为a（1＜a＜4）的正方形CFEG的 顶点C重合. （1）如图1，若点E在对角线AC上，求证：AE＝ BF； 证明：∵四边形ABCD和四边形CFEG都是正方形， ∴∠B＝∠CFE＝90°，∠FCE＝∠BCA＝45°，CE＝ CF， ∴AB∥EF，∴ ＝ ＝ ，∴AE＝ BF. 图1 图2 （2）如图2，若∠BCF＝α（0＜α＜30°），请问：此时上述结论是否还 成立？如成立，写出证明过程；如不成立，说明理由. 图1 图2 解：上述结论还成立.证明如下： 如图，连接CE. ∵∠FCE＝∠BCA＝45°， ∴∠BCF＝∠ACE＝45°－∠ACF＝α. 在Rt△CEF和Rt△CBA中， CE＝ CF，CA＝ CB，∴ ＝ ＝ ， ∴△ACE∽△BCF，∴ ＝ ＝ ， ∴AE＝ BF. 见 构造30°的直角三角形 3. 如图，已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点 B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧.若∠BAC＝ 60°，∠CDE＝120°.求证：AF＝ DF. 证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作 DJ⊥EC于点J. ∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴BH＝CH，AH＝ BH. ∵DC＝DE，∠CDE＝120°， ∴CJ＝JE，∠DEC＝∠DCE＝30°， ∴JE＝ DJ. ∵BF＝FE，∴HJ＝BF＝EF， ∴BH＝FJ，HF＝JE， ∴AH＝ FJ，FH＝ DJ， ∴ ＝ ＝ . ∵∠AHF＝∠FJD＝90°，∴△AHF∽△FJD， ∴ ＝ ＝ ，∴AF＝ DF. 4. 如图，将等边三角形ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1.若BC＝3， ＝ ，求BB1的长. 解：如图，过点P作PD⊥B1C于点D. ∵将等边三角形ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1， ∴∠PB1C＝∠PCB1＝60°， ∴∠CPB1＝60°，∴△PCB1是等边三角形. 设等边三角形PCB1的边长是2a，则B1D＝CD＝a，由勾 股定理得PD＝ ＝ ＝ a. ∵ ＝ ，∴ ×2a× a＝ ，解得a＝1， ∴B1C＝2a＝2， ∴BB1＝BC－B1C＝3－2＝1. $微专题6　 特殊三角形中的分类讨论 等腰三角形顶角和底角不确定 条件 已知等腰三角形的一个角为α，求另外两个角的度数 图示 分类 讨论 （1）α为顶角时，两个底角分别为 ， ； （2）α为底角时，另外两个角分别为α，180°－2α 1. 等腰三角形有一个角度数为70°，则这个等腰三角形的底角的度数 为 ⁠. 2. 若等腰三角形其中两个内角的和为130°，则此等腰三角形的顶角的度 数为 ⁠. 3. 若∠AOB＝70°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形，则∠AEC的度数为 ⁠. 70°或55°　 50°或80°　 107.5°或70°或145°　 等腰三角形腰和底边不确定 条件 已知点A，B和直线l，在直线l上找一点P，使△PAB为等 腰三角形 图示 分类 讨论 （1）以AB为腰. ①当AB＝AP时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，交 直线l于点P1，P2，如图所示，即为所求； ②当AB＝BP时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆，交 直线l于点P3，P4，如图所示，即为所求. （2）以AB为底. 作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P5，如图所示，即 为所求.简记为“两圆一线” 解法 （1）代数法：设出点P的坐标，再分别表示出AB2， BP2，AP2，分AB2＝AP2，AB2＝BP2，AP2＝BP2三种情 况，列方程求解； （2）几何法：分AB＝AP，AB＝BP，AP＝BP三种情 况，根据几何图形的性质（线段相等）求出相应的未知量 即可 4. 等腰三角形的两边分别长7 cm和15 cm，则它的周长是 ⁠. 37 cm　 5. 若方程组 的解恰为等腰△ABC的两边长，则△ABC的周 长为 ⁠. 6. 在等腰三角形ABC中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示， 已知a，b满足｜a－3｜＋ ＝0，则△ABC的周长为 ⁠. 7. 等腰三角形ABC中，高BD与一腰所夹的锐角是40°，则等腰三角形 ABC底角的度数为 ⁠. 12　 10或11　 50°或65°或25°　 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在 AC边上的点F处.若∠CFD＝60°且△AEF为等腰三角形，则∠A的度数 为 ⁠. 40°或50°　 9. 如图，直线y＝ x＋8与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段OA 上的一点，若将△ABC沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的A'处.若P是y轴 负半轴上一动点，且△BCP是等腰三角形，求出点P的坐标. 解：点P的坐标为（0，－3）或（0，3－3 ）或（0，－ ）. 直角三角形的直角顶点不确定 条件 已知点A，B和直线l，在直线l上找一点P，使△PAB为直角 三角形 图示 分类 讨论 （1）当∠BAP＝90°时，过点A作AB的垂线，交直线l于点 P1，如图所示，即为所求； （2）当∠ABP＝90°时，过点B作AB的垂线，交直线l于点 P2，如图所示，即为所求； （3）当∠APB＝90°时，以线段AB的中点O为圆心，OA 的长为半径画圆，交直线l于点P3，P4，如图所示，即为所 求.简记为“两线一圆” 解法 （1）代数法：设出点P的坐标，再分别表示出AB2，BP2， AP2，分∠BAP＝90°，∠ABP＝90°，∠APB＝90°三种 情况，每种情况下分别用勾股定理列方程求解.若方程有解， 则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在. （2）几何法：分∠BAP＝90°，∠ABP＝90°，∠APB＝ 90°三种情况，根据直角三角形的性质求出相应的未知量即 可 10. 在直角三角形ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶m∶4，则m的值 是 ⁠. 2或6　 11. 如图，等腰三角形ABC的底边AC为8 cm，腰AB为5 cm，一动点Q （与点A，C不重合）在底边上从点C以2 cm/s的速度向点A移动.当动点 Q运动了 s时，△BQC是直角三角形. 2或 　 12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D是BC边上的动点， 点B关于直线AD的对称点为点B'，连接AB'交BC于点E. 当△DEB'为直 角三角形时，BD的长是 ⁠. 5或2　 13. 把一副直角三角尺如图摆放，AB＝6，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠F ＝30°，BC为斜边，且直角顶点连线AD∥BC. 将△DEF左右平移，当 △ADE恰为直角三角形时，AD的长为 ⁠. 或4 　 14. 如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点 C. 若点P为抛物线上一动点，且△PAC为直角三角形，求点P的坐标. 解：令y＝0，即x2－2x－3＝0， 可得A，B两点的坐标分别为（－1，0），（3，0）. 由抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点C，可得点C的坐标为（0，－3）. 设点P的坐标为（t，t2－2t－3）. ∵A（－1，0），C（0，－3）， ∴PA2＝（t＋1）2＋（t2－2t－3）2， PC2＝t2＋（t2－2t）2，AC2＝12＋32＝10. 若△PAC是直角三角形，则分三种情况： ①当∠PAC＝90°时，PA2＋AC2＝PC2， 即（t＋1）2＋（t2－2t－3）2＋10＝t2＋（t2－2t）2， 解得t＝－1（舍去）或t＝ ， ∴P（ ， ）； ②当∠APC＝90°时，如图，以AC的中点为圆心， AC为半径作圆，除了点A，C外，该圆与抛物线无其 他交点，故此时点P不存在； ③当∠ACP＝90°时，AC2＋PC2＝PA2， 即10＋t2＋（t2－2t）2＝（t＋1）2＋（t2－2t－3）2， 解得t＝0（舍去）或t＝ ，∴P（ ，－ ）. 故当△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（ ， ）或（ ，－ ）. $第2课时　 解直角三角形及其应用 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　锐角三角函数的实际应用 仰角与 俯角 它们都是同一铅垂面内视线与水平线间的夹角. 视线在水平线上方的角叫作仰角；在水平线下方的角叫作俯角 坡角与 坡度 坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比叫作坡面的坡度（或坡比），记作i＝① .坡面与水平面的夹角α叫作坡角，则i＝② ⁠ 　 tan α　 方向角 一般以观测者的位置为中心，将正北或 正南的方向线作为起始位置，旋转到目 标方向所成的角（一般指锐角），通常 表达成北（南）偏东（西）多少度 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤： （1）将实际问题转化为数学问题（画出平面图形，并标出相应的线段长 和角的度数）； （2）根据题意解直角三角形，如需构造直角三角形，则需添加适当的辅 助线，作高线是常用的辅助线； （3）求得数学问题的答案时，要注意检验是否符合实际意义，同时还要 注意题目中对结果的精确位数有无要求. 1. （人教九下P77练习T2变式）已知在一段坡面上，铅直高度为 ，坡面 长为2 ，则坡度等于 　 　，坡角等于 ⁠. 2. （人教九下P75例4变式）如图所示，某中学的教学楼前 有一棵大树AB，小明在教学楼的C处测得树顶A的仰角为 45°，底部B的俯角为30°.已知大树与教学楼之间的水平 距离BD＝6 m，则AB的长为 ⁠ m.（结果保留根号）. 　 30°　 （6 ＋2 ）　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　仰角、俯角、坡角、方向角的应用（5年2考） 1. （2022·贵州毕节）如图，某地一座建筑物的截面图的高BC＝5 m，坡 面AB的坡度i为1∶ ，则AB的长为（　B　） A. 10 m B. 10 m C. 5 m D. 5 m B 2. （2025·贵州毕节二模）如图，为了测量河南岸A，B两点间的距离，数 学兴趣小组在河岸北侧选定观测点C，测得点A、点B均在点C的南偏西 37°方向上，沿正西方向行走200米至观测点D，测得点A在点D的正南方 向，点B在点D的南偏东53°方向上. （1）求∠CBD的度数； 解：根据题意，得A，B，C三点共线. ∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECA＝37°， ∴∠CBD＝∠A＋∠ADB＝37°＋53°＝90°. （2）求A，B两点间的距离.（参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33） 解： 由（1）可知∠ABD＝90°. 在Rt△BCD中，∠BDC＝90°－53°＝37°，CD＝200米， cos ∠BDC＝ ， ∴BD＝CD· cos 37°≈200×0.80＝160（米）. 在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD≈160米，tan A＝ ， ∴AB＝ ≈ ＝ （米）. 答：A，B两点间的距离约是 米. 3. （2025·贵州铜仁三模）这个周末，小敏来到了贵阳市观山湖区的裂变 广场，这里有全球最高的人工瀑布，已成为贵阳市的标志性建筑（如图 1）.站在瀑布下，能够感受到“飞流直下三千尺”的壮阔，阳光照射时， 还可以看见美丽的彩虹，极具观赏性.如图2，小敏来到瀑布的顶端A处， 测得对面高楼楼顶仰角∠CAE＝20°，楼底俯角∠DAE＝68°，已知对面 高楼楼高CD＝125米（参考数据： sin 20°≈0.34， cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36， sin 68°≈0.93， cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48） 图1 图2 （1）站在对面高楼CD楼底，此时看瀑布顶端的仰角度数是多少？ 解： 在瀑布顶端看高楼CD楼底的俯角与在高楼CD楼底看瀑布顶端 的仰角是内错角.根据“两直线平行，内错角相等”，及在瀑布顶端看高 楼CD楼底的俯角∠DAE＝68°， ∴站在对面高楼CD楼底，看瀑布顶端的仰角度数为68°. （2）求瀑布AB的高度.（精确到1米） 解： 由题意，可知△ACE和△ADE都是直角三角形. 在Rt△ACE中，∠CAE＝20°，tan 20°＝ ， ∴CE＝AE·tan 20°. 同理可得DE＝AE·tan 68°. 由题意，得CE＋DE＝CD＝125， 即AE·tan 68°＋AE·tan 20°＝125，解得AE≈44， ∴AB＝ED＝AE·tan 68°≈44·tan 68°≈44×2.48≈109. 答：瀑布AB的高度约为109米. 命题点2　运用锐角三角函数知识测高度（5年3考） 4. （2025·贵州黔东南州三模）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB 的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　A　） A. 12 sin α米 B. 12 cos α米 C. 米 D. 米 A 5. （2025·贵州黔东南州三模）在一次户外研学活动中，同学们来到梵净 山金顶下方的一个休息区，为测量金顶到休息区的垂直高度，小李拿出了 随身带的测角仪与同学们一起测量（如图1）. 图1 图2 测角仪高度为1.5米，当他们把测角仪放在B处时，他们观测到金顶A处的 仰角为45°，然后沿着与休息区成水平直线的CB方向走了67.71米到达D 处，再次观测金顶A处，仰角为30°，如图2所示.请根据以上数据，计算 金顶到休息区的垂直高度（即AC的长度）.（结果精确到1米， ≈0.732） 解：由题意，得DG＝BF＝CE＝1.5米，FG＝BD＝67.71米. 设AC＝h米，则AE＝（h－1.5）米. 在Rt△AFE中，∠AFE＝45°，tan∠AFE＝tan 45°＝ ＝1， ∴FE＝AE＝（h－1.5）米. 在Rt△AGE中，∠AGE＝30°，tan∠AGE＝tan 30°＝ ， ∴GE≈ ＝ （h－1.5）米. ∵FG＝GE－EF， ∴ （h－1.5）－（h－1.5）＝67.71，解得h≈94. 答：金顶到休息区的垂直高度AC约为94米. 命题点3　运用锐角三角函数知识测长度 6. （2024·贵州黔东南州二模）如图，某地政府为解决当地农户网络销售 农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB，无人机从点A的 正上方点C，沿正东方向以6 m/s的速度飞行15 s到达点D，此时测得点A 的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行60 s到达点E，测得 点B的俯角为37°. （1）求无人机的高度AC；（结果保留根号） 解：由题意，得CD＝6×15＝90 （m）.∵∠ACD＝90°， ∴AC＝CD·tan∠ADC＝90× ＝90 （m）. 答：无人机的高度AC是90 m. （2）求隧道AB的长.（结果精确到1 m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， ≈1.73） 解： 如图，过点B作BF⊥CE于 点F，则四边形ABFC是矩形，∴BF ＝AC＝90 m，AB＝CF. ∵∠BFE＝90°， ∴EF＝ ≈ ＝207.6（m）. ∵CE＝6×（15＋60）＝450（m）， ∴AB＝CF＝CE－EF≈450－207.6≈242（m）. 答：隧道AB的长约为242 m. 方法点拨　锐角三角函数的实际应用常见辅助线的作法和基本图形 （1）构造一个直角三角形： （2）构造两个直角三角形： ①不同地点测量：　　②同一地点测量： 7. （2024·贵州黔东南州二模）如图1是一座小山，由于项目需要，某项目 工程队需要在这座小山中打通一条东西方向的隧道.项目队的工作人员绘 制了该小山的截面示意图如图2所示，测得斜坡AB的坡角为20°，斜坡 CD的坡角为45°，并测算出斜坡BC的坡度为 ∶1，斜坡CD的长为500 m，点B到AD的距离BE为200 m. （1）点C到AD的距离是 m；（结果保留一位小数） 352.5　 （2）求隧道AD的长.（结果保留整数） （参考数据： sin 20°≈0.34， cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36， ≈1.41， ≈1.73） 图1 图2 解： 如图，过点B作BG⊥CF于点G， 则四边形BEFG是矩形，∴GF＝BE，EF＝BG. ∵BE＝200 m，∴GF＝200 m，∴CG＝CF－ GF≈352.5－200＝152.5（m）. ∵斜坡BC的坡度为 ∶1，∴BG＝ ≈ ≈88.2（m）. 在Rt△ABE中，∠A＝20°，BE＝200 m， 则AE＝ ＝ ≈555.6（m）. ∴AD＝AE＋EF＋FD≈555.6＋88.2＋352.5≈996（m）. 答：隧道AD的长约为996 m. 8. （2025·贵州）某小区在设计时，计划在如图1的住宅楼正前方建一栋文 体活动中心.设计示意图如图2所示，已知BD＝28 m，CD＝21 m，该地冬 至正午太阳高度角α为35°.如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条 件完成下列任务. 图1 图2 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高 度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离 （活动中心高度不变），该活动中心移动了多少米？（参考数据： sin 35°≈0.57， cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70.结果保留小数点后一位） 解：任务一：如图，过点A作AE⊥CD于点E， 结合题意，可得四边形AEDB为矩形，∠AEC＝90°. ∵BD＝28 m，CD＝21 m， ∴AE＝BD＝28 m，AB＝DE. ∵∠CAE＝∠α＝35°， ∴CE＝AE·tan α≈28×0.70＝19.6（m）， ∴AB＝DE≈21－19.6＝1.4（m）. 任务二：如图，过点B作AC的平行线，过点C作BD的平行线，两线交于点Q，BQ，AE交于点T，过点Q作QK⊥BD于点K， ∴∠QBK＝∠ATB＝∠CAE＝35°，四边形CDKQ为矩形， ∴CD＝QK＝21 m，∴BK≈ ≈ ＝30 （m）， ∴DK≈30－28＝2（m）. 答：该活动中心移动了2 m. 命题点4　运用锐角三角函数知识测速度 9. （2024·贵州铜仁二模）某中学九（1）班的同学小章和小南在校园的操 场边看见一棵特别高的苹果树，他们准备测量这棵苹果树的高度.如图， 小章在点A处观测到苹果树PQ的最高点P的仰角为45°，再沿正对苹果树 的方向前进6 m至点B处测得最高点P的仰角为60°.小南先在点C处竖立 一根长为2.6 m的标杆CF，再后退至使其眼睛所在的位置点D、标杆顶点 F、苹果树最高点P在一条直线上，此时测得苹果树最高点P的仰角为 30°，已知两人的眼睛距离地面的高度均为1.6 m（即BE＝1.6 m）. （1）求苹果树PQ的高度；（结果保留一位小数，参考数据： ≈1.73） 解：如图，设PQ与AD相交于点 G，CF与AD交于点H. 由题意，得AB＝6 m，BE＝GQ＝1.6 m. 设BG＝x m，则AG＝AB＋BG＝（x＋ 6）m. 在Rt△BPG中，∠PBG＝60°，∴PG＝BG·tan 60°＝ x（m）. 在Rt△APG中，∠PAG＝45°，∴PG＝AG，∴ x＝x＋6， 解得x＝3 ＋3，∴PG＝ x＝（9＋3 ）m， ∴PQ＝PG＋GQ＝9＋3 ＋1.6≈15.8（m）. 答：苹果树PQ的高度约为15.8 m. （2）测量结束时小章站在点E处，小南站在原测量点（点C右侧位置）， 两人约在树下点Q处见面，小章步行的速度为1.5 m/s，小南步行的速度是 小章的2倍，谁先到达点Q？请说明理由. 解：小章先到达点Q. 理由：由题意，得CH＝BE＝1.6 m. ∵CF＝2.6 m，∴FH＝CF－CH＝1 m. 在Rt△PGD中，PG＝（9＋3 ）m，∠PDG＝30°， ∴tan∠PDG＝ ＝ ，则DG＝（9 ＋9）m. ∵小章步行的速度为1.5 m/s，小南步行的速度是小章的2倍，∴小南步行 的速度为3 m/s. ∵BG＝（3 ＋3）m， ∴BG÷1.5＝2（ ＋1）s，DG÷3＝3（ ＋1）s. ∵2（ ＋1）＜3（ ＋1）， ∴小章先到达点Q. 10. （2024·贵州黔南州模拟）位于黔南州龙里县的龙里河大桥（如图1） 于2024年4月27日通车.该桥为双塔双索面钢混叠合梁斜拉桥，是世界首座 车行道与玻璃步道共桥面的高山峡谷景观桥，大桥建成后，将成为龙里草 原片区与外界连接的唯一快速通道.该桥可看作由两个全等的等腰三角形 ABD和BCE、两部分支架DH和EG组成（如图2），在主跨AC铺设玻璃 步道，塔顶E距峡谷底FN的垂直距离约400 m，桥面中央点B距峡谷底FN 的垂直距离约280 m，小星站在点B处测得塔顶E的仰角∠EBC＝42°. （1）求玻璃步道AC的长度；（结果精确到1 m；参考数据： sin 42°≈0.67， cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90） 解： 如图，设EG交BC于点O，延长EG交 FN于点M. 由题意，得EM≈400 m，BF≈280 m， ∴EO＝EM－BF≈400－280＝120（m）. ∵∠EBC＝42°，BO＝CO， 在Rt△BOE中，BO＝ ≈ ≈133.3（m）， ∴AC＝4BO≈4×133.3≈533（m）. 答：玻璃步道AC的长度约为533 m. （2）小星和外婆从桥的两头同时相向而行，小星每秒走1 m，外婆步 行的速度是小星的 ，请问：在5分钟内小星和外婆能相遇吗？如果 能，请说明理由；如果不能，请求出小星走几分钟可以和外婆相遇. （结果保留整数） 图1 图2 解： 在5分钟内小星和外婆不能相遇. 设小星走了x分钟可以和外婆相遇. ∵小星每秒走1 m，外婆步行的速度是小星的 . ∴外婆每秒走 m. 根据题意，得60x（1＋ ）≈533，解得x≈6. 答：小星大约走6分钟可以和外婆相遇. 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [新考向·项目式学习]（2025·山西朔州模拟预测）某校数学实践活动小 组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员 进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单. 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量方法 某一时刻，大树AB在太阳光下的影子末端落在地面上的 点C处，甲同学在点C处竖立一根标杆CP，同一时刻标 杆CP在太阳光下的影子末端落在地面上的点D处.丙同 学站在点E处，他的眼睛在点F处，观察得知，树顶A的 仰角为∠AFG 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量数据 标杆CP＝2.5米，标杆CP的影长CD＝2米，CE＝13 米，EF＝1.6米，仰角∠AFG＝21° 说明 点B，C，D，E在同一水平直线上，AB⊥BE， PC⊥BE，FE⊥BE，图中所有的点都在同一平面内. （参考数据： sin 21°≈0.36， cos 21°≈0.93，tan 21°≈0.38） （1）请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点D的位置；（不写画 法，保留作图痕迹） 解： 如图，点D即为所求. （2）根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度AB. （结果精确到 0.1米） 解： 如图，延长FG交AB于点H，则BE ＝FH，EF＝BH＝1.6米. 由题意知PD∥AC，∴∠ACB＝∠PDC， ∴tan∠ACB＝tan∠PDC，∴ ＝ ，即 ＝ ＝ . 设BC＝4x米，则AB＝5x米， ∴AH＝AB－BH＝（5x－1.6）米，FH＝BE＝CE＋BC＝（13＋4x）米. 在Rt△AFH中，tan∠AFH＝ ， ∴0.38≈ ，解得x≈1.88，∴AB≈9.4米. 答：这棵大树的高度AB约为9.4米. 2. [跨学科]实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图1是小红同学 安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试 管口的三分之一处.图2为该实验装置示意图，已知试管AB＝24 cm，BE ＝ AB，试管倾斜角α为10°. （1）求酒精灯与试管夹的水平距离CD；（结果精确到0.1 cm） 解：如图，过点E作EG⊥AC于点G. ∵AB＝24 cm，BE＝ AB，∴BE＝8 cm，AE ＝16 cm. 在Rt△AEG中，AE＝16 cm，∠AEG＝10°， ∴CD＝EG＝ cos 10°·AE≈0.98×16≈15.7（cm）. 答：酒精灯与试管夹的水平距离CD约为15.7 cm. （2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F， 且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得DE＝27.36 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度.（结果精确到0.1 cm）（参考数据： sin 10°≈0.17， cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18） 图1 图2 解： 如图，过点B分别作BH⊥DE，BP⊥FC，垂足分别为H，P. 在Rt△BEH中，BE＝8 cm，∠EBH＝10°， ∴HE＝ sin 10°·EB≈1.36（cm），BH＝ cos 10°·EB≈7.84（cm）， ∴HD＝BP＝DE－HE≈27.36－1.36＝26（cm）. ∵∠ABF＝145°，∴∠PBF＝145°－90°－10°＝45°， ∴BP＝PF＝HD≈26 cm. ∵MN⊥CF，∴∠PBF＝∠NMF＝45°. ∵MN＝8 cm，∴MN＝NF＝8 cm， ∴DN＝DP＋PF－NF≈7.84＋26－8≈25.8（cm）. 答：线段DN的长度约为25.8 cm. $微专题8　 与角平分线有关的辅助线的作法 作边的垂线，构造全等三角形 已知条件 OP是∠MON的平分线，PA⊥OM 辅助线 过点P作PB⊥ON于点B 图形 结论 △AOP≌△BOP，PA＝PB 1. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于 点D，DE⊥AB，垂足为E. 若DE＝1，则BC的长为（　A　） A. 2＋ B. ＋ C. 2＋ D. 3 A 2. 在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若 CD＝4，则AC的长为 ⁠. 4＋4 　 3. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD， BD⊥CD，∠ADB＝∠C. 若P是BC边上一动点，则DP长的最小值 为 ⁠. 4　 作角平分线的垂线构造等腰三角形 已知条件 OP是∠MON的平分线，AP⊥OP 辅助线 延长AP交ON于点B 图形 结论 △AOB是等腰三角形， △AOP≌△BOP 4. 如图，点P在△ABC内部，BP平分∠ABC，AP⊥BP，连接PC. 若 △PBC的面积为1，则△ABC的面积为（　B　） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 B 5. 如图，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且 CE⊥BD交BD的延长线于点E. 若CE＝3，则BD＝ ⁠. 6. 如图，已知△ABC中，CD是∠ACB的平分线，AD⊥CD于点D， DE∥BC交AB于点E. 求证：EA＝EB. 6　 证明：如图，延长AD交BC于点F. ∵CD是∠ACB的平分线，AD⊥CD于点D， ∴∠ACD＝∠FCD，∠ADC＝∠FDC＝90°. 在△ACD和△FCD中， ∴△ACD≌△FCD（ASA），∴AD＝DF. ∵DE∥BC，∴ ＝ ＝1，∴EA＝EB. 作平行线，构造等腰三角形 情形1 已知条件 OC是∠AOB的平分线，点P是OC上 一点 辅助线 过点P作PQ∥OB交OA于点Q 图形 结论 △OPQ是等腰三角形，OQ＝PQ 情形2 已知条件 OC是∠AOB的平分线，点D为OA上 一点 辅助线 过点D作DE∥OC，交OB的反向延长线于点E 图形 结论 △ODE是等腰三角形，OE＝OD 7. 如图，已知OC平分∠AOB，CE⊥OB于点E，CD∥OB. 若∠COE＝ 15°，CD＝2，则CE的长为（　A　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 8. 如图，∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，DC＝4， 则线段OC的长为（　D　） A. 4 B. 4＋4 C. 8 D. 8＋4 D 9. 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC，求 的值. 解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则∠ABD＝ ∠BDE. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠BDE＝∠DBE， ∴DE＝BE. 设DE＝BE＝x，则CE＝6－x.∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝2， ∴BE＝2，CE＝4，∴ ＝ ＝ ＝2. 10. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD交AD的 延长线于点M. 请你通过观察和测量，猜想线段AB，AC之和与线段AM 有怎样的数量关系，并证明你的结论. 证明：如图，过点C作CE∥AB交AM的延长线于点E，则 ∠ECD＝∠B，∠E＝∠BAD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD，∴∠E＝∠CAD，∴AC＝EC. 又 CM⊥AD交AD的延长线于点M，∴AM＝ME，即AE＝ 2AM. ∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB. 又∠EDC＝∠ADB， ∴∠ECD＝∠EDC，∴ED＝EC， ∴AC＝ED，∴AB＋AC＝AD＋ED＝AE，∴AB＋AC＝2AM. 解：猜想：AB＋AC＝2AM. 利用角平分线，构造对称图形 情形1 已知条件 OP是∠MON的平分线，点A是OM上 一点 辅助线 在ON上截取OB＝OA，连接PB 图形 结论 △AOP≌△BOP，PA＝PB 情形2 已知条件 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线 辅助线 延长AB到点F，使得AF＝AC，连接 DF 图形 结论 △ADC≌△ADF，DC＝DF 11. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交 AD的延长线于点E，连接CE. 若AB＝4，AC＝3，则△ACE的面积为 （　A　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 A 12. 如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，AC＝8，AD平分∠BAC交 BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为 ⁠. 19　 13. 小林遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1所示，在△ABC中， ∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长. 小林这样思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E（如图 2），使EC＝AC，连接DE. 这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理 能使问题得到解决. 图1 图2 图3 请根据小林的思考过程解决下列问题： （1）结合图2证明：△DEC≌△DAC； （2）填空：①可推导出△BDE是 三角形；②BC的长 为 ⁠； 证明：略. 等腰　 5.8　 图1 图2 图3 （3）如图3，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分 ∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的长. （3）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°， ∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°－∠A）＝80°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝40°. 如图，在AB上取一点E，使得BE＝BC，连接DE，与（1）同理 可得△BDE≌△BDC（SAS）， ∴∠EDB＝∠CDB＝180°－∠C－∠CBD＝60°.在AD上取一 点F，使得FD＝BD＝2.3，连接EF， ∴∠FDE＝180°－∠EDB－∠CDB＝60°， ∴∠BDE＝∠FDE＝60°. 在△BDE和△FDE中， ∴△BDE≌△FDE（SAS）， ∴EB＝EF＝BC＝2，∠EBD＝∠EFD＝40°. ∵∠EFD＝∠A＋∠AEF，∴∠AEF＝∠EFD－∠A＝20°， ∴∠AEF＝∠A，∴AF＝EF＝2，∴AD＝AF＋FD＝4.3. $4.4　等腰三角形与直角三角形 知识·要点梳理 理要点·扣教材 一 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 二 素养·熟知考向 提素养·知考向 三 目录 / CONTENTS 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　1　等腰三角形的性质 定义 有两边① 的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫 作腰，第三边叫作底 性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，它有② 条对称轴； （2）两腰相等，两底角③ （简称“等边对 ④ ”）； （3）三线合一（等腰三角形顶角的⑤ 、底边上 的⑥ 、底边上的⑦ 互相重合） 判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形 相等　 一　 相等　 等角　 平分线　 中线　 高　 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中角 的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.一般情况下，在同一个三角 形中，欲证边相等，先证角相等，欲证角相等，先证边相等. 1. （教材整合）如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线. （1）等腰△ABC的对称轴是 ⁠； （2）若BC＝12，则CD＝ ⁠； （3）若∠C＝44°，则∠B的度数为 ⁠； （4）若BD＝6，AD＝5，则△ABC的面积为 ⁠. 线段AD所在的直线　 6　 44°　 30　 知识点　2　等边三角形的性质与判定 定义 三边相等的三角形是等边三角形 性质 （1）具有等腰三角形的一切性质； （2）它是轴对称图形，它有⑧ 条对称轴； （3）等边三角形的三个角都⑨ ，并且每个角都等于 ⑩ ⁠ 判定 （1）三边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是⑪ ⁠的等腰三角形是等边三角形 三　 相等　 60°　 60°　 2. （教材整合）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝4 cm， AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD＝ ，∠ADF ＝ ，BD＝ cm，∠EDF＝ ，△ABC的面积 为 cm2. 30°　 60°　 2　 120°　 4 　 知识点　3　直角三角形的性质与判定 定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 性质 （1）直角三角形的两锐角⑫ ⁠； （2）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于⑬ ⁠ ⁠； （3）直角三角形斜边上的中线等于⑭ ⁠； （4）勾股定理：两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方， 即⑮ ⁠； （5）设a，b为直角边，c为斜边，h为斜边上的高线，S为三 角形的面积，则S＝ ab＝ ch 互余　 斜 边的一半　 斜边的一半　 a2＋b2＝c2　 定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 　 判定 （1）有一个角是⑯ 的三角形是直角三角形； （2）两锐角的和等于⑰ 的三角形是直角三角形； （3）勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的⑱ ⁠ 等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； （4）如果三角形的一边上的中线等于这条边的一半，那么这个 三角形是直角三角形 直角　 90°　 平方 和　 1. 熟记常见的勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③6，8，10；④7， 24，25；⑤8，15，17；⑥9，40，41；2.勾股数的倍数也是勾股数；3.勾 股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依 据，这种方法在解决函数相关问题时应用较多. 3. （教材整合）如图，已知△ABC中∠BAC为直角，点D为BC边的中点. （1）Rt△ABC的斜边是 ，直角边是 ⁠； （2）若∠C＝60°，则∠B＝ °； （3）若BC＝5，AC＝3，则AB＝ ，由此得△ABC的三边数 值 一组勾股数（填“是”或“不是”）； （4）若BC＝5，AC＝3，则△ACD的周长为 ⁠. BC　 AB和AC　 30　 4　 是　 8　 4. （教材整合）如图，在△ABC中，D为AB的中点. （1）若BC＝5 cm，AC＝12 cm，∠ACB＝90°，则AB的长 为 cm； （2）若BC＝6 cm，AC＝8 cm，AB＝10 cm，则CD的长为 cm； （3）若∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则AB的长为 ⁠， △ACD的周长为 　　8＋4 　，△BCD的面积为 　　4 　. 13　 5　 8　 8＋4 　 4 　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　与等腰三角形相关的计算（5年2考） 1. （2025·贵州铜仁三模）如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于两点 M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD. 若CD＝AC，∠A＝50°，则 ∠ACB的度数为（　C　） A. 25° B. 75° C. 105° D. 115° C 方法点拨　垂直平分线往往构成等腰三角形，然后利用等腰三角形的性 质解决问题. 2. （2025·贵州二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以点B为圆 心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD. 若∠C＝65°，则 ∠ABD的度数为（　B　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° B 3. （2024·贵州模拟）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到 △AB'C'，若点C，B，C'共线，则∠ACB的度数为（　C　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 15° C 4. （2025·贵州一模）在△ABC中，∠C为钝角，∠A＝48°，如果经过 △ABC其中一个顶点作一条直线能把△ABC分成两个等腰三角形，那么 ∠C的度数为 ⁠. 108°或99°或116°　 命题点2　与等边三角形相关的计算（5年1考） 5. 如图，AD是等边三角形ABC的高线，E为AB的中点，点P是AD上的 一个动点，当△PBE的周长最小时，∠ABP的度数是（　C　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° C 方法点拨　等腰（等边）三角形中，出现高线、中线、角平分线时，一 般会用到“三线合一”，并且这条线是等腰三角形对称轴所在的直线，还 常常与线段之和最短一起考查. 6. （2025·贵州）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝ 60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为 （　D　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 D 7. 如图，已知△ABC和△CDE是等边三角形，点B，C，E在同一条直线 上，连接BD，AE交于点F. （1）求证：BD＝AE； 证明：略. （2）求∠AFB的度数； 解：∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD＝∠CAE. ∵∠AFB＝∠AEC＋∠CBD， ∴∠AFB＝∠AEC＋∠CAE＝∠ACB＝60°. （3）连接FC，求证：FC平分∠EFB. 证明：略. 命题点3　等腰（边）三角形的判定（5年1考） 8. （2025·贵州贵阳一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别 是BC，AC的中点，连接DE，延长BC至点F，使CF＝DE，连接EF. （1）求证：△EDC是等腰三角形； 证明：略. （2）已知∠A＝40°，求∠F的度数. 解：∵CF＝DE，DE＝CE，∴CE＝CF， ∴∠F＝∠CEF. ∵∠A＝40°， ∴∠DCE＝ ×（180°－40°）＝70°， ∴∠F＝∠CEF＝ ∠DCE＝35°. 方法点拨　证明一个等腰三角形的关键——证明有两条边相等 （1）通过角之间的等量代换证明有两角相等，利用等角对等边； （2）证明有所证两边的两个三角形全等，得相等线段； （3）垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到两顶点的距离相等； （4）角平分线上的点到角两边的距离相等. 9. （2025·贵州二模）△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点 （不与B，C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE， ∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE. （1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是 三角形； （2）若∠BAC＝∠DAE≠60°. 等边　 ①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明； ②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出 结论并画出相应的图形. 图1 图2 备用图 证明如下：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴△AED和△ABC均为等腰三角形， ∴∠C＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC， ∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠EBA＝∠C. ∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠ABC＝∠C， ∴∠EFB＝∠EBA，∴△EFB为等腰三角形. 解：①△BEF为等腰三角形. ②如图，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B， C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝ AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB 于点F，连接BE. ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△AED和 △ABC均为等腰三角形，∴∠ACB＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC， ∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠EBA＝∠ACD，∴∠EBF＝∠ACB. ∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠ABC. ∵∠ABC＝∠ACB，∴∠AFE＝∠EBF，∴△BEF为等腰三角形. 命题点4　勾股定理及其逆定理（5年3考） 10. （2025·贵州一模）如图1是第14届国际数学教育大会会标，中心图案 来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由4个全 等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.已知大正方形的边长AD 为10，AE的长为6，则小正方形的边长EF为（　D　） 图1 图2 A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 D 11. 如图1是第7届国际数学教育大会（ICME-7）会徽，在其主体图案中选 择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC. 若 AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为（　B　） 图1 图2 A. B. C. 1 D. 2 B 12. （2024·贵州贵阳模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，将矩 形沿EF折叠，使点C与点A重合. （1）若∠BAF＝20°，求∠GAE的度数； 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠C＝∠B＝∠D＝90°. 由折叠可知∠FAG＝∠C＝90°， ∴∠GAE＝90°－∠EAF＝∠BAF＝20°， ∴∠GAE的度数为20°. （2）求证：△AGE≌△ABF； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠C＝∠B＝∠D＝90°，AB＝CD. 由折叠可知∠G＝∠D＝90°，AG＝CD， ∴∠G＝∠B＝90°，AG＝AB. 在△AGE和△ABF中， ∴△AGE≌△ABF（ASA）. （3）若AB＝6 cm，BC＝8 cm，求BF的长. 解：设BF＝x cm， 则CF＝BC－BF＝（8－x）cm. ∵沿EF折叠后点C与点A重合， ∴AF＝CF＝（8－x） cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2， 即62＋x2＝（8－x）2，解得x＝ ， ∴BF＝ cm. 方法点拨　折叠中的“勾股定理” （1）折叠前后的图形全等，从而得到相等的边、角； （2）折痕是角平分线，加平行一般会出现等腰三角形； （3）连接对应点的直线被折痕垂直平分； （4）求线段长度一般会使用“方程思想＋勾股定理”. 13. （2025·贵州遵义三模）如图，已知△ABC为等边三角形，P为△ABC 内一点，PA＝12，PB＝9，PC＝15，将△PBC绕点B逆时针旋转后得到 △P'BA. （1）求点P与点P'之间的距离； 解：如图，连接PP'. 由题意可知BP'＝BP，∠PBC＝∠P'BA. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠PBC＋∠ABP＝60°， ∴∠ABP＋∠P'BA＝60°， ∴∠PBP'＝60°，∴△BPP'为等边三角形，∴PP'＝BP＝9. （2）求∠APB的度数. 解： ∵PP'＝9，PA＝12，AP'＝PC＝15， ∴PP'2＋PA2＝82＋122＝225，AP'2＝152＝225， ∴PP'2＋AP2＝AP'2， ∴△APP'为直角三角形，且∠APP'＝90°. ∵△BPP'为等边三角形， ∴∠BPP'＝60°， ∴∠APB＝∠APP'＋∠BPP'＝90°＋60°＝150°. 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [新考向]（2024·自贡）如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于 点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减 少用钢（　D　） A. （24－12 ） m B. （24－8 ） m C. （24－6 ） m D. （24－4 ） m D 2. [数学文化]我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周 朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论.勾股定理与图形 的面积存在密切的关系，如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图 形.若Rt△PEF的面积为6，AC＝13，BC＝12，则阴影部分的周长 为 ⁠. 28　 3. [新考向·思维能力]（2024·临夏州）如图，等腰三角形ABC中，AB＝ AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对 应点A'满足AA'＝ AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 　 　. 　 $4.1　 线段、角、相交线与平行线 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　1　直线、射线、线段 1. 两个基本事实： （1）两点确定一条直线.（2）两点之间，线段最短. 2. 两点间的距离：连接两点间的线段的长度，叫作这两点间的距离. 1. （教材整合）如图，在直线l上依次有A，B，C三点. （1）则图中线段共有 条，射线共有 条； （2）A，C两点之间的距离就是线段 的长度； （3）若AC＝4 cm，点B为线段AC的中点，则BC＝ cm. 3　 6　 AC　 2　 知识点　2　角及角的平分线 1. 定义：有④ 的两条射线组成的图形叫作角. 2. 角的分类： （1）角按大小可以分为周角、平角、⑤ 、直角、⑥ ⁠ ⁠. （2）1周角＝⑦ 平角＝⑧ 直角；1°＝⑨ '；1'＝ ⑩ ″. 公共端点　 钝角　 锐 角　 2　 4　 60　 60　 3. 余角、补角及性质： 余 角 定义 如果两个角的和等于⑪ ，称这两个角互为余角 性质 同角或等角的余角⑫ ⁠ 补 角 定义 如果两个角的和等于⑬ ，称这两个角互为补 角 性质 同角或等角的补角⑭ ⁠ 90°　 相等　 180°　 相等　 4. 角的平分线： （1）如图，若OC平分∠AOB，则∠AOC＝⑮ ＝ ⑯ ；∠AOB＝⑰ ∠AOC＝⑱ ∠BOC. （2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的⑲ 相等. （3）角平分线的判定：到角两边距离⑳ ⁠的点在这个角的平分 线上. ∠BOC　 ∠AOB　 2　 2　 距离　 相等　 知识点　3　相交线 1. 对顶角与邻补角： 对顶角 定义 顶点相同，两边互为反向延长线的两个角叫作对顶角 性质 对顶角㉑ ⁠ 邻补角 定义 顶点相同，有一条公共边，另一边互为反向延长线的 两个角叫作邻补角 性质 邻补角㉒ ⁠ 相等　 互补　 2. 垂线及其性质： 垂线 定义 两条直线相交，如果有一个角是㉓ ，那么这 两条直线互相垂直.其中一条直线叫作另一条直线的 ㉔ ，它们的交点叫作㉕ ⁠ 性质 （1）过平面内一点有且只有㉖ ⁠直线与已知 直线垂直； （2）过直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， ㉗ ⁠最短 直角　 垂线　 垂足　 一条　 垂线段　 点到直 线的距离 定义 从直线外一点到这条直线的㉘ ⁠叫作 点到直线的距离 线段的 垂直平 分线 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ㉙ ⁠ 逆定 理 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的 ㉚ ⁠上 垂线段的长度　 相等　 垂直平分线　 知识点　4　平行线 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 平行公理 经过直线外一点，有且只有㉛ ⁠直线与已知直线平 行 平行公理 的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 ㉜ ⁠ 一条　 平行　 平行线的 性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，㉝ ⁠相等 两直线平行，㉞ ⁠互补 平行线 的判定 ㉟ 相等，两直线平行 ㊱ 相等，两直线平行 ㊲ 互补，两直线平行 内错角　 同旁内角　 同位角　 内错角　 同旁内角　 两平行线 间的距离 定义 过平行线上一点，作另一条平行线的垂线，㊳ ⁠ ⁠的长度叫作两平行线间的距离 性质 两平行线间的距离处处㊴ ⁠ 垂 线段　 相等　 当题目中出现平行线时，常考虑利用平行线的性质找相等的角；当已知的 角与要求的角不是同位角、内错角或同旁内角时，要考虑利用对顶角、邻 补角、角的平分线等进行转化. 知识点　5　命题与定理 1. 命题： 定义 判断一件事情的语句叫作命题 组成 命题是由㊵ 和㊶ 两个部分组成的， 通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如 果”部分是㊷ ，“那么”部分是㊸ ⁠ 分类 （1）命题分为真命题和假命题； （2）判定一个命题是假命题的常用方法是举反例，证明一 个命题是真命题必须要经过严格的推理论证 条件　 结论　 条件　 结论　 定义 判断一件事情的语句叫作命题 互逆 命题 如果两个命题的条件和结论正好相反，那么这两个命题称 为互逆命题；我们把其中的一个叫作㊹ ，另 一个叫作它的㊺ ⁠ 2. 定理： 定理 经过证明的㊻ ⁠叫作定理 互逆 定理 如果一个定理的逆命题也是一个定理，那么这两个定理 称为互逆定理 原命题　 逆命题　 真命题　 2. （教材整合）如图，∠1＝27.26°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同 一条直线上. （1）把27.26°用度、分、秒表示为 ⁠； （2）图中∠2的补角为 ，∠2的补角的度数 为 ⁠； （3）∠2－∠1的度数为 ⁠. 27°15'36″　 ∠BOC　 62.74°　 90°　 3. （人教八上P48思考变式）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA于点D，PD＝5 cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值 为 cm.若∠BOD＝50°，则∠OPD＝ ⁠. 5　 65°　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 4. （北师七下P40习题T1变式）如图，两条直线交于点O，若∠1＋∠2＝ 86°，则∠2＝ ，∠3＝ ⁠. 3. 线段的和与差：如图，点B是线段AC上一点，则有： AC＝AB＋① ；AB＝② －BC；BC＝AC－ ③ ⁠. 43°　 137°　 BC　 AC　 AB　 4. 线段的中点及性质：如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与 MB，点M叫作线段AB的中点，AM＝MB＝ AB. 5. （教材整合）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，其中AC＝6，BC＝ 8，AB＝10. （1）图中CD的长为 ⁠； （2）点B到AC的距离是 ⁠； （3）若点D为线段AE的中点，则CE的长度为 ⁠； （4）从点C向AB所引的4条线段中， 最短. 4.8　 8　 6　 CD　 6. （教材整合）如图，直线a∥b，b∥c. （1）直线a，c的位置关系是 ，理由是 ⁠ ⁠； （2）图中∠1与∠2的关系为 ，理由是 ⁠ ⁠； （3）图中∠2与∠3的关系为 ⁠； （4）若a，b之间的距离为2，a，c之间的距离为5，则b，c之间的距离 为 ⁠. a∥c　 平行公理的推 论　 相等　 两直线平行，同位 角相等　 互补　 3　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 7. （教材整合）已知命题“同位角相等”. （1）把上述命题改写为“如果……那么……”的形式： ⁠ ⁠. 题设为 ⁠， 结论是 ⁠， 该命题为 命题. （2）“同位角相等”的逆命题为 ⁠ ，该命题为 命题. 如果两个角 是同位角，那么这两个角相等　 两个角是同位角　 这两个角相等　 假　 如果两个角相等，那么这两个角是 同位角　 假　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　平行线的性质（5年2考） 1. （2025·贵州）如图，小红想将一张矩形纸片沿AD，BC剪下后得到一 个▱ABCD. 若∠1＝70°，则∠2的度数是（　B　） A. 20° B. 70° C. 80° D. 110° B 命题点2　平行线性质的实际应用 2. （2024·贵州遵义三模）正安县被誉为“吉他之都，音乐之城”.吉他是 一种弹拨乐器，通常有六根弦.弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如 图1），其部分示意图如图2所示.若AB∥CD，则下列结论正确的是 （　D　） 图1 图2 D A. ∠1＝∠2 B. ∠3＝∠4 C. ∠1＋∠4＝180° D. ∠3＋∠4＝180° 3. （2024·贵州黔东南州一模）如图1是某商场某品牌的椅子，图2是其侧 面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，则∠CAB＝（　C　） 图1 图2 A. 70° B. 65° C. 60° D. 50° C 命题点3　角及角的平分线 4. （2025·贵州铜仁模拟预测）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为 圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M， N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交 BC于点D. 若CD＝3，AC＝4，则点D到直线AB的距离是（　C　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 C 命题点4　垂线段最短 5. （2025·贵州黔东南州二模）如图，在立定跳远后，王老师用一块直角 三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合来测量运动员的成 绩，他这样做的理由是（　C　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C 命题点5　命题与定理 6. （2025·贵州二模）命题“如果a＝b，b＝c，那么a＝c”的条件 是 ⁠. 7. （2025·贵州毕节三模）用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么 ＞ ”的第一步应假设 　 ≤ 　. a＝b，b＝c　 ≤ 　 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [跨学科·物理]（2025·贵州模拟预测）光线在不同介质中的传播速度不 同，当光线从空气射向水中时会发生折射.如图，在空气中平行的两条入 射光线在水中的折射光线也是平行的.已知水面和杯底互相平行，若∠1＝ 125°，则∠2＝（　B　） A. 65° B. 55° C. 45° D. 75° B 2. [新考向·生活实际]（2024·吉林）如图，从长春站去往胜利公园，与其 他道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ⁠ ⁠. 两点之间， 线段最短　 $微专题10　相似模型 “A”字型 模型 有一个公共角（∠A）或有一对公共顶点的等角（图①：∠BAC ＝∠DAE），此时需要找另一对角相等.若题中未明确相似三角 形对应顶点，则需要分类讨论，如图①中可找条件∠ADE＝∠C 或∠ADE＝∠B 图示 结论 1.图④⑤：AC2＝AD·AB； 2.图⑤：（1）CD2＝AD·BD（射影定理）；（2）BC2＝ BD·AB； 3.双垂直模型常会在几何综合题中考查其分类讨论思想，即未确 定两三角形对应顶点，常通过不确定的对应边列关系式求解 1. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的三等分点.若 EF∥AB，则 等于（　B　） A. B. C. D. B 2. 如图，BD，CE分别是AC与AB边上的高，连接DE. 求证： △ADE∽△ABC. 证明：略. 3. 如图，在△ABC中，BC＝12，高AD＝6，正方形EFGH一边在BC上， 点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，求AN的长. 解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x. ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC. ∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x. ∵△AEF∽△ABC， ∴ ＝ （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）. ∵BC＝12，AD＝6，∴AN＝6－x， ∴ ＝ ，解得x＝4， ∴AN＝6－x＝6－4＝2. “8”字型 模型 有一组隐含的等角（对顶角），此时需要从已知条件、图中隐 含条件或通过证明得到另一组对角相等.若题中未明确相似三角 形对应顶点，则需要分类讨论 图示 AB∥CD 图① 正“8”字型 ∠A＝∠C或∠B＝∠D 图② 斜“8”字型 4. 如图，直线l1∥l2，直线l1，l2分别交直线m，n于点A，C，B，D，直 线m，n交于点E. 若AE＝3，CE＝2，BE＝4，则ED的长为（　A　） A. B. C. D. A 5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE＝2ED，连接 BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则 的值为（　A　） A. B. C. D. A 6. 如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC 于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F. 若AB＝4， CD＝6，则OM－EF的值为（　A　） A. B. C. D. A 手拉手模型 模型 　 DE∥BC 等腰直角三角形“手拉手”模型 特征 ①有一个公共顶点； ②有两组由公共顶点引出的成比例的线段； ③两组成比例线段之间的夹角相等 结论 ①△ABD∽△ACE；② ＝ ＝ ； ③∠BPC＝∠BAC 7. （2025·北京模拟）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE，则 的值为（　B　） A. B. C. D. 2 B 8. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一 点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于点E. 将△ADE绕A点顺时针旋 转到图2的位置，则图2中 的值为 ⁠. 图1 图2 0.8　 一线三等角模型 模型 同侧 异侧 锐角 直角 钝角 锐角 直角 钝角 特征 一线：模型中A，P，B三点共线 三等角：∠1＝∠2＝∠3 结论 △APC∽△BDP 9. 如图，点E在线段BC上，AB⊥BC，DC⊥BC，∠AED＝90°.求 证：AB·CD＝BE·EC. 证明：略. 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点， 且∠APD＝∠B. （1）求证：AC·CD＝CP·BP； 证明：略. （2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长. 解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP. ∵∠APD＝∠B＝∠C，∴∠BAP＝∠C. ∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA， ∴ ＝ .∵AB＝10，BC＝12， ∴ ＝ ，∴BP＝ . $第1课时　锐角三角函数 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　1　锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AB＝c，BC＝ a，AC＝b 正弦 sin A＝ ＝ 余弦 cos A＝ ＝ 正切 tan A＝ ＝ 知识点　2　特殊角的三角函数值 α sin α cos α tan α 30° 45° ① ⁠ 60° ② ⁠ ③ ⁠ 1　 　 　 知识点　3　解直角三角形 1. 定义：由直角三角形中除直角外的④ 个已知元素，求出另外 ⑤ 个未知元素的过程叫解直角三角形. 两　 三　 解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是边. 2. 解直角三角形的依据： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边. （1）三边关系：⑥ ⁠； （2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝⑦ ⁠； （3）边角间的关系： sin A＝ cos B＝⑧ ， cos A＝ sin B＝ ⑨ 　 　，tan A＝⑩ 　 　，tan B＝⑪ 　 　. a2＋b2＝c2　 90°　 　 　 　 　 3. 解直角三角形的类型及解法： 图形 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边 （如a，b） 由tan A＝ ，求∠A， ∠B＝90°－∠A，c＝ 斜边、一直角边（如 c，a） 由 sin A＝ ，求∠A， ∠B＝90°－∠A，b＝ 图形 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 一边 一角 一直角 边和一 锐角 锐角、邻边（如∠A，b） ∠B＝90°－∠A， a＝b·tan A，c＝ 锐角，对边（如∠A，a） ∠B＝90°－∠A， b＝ ，c＝ 斜边、锐角 （如c，∠A） ∠B＝90°－∠A， a＝c· sin A，b＝c· cosA 解直角三角形的思路可概括为“有斜用弦（正弦、余弦），无斜用切（正 切），宁乘勿除，取原避中”. 1. （人教九下P64练习T1变式）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC ＝ ，则 sin A＝ 　 　， cos B＝ 　 　， cos A＝ 　 　，tan B ＝ ⁠. 2. （人教九下P67练习T1变式）已知α为锐角，若 sin α＝ ，则α ＝ ；若 cos α＝ ，则α＝ ；若tan α＝1，则α ＝ ⁠. 　 　 　 　 30°　 60°　 45°　 3. （教材整合）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A， ∠B，∠C的对边. （1）已知a＝3，b＝3，则c＝ ，∠A＝ ⁠； （2）已知b＝4，c＝8，则a＝ ，∠A＝ ⁠； （3）已知∠A＝45°，c＝8，则a＝ 　　4 　，b＝ 　　4 　. 3 　 45°　 4 　 60°　 4 　 4 　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 4. （人教九下P74练习变式）在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形. （1）∠B＝60°，b＝ ，则∠A＝ ，c＝ ，a ＝ ⁠； （2）a＝2 ，c＝4，则b＝ 　　2 　，∠A＝ ，∠B ＝ ⁠； 30°　 2　 1　 2 　 45°　 45°　 （3）∠A＝30°，c＝25，则∠B＝ ，a＝ ，b ＝ ⁠. 60°　 12.5　 　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　锐角三角函数的定义 1. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则 cos ∠ABC的值为 （　B　） A. B. C. D. B 2. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上， 以AB为直径的圆经过点C，D，则∠ADC的余弦值为（　A　） A. B. C. D. A 方法点拨　锐角三角函数存在的条件是直角三角形，当所给的角不在直 角三角形中时，需要将它转化为直角三角形中的角.一般通过平行、同角 的余角或补角以及圆中同弧所对的圆周角相等进行转化. 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，下列表示正确的是 （　D　） A. tan A＝ B. tan B＝ C. sin A＝ D. cos A＝ D 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则 cos B＝ ⁠. 　 命题点2　特殊角的三角函数值 5. （2024·贵州模拟）计算 －tan 45°＝ ⁠. 6. 若 ＋｜tan B－ ｜＝0，则△ABC的形状是 ⁠ .（按边分） 0　 等边三角 形　 方法点拨　当两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0. 7. （2025·东莞三模）如图是一个直角三角形，其中∠B＝30°，∠C＝ 90°，则 sin A＝ ⁠. 8. 计算： ＋（1＋π）0－2 cos 45°＋｜1－ ｜＝ ⁠. 　 2　 命题点3　解直角三角形（5年5考，高频考点） 9. （2024·贵州遵义一模）在△ABC中，AC＝6，∠B＝45°，∠C＝ 60°，尺规作图方式如图所示，则AB的长为（　D　） A. ＋1 B. 3 C. 2 D. 3 D 10. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝120°，∠ABC ＝70°，BC＝80，CD＝100，求AB的长.（结果取整数，参考数据： sin 20°≈0.34， cos 20°≈0.94， ≈1.732） 解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作 DF⊥CE于点F，则∠AEF＝∠DFE＝90°. 又∵∠DAB＝90°， ∴四边形AEFD是矩形，∴∠ADF＝90°，AE＝DF. ∵∠ADC＝120°， ∴∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝30°. 在Rt△CDF中， cos 30°＝ ，CD＝100， ∴DF＝CD· cos 30°＝100× ＝50 ， ∴AE＝DF＝50 ≈86.6. ∵∠ABC＝70°，CE⊥AB， ∴∠BCE＝90°－70°＝20°. 在Rt△CEB中，BC＝80， sin 20°＝ ，∴BE＝ BC· sin 20°≈27.2，则AB＝AE＋EB≈114. 方法点拨 1. 将四边形转化为几个直角三角形，从而利用角的三角函数值求解. 2. 转化为直角三角形时，线段BC，CD尽可能不打乱，便于直接利用70° 的角不要再分割，这样可以直接利用所给的“参考数据”. 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [新考向·几何直观]如图，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C 都在格点上，则 sin ∠BAC的值为（　D　） A. B. 2 C. D. D 2. [新定义]定义一种运算： sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β， sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β.例如：当α＝45°，β＝30°时， sin （45°＋30°）＝ × ＋ × ＝ ，则 sin 15°的值 为 ⁠. 　 $微专题5　 与全等三角形有关的常见模型 平移模型 模型 展示 模型 特点 沿某一直线（l）平移其中一个三角形可与另一个三角形完全重 合 （1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即 可）； 解：由题知，选择的三个条件是①②③；或者选择 的三个条件是①③④. 1. 如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上.下面四个 条件： ①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF； ④∠ABC＝∠DEF. （2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF. 证明：当选择①②③时，∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS）. 当选择①③④时，∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）. 对称模型 模型展示 有公 共边 有公 共顶点 模型特点 将所给图形沿某条直线折叠，直线两边的部分能完全重合 2. （2025·贵州黔西南州模拟）如图，在四边形ACBD中，点P在对角线 AB上，连接PC，PD. 已知∠1＝∠2，∠3＝∠4. （1）求证：△BDP≌△BCP； 证明： ∵∠1＝∠2，∠1＋∠DPB＝∠2＋∠CPB＝ 180°，∴∠DPB＝∠CPB. 在△BDP和△BCP中， ∴△BDP≌△BCP（ASA）. （2）求证：AD＝AC. 证明：由（1）得△BDP≌△BCP，∴DP＝CP. 在△ADP和△ACP中， ∴△ADP≌△ACP（SAS）， ∴AD＝AC. 3. （2025·贵州黔西南州模拟）如图，∠BAD＝∠EAC，∠B＝∠E，BC ＝ED. 求证：△BAC≌△EAD. 证明：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，∴∠BAC＝∠EAD. 在△BAC和△EAD中， ∴△BAC≌△EAD（AAS）. 旋转模型 一、不共顶点 模型展示 模型特点 绕一点（非顶点）旋转一定的角度后再平移可得两个三角 形全等 二、共顶点（手拉手模型） 模型 展示 无重叠 有重叠 模型特点 绕着公共顶点旋转一定的角度后，可得两个三角形全等 4. （2024·长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC ＝DE. （1）求证：△ABC≌△ADE； 证明：在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）. （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数. 解：由（1）得△ABC≌△ADE，∴AC＝AE， ∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠AEC＝∠ACE. ∵∠AEC＋∠ACE＝2∠ACE＝180°－∠DAE＝ 120°，∴∠ACE＝60°. 5. 如图，∠BAE＝∠CAF＝90°，EC，BF相交于点M，AE＝AB，AC ＝AF. （1）求证：①EC＝BF；②EC⊥BF. 证明：略. （2）若条件∠BAE＝∠CAF＝90°改为∠BAE＝∠CAF＝m° （m≠90），则（1）中的①、②两个结论还成立吗？请说明理由. 解：（1）中的结论①成立，结论②不成立.理由如下： ∵∠BAE＝∠CAF＝m°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAF＋ ∠BAC，即∠EAC＝∠BAF. 在△ACE和△AFB中， ∴△ACE≌△AFB（SAS），∴EC＝BF. 如图，设AB，CE相交于点D. 由上述证明知△ACE≌△AFB， ∴∠AEC＝∠ABF. ∵∠BAE＝m°， ∴∠AEC＋∠ADE＝180°－m°. ∵∠ADE＝∠BDM，∠AEC＝∠ABF，∴∠ABF＋ ∠BDM＝180°－m°. 在△BDM中，∠BMD＝180°－（∠ABF＋∠BDM）＝ 180°－（180°－m°）＝m°（m≠90），故不能得到 EC⊥BF. 6. （2025·贵州黔东南州模拟）一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其 中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE. 作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1. 图1 图2 图3 备用图 （1）求证：BM＝EN； 证明：略. （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按图2所示的方式放置，点C与 点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕点C按顺时针旋转 α后，延长BM交直线DF于点P. ①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形； ②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明. 图1 图2 图3 ①证明：略. ②解：当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量 关系为DP＋MP＝ CD. 证明如下：当30°＜α＜60°时，连接CP，如图. 由题意可得CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°. 又∵CP＝CP，∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL）， ∴PM＝PN，∴MP＋DP＝PN＋DP＝DN. 在Rt△CND中，∠CND＝90°，∠D＝30°， 图3 图3 设CN＝m，则CD＝2m，DN＝ m， ∴DN＝ CD，∴DP＋MP＝ CD. “一线三等角”模型 模型 同侧 异侧 条件 ∠1＝∠2＝∠3且PC＝PD 结论 △ACP≌△BPD 7. （2024·贵州黔南州一模）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E是线 段AD上一个动点，且ED＝AB，BE⊥EF. （1）求证：△AEB≌△DFE； 证明：略. （2）若AB＝3 cm，求四边形BCFE的面积. 解： ＝9 cm2. 8. （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点 A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E. 求证： △ABD≌△CAE； 图1 图2 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直 线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关 系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3 所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD ＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高，延长GA交 DE于点H. 设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，请猜想S1，S2的大 小关系，并说明理由. 图3 （1）证明：略. （2）解：DE，BD，CE的数量关系是DE＝BD＋CE. 证明如下：∵∠EAB是△ABD的外角， ∴∠EAB＝∠ADB＋∠DBA， ∴∠EAC＋∠BAC＝∠ADB＋∠DBA. ∵∠ADB＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DBA. 在△EAC和△DBA中， ∴△EAC≌△DBA（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD， ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. （3）解：S1，S2的大小关系是S1＝S2.理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作 EN⊥AH于点N，如图所示. ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠M＝90°， ∴∠ABG＋∠BAG＝90°. ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAG＋∠DAM＝90°，∴∠ABG＝∠DAM. 在△ABG和△DAM中， ∴△ABG≌△DAM（AAS），∴DM＝AG. 同理可证明△AGC≌△ENA，∴EN＝AG， ∴DM＝EN. ∵S1＝ AH·DM，S2＝ AH·EN，∴S1＝S2. 9. （2025·贵州黔西南州模拟）如图1，AB＝10 cm，AC⊥AB， BD⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝7 cm.点P在线段AB上以3 cm/s的速 度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动.它们运动的 时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）. 图1 图2 （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与 △BPQ是否全等？判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明 理由； 解： 当t＝1时，△ACP≌△BPQ，线段PC和线段PQ的位置关系是 PC⊥PQ. 理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°. ∵当t＝1时，AP＝BQ＝3 cm，∴BP＝7 cm， ∴BP＝AC. 在△ACP和△BPQ中， ∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠C＝∠BPQ. ∵∠C＋∠APC＝90°，∴∠APC＋∠BPQ＝90°. 又∵∠APC＋∠BPQ＋∠CPQ＝180°，∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ. （2）如图2，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点 Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出 相应的x的值. 解： 由题意可得BQ＝xt cm，AP＝3t cm， ∴BP＝（10－3t）cm. ∵∠CAB＝∠DBA，∴分两种情况讨论： ①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ， 可得7＝10－3t，3t＝xt，解得t＝1，x＝3； ②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP， 可得7＝xt，3t＝10－3t，解得t＝ ，x＝ . 综上，当△ACP与△BPQ全等时，x的值为3或 . 图2 半角模型 等边三角形含半角 （∠BDC＝120°） 结论：①△DEF≌△DGF ②EF＝BE＋CF 等腰直角三角形含半角 结论：①△ADE≌△AFE ②BD2＋CE2＝DE2 正方形含半角 结论：①△AEF≌△AEG ②EF＝DE＋BF ③△EFC的周长＝2BC 10. （2025·贵州贵阳模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角的角度是 公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点” 看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个角，相当于构造出 两个三角形全等. 【问题初探】 （1）如图1，在四边形ABCD中，AD ＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝ 90°，E，F分别是AB，BC边上的 点，且∠EDF＝45°，求出图中线段EF，AE，FC之间的数量关系. 图1 图2 图3 提示：如图1，从条件出发：将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到 △CDM位置，根据“旋转的性质”分析CM与AE之间的关系，再通过全 等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论. 图1 图2 图3 【学以致用】 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点 E，F分别在射线CB，DC上，且∠EAF＝ ∠BAD. 当BC＝5，DC＝ 8，CF＝2时，求△CEF的周长. 图1 图2 图3 【类比分析】 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长. 解：（1）EF＝FC＋AE. 证明如下： ∵将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM， ∴△DAE≌△DCM，∴DE＝DM，AE＝CM，∠ADE＝∠CDM，B， C，M三点共线. ∵∠EDF＝45°，∴∠ADE＋∠FDC＝∠CDM＋∠FDC＝∠MDF＝ 45°. 在△DEF和△DMF中， ∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝FM， ∴EF＝FM＝FC＋CM＝FC＋AE. （2）如图，在DC上取一点G，使得DG＝BE. ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABC＋∠D＝180°. 又∵∠ABE＋∠ABC＝180°， ∴∠ABE＝∠D. 又∵AB＝AD，BE＝DG， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG. ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAB＋∠BAF＝∠DAG＋∠BAF＝45°， ∵∠BAD＝90°，∴∠FAG＝∠FAE＝45°. ∵AE＝AG，AF＝AF，∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG. 设BE＝DG＝x，则EC＝EB＋BC＝x＋7， EF＝FG＝DC＋CF－DG＝18－x.在Rt△ECF中，EF2＝ EC2＋CF2，∴52＋（7＋x）2＝（18－x）2，解得x＝5， ∴BE＝5. （3）如图，在DF上截取DM＝BE. ∵∠D＋∠ABC＝∠ABE＋∠ABC＝180°，∴∠D＝ ∠ABE. 在△ADM和△ABE中， ∴△ADM≌△ABE（SAS）， ∴AM＝AE，∠DAM＝∠BAE. ∵∠EAF＝∠BAE＋∠BAF＝ ∠BAD， ∴∠MAF＝ ∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF. 在△EAF和△MAF中， ∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝MF. ∵MF＝DF－DM＝DF－BE，∴EF＝DF－BE， ∴△CEF的周长＝CE＋EF＋FC＝BC＋BE＋DC＋CF－ BE＋CF＝BC＋CD＋2CF＝17. 11. （2025·贵州黔南州一模）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引 导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，且 ∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长. 图1 图2 解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接ED'. 由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD'，∠B＝∠ACD'，AD＝AD'，BD＝CD'. ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠BAD＋∠EAC＝45°. ∵∠BAD＝∠CAD'， ∴∠CAD'＋∠EAC＝45°，即∠EAD'＝45°， ∴∠DAE＝∠D'AE. 在△DAE和△D'AE中， AD＝AD'，∠DAE＝∠D'AE，AE＝AE， ∴① 　　， ∴DE＝D'E. 图2 又∵∠ECD'＝∠ECA＋∠ACD'＝∠ECA＋∠B＝90°， ∴在Rt△ECD'中，② 　　. ∵CD'＝BD＝3，CE＝4， ∴DE＝D'E＝③ 　　. 图1 图2 【问题解决】 （1）上述问题情境中，“①”处应填： ⁠； “②”处应填： ；“③”处应填： ⁠. 刘老师进一步谈道：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们 抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变. △DAE≌△D'AE（SAS）　 EC2＋CD'2＝ED'2　 5　 图3 图4 【知识迁移】 （2）如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，满足 △CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连接AE，AF，分别与对 角线BD交于M，N两点.探究BM，MN，DN的数量关系并证明. 图3 图4 【拓展应用】 （3）如图4，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF ＝∠CEF＝45°.探究BE，EF，DF的数量关系并证明. 图3 图4 解：（2）DN2＋BM2＝MN2.证明如下： 如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF'，过点 D作DH⊥BD交边AF'于点H，连接NH. 由旋转，得AE＝AF'，BE＝DF'，∠BAE＝∠DAF'. 由题意，得EF＋EC＋FC＝DC＋BC＝DF＋FC＋EC＋BE， ∴EF＝DF＋BE＝DF＋DF'＝F'F. 在△AEF和△AF'F中， ∴△AEF≌AF'F（SSS），∴∠EAF＝∠F'AF. 图1 图1 又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°. ∵DH⊥BD，∴∠ADH＝∠HDB－∠ADB＝45°. 在△ABM和△ADH中， ∴△ABM≌△ADH（ASA），∴AM＝AH，BM＝DH. 在△AMN和△AHN中， 图1 图1 ∴△AMN≌△AHN（SAS），∴MN＝HN. 在Rt△HND中， DN2＋DH2＝HN2，∴DN2＋BM2＝MN2. （3）EF2＝2BE2＋2DF2.证明如下： 如图2所示，延长FE交AB的延长线于M点，延长EF 交AD的延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转 90°得到△AGH，连接HM，HE. 过点H作HO⊥直 线BC于点O，∴△ADF≌△AGH， ∴DF＝HG，AD＝AG，∠HAG＝∠FAD，∠ADF ＝∠AGH＝90°. ∵∠CEF＝45°＝∠BEM，∠MBC＝90°， ∴∠BME＝45°，∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BE＝BM. 图1 图2 图2 ∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，∴∠CFE＝∠DFN＝ 45°， ∴∠DNF＝45°＝∠BME，∴AM＝AN， ∴△HAM≌△FAN，∴∠HMA＝∠FNA＝45°， ∴HG＝MG. 由（2）知△AEH≌△AEF，则EH＝EF. 由勾股定理得（GH＋BE）2＋BG2＝EH2， 即（GH＋BE）2＋（BM－GM）2＝EH2. 又∵EF＝HE，DF＝GH＝GM，BE＝BM， ∴（GH＋BE）2＋（BE－GH）2＝EF2， 即2（DF2＋BE2）＝EF2，∴EF2＝2BE2＋2DF2. 图2 图2 截长补短法 12. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C. 求 证：AB＋BD＝AC. 证明：略. 13. 在△ABC中，AB＝AC，点D与点E分别在AB，AC边上，DE∥BC， 且DE＝DB，点F与点G分别在BC，AC边上，∠FDG＝ ∠BDE. （1）如图1，若∠BDE＝120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF＝1， 直接写出BC＝ ⁠； 4　 图1 图2 图3 （2）如图2，当点G在线段EC上时，探究线段BF，EG，FG的数量关 系，并给予证明； 图1 图2 图3 解： FG＝BF＋EG. 证明如下：如图1，在EA上截取EH，使得EH＝BF. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝ ∠AED， ∴∠DEH＝∠B. 在△DBF和△DEH中， 图1 图1 ∴△DBF≌△DEH（SAS），∴DF＝DH，∠BDF＝ ∠EDH. ∵∠FDG＝ ∠BDE， ∴∠BDF＋∠EDG＝∠EDH＋∠EDG＝∠GDH＝ ∠BDE，∴∠GDF ＝∠GDH. 在△DGF和△DGH中， ∴△DGF≌△DGH （SAS），∴FG＝HG. ∵HG＝EG＋HE＝EG＋BF，∴FG＝BF＋ EG. 图1 （3）如图3，当点G在线段AE上时，写出线段BF，EG，FG的数量关 系，并给予证明. 图1 图2 图3 解： FG＝BF－EG. 证明如下：如图2，在射线EA上截取EH，使得EH＝BF. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝ ∠AED，∴∠DEH＝∠B. 在△DBF和△DEH中， ∴△DBF≌△DEH（SAS），∴DF＝DH， ∠BDF＝∠EDH，∴∠BDE＝∠FDH. ∵∠FDG＝ ∠BDE＝ ∠FDH， 图2 图2 ∴∠GDF＝∠GDH. 在△DGF和△DGH中， ∴△DGF≌△DGH（SAS），∴FG＝HG. ∵HG＝HE－GE＝BF－EG，∴FG＝BF－EG. 图2 图2 $4.3　全等三角形 知识·要点梳理 理要点·扣教材 一 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 二 素养·熟知考向 提素养·知考向 三 目录 / CONTENTS 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　1　全等三角形的性质与判定 定义 能够完全重合的两个三角形叫作① ⁠ 性质 （1）对应边② ，对应角③ ⁠； （2）全等三角形的周长④ ，面积⑤ ⁠； （3）对应角的平分线、对应边上的中线、对应边上的高都 ⑥ ⁠ 全等三角形　 相等　 相等　 相等　 相等　 相等　 判定 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简 记为“SSS” （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三 角形全等，简记为“SAS” （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三 角形全等，简记为“ASA” （4）两角和其中一角的对边分别相等的两 个三角形全等，简记为“AAS” （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直 角三角形全等，简记为“HL” 若出现几个直角，可考虑用互余关系找等角；若有公共角，公共角常为一 组对应角，若仅含有一部分公共角，可考虑用角的和差关系找等角. 知识点　2　全等三角形常见的模型 模型 图形示例 平移模型 对称模型 旋转模型 模型 图形示例 角平分线模型 三垂直模型 1. （人教八上P33习题T4变式）已知△ABC≌△DEF，若∠A＝80°， ∠B＝30°，则∠F＝ °；若△ABC的周长为32，AB＝10，BC ＝14，则DE＝ ，DF＝ ⁠. 2. （教材整合）如图，在△ABC和△DEF中，AF＝DC，∠A＝∠D. 70　 10　 8　 （1）当添加条件 时，可依据“ ”证明 △ABC≌△DEF； （2）当添加条件 时，可依据“ ”证明 △ABC≌△DEF； （3）当添加条件 时，可依据“ ”证明 △ABC≌△DEF. AB＝DE　 SAS　 ∠ACB＝∠DFE　 ASA　 ∠B＝∠E　 AAS　 3. （教材整合）如图，已知△ABC≌△EBF，AB⊥CE，ED⊥AC. （1）对应相等的边有 ， ， ⁠ ⁠. （2）对应相等的角有 ， ⁠ ， ⁠. （3）若AB＝5，BC＝3，则AF＝ ⁠. （4）图中的△ABC与△EBF属于 模型. BC＝BF　 AB＝EB　 AC＝ EF　 ∠A＝∠E　 ∠C＝ ∠BFE　 ∠FBE＝∠CBA　 2　 旋转　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　全等三角形的概念及性质（5年3考） 1. 如图，△ABC≌△DEC，B，C，D在同一直线上，且CE＝8，AC＝ 10，则BD的长为（　A　） A. 18 B. 20 C. 22 D. 21 A 方法点拨　全等三角形的性质是证明线段或者角的数量关系的极其有利 的工具. 2. （2025·贵州安顺模拟）如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D ＝65°，则∠C的度数为 ⁠. 35°　 3. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE∥DF，AE＝DF，AB＝ CD. （1）求证：△AEC≌△DFB； 证明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D. ∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，∴AC＝DB. 在△AEC和△DFB中， ∴△AEC≌△DFB（SAS）. （2）若∠A＝45°，∠ECD＝120°，求∠F的度数. 解：由（1）得△AEC≌△DFB，∴∠E＝∠F. ∵∠ECD＝∠A＋∠E，∠A＝45°，∠ECD＝120°，∴∠F＝75°. 命题点2　一般全等三角形的判定（5年5考，高频考点） 4. （2025·贵州铜仁二模）如图，在△ABC与△DCB中，若AB＝CD，AC ＝DB，则△ABC≌△DCB，得到这个结论的理由是（　C　） A. ASA B. AAS C. SSS D. SAS C 5. （2025·贵州毕节三模）在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图 中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　D　） A B C D D 6. （2022·贵州安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝ 1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝ 90°，连接CE. （1）求证：△ABD≌△ACE； 证明：∵△ADE是等腰直角三角形，∠DAE＝ 90°，∴AD＝AE，∠CAE＝90°－∠DAC. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°－∠DAC＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）. （2）若∠BAD＝22.5°，求BD的长. 解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ＝1，∴BC＝ ＝ . ∵∠BAC＝90°，∠BAD＝22.5°， ∴∠DAC＝90°－∠BAD＝67.5°. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ACD＝ （180°－90°）＝45°， ∴∠ADC＝180°－∠ACD－∠DAC＝67.5°. ∴∠ADC＝∠DAC，∴AC＝DC＝1，∴BD＝BC－DC＝ －1. 方法点拨　全等三角形的判定思路 已知两边 分别相等 （1）找第三边→SSS （2）找两边的夹角→SAS （3）找直角→HL 已知一边 和一角分 别相等 边为角 的对边 （1）找另一角→AAS （2）已知角是直角，找直角边→HL 边为角 的邻边 （1）找已知角的另一邻边→SAS （2）找已知边的另一邻角→ASA （3）找已知边的对角→AAS　　 （4）已知角是直角，找斜边→HL 已知两角 分别相等 （1）找两角的夹边→ASA （2）找其中一角的对边→AAS 7. （2025·贵州贵阳模拟预测）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的 “角平分线仪”，小明将“角平分线仪”的各点标上字母，并提出了一个 问题：如何证明AE是∠QAP的平分线呢？ 小丽想，先证明△ABC≌△ADC，即可得出结论，于是她写出了如下证明 过程： 在△ABC和△ADC中， ∵AD＝BC，AB＝DC，AC＝AC， 　　 　　　……第一步 ∴△ABC≌△ADC， 　　 　　　……第二步 ∴∠BAC＝∠DAC， 　　 　　　……第三步 ∴AE平分∠QAP. 　　 　　　……第四步 回答下列问题： （1）小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ⁠ ⁠； （2）请你帮助小明写出正确的证明过程. 证明：在△ABC和△ADC中， ∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴AE平分∠QAP. 一　 全 等三角形的对应角相等　 命题点3　直角三角形全等的判定（5年1考） 8. （2025·贵州遵义一模）小方在学习画角平分线后，想到用三角尺也能 画出∠AOB的平分线.如图，她将两块三角尺的一直角边分别与角的两边 OA，OB重合，移动三角尺使得OM＝ON，另两条直角边相交于点P，则 点P一定在∠AOB的角平分线上.这种画法的理由是（　A　） A. HL B. SSS C. SAS D. ASA A 9. （2024·贵州黔东南州二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点M，N；再分别以点 M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交 AC于点D. 若AB＝5，CB＝3，则DA的长是（　B　） A. B. C. 3 D. 4 B 10. 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步探 究：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A 可以自由摆动，如图2，OA表示小球静止时的位置.当小西用发声物体靠 近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D. 当小 球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平 面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝8 cm，OA＝17 cm，求AE 的长. 图1　　　　　图2 解：∵OB⊥OC，∴∠BOD＋∠COE＝90°. ∵CE⊥OA，BD⊥OA， ∴∠CEO＝∠ODB＝90°， ∴∠BOD＋∠B＝90°，∴∠COE＝∠B. 在△COE和△OBD中， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴OE＝BD＝8 cm. ∵OB＝OA＝OC＝17 cm， ∴AE＝OA－OE＝9 cm. 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [新考向·几何直观]如图所示，点A，B，C，D均在正方形网格格点 上，则∠B＋∠D＝（　B　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° B 2. [新考向·实践操作]（2025·重庆）学习了角平分线和尺规作图后， 小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的 同伴进行交流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以 下作图和填空： 第一步：构造角平分线. 小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA 的垂线（如图）.请你利用尺规作图，在OB边上截取OF ＝OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P， 作射线OP，OP即为∠AOB的平分线（不写作法，保留作图痕迹）. 第二步：利用三角形全等证明她的猜想. 证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°. 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）， ∴ 　③　， ∴OP平分∠AOB. 解：第一步：作图如下： 第二步：①OP＝OP　②OE＝OF ③∠POE＝∠POF 3. [新定义探究]【问题情境】 如果两个顶角相等的等腰三角形具有公共的顶角顶点，再把它们的底角顶 点连接起来形成一组可证得全等的三角形，那么我们把连接的那两条线段 叫作一对“友好”线段.例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC；在△ADE 中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE. 连接DB，EC，则可证得 △ADB≌△AEC，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段. 图1 图2 图3 【问题探究】 （1）如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE ＝90°. ①图2中与线段AE能够组成一对“友好”线段的是线段 ⁠； ②连接AD，若AC＝4，AD＝2，∠DAC＝45°，求AE的长. BD　 图1 图2 图3 【问题拓展】 （2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，P是△ABC外一 点，∠APC＝75°，PC＝5 ，AP＝6，求线段BP的长. 图1 图2 图3 解：（1）②∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，AC＝4， ∴AB＝ ＝4 ，∠BAC＝45°. ∵∠DAC＝45°，∴∠DAB＝90°， ∴BD＝ ＝6，∴AE＝BD＝6. （2）如图，以点C为直角顶点构造等腰直角三角形 PCD，连接AD，过点D作DE⊥AP交AP的延长线于 点E. 由（1）可得BP＝AD. 在△PCD中，∠PCD＝ 90°，PC＝CD＝5 ， ∴PD＝ ＝10. ∵∠APC＝75°，∠DPC＝45°，∴∠DPE＝60°. ∵DE⊥AP，∴∠PDE＝30°， ∴PE＝ PD＝5，ED＝ PD＝5 . 在△AED中，∠AED＝90°，AE＝AP＋PE＝11，ED＝5 ， ∴AD＝ ＝14，∴BP＝AD＝14. $