2026年贵州省中考数学一轮复习：第三章函数 课件

微专题3　用“铅垂高”法解决动点三角形面积类问题 一、“铅垂高”及其证明 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧 两条直线之间的距离叫作△ABC的水平宽（a），中间的这条直线在 △ABC内部线段的长度叫作△ABC的铅垂高（h），我们可得出一种计 算三角形面积的新方法S△ABC＝ ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂 高乘积的一半. 图1 图2 证明：由图2得S△ABC＝S△ABD＋ S△ACD＝ a1h＋ a2h，而a1＋a2＝a， ∴S△ABC＝ ah.（其中a1，a2是直线 AD与外侧两条直线之间的距离） 二、“铅垂高”的应用 1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A（－1，0）， 点B（5，0），交y轴于点C. （1）求b，c的值； 解： 将A（－1，0），B（5，0）代入抛物线y ＝x2＋bx＋c，得 解得 即b＝－4，c＝－5. （2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点，当x0取何值时， △PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值. 解： 由（1）可知抛物线的解析式为y＝x2－4x－5.当x＝0时，y＝－5，即C（0，－5）.设直线BC的解析式为y＝kx＋t，将B（5，0），C（0，－5）代入y＝kx＋t，得 解得 ∴直线BC的解析式为y＝x－5.如图，过点P作PQ⊥x轴，交BC于点D，交x轴于点Q. ∵P（x0，y0）（0＜x0＜5），则y0＝ －4x0－5. ∵点D的横坐标也为x0，则纵坐标yD＝x0－5， ∴PD＝yD－y0＝（x0－5）－（ －4x0－5）＝－ ＋5x0，∴△PBC的面积＝S△PDC＋S△PDB ＝ PD·（x0－xC）＋ PD·（xB－x0） ＝ PD·（xB－xC） ＝ （－ ＋5x0）＝－ （x0－ ）2＋ . ∵－ ＜0，∴当x0＝ 时，△PBC的面积最大，最大值为 . 2. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过直线y＝－x＋4与坐标轴的两个交 点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D. （1）求此抛物线的解析式及D点坐标； 解： 将x＝0代入直线AB的解析式，得y＝4，∴B （0，4）.将y＝0代入直线AB的解析式，得－x＋4＝0， 解得x＝4，∴A（4，0）. 将点A和点B的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4， ∴顶点D的横坐标为：－ ＝ ，顶点D的纵坐标 为：－ ＋3× ＋4＝ ， ∴D（ ， ）. （2）若点M为在x轴上方的抛物线上的一个动点，当△ACM与△ABC的 面积相等时，求此时点M的坐标. 解： ∵点M在x轴上方的抛物线上，且△ACM与 △ABC的面积相等， ∴过点B作BM∥x轴与抛物线交于点M，连接CB， CM，AM，如图. 当M与B重合时，S△ACM＝S△ACB，∴M（0，4）， 当M与B不重合时，则B，M关于抛物线的对称轴x＝－ ＝ 对称，∴M（3，4）.综上，M（0，4）或M（3，4）. 3. 如图，一次函数y＝x＋3的图象与坐标轴交于A、C两点，过A、C两 点的抛物线y＝ax2－2x＋c与x轴交于另一点B，抛物线顶点为点E，连 接AE. 备用图 （1）求该抛物线的解析式及顶点E的坐标； 解： ∵一次函数y＝x＋3的图象与坐标轴交于A、C两点，∴点A、 C的坐标分别为（－3，0）、（0，3）. 将点A、C的坐标代入二次函数解析式y＝ax2－2x＋c，得 解得 故抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3＝ －（x＋1）2＋4，顶点E（－1，4）. （2）点P是线段AE上的一动点，过点P作PF平行于y轴交AC于点F，连 接EF，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标； 解： 设直线AE的解析式为y＝kx＋b.将点A、E的坐标代入y＝kx ＋b，得 解得 故直线AE的解析式为y＝2x＋6. 设点P（x，2x＋6），则点F（x，x＋3）， S△PEF＝ PF×（xE－x）＝ ×（2x＋6－x－3）（－1－x）＝－ （x ＋3）（x＋1）＝－ （x＋2）2＋ ，当x＝－2时，S△PEF有最大值为 ， 此时点P（－2，2）. （3）若点M为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的 点，使A、E、M、N为顶点的四边形是以AE为对角线的矩形？若存在， 请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 解： 点N的坐标为（－3，4）或（－4，1）或（－4，3）. 提示：点A、E的坐标分别为（－3，0）、（－1，4），AE2＝20. ①当点M在x轴上时，设点M（m，0），点N（s，t）， 则AE＝MN，且AE的中点坐标为MN的中点坐标，即 解得 或 故点N的坐标为 （－3，4）或（－1，4）. ∵E（－1，4），∴点N（－3，4）. ②当点M在y轴上时，同理可得点N的坐标为（－4，1）或（－4，3）.综 上，点N的坐标为（－3，4）或（－4，1）或（－4，3）. 4. 如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式； 解：∵抛物线顶点坐标为C（1，4），且经过点A（3，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4. ∵抛物线经过点A（3，0）， ∴a×（3－1）2＋4＝0，∴a＝－1， ∴抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3， ∴抛物线与y轴的交点坐标B（0，3）. 设直线AB的解析式为y＝kx＋b， 则 解得 ∴直线AB的解析式为y＝－x＋3. （2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA、PB，当点 P运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB； 解： ∵点C（1，4），点C在抛物线y＝－（x－ 1）2＋4上，点D在直线y＝－x＋3上， ∴当x＝1时，分别代入y＝－（x－1）2＋4和y1＝－x＋ 3得yC＝4，yD＝2，∴CD＝2， ∴S△CAB＝ ×2×1＋ ×2×（3－1）＝3. （3）是否存在一点P，使S△PAB＝ S△CAB？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由. 解：假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高为h， 则h＝（－x2＋2x＋3）－（－x＋3）＝－x2＋3x. 由S△PAB＝ S△CAB，得 ×3×（－x2＋3x）＝ ×3. 化简得4x2－12x＋9＝0， 解得x＝ . 将x＝ 代入y＝－（x－1）2＋4，得y＝ ， ∴符合条件的点P的坐标为（ ， ）. $3.1　平面直角坐标系与函数 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　1　平面直角坐标系的概念及点的坐标特征 1. 定义：平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标 系.在平面直角坐标系内的点和① 之间建立了② ⁠ 的关系. 有序实数对　 一 一对应　 各象限内点 的坐标特征 （1）点P（a，b）在第一象限⇔a＞0，b＞0； （2）点P（a，b）在第二象限⇔③ ⁠ ⁠； （3）点P（a，b）在第三象限⇔④ ⁠ ⁠； （4）点P（a，b）在第四象限⇔⑤ ⁠ ⁠ a＜0，b＞ 0　 a＜0，b＜ 0　 a＞0，b＜ 0　 2. 平面直角坐标系中点的坐标特征： 坐标轴上点 的坐标特征 （1）坐标轴上的点不属于任何象限； （2）点P（a，b）在x轴上⇔⑥ ⁠； （3）点P（a，b）在y轴上⇔⑦ ⁠ 象限角平分 线上点的坐 标特征 （1）若点P（a，b）在一、三象限角平分线上，则 ⑧ ⁠； （2）若点P（a，b）在二、四象限角平分线上，则 ⑨ ⁠ b＝0　 a＝0　 a＝b　 a＋b＝0　 平行于坐标 轴的直线上 的点的坐标 特征 （1）平行于x轴的直线上的点⑩ 坐标相等； （2）平行于y轴的直线上的点⑪ ⁠坐标相等 纵　 横　 知识点　2　平面直角坐标系中的距离 1. 点到坐标轴与原点的距离：点P（a，b）到x轴的距离为｜b｜；到y 轴的距离为｜a｜；到原点的距离为 . 位置 点的坐标 距离公式 在一水平 线上 平行于x轴的直线上两点A（x1， y1），B（x2，y1） AB＝⑫ ⁠ 在一铅直 线上 平行于y轴的直线上两点A（x1， y1），B（x1，y2） AB＝⑬ ⁠ 任意两点 坐标平面内任意两点A（x1， y1），B（x2，y2） AB＝ ｜x2－x1｜　 ｜y2－y1｜　 2. 两点间的距离： 知识点　3　点的对称与平移变换 图形变换 点的坐标规律 对称 变换 关于x轴 对称 点A（a，b）关于x轴的对称点 为B⑭ ⁠ 关于y轴 对称 点A（a，b）关于y轴的对称点 为C⑮ ⁠ 关于原点 对称 点A（a，b）关于原点的对称点 为D⑯ ⁠ （a，－b）　 （－a，b）　 （－a，－b）　 图形变换 点的坐标规律 平移 变换 左右平移 将点P（a，b）向左或向右平移h（h＞0）个单位 长度，对应点坐标为⑰ ⁠或 ⑱ ⁠ 上下平移 将点P（a，b）向上或向下平移k（k＞0）个单位 长度，对应点坐标为⑲ ⁠或 ⑳ ⁠ （a－h，b）　 （a＋h，b）　 （a，b＋k）　 （a，b－k）　 知识点　4　函数的相关概念 1. 常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫作㉑ ⁠ ；保持数值㉒ 的量叫作常量. 2. 函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每 一个值，y都有㉓ 的值与它对应，那么就说x是㉔ ⁠ ，y是x的函数. 变 量　 不变　 唯一确定　 自变 量　 3. 自变量取值范围的确定： 整式型 全体实数 分式型 使分母不为㉕ ⁠的实数 偶次根式型 使被开方数为㉖ ⁠的实数 零次幂、负 整数次幂 使底数㉗ ⁠的实数 混合型 各个代数式中自变量取值范围的㉘ ⁠部分 实际问题 使实际问题有意义 零　 非负数　 不为零　 公共　 4. 函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫作当自变量的值 为a时的函数值. 5. 函数的表示方法：a.㉙ ；b.㉚ ⁠； c.㉛ ⁠. 列表法　 解析式法　 图象法　 知识点　5　函数的图象 1. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点 的㉜ 、㉝ 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象， 就是这个函数的图象. 2. 画函数图象的一般步骤是： a.㉞ ；b.㉟ ；c.㊱ ⁠. 横　 纵　 列表　 描点　 连线　 1. （人教七下P65思考变式）小李在教室里的座位位置记作（2，5），表 示他坐在第2排第5列，那么小王坐在第3排第4列记作（　D　） A. （4，3） B. （4，5） C. （3，5） D. （3，4） D 2. （人教七下P66定义变式）如图，在平面直角坐标系中的各点，点A 与点B的 坐标相同，线段AB 横轴、 ⁠ 纵轴. 横　 垂直于　 平行于　 3. （教材整合）若点A（2，m）在一、三象限角平分线上，则m的值 为 ⁠. 4. （教材整合）（1）点P（4，0）到点（－1，0）的距离是 ⁠； （2）点Q（5，－12）到原点的距离是 ⁠； （3）点A（－4，0）到点B（0，3）的距离是 ⁠； （4）已知A（－1，2），B（3，2），则直线AB与x轴关系是 ⁠ ，线段｜AB｜＝ ⁠. 2　 5　 13　 5　 平 行　 4　 5. （人教九上P69练习T2变式）点P（3，2）关于x轴的对称点的坐标 是 ，关于y轴的对称点的坐标是 ，关 于原点的对称点的坐标是 ⁠. 6. （人教八下P82习题T4变式）下列等式中，y不是x的函数的是 （　B　） A. 3x－2y＝0 B. x2－y2＝1 C. y＝ D. y＝｜x｜ （3，－2）　 （－3，2）　 （－3，－2）　 B 7. （人教八下P81习题T1变式）画一个面积为30 cm2的矩形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，常量为 ，变量为 ⁠ ⁠. 8. （人教八下P82习题T5变式）写出下列函数中自变量x的取值范围： （1）y＝ ： ⁠； （2）y＝2x－3x2： ⁠； （3）y＝ ： ⁠. 30　 x， y　 x≠－2　 x为任意实数　 x＞1　 9. （人教八下P81习题T3变式）已知函数y＝－ x＋1，当x＝－2时，y ＝ ；当y＝0时，x＝ ⁠. 10. （人教八下P83习题T9变式）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A 出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点 P运动的路程为x，△PAB的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示， 那么矩形ABCD的面积为 ⁠. 图1 图2 2　 2　 24　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　有序数对 1. 围棋起源于中国，中国古代称为“弈”，至今已有4 000多年的历史.如 图，在围棋盘上有三枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对（2，－1）表 示，黑棋②的位置用有序数对（－1，0）表示，则白棋③的位置可用有序 数对表示为（　D　） A. （－2，4） B. （2，－4） C. （4，－2） D. （－2，2） D 2. 如图，一个英文字母对应一个有序数对，例如字母K对应（4，2），则 有序数对（6，2），（1，1），（6，3），（1，2），（5，3）对应的字 母恰好为一个英文单词，这个单词为 ⁠. MATHS　 命题点2　平面直角坐标系（5年2考） 3. （2025·贵州）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据 图中各点位置判断，在第四象限的点是（　D　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D D 4. （2023·贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水 池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标 系.若贵阳北站的坐标是（－2，7），则龙洞堡机场的坐标是 ⁠ ⁠. （9，－ 4）　 命题点3　平面直角坐标系中点的坐标特征 5. （2025·贵州黔西南州二模）在平面直角坐标系中，点（－1，m2＋1） 一定在（　B　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. （2025·贵州安顺三模）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　C　） A. （－1，－4） B. （1，－2） C. （－2，2） D. （1，2） B C 命题点4　函数图象的辨识（5年2考） 7. （2025·贵州）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水 量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度 （　B　） A. 越来越慢 B. 越来越快 C. 保持不变 D. 快慢交替变化 B 8. （2025·贵州适应性考试）已知正三角形ABC的边长为1，D是BC边上 的一点（不与端点重合），过点D作AB边的垂线，交AB于点G. 设AG＝ x，Rt△BGD的面积为y，则y关于x的函数图象为（　B　） A B C D B 方法点拨　解决判断函数图象这类题目的两种方法： （1）列函数解析式判断函数图象：求出函数的解析式，再找对应的函数 图象，要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围； （2）直接根据几何量的变化趋势判断函数图象：找出起点和终点，分清 整个过程分为几段，根据每段的增减变化趋势来判断函数图象. 9. （2025·贵州黔南州模拟）如图，△ABC与正方形BCDE的一条边BC重 合，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2.将正方形BCDE沿CA向右平移，当点 D与点A重合时，停止平移.设点C平移的距离为x，正方形BCDE与 △ABC重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　B　） B A B C D 命题点5　函数图象的分析（5年1考） 10. 今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树景点旅游，在行驶过程 中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系 的图象如图所示，下列说法正确的是（　D　） A. 小星家离黄果树景点的路程为50 km B. 小星从家出发第1小时的平均速度为75 km/h C. 小星从家出发2小时离景点的路程为125 km D. 小星从家到黄果树景点的时间共用了3 h D 方法点拨　解决函数图象分析这类题目的方法： （1）分清函数图象的横、纵坐标轴所代表的量； （2）找出函数图象特殊点对应的几何图形； （3）结合特殊点的坐标和几何图形的性质解决问题. 11. （2025·贵州贵阳清镇模拟）从甲地到乙地， 先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从 甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息 了一段时间.假设小明骑车在平路、上坡、下坡 时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5 km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5 km.设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系.则小明从甲地去乙地来回过程中，两次经过距离甲地5.5 km的地方的时间间隔为（　A　） A. 9 min B. 10 min A C. 12 min D. 15 min 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [新考向]（2025·广西）如图，在平面直角坐标系中， “双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或 垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均 在双曲线y＝ 的一支上.若点A的坐标为（4， ），则 第三级阶梯的高EF的值为（　B　） A. 4 B. 3 C. D. B 2. [跨学科·化学]（2024·青海）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝 剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的.实验 得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是 （　D　） A. 加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B. 未加入絮凝剂时，净水率为0 C. 絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量相等 D. 加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54％ D 3. [新定义]（2025·内江）对于正整数x，规定函数f（x）＝ 在平面直角坐标系中，将点（m，n）中的m，n分别 按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为 正整数）.例如，点（8，5）经过第1次运算得到点（4，16），经过第2次 运算得到点（2，8），经过第3次运算得到点（1，4），经过有限次运算 后，必进入循环圈，按上述规定，将点（2，1）经过第2 025次运算后得到 点是（　A　） A A. （2，1） B. （4，2） C. （1，2） D. （1，4） 4. [跨学科·物理]在温度不变的条件下，通过对气缸（图1）活塞重复加 压，测得气缸内气体压强p（kPa）与体积V（mL）成反比例函数关系， 其函数图象如图2所示.若压强由40 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩 了 mL. 图1 图2 90　 $第2课时　 二次函数性质的综合应用 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　二次函数与线段长度问题 1. 如图，二次函数y＝x2－3x－4的图象与x轴交于A和B两点，与y轴交 于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点 D，交直线AC于点E. （1）求点A和点B的坐标； 解：∵二次函数y＝x2－3x－4的图象与x轴交于A 和B两点， ∴当y＝0时，即0＝x2－3x－4，解得x1＝－1，x2＝4， ∴A（4，0），B（－1，0）. 解得 ∴直线AC的解析式为y＝x－4.设P（t，t2－3t－4）， 则E（t，t－4），∴PE＝t－4－（t2－3t－4）＝－t2＋4t＝－（t－2） 2＋4. （2）求线段PE的最大值及此时点P的坐标. 解： 当x＝0时，y＝－4，∴C（0，－4）.设直线 AC的解析式为y＝kx＋b（k≠0）， 将A（4，0），C（0，－4）代入，得 解得 ∴直线AC的解析∵－1＜0，∴当t＝2时，线段PE的最大 值为4，此时点P的坐标为（2，－6）. 方法点拨　二次函数综合题中线段问题的解题通法： （1）线段的数量关系问题：①在图中找出对应线段，弄清已知点和未知 点，再联系函数解析式设出只含有一个参数的未知点的坐标，然后用参数 表示出线段的长度；②结合已知条件，列出满足线段数量关系的等式，求 出参数值（注意排除不符合题意的数值）. （2）线段的最值问题：①一条线段的最值问题，根据（1）①中所得的线 段长度的式子，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最值；②两 条线段和或差的最值问题，一般利用轴对称模型解决. （3）周长的最值问题：一般利用转化思想，将求周长的最值转化为求不 定线段和的问题. 命题点2　二次函数图象与一次函数图象的交点问题 2. （2025·贵州六盘水一模）如图，已知抛物线y＝－x2＋2bx＋3与x轴交 于A，B两点，点A（－1，0），与y轴交于点C. （1）求抛物线的顶点坐标； 解： 将点A（－1，0）代入y＝－x2＋2bx＋3中，得－ 1－2b＋3＝0，解得b＝1， ∴y＝－x2＋2x＋3， 整理得y＝－（x－1）2＋4， 则抛物线的顶点坐标为（1，4）. （2）若M（c，d），N（2，n）是抛物线上的两点，且d＜n，求c的 取值范围； 解： 将N（2，n）代入y＝－x2＋2x＋3， 得n＝－4＋4＋3＝3. 当y＝3时，由3＝－x2＋2x＋3， 解得x1＝0，x2＝2. ∵d＜n，∴c＞2或c＜0. （3）将直线BC向上平移m个单位长度，使平移后的直线与抛物线只有一 个交点，求m的值. 解： 设直线BC的解析式为y＝kx＋t. 将B（3，0），C（0，3）代入y＝kx＋t，得 解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3. 设直线BC向上平移m个单位长度后函数解析式为y＝－x＋3＋m. 联立 得x2－3x＋m＝0. ∵平移后的直线与抛物线只有一个交点， ∴Δ＝9－4m＝0，∴m＝ . 命题点3　二次函数与情境问题（5年4考，高频考点） 3. （2025·贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的 水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图1，小星 站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平 距离x之间的关系如图2所示.石块第一次与水面接触于点F，运动路径近 似为抛物线C1，且C1：y＝ax2＋bx＋c；石块在水面上弹起后第二次与水 面接触于点G，运动路径近似为抛物线C2，且C2：y＝－ x2＋mx＋n. （小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素 忽略不计） 图1 图2 （1）如图2，当a＝－ ，b＝ 时，若点F的坐标为（2，0），求抛物线 C1的解析式； 解： 当a＝－ ，b＝ 时，C1：y＝－ x2＋ x＋c. ∵点F的坐标为（2，0），且点F在抛物线C1上， ∴0＝－ ×22＋ ×2＋c，∴c＝1， ∴抛物线C1的解析式为y＝－ x2＋ x＋1. 图2 （2）在（1）的条件下，若FG＝4，在水面上有一个截面宽AB＝1、高 BC＝0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为（4.5，0），判断此时石 块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由； 解：不能.理由如下： ∵FG＝4，点F的坐标为（2，0），∴G（6，0）， ∴C2：y＝－ （x－2）（x－6）＝－ x2＋ x－ . ∵点A的坐标为（4.5，0），AB＝1，BC＝0.5， ∴B（5.5，0），C（5.5，0.5）. 当x＝5.5时，y＝－ ×5.52＋ ×5.5－ ＝ ＜0.5， ∴石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物. （3）小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包 括边界），且点F在（3，0）和（4，0）之间（包括这两点），其中M （ ，1），N（1，1），Q（ ， ），求a的取值范围.（在抛掷过程 中，正方形与抛物线C1在同一平面内） 解： ∵正方形MNPQ，M（ ，1），N（1，1），Q（ ， ）， ∴P（1， ），如图所示. ∵抛物线开口向下，∴a＜0. ∵｜a｜越小开口越大，｜a｜越大开口越小， 点F在（3，0）和（4，0）之间（包括这两点），∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点（4，0）时，开口最大，此时a最大.设C1的解析式为y＝a ＋1.将（4，0）代入得，0＝a ＋1，解得a＝－ .由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点（3，0）时，开口最小，此时a最小. 设C1的解析式为y＝a（x－1）2＋ . 将（3，0）代入得，0＝a（3－1）2＋ ，解得a＝－ . ∴a的取值范围为－ ≤a≤－ . 4. （2025·贵州贵阳一模）如图，OC是一段坡比为1∶10的斜坡，在斜坡 OC上按水平距离间隔20 m修建两面墙（墙的厚度忽略不计），两面墙的 高度都为3 m（OA＝BC＝3 m），某农业种植公司在A、B两点之间搭建 一个横截面为抛物线形状的温室大棚用于种植菊芋.以点O为坐标原点， 过点O的水平线为x轴，OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.该抛 物线对应函数的解析式为y＝－ x2＋bx＋c. （1）求点B的坐标及该抛物线的解析式； 解： 如图1，延长BC交x轴于点G. ∵斜坡OC的坡比为1∶10，OG＝20 m， ∴ ＝ ， ∴CG＝2 m.∵OA＝BC＝3 m，∴BG＝BC＋CG＝3＋2＝5（m），∴A （0，3），B（20，5）. 将A（0，3），B（20，5）代入y＝－ x2＋bx＋c， 得 解得 图1 ∴该抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋3. （2）为了维持大棚内合适的光照、湿度和温度，要求斜坡与抛物线之间 的竖直距离的最大值不能高于5 m（直线DE⊥x轴，分别交抛物线和线段 OC于点D、E. 斜坡与抛物线之间的竖直距离为DE的长），请问此温室 大棚是否符合这一要求？请说明理由； 解： 此温室大棚不符合这一要求.理由如下： 设斜坡OC的解析式为y＝kx（k≠0）.由（1），可得C（20，2）.将C （20，2）代入y＝kx，得2＝20k，∴k＝ ，∴直线OC的解析式为y＝ x， ∴斜坡与抛物线之间的竖直距离DE＝－ x2＋ x＋3－ x＝－ x2＋ x ＋3＝－ （x－10）2＋ . ∵－ ＜0，∴当x＝10时，DE有最大值为 . ∵ ＞5，∴此温室大棚不符合这一要求. （3）该农业种植公司想在另一坡比为1∶8的斜坡PQ上再搭建一个温室大 棚，两面墙的高度仍为3 m，温室大棚（抛物线）的形状与本题中的抛物 线相同，若斜坡与抛物线之间的竖直距离恰好符合（2）的要求（即斜坡 与抛物线之间的竖直距离的最大值恰好为5 m），求出两面墙之间的水平 距离. 解：如图2，将此斜坡PQ放置在平面直 角坐标系中， 同理可得，抛物线的解析式为y＝－ x2＋bx ＋3，直线PQ的解析式为y＝ x， ∴斜坡与抛物线之间的竖直距离DE＝－ x2＋bx＋3－ x＝－ x2＋（b－ ）x＋3， ∴DE的最大值为 ＝5，解得b＝± ＋ . 图2 图2 ∵抛物线的对称轴x＝－ ＞0， ∴b＞0，∴b＝ ＋ ， ∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋（ ＋ ）x＋3. 令C（m， m），则B（m， m＋3）， 将点B（m， m＋3）代入y＝－ x2＋（ ＋ ）x＋3，得 m＋3＝－ m2＋（ ＋ ） m＋3， 解得m＝8 或m＝0（舍去），∴两面墙之间的水平距离为8 m. 图2 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 [新考向·模型观念]（2025·陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图 所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线形，水平横梁AC＝16 m， L1的最高点B到AC的距离BO＝4 m，L2，L3关于BO所在直线对 称.MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3 上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC. 以O为原点，以AC所在直线为x 轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. （1）求抛物线L1的解析式； 解： ∵BO＝4 m，∴抛物线L1的顶点B的坐 标为（0，4）.设抛物线L1的解析式为y＝a（x－ 0）2＋4. ∵AC＝16 m，∴结合二次函数图象的对称性得A（－8，0），C（8，0）.将C（8，0）代入y＝a（x－0）2＋4，得0＝64a＋4，则a＝－ ， ∴y＝－ x2＋4. （2）已知抛物线L3的解析式为y＝－ （x－4）2，NQ＝ m，求MN的 长. 解：由（1）得抛物线L1的解析式为y＝－ x2＋4. 设点N的横坐标为x，∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC，NQ＝ m，且 抛物线L3的解析式为y＝－ （x－4）2， 整理得x2－3（x－4）2＝24， ∴x2－3x2＋24x－48＝24， ∴（x－6）2＝0，解得x1＝x2＝6， ∴MN＝2×6＝12（m）. ∴NQ＝yN－yQ＝－ x2＋4－ ＝ ， $第2课时　几何图形面积问题 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　 几何图形面积问题 利用二次函数求图形面积最值的一般步骤： 1. 根据几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数解析式，根据问题的 实际意义，确定自变量的取值范围. 2. 将二次函数解析式配方，化成顶点式y＝a（x－h）2＋k. 3. 根据顶点式，结合x的取值范围，确定函数y的最值.注意当抛物线的 顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，要结合二次函数的增减性 求最值. （人教九上P52习题T4变式）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD 互相垂直，且AC＋BD＝8 cm，则四边形ABCD的面积最大值为 ⁠ cm2. 8　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　几何图形的面积的最值 1. （2024·贵州贵阳一模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠A＝60°，AB＝6 cm，利用该纸片折成的以∠A为内角的菱形中，最大面积为 ⁠______. 8 cm2 2. （2024·贵州贵阳模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝3，BC＝4.AC边上有一动点P（不与点A、C重合），过点P作 PD⊥AB于点D，连接CD. 当△PCD的面积最大时，PD的长为 ⁠. 　 命题点2　几何图形的面积问题 3. 某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形 劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为30 m的篱笆围 成.已知墙长为18 m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为x m，平行于墙的一边的长为y m，矩形劳动实践基地的面积为S m2. （1）请直接写出y与x，S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 解：由题意，得2x＋y＝30， ∴y＝30－2x，∴S＝xy＝x（30－2x）. ∵0＜y≤18，∴0＜30－2x≤18，∴6≤x＜15. （2）能否围成一个100 m2的矩形劳动实践基地？若能，请求出此时垂直于 墙的一边的长；若不能，请说明理由； 解： 能.理由如下：由题意，令S＝100， ∴x（30－2x）＝100， ∴x＝5（不合题意，舍去）或x＝10， ∴能围成一个100 m2的矩形劳动实践基地，此时垂直于 墙的一边的长为10 m. （3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14 m，则垂直于墙的一 边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值. 解： ∵可利用的墙的长度不超过14 m， ∴0＜30－2x≤14，∴8≤x＜15. ∵S＝x（30－2x）＝－2（x－7.5）2＋112.5，－2＜ 0，∴当x＞7.5时，S随x的增大而减小，∴当x＝8 时，这个矩形劳动实践基地的面积最大，最大值为－ 2×（8－7.5）2＋112.5＝112. 答：垂直于墙的一边长为8 m时，这个矩形劳动实践基地的面积最大，最 大为112 m2. 易错警示　二次函数求最值时，一定要注意自变量的取值范围.当顶点的 横坐标未在自变量的取值范围内时，要根据函数的增减性求最值问题. 4. （2025·贵州安顺一模）如图1，用一段长为33 m的篱笆围成一个一边靠 墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园ABCD，墙长为12 m.设AB的长为 x m，矩形菜园ABCD的面积为S m2. 图1 图2 （1）BC＝ m，S＝ m2；（用含x的代数 式表示） 33－3x　 －3x2＋33x　 （2）若S＝84，求x的值； 解：当S＝84时，则84＝－3x2＋33x， ∴x2－11x＋28＝0， 解得x1＝4，x2＝7. ∵墙长为12 m， ∴0＜33－3x≤12，即7≤x＜11， ∴x＝7. （3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙上各开一 个1 m宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值？最大值为多少？ 解：由题意，得BC＝33＋3×1－3x＝（36－3x）m， ∴S＝x（36－3x）＝－3x2＋36x＝－3（x－6）2＋108. ∵墙长为12 m，篱笆长为33 m， ∴0＜36－3x≤12， ∴8≤x＜12. ∵－3＜0， ∴当x＝8时，S有最大值，最大值为－3×（8－6）2＋108＝96. 图2 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 [新考向]（2025·南通）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方 案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余 部分用总长为60 m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为450 m2的矩形花圃. 图1 如图2，围成矩形花圃，用栅栏（栅栏宽度 忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区 域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留 一个宽为3 m的进出口（此处不用栅栏）. 图2 （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； 解： 设方案一中与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度 为（60－2x）m. 根据题意，得x（60－2x）＝450， 解得x1＝x2＝15. 答：与墙垂直的边的长度为15 m. （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 解： 设方案二中与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m2. 根据题意，得S＝ t（66－t）＝－ t2＋22t， ∴S＝－ （t－33）2＋363. ∵－ ＜0，∴当t＝33时，S有最大值363. 答：当与墙平行的边的长度为33 m时，花圃的面积最大. $第3课时　抛物线型问题 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　 抛物线型问题 类型 常见情形 具体方法 抛物 线形 建筑 物 常见的抛物线形建筑物有拱形桥洞、涵洞、隧道洞门等 （1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形 状的图象放置在坐标系中； （2）从已知条件和图象中获得求二次函数解析 式所需要的条件； （3）利用待定系数法求出抛物线对应函数的解 析式； （4）运用已求出的抛物线对应函数的解析式去 解决相关问题 （人教九上P51探究3变式）一座抛物线形状的拱桥如图所示，桥下水面宽 度是4 m时，拱顶距离水面是2 m.当水面下降1 m后，水面宽度 是 m.（结果保留根号） 2 　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　实物构建抛物线模型（5年3考） 1. （2025·贵州遵义二模）如图1是一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线 形.如图2，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面高OC为4 m.如图3所 示建立平面直角坐标系. 图1 图2 图3 （1）求抛物线的解析式； 解： 根据题意，得A（－6，0），B（6，0），C（0，4）. 设抛物线的解析式为y＝a（x－0）2＋4＝ax2＋4. 将B（6，0）代入y＝ax2＋4，得a×62＋4＝0， 解得a＝－ ， ∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋4. （2）已知该拱桥限高 m，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最 大宽度； 解： 当y＝ 时，－ x2＋4＝ ，解得x＝－ 或x＝ .∵ － （－ ）＝2 （m）， ∴可通行船只的最大宽度为2 m. （3）现有两艘宽都为3 m，高出水面2 m的船只，同时到达该拱桥，因降 暴雨，水位上升1.2 m.请问：两船能否在桥下顺利交会？（不考虑两船间 的空隙） 解： 当x＝3时，y＝－ ×32＋4＝3.∵3－1.2＝1.8＜2，∴两船不能 在桥下顺利交会. 2. （2025·贵州贵阳一模）某校为学生拍毕业照设计了一个拱门，该拱门 的横截面由线段AO、BC和一段抛物线构成，AO、BC垂直于地面.将其 截面放入平面直角坐标系，如图1所示，点O为坐标原点，已知AO＝BC ＝ m，抛物线顶点E的坐标为（3， ）. 图1 图2 （1）求拱门抛物线的解析式； 解：根据题意，得点A的坐标为（0， ）. ∵抛物线顶点E的坐标为（3， ）， ∴可设拱门抛物线的解析式为y＝a（x－3）2＋ . 把点A（0， ）代入抛物线的解析式，得9a＋ ＝ ， 解得a＝－ ，∴拱门抛物线的解析式为y＝ ＋ ＝－ x2＋ x＋ . （2）现要在抛物线与地面围成的区域中用PQ、PN、NM三根钢架隔出正 方形区域QPNM供师生拍照留念，点P、N在抛物线上，点Q、M在地面 上，求此正方形的边长； 解： ∵抛物线顶点E的坐标为（3， ），∴抛物线的对称轴为直线x ＝3.设点P的坐标为（m，－ m2＋ m＋ ），则PQ＝－ m2＋ m＋ .∵四边形QPNM是正方形，∴PN∥x轴，PN＝PQ＝－ m2＋ m＋ ， ∴点N的横坐标为m＋（－ m2＋ m＋ ）＝－ m2＋ m＋ .∵点P，N 关于对称轴对称，∴m＋（－ m2＋ m＋ ）＝2×3，解得m1＝ ，m2＝ （舍去），∴PQ＝－ ×（ ）2＋ × ＋ ＝3， 即正方形的边长为3 m. （3）如图2，在拱门上安装彩灯，要求彩灯到地面的垂直距离为 m，每 两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过1 m，左右外侧的两个彩灯安 装在拱门的抛物线上，求至少需要安装彩灯的个数.（参考数据： ≈1.4） 解： 当y＝ 时，－ x2＋ x＋ ＝ ，解得x1＝ ，x2＝ ， ∴到地面的垂直距离为 m的抛物线上两点的水平宽度为 － ＝ 3 （m）≈4.2（m）.∵每两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过1 m，∴至少需要安装彩灯的个数为6. 命题点2　抛物线解决实际问题（5年2考） 3. （2025·贵州贵阳模拟预测）在一次校运会上，一名男同学扔铅球时， 其运动轨迹为如图所示的一条抛物线.已知扔出铅球时，铅球距离男同学 的水平距离x（单位：m）、距离地面高度y（单位：m）满足下表关系： x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 （1）求出铅球的运动轨迹的解析式； 解： y＝－0.1（x－3）2＋2.3. （2）若铅球落地的沙坑低于水平面EF＝0.2 m，沙坑边缘EF与男同学的 距离OE＝5 m，计算裁判员测量的铅球落地位置点G到点F的距离； 解： 点G到点F的距离是3 m. （3）为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最 大高度在B的下方0.7 m处，试计算说明，该男同学抛出的铅球距离是增大 还是减少？增大或减少多少？ 解：该男同学抛出的铅球距离增大了，增大了4 m. 4. （2025·贵州黔东南州二模）掷实心球是中考体育素质类选考项目之 一，图1是某同学某次试投实心球的图，图2是试投过程中实心球所经过的 路线示意图，其中实心球所经过的路线是抛物线y＝－ ＋k （k是常数）的一部分，出手处A点距地面的高度OA＝ m. 图1 图2 （1）求抛物线的解析式； 解：抛物线的解析式为y＝ － ＋2. （2）下表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分； 分值（分） 11 12 13 14 15 落地距离 （m） 6.2～6.4 6.4～6.6 6.6～6.8 6.8～7 ≥7 （注：落地距离包含最小值，不包含最大值） 解： 该同学得分为12分. （3）为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训 练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使球在距出手处A 点的水平距离2 m处达到最高，最高点距地面2 m，请判断该同学能否得到 15分的满分？（参考数据： ≈2.45） 解： 该同学能得到15分的满分. 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [新情境·现实生活]（2024·兰州）在校园科技节期间，科普员为同学们 进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后 的运动路线可以看作一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同学们进一 步展开研究.如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处. 图1 图2 科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中， 水火箭距离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m） 的几组关系数据如下： 水平距 离x（m） 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高 度y（m） 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据上表，请确定抛物线的解析式； 解： 根据题意，可知抛物线过原点，设抛物线的解析式为y＝ax2＋ bx（a≠0）. 由题中表格得抛物线的顶点坐标为（15，9），则 解 则抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x. （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5 m时，水火箭距离 地面的竖直高度. 解： 当x＝5时，y＝－ ×52＋ ×5＝5， 即此时水火箭距离地面的竖直高度为5 m. 2. [新考向]（2025·山西）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据 青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线 与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合. 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路 线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160 cm. 仿青蛙机器人 青蛙的运动路线 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为 点N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地 点为点M. 以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面 垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 图1 图2 （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数解析式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线 的形状不变. 解： 顶点N的坐标为（80，60）. y＝－ （x－80）2＋60. （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为点 Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上，求起跳点P与落地 点Q的水平距离OQ的长； 解： 起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200 cm. 图1 图2 （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个 点在竖直方向上的距离不少于3 cm，才能安全通过.如图2，水平地面上有 一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°， AB＝57 cm，BC＝40 cm，CD＝48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm 处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一 个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接 写出该平台的高度.（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机 器人的运动路线在同一竖直平面内） 解： 该平台的高度为6 cm. 图2 $微专题1　 平面直角坐标系中的面积问题 三角形的边在坐标轴上或平行于坐标轴　 模型说明 图示 一条直线与坐标轴围成的三角形的面积：如 图，S△ABO＝ OA·OB 两条直线与x轴围成的三角形的面积：如图， S△ABC＝ BC·AD 两条直线与y轴围成的三角形的面积：如图， S△ABC＝ BC·AD 1. 如图，直线AB平行于y轴，且分别与反比例函数y＝ ，y＝ 的图象交于点A，B，则△ABO的面积为（　A　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），则四边形OABC的面 积为（　D　） A. 14 B. 11 C. 10 D. 9 D 3. 如图，△ABC各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（4，0），C （2，4），则S△ABC的面积为 ⁠. 12　 4. 如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A，B两点的横坐标分别为1和 3，反比例函数y＝ 的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积 是 ⁠. 4 　 5. 如图，已知A（－2，3），B（4，3），C（－1，－3）.求△ABC的 面积. 解：∵A（－2，3），B（4，3）， ∴AB＝4－（－2）＝6，且AB∥x轴. ∵C（－1，－3）， ∴△ABC的高为3－（－3）＝6， ∴△ABC的面积＝ AB×6＝ ×6×6＝18. 三角形的三边不在坐标轴上或不平行于坐标轴 方法1　分割法 方法2　补形法 S△ABC＝S△ABD＋S△BCD S△ABC＝S△ABD＋S△BDC S△ABC＝S△AFC－S△BEC－ S△ABC＝S△AEC－S△ABE－S△BEC 知识拓展　点到直线的距离公式：若直线方程为Ax＋By＋C＝0，点的坐 标为（x0，y0），则d＝ . 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A（2，3），点B（－3，－2），点C （4，－3），则△ABC的面积是（　B　） A. 19 B. 20 C. 21 D. 21.5 B 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，－3），点B（3，－1），点 C（2，2），则△ABC的面积是（　A　） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 A 8. 如图，已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（－1，3）， B（4，－2），则△AOB的面积为 ⁠. 5　 9. 如图，反比例函数y＝ 在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐 标分别为1，3，则△OAB的面积为 ⁠. 8　 （1）如图1，△ABC的面积为 ⁠； （2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得 到对应点D. ①求△ACD的面积； ②点P（m，3）是一动点，若△PAO的面积等于△CAO的面积.请直接写 出点P的坐标. 6　 10. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（－2，0），C（4，0）. 图1 图2 解： ①∵点B（－2，0）向右平移7个单位长 度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D， ∴D（5，4），如图，连接OD. S△ACD＝S△AOD＋S△COD－S△AOC＝ ×2×5＋ ×4×4－ ×4＝9. ②∵△PAO的面积等于△CAO 的面积， ∴ ×2×｜m｜＝ ×2×4， 解得m＝±4， ∴P（－4，3）或P（4，3）. $3.2　一次函数及其应用 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　1　一次函数、正比例函数的概念 一般地，如果y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0），那么y叫作x的一次函 数；特别地，当① 时，一次函数y＝kx＋b即变为y＝kx（k 是常数），这时y叫作x的② ⁠. 正比例函数是一次函数，反之不一定成立. b＝0　 正比例函数　 知识点　2　一次函数的图象与性质 1. 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是经过点③ ⁠和 （－ ，0）的一条直线；特别地，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经 过点④ 和点（1，k）的一条直线. （0，b）　 （0，0）　 因为一次函数的图象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取两个 点，过这两个点画一条直线即可. 2. 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与性质 b的 情况 图象与 y轴 的交点 位置 k＞0 k＜0 b＞0 y轴正 半轴 图象经过第 一、二、三象 限 图象经过第一、二、四象限 b＝0 坐标 原点 图象经过第 一、三象限 图象经过第二、四象限 b的 情况 图象与y轴 的交点位置 k＞0 k＜0 b＜0 y轴负半轴 图象经过第 一、三、四 象限 图象经过第 二、三、四象 限 图象 从左至如图象上升 从左至如图象下降 性质 y随x的增大而 ⑤ ⁠ y随x的增大而⑥ ⁠ 增大　 减小　 （1）k确定直线y＝kx＋b的倾斜程度，当两直线中的k相等且b不相等 时，两直线平行；当两直线中的k不相等时，两直线相交. （2）b确定直线y＝kx＋b与y轴交点的位置，当两直线中的b相等时，两 直线交于y轴上同一点. 3. 一次函数图象的平移 知识点　3　一次函数解析式的确定 待定系数法 一设 设出一次函数解析式为y＝kx＋b 二列 找出函数图象上的两个点，代入y＝kx＋b，得到二元 一次方程组 三解 解这个二元一次方程组，得到k，b的值 四还原 将所求待定系数k，b的值代入y＝kx＋b即可 利用对称法求一次函数解析式的一般方法： （1）一次函数y＝kx＋b的图象关于x轴对称的函数解析式为y＝－kx－b. （2）一次函数y＝kx＋b的图象关于y轴对称的函数解析式为y＝－kx＋b. （3）一次函数y＝kx＋b的图象关于原点对称的函数解析式为y＝kx－b. 知识点　4　一次函数与方程（组）、不等式的关系 一次函数与 一次方程 一元一次方程kx＋b＝0的解就是一次函数y＝kx＋b的图 象与x轴交点的⑪ ⁠ 横坐标　 一次函数与 一元一次不 等式 一元一次不等式kx＋b＞0的解集就是当y＞0时，函数y ＝kx＋b自变量的取值范围，也是一次函数y＝kx＋b图 象位于⑫ 的部分对应的x的取值范围 一元一次不等式kx＋b＜0的解集就是当y＜0时，函数y ＝kx＋b自变量的取值范围，也是一次函数y＝kx＋b图 象位于⑬ 的部分对应的x的取值范围 x轴上方　 x轴下方　 一次函数与 二元一次方 程组 二元一次方程组 的解就是一次函数y＝k1x ＋b1与y＝k2x＋b2的图象⑭ ⁠ 交点的横、纵坐标值　 知识点　5　一次函数的实际应用 1. 用一次函数解决实际问题的一般步骤： （1）设定实际问题中的变量； （2）建立一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数的性质解决问题； （5）作答. 2. 一次函数实际应用的常见类型： （1）根据实际问题给出的数据列相应的函数解析式解决实际问题； （2）利用一次函数对实际问题中的方案进行比较； （3）结合实际问题的函数图象解决实际问题； （4）两个以上的一次函数拼接成一个分段函数，分段求函数解析式，要 标清自变量的取值范围，找准所求的问题在哪段. 1. （人教八下P90练习T1变式）下列函数中，y是x的一次函数的是 （　C　） A. y＝1 B. y＝ C. y＝3x－1 D. y＝x2 C 2. （人教八下P90练习T1变式）若函数y＝（m－2）x＋5－m是正比例函 数，则m＝ ⁠. 3. （教材整合）已知一次函数y＝－3x＋6，请解答下面问题： 5　 （1）图象与x轴的交点坐标为 ⁠； （2）与y轴的交点坐标为 ⁠； （3）函数图象经过第 象限； （4）函数图象从左向右 ，y随x的增大而 ⁠； （5）与坐标轴围成的三角形为 ，该三角形的面积 为 ⁠； （6）一次函数y＝－3x＋6的图象与y＝－3x＋1的图象的位置关系 为 ⁠； （7）一次函数y＝－3x＋6的图象与y＝ x＋6的图象的位置关系为 ⁠ ，且交于 轴上同一点. （2，0）　 （0，6）　 一、二、四　 下降　 减小　 直角三角形　 6　 平行　 垂 直　 y　 4. （教材整合）（1）将直线y＝x向下平移2个单位长度，得到直线 ⁠ ⁠； （2）将直线y＝x－5向上平移5个单位长度，得到直线 ⁠； （3）将直线y＝x＋3向下平移5个单位长度，得到直线 ⁠. y ＝x－2　 y＝x　 y＝x－2　 ③把直线y＝kx＋b沿x轴翻折，所得直线的函数解析式为 ⁠； ④把直线y＝kx＋b沿y轴翻折，所得直线的函数解析式为 ⁠ ⁠. 5. （教材整合）直线y＝kx＋b过点（ ，0），（0，1）. （1）该直线的函数解析式为 ⁠； （2）①把直线y＝kx＋b沿x轴向右平移2个单位长度，所得直线的函数解 析式为 ⁠； ②把直线y＝kx＋b沿x轴向左平移2个单位长度，所得直线的函数解析式 为 ⁠； y＝－2x＋1　 y＝2x－ 1 y＝2x＋ 1 y＝－2x＋5　 y＝－2x－3　 6. （教材整合）如图，两条直线表示函数y1＝k1x与y2＝k2x＋b的图象， 根据图象回答： （1）直线AB表示 的图象， 直线OB表示 的图象； （2）随着x的增大，y1 ，y2 ；（填“增大”或“减 小”） y2＝k2x＋b　 y1＝k1x　 增大　 增大　 （3）当x＞0时，y1 0， y2 0； ＞　 ＞　 （4）当x满足 时，y1总大于y2. x＞2　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 7. （北师八上P96习题T3变式）一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体， 不挂物体时弹簧的长为12 cm，每挂重1 kg的物体，弹簧伸长0.5 cm. （1）在弹性限度内，挂重物后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x （kg）之间的函数关系式为 ⁠； （2）若y为14，则所挂物体的质量为 kg. y＝12＋0.5x（0≤x≤10）　 4　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　一次函数的性质（5年1考） 1. （2025·贵州黔东南州二模）对于正比例函数y＝－2x的图象，下列说 法正确的是（　A　） A. 图象经过第二、四象限 B. 图象与坐标轴有两个交点 C. 图象经过点（－1，－2） D. 图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大 A 2. （2024·贵州清镇模拟）关于一次函数y＝－2x＋1的图象和性质，下列 说法正确的是（　D　） A. y随x的增大而增大 B. 图象经过第三象限 C. 图象经过点（－1，2） D. 图象与y轴的交点是（0，1） D 命题点2　一次函数的图象与系数的关系 3. 一次函数y＝mx＋n与y＝mnx（mn≠0）在同一平面直角坐标系中的 图象可能是（　C　） A B C D C 命题点3　一次函数的图象与几何变换 4. 一次函数y＝－kx＋3的图象关于x轴对称后经过点（2，－1），则k的 值是（　A　） A. 1 B. －1 C. 5 D. －5 A 5. （2024·贵州贵阳一模）已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k＜ 0）的图象经过点（2，1），将该一次函数图象向右平移1个单位后得到一 次函数y＝mx＋n（m，n为常数）的图象，则下列关于一次函数y＝mx ＋n的说法，正确的是（　A　） A. 该函数图象与x轴交点的横坐标大于3 B. 该函数图象有可能经过坐标原点 C. 该函数图象与y轴交于负半轴 D. 该函数图象不一定经过第二象限 A 命题点4　一次函数与方程、不等式的关系（5年2考） 6. （2025·贵州贵阳一模）一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的 图象如图所示，则关于x的不等式kx＋b＜0的解集为（　A　） A. x＞2 B. x＜2 C. x＞3 D. x＜3 A 方法点拨　根据两函数y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2的图象确定不等式解 集的方法：（1）先确定关键点的坐标，一般为两函数图象的交点坐标； （2）不等式y1＞y2的解集即为y1＝k1x＋b1的图象在y2＝k2x＋b2的图象上 方时，对应的自变量的取值范围；（3）不等式y1＜y2的解集即为y1＝k1x ＋b1的图象在y2＝k2x＋b2的图象下方时，对应的自变量的取值范围. 7. （2025·贵州清镇模拟）如图，点A（1，m）在直线y＝kx＋b上，则 m的值为（　C　） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 C 命题点5　确定一次函数解析式（5年1考） 8. （2024·贵州黔南州一模）直线y＝2x＋1如图所示，过点P（2，1）作 与它平行的直线y＝kx＋b，则k，b的值是（　B　） A. k＝2，b＝3 B. k＝2，b＝－3 C. k＝2，b＝－1 D. k＝－2，b＝－3 B 命题点6　一次函数的实际应用 9. （2025·贵州贵阳三模）某校文化艺术节来临之际，学生积极性很高.某 班决定购买A，B两种纪念品用于在文化艺术节上销售.若购进A种纪念品 1件，B种纪念品1件，需花18元；若购进A种纪念品1件，B种纪念品2 件，需花26元. （1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ 解： 设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元. 由题意，得 解得 答：购进A种纪念品每件需10元，购进B种纪念品每件需8元. （2）若该班决定购进这两种纪念品共100件，且用于购买这100件纪念品 的资金不低于850元且不超过900元.已知全部销售完纪念品后，每件A种纪 念品可获利4元，每件B种纪念品可获利3元.该如何进货，才能保证获利最 大？最大利润是多少元？ 解： 设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100－m）件，所 获利润为w元. 由题意，得w＝4m＋3（100－m）＝m＋300. ∵850≤10m＋8（100－m）≤900， ∴25≤m≤50. ∵1＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝50时，w有最大值，最大值为w＝m＋300＝50＋300＝350 （元）， 此时100－m＝100－50＝50（件）. 答：购进A种纪念品50件，购进B种纪念品50件，获利最大，最大利润是 350元. 10. （2025·贵州一模）如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图， 在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所.若每个哨所至少要有1人，同类 型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11. （1）若六个哨所的总人数为21，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； 解： 设每个甲型哨所有x人，每个乙 型哨所有y人. 根据题意，得 解得 答：每个甲型哨所有4人，每个乙型哨所 有3人. （2）假设每个甲型哨所的人数为m，请用含m的代数式表示六个哨所的 总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的m的值. 解： 设六个哨所的总人数为w. ∵每个甲型哨所的人数为m，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11， ∴每个乙型哨所的人数为（11－2m）. 又∵每个哨所至少要有1人， ∴ ∴1≤m≤5， ∴w＝3m＋3（11－2m）＝－3m＋33（1≤m≤5），∴w随m的增大而 减小， ∴当m＝1时，w取得最大值30；当m＝5时，w取得最小值18. 答：当m＝1时，哨所总人数的最大值是30；当m＝5时，哨所总人数的最 小值是18. 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [跨学科]（2025·贵州贵阳南明模拟）一种弹簧秤最大能称不超过15 kg 的物体，不挂物体时弹簧的长为10 cm，每挂重1 kg的物体，弹簧伸长0.3 cm.在弹性限度内，挂重物后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x （kg）之间的函数关系式为（　D　） A. y＝0.3x B. y＝10－0.3x C. y＝－0.3x D. y＝10＋0.3x D 2. [新考向·几何直观]（2024·广安）如图，直线y＝2x＋2与x轴、y轴分 别相交于点A，B，将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，则 点D的坐标为 ⁠. （－3，1）　 3. [新考向·应用意识]（2025·贵州贵阳一模）综合与实践：制作简易 计时器 【问题情境】 某小组同学根据古代计时器“漏壶”的原理制作了如图所示的简易计时 器，该计时器由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容 器中匀速漏到圆柱容器中. 【实验观察】表格记录的是圆柱容器液面高度y（cm）与时间x（min）的 数据： 记录次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 时间x（min） 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高 度y（cm） 2 4 6 4 10 【探索发现】根据上述的实践活动，该小组同学发现y与x之间满足一次函 数关系，请解决以下问题： （1）根据表中的数据在图中描点.小组长发现其中有一次数据记录错误， 请你指出记录错误的是第 次； 四　 【结论应用】 （2）已知圆柱容器液面的最大高度能达到30 cm，则这个简易计时器最多 可计时多少分钟？ 解：（1）描点略. （2）设一次函数解析式为y＝kx＋b. 代入（1，2）和（2，4），得 解得 ∴一次函数解析式为y＝2x， 令y＝30，则2x＝30，解得x＝15. 答：这个简易计时器最多可计时15分钟. $3.3　反比例函数的图象与性质 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　1　反比例函数的概念 1. 定义：形如① （k是常数，k≠0）的函数叫反比例函数. 特别提示：自变量x的取值范围是② ⁠. 2. 三种解析式： （1）y＝ ； （2）y＝kx－1； （3）xy＝k.（其中k为常数，k≠0） y＝ 　 x≠0　 1. （人教九下P8习题T2变式）下列关系式中，y是x的反比例函数的是 （　B　） A. y＝ x B. y＝－ C. y＝3x2 D. y＝6x＋1 B 知识点　2　反比例函数的图象与性质 解析式 y＝ （k是常数，k≠0） k k＞0 k＜0 图象 解析式 y＝ （k是常数，k≠0） 所在象限 第③ ⁠象限 第④ ⁠象限 增减性 在每个象限内，y随x的 增大而⑤ ⁠ 在每个象限内，y随x的增大而 ⑥ ⁠ 渐进 趋势 左、右方向无限接近⑦ 轴，上、下方向无限接近 ⑧ 轴（图象无限接近坐标轴，但与坐标轴不相交） 一、三　 二、四　 减小　 增大　 x　 y　 解析式 y＝ （k是常数，k≠0） 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，两条对称轴是直线 ⑨ ，对称中心是⑩ ⁠ 画法 （1）列表：表示几组x与y的对应值； （2）描点：以表中各对对应值为坐标，描出各点； （3）连线：用平滑的曲线顺次连接这些点即可 y＝±x　 坐标原点　 2. （教材整合）（1）函数y＝－ 的图象的两个分支分布在第 ⁠ 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ⁠； （2）函数y＝ 的图象的两个分支分布在第 象限，在每一个 象限内，y随x的减小而 ⁠； 二、 四　 增大　 一、三　 增大　 （3）如图，有反比例函数y＝ 和y＝－ 的图象和一个以原点为圆心，2 为半径的圆，则S阴影＝ ⁠. 2π　 知识点　3　反比例函数中k的几何意义 如图所示，点P是反比例函数y＝ （k≠0）的图象上任意一点，过点P 作x轴，y轴的垂线PM，PN，则所 得矩形PMON的面积为⑪ ⁠ ⁠ ｜ k｜ 拓展1：如图所示，点P是反比例函数 y＝ （k≠0）的图象上任意一点，过 点P作x轴（或y轴）的垂线，则所得 三角形的面积S阴影＝⑫ ⁠ ｜k｜　 拓展2：如图所示，点P与其对称点是 反比例函数y＝ （k≠0）的图象上两 点，过点P作x轴（或y轴）的垂线， 则S阴影＝⑬ ⁠ 2｜k｜　 一般反比例函数与几何图形（三角形、四边形）结合，可直接利用k的几 何意义求面积.若图形为不规则图形，则先将其分割，然后求其面积之和. 3. （北师九上P155想一想拓展） （1）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝ （x＜0）图象 上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B. 若四边形 PAOB的面积为5，则k的值是（　D　） A. 10 B. －10 D C. 5 D. －5 （2）如图，过反比例函数y＝ （x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点 B，连接AO. 若S△AOB＝2，则k的值为（　C　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 C 知识点　4　反比例函数解析式的确定 1. 设函数解析式为y＝ （k是常数，k≠0）； 2. 根据图象经过的点的坐标或已知的对应关系列方程； 3. 解方程，求出待定系数k； 4. 将k代入确定解析式. 4. （人教九下P8练习T1变式）已知正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝ （k2＞0）的一个交点是（2，3），则另一个交点是（ ， ⁠ ），反比例函数解析式为 ⁠. －2　 －3 y＝ 　 知识点　5　反比例函数的实际应用 利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型.建立函数模型的思 路主要有两种： （1）已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得k 的值； （2）题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定 变量间的关系，再求解析式. 反比例函数实际应用中的常见等量关系： 速度＝ ，单价＝ ，单个利润＝ ，压强＝ ，底面 积＝ ，电阻＝ . 列出函数解析式后，要注意自变量的取值范围. 5. （人教九下P15练习T2变式）小凡驾驶汽车匀速地从A地行驶到B地， 行驶里程为240 km，设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全 程速度限定为不超过120 km/h. （1）则v关于t的函数解析式为 ；（需写出自变 量的取值范围） （2）小凡上午9点驾驶小汽车从A地出发，需在当天12点之前（含12点） 到达B地，汽车行驶速度值v的取值范围为 ⁠. v＝ （t≥2）　 80≤v≤120　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　反比例函数的概念 1. （2025·贵州铜仁模拟预测）根据学习函数积累的经验，自主探究解析 式为y＝ 的函数的图象与性质，下列说法正确的是（　A　） A. 函数y＝ 的图象是y＝ 的图象平移得到的 B. 函数y＝ 的图象与x轴有一个交点 C. 函数y＝ 的图象与y轴的交点坐标是（0，6） D. 函数y＝ 的图象关于原点对称 A 命题点2　反比例函数的图象与性质（5年5考，高频率考点） 2. （2025·贵州毕节三模）若点A（x1，－3），B（x2，2），C（x3， 7）都在反比例函数y＝－ 的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是 （　A　） A. x2＜x3＜x1 B. x1＜x3＜x2 C. x3＜x2＜x1 D. x1＜x2＜x3 A 方法点拨　比较反比例函数值大小的方法： （1）直接代入求解：将各自对应的横坐标值代入反比例函数解析式中， 求出y值，直接比较； （2）利用函数图象判断：先根据反比例函数的k值确定反比例函数的增减 性，再看两点是否在同一分支上.若不在同一分支上则可直接判断；若在 同一分支上则利用增减性判断. 3. （2025·贵州遵义一模）若点A（x1，－5），B（x2，2），都在反比例 函数y＝ （k＞0）的图象上，则x1，x2的大小关系是（　D　） A. 0＜x1＜x2 B. 0＜x2＜x1 C. x2＜0＜x1 D. x1＜0＜x2 D 4. （2025·贵州）如图，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数y＝ （x＞ 0）的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D， 交y＝x的图象于点B，点A的横坐标为1.有以下结论： ①线段AB的长为8； ②点C的坐标为（3，3）； ③当x＞3时，一次函数的值小于反比例函数的值. 其中结论正确的个数是（　C　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 命题点3　反比例函数中系数k的几何意义 5. （2025·贵州六盘水一模）如图，反比例函数y＝ 的图象经过▱ABCO 的顶点B，OC在x轴上.若点A（－3，3），▱ABCO的面积为3，则k值 为 ⁠. 易错警示　（1）忽略图象所在的象限而导致k的符号出错；（2）弄错矩 形或三角形面积与｜k｜的倍数关系. －6　 命题点4　反比例函数解析式的确定（5年3考） 6. （2024·贵州）已知点（1，3）在反比例函数y＝ 的图象上. （1）求反比例函数的解析式； 解： 把（1，3）代入y＝ ，得3＝ ， ∴k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝ . （2）点（－3，a），（1，b），（3，c）都在反比例函数的图象上，比 较a，b，c的大小，并说明理由. 解： ∵k＝3＞0，∴函数图象位于第一、三象限. ∵点（－3，a），（1，b），（3，c）都在反比例函数的图象上，－3＜ 0＜1＜3，∴a＜0＜c＜b，∴a＜c＜b. 7. （2025·贵州贵阳一模）已知反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图 象经过点A（3，－2）. （1）求这个函数的解析式； 解： 将点A（3，－2）的坐标代入反比例函数y＝ ，得－2＝ ，解 得k＝－6， 即这个函数的解析式为y＝－ . 解： ∵点B（1，n）在该反比例函数的图象上， ∴n＝－ ＝－6，∴B（1，－6）. ∵点B（1，n）先向上平移m个单位长度，再向右平移m个单位长度，得 到点C， ∴C（1＋m，－6＋m）. ∵点C也在该反比例函数的图象上， ∴（1＋m）（－6＋m）＝－6， 解得m＝5或m＝0（舍去），∴m的值为5. （2）若将点B（1，n）先向上平移m个单位长度，再向右平移m个单位 长度，得到点C，且点B和点C（B，C两点不重合）都在该反比例函数 的图象上，求m的值. 命题点5　反比例函数的实际应用 8. （2025·贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种 名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固 定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹 竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1 m.若图中人 物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l 时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： 图1 （1）表格中a的值是 ⁠； 100　 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a （2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； 图2 解： F与l之间的函数图象如图所示： （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减 小？请说明理由. 解： 由函数图象可知F是l的反比例函数.根据反比例函数的性质可 知，该函数图象在第一象限内，F随l的增大而减小，所以当OA的长增大 时，拉力F减小. 9. （2025·贵州贵阳二模）如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视 力下降.经调查发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距x（m）成反 比例函数关系，图象如图所示. （1）写出这一函数解析式； 解： 设函数解析式为y＝ （x＞0）. 把x＝0.2，y＝500代入上式，得k＝100， 故所求函数的解析式为y＝ （x＞0）. （2）小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，视力下降，经复 查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.25 m，求小妮现在的眼镜度数比原 来的眼镜度数增加了多少度. 解： 将x＝0.25代入y＝ （x＞0），得y＝ 400， 400－200＝200（度）. 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度. 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [学科融合]利用过氧乙酸可以对室内的空气进行熏蒸消毒.某跨学科兴 趣小组设计了一个简易检测仪，检测室内空气中过氧乙酸气体的浓度，其 电路原理如图1所示，电源电压为12 V，R0为定值电阻，过氧乙酸气体传 感器Rt的阻值随过氧乙酸气体浓度ρ的变化关系如图2所示，已知未消毒时 （ρ为0），电压表示数为3 V. （消毒标准如下：ρ＜0.15 g/m3为不合格， 0.15 g/m3≤ρ＜0.3 g/m3为合格，ρ＞0.3 g/m3为超标）下列说法正确的是 （　D　） D 信息窗 1. 串联电路中各处的电流都相等. 2. 串联电路两端的电压等于各部分电路两端电压的总和. 3. I＝ ，其中U为电压，I为电流，R为电阻. 图1 图2 A. Rt随ρ的增大而增大 B. Rt是ρ的反比例函数 C. 定值电阻R0的阻值为10 Ω D. 当电压表的示数为5 V时，该次消毒不合格 2. [新考向]我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系.现有 某学生利用一个最大电阻为72 Ω的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结 果如图所示，当电阻R为12 Ω时，电流I为12 A. （1）求电流I（A）关于电阻R（Ω）的函数解析式； 解： 设函数解析式为I＝ （k≠0）. ∵当R＝12时，I＝12， ∴12＝ ，解得k＝144， ∴电流I与电阻R之间的函数解析式为I＝ . （2）若4≤R≤72，求电流I的变化范围. 解： ∵I＝ 中，144＞0，R＞0， ∴图象在第一象限，I随R的增大而减小. ∵4≤R≤72， ∴把电阻最小值R＝4代入I＝ ，得到电流的最大 值，此时I＝ ＝36（　A　）. 把电阻最大值R＝72代入I＝ ，得到电流的最小 值，此时I＝ ＝2（　A　）， ∴电流I的变化范围是2≤I≤36. $第1课时　 增长率与最大利润问题 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　1　二次函数的实际应用 利用二次函数解决实际问题的一般步骤： 审 通过审题，找出问题的变量和常量，以及它们之间的函数关系 列 列函数解析式 求 求出自变量的取值范围 解 应用二次函数的图象及性质解题（通常转化为顶点式进行研究） 验 检验结果的合理性，特别是检验是否符合实际意义，实际上是 看x的取值是否在自变量的取值范围内 1. （人教九上P52习题T3变式）已知某种汽车刹车后滑行的距离s（单 位：m）关于时间t（单位：s）的函数解析式为s＝15t－at2，且t＝1时， s＝9，则刹车后滑行的时间为 　 　s，最大的滑行距离为 　 　m. 　 　 知识点　2　增长率与最大利润问题 问题类型 具体做法 增长率问题 熟记y＝a（1±x）2是解决此类问题的关键，其中a是原始量，x为平均增长率（或降低率），y为变化的量 最大利润问题 根据题意，确定出二次函数的解析式，然后通过配方 变形，在自变量的取值范围之内，根据二次函数的图 象和性质确定其最值 2. （人教九上P51习题T2变式）某商品进价为50元，现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300件.经市场调查发现，每涨价1元，每星期要少卖出 10件，则在涨价的情况下，可获得最大利润 元. 4 000　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　二次函数中的增长率问题 1. 据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8、9月份销量逐月增 加.若第三季度的累计销量为y万辆，平均月增长率为x，则y关于x的函数 解析式为（　D　） A. y＝（1＋x）2 B. y＝98x（1＋x） C. y＝98（1＋x）2 D. y＝98＋98（1＋x）＋98（1＋x）2 D 2. 中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程 约为0.8万公里.若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长 率为x，则y关于x的函数解析式为 ⁠. y＝0.8（1＋x）2　 命题点2　最大利润问题（5年2考） 3. （2024·贵州）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场 调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元） 是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值. 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y关于x的函数解析式； 解： 设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b.把x＝12，y＝56；x＝ 20，y＝40代入，得 解得 ∴y关于x的函数解 析式为y＝－2x＋80. （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是 多少？ 解： 设日销售利润为w元. 根据题意，得w＝（x－10）·y＝（x－10）（－2x＋80） ＝－2x2＋100x－800＝－2（x－25）2＋450， ∴当x＝25时，w有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元. （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼 品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m 的值. 解： 根据题意，得w＝（x－10－m）·y ＝（x－10－m）（－2x＋80） ＝－2x2＋（100＋2m）x－800－80m， ∴当x＝－ ＝ 时，w有最大值为 ＋（100＋ 2m）· －800－80m. ∵该种糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴－2 ＋（100＋2m）· －800－80m＝392， 化简得m2－60m＋116＝0，解得m1＝2，m2＝58. 当m＝58时，x＝－ ＝54，则每盒的利润为：54－10－58＝－14＜0，舍 去.∴m的值为2. 方法点拨　如何求销售利润的最大值： （1）运用公式法、配方法、数形结合法，求出销售利润对应的二次函数 的最大值. （2）若题中自变量的取值范围包括顶点，则二次函数在顶点处取得最大 值；若自变量的取值范围不包括顶点（即在对称轴一侧），则需要结合二 次函数的增减性判断在自变量取值范围的某一端点处取得最大值. 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [传统文化]端午节吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购 进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销 售量不低于350盒.根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售 量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒.设每盒售价为x 元，日销售量为p盒. （1）当x＝60时，p＝ ⁠； 400　 解：由题意，得 解得50≤x≤65. W＝（x－40）[500－10（x－50）]＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10（x －70）2＋9 000. ∵－10＜0，∴当x＜70时，W随x的增大而增大. ∴当x＝65时，W取最大值，最大值为8 750元. 答：当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是 8 750元. （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是 多少？ （3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小红说： “当日销售利润不低于8 000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认 为他们的说法正确吗？请通过计算说明. 解：设日销售额为y元，∴y＝x[500－10（x－50）]＝－10x2＋ 1 000x＝－10（x－50）2＋25 000. 当x＝50时，y取最大值，最大值为25 000元. 由（2）知当x＝65时，W取最大值，最大值为8 750元. ∴小强的说法正确. 当日销售利润不低于8 000元时，由题意得－10（x－70）2＋9 000≥ 8 000，解得60≤x≤80. ∵50≤x≤65，∴当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65，∴小红的 说法错误. 2. [文创活动]（2025·大庆）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大 庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成 本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元.一套纪念 品由一个A纪念品和一个B纪念品组成.规定：每套纪念品的售价不低于65 元且不高于72元（每套售价为整数）.如果每套纪念品的售价为72元，那 么每天可销售80套.经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量 相应增加10套.设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元 （65≤a≤72且a为整数）. （1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； 解： 设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元. 由题意，得 解得 答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元. （2）求当a为何值时，每天的利润W最大. 解： 由题意，得W＝[a－（25＋35）][80＋10（72－a）]＝－10a2 ＋1 400a－48 000. ∵－10＜0，对称轴为直线a＝－ ＝70，65≤a≤72且a为整数， ∴当a＝70时，W取最大值. 答：当a＝70时，每天的利润W最大. $微专题2　反比例函数与一次函数常见的综合题型 【模型归纳】 位置关系 图形示例 交点个数 “形同陌路” 无交点 “擦肩而过” 1个交点 位置关系 图形示例 交点个数 “一箭双雕” 2个交点 在不同象限 “穿越贯通” 2个交点 在同一象限 【训练有素】 一、“形同陌路” 1. 已知直线l：y＝kx（k≠0）过点（－1，2），点P为直线l上一点，其 横坐标为m.过点P作y轴的垂线，与函数y＝ （x＞0）的图象交于点Q. （1）求k的值； 解： 将点（－1，2）的坐标代入y＝kx，得2＝－k， 即k＝－2. （2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）； 解： 由（1），知y＝－2x，则点P的坐标为（m，－ 2m）.当y＝－2m＝ 时，x＝－ ，故点Q的坐标为（－ ，－2m）. （3）若△POQ的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围. 解： S△POQ＝ PQ×yP＝ ×（－ －m）×（－2m）＞3， 解得m＞1或m＜－1.由题意知m＜0，故m＜－1. 二、“擦肩而过” 2. 如图，已知双曲线y＝ 与直线y＝ x＋b. （1）若它们在第二象限有公共点A（－2，3），求双曲线及直线的函数解 析式； 解： 把A（－2，3）的坐标代入y＝ ，得k＝－ 6，则双曲线的函数解析式是y＝－ ；把点A（－2， 3）的坐标代入y＝ x＋b，得－3＋b＝3，解得b＝ 6，则直线的函数解析式是y＝ x＋6. （2）试说明点A是它们的唯一公共点； 解： 根据题意，得 x＋6＝－ ，去分母，整理 得x2＋4x＋4＝0，Δ＝0，则方程有两个相等的实数 根，则直线和反比例函数图象只有一个公共点，即点A 是它们的唯一公共点. （3）若将直线进行上下平移，使它与双曲线没有公共点，请直接写出b的 取值范围. 解： 当直线与反比例函数的图象在第四象限有一 个公共点时，公共点一定是（2，－3）.把（2，－3） 代入直线的函数解析式得3＋b＝－3，解得b＝－6， 当直线经过点A（－2，3）时，b＝6.则将直线进行上 下平移，使它与双曲线没有公共点，b的取值范围是－6＜b＜6. 三、“一箭双雕” 3. （2025·贵州遵义二模）如图，一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函 数y＝ （k≠0）的图象相交于点A（－1，3）. （1）求b和k的值； 解： ∵一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数y＝ （k≠0）的图象相交于点A（－1，3），∴3＝－（－ 1）＋b，3＝ ，解得b＝2，k＝－3. （2）横坐标为4的点B是反比例函数图象上的一点，现将点B向下平移.当 点B落在一次函数图象上时，求向下平移的距离. 解： ∵横坐标为4的点B是反比例函数图象上的一 点，∴点B的纵坐标为 ＝－ ，即B（4，－ ）.将点B 向下平移落在一次函数图象上时，y＝－4＋2＝－2，－ －（－2）＝ ，∴向下平移的距离为 . 四、“穿越贯通” 4. （2025·贵州黔东南州三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函 数y＝kx＋b的图象，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A，与x 轴负半轴交于点B，其中点A的坐标为（m，3），AB＝5. 图1 图2 （1）求直线AB的函数解析式； 解： ∵点A（m，3）在反比例函数y＝ （x ＞0）的图象上， ∴3＝ ，∴m＝1，∴点A的坐标为（1，3）. 如图，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，∴AC＝3. ∵AB＝5， ∴BC＝ ＝4， ∴点B的坐标为（－3，0）. 把点A（1，3），B（－3，0）的坐标代入y＝kx＋b，得 解得 ∴直线AB的函数解析式为y＝ x＋ . （2）如图2，若另外有一反比例函数y＝ （e＜0）的图象与直线AB有交 点，求e的取值范围. 解： 联立 得 x＋ ＝ ，整理得3x2＋9x－4e＝0.由 题意，得Δ＝81＋48e≥0，解得e≥－ ，∴－ ≤e＜0. 图1 图2 $第1课时　 二次函数的图象与性质 知识·要点梳理 理要点·扣教材 目 录 知识点　1　二次函数的概念 一般地，如果① （a，b，c是常数，a≠0），那 么y叫作x的二次函数. y＝ax2＋bx＋c　 1. （北师九下P30随堂练习T1变式）下列函数是二次函数的是（　C　） A. y＝2x B. y＝ C. y＝x2 D. y＝ C 知识点　2　二次函数的图象与性质 yax2＋bx＋c a＞0 a＜0 图象 开口方向 向上 向下 yax2＋bx＋c a＞0 a＜0 顶点坐标 （－ ， ） 对称轴 直线② ⁠ x＝－ 　 yax2＋bx ＋c a＞0 a＜0 增减性 当x③ 时，y随x的 增大而减小； 当x④ 时，y随x的 增大而增大 当x＜－ 时，y随x的增 大而⑤ ⁠； 当x＞－ 时，y随x的增 大而⑥ ⁠ ＜－ 　 ＞－ 　 增大　 减小　 yax2＋bx ＋c a＞0 a＜0 函数最值 当x＝⑦ 时，y有最 ⑧ 值，为⑨ ⁠ 当x＝⑩ 时，y 有最⑪ 值，为 ⑫ ⁠ 画法 （1）列表：表示几组对应值，一般找五个点（顶点，对称轴 两侧各两点）；（2）描点：根据表中x与y的对应值为坐标， 描出各点；（3）连线：用平滑的曲线顺次连接这些点即可 － 　 小　 　 － 　 大　 　 2. （教材整合）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式为 ⁠； （2）这个二次函数图象的对称轴是 ⁠； （3）这个二次函数图象的顶点是 ⁠； （4）函数y有最 值，为 ⁠； y＝x2－2x　 直线x＝1　 （1，－1）　 小　 －1　 （5）若函数图象上升，则x ⁠； （6）若函数图象下降，则x ⁠； （7）当x＝ 时，y＝3. ＞1　 ＜1　 －1或3　 知识点　3　二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与 a， b，c符号之间的关系 符号 图象的特征 a的值 a＞0 开口向⑬ ⁠ ｜a｜越大，开口 越⑮ ⁠ a＜0 开口向⑭ ⁠ a，b的值 b＝0 对称轴为⑯ ⁠轴 a，b同号 对称轴在y轴的⑰ ⁠侧 a，b异号 对称轴在y轴的⑱ ⁠侧 上　 小　 下　 y　 左　 右　 符号 图象的特征 c的值 c＝0 抛物线经过⑲ ⁠ c＞0 抛物线与y轴交于⑳ ⁠ c＜0 抛物线与y轴交于㉑ ⁠ b2－4ac b2－4ac＞0 抛物线与x轴有㉒ ⁠个交点 b2－4ac＝0 抛物线与x轴有㉓ ⁠个交点 b2－4ac＜0 抛物线与x轴㉔ ⁠交点 原点　 正半轴　 负半轴　 2　 1　 没有　 3. （教材整合）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示. （1）a 0，b 0，4ac－b2 0； （2）a＋b＋c＝ ，4a＋2b＋c＝ ⁠； （3）对称轴为 ⁠； （4）函数解析式为 ⁠； （5）当x 时，y随x的增大而减小； ＜　 ＞　 ＜　 0　 2　 直线x＝2　 y＝－2x2＋8x－6　 ＞2　 （6）当y＞0时，x的取值范围为 ⁠； （7）当y＝0时，x＝ ⁠； （8）当y＜0时，x的取值范围为 ⁠. 1＜x＜3　 1或3　 x＜1或x＞3　 知识点　4　二次函数解析式的确定 二次函数的解析式有一般式、顶点式和交点式三种，在确定二次函数的解 析式时，要根据题中不同的已知条件，设出相应的解析式，再利用待定系 数法进行求解. 解析式 适用条件 一般式 已知图象上三点或三对x，y的值，则可设二次函数的解析 式为㉕ ⁠ y＝ax2＋bx＋c　 解析式 适用条件 顶点式 已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程或最大（小） 值，则可设二次函数的解析式为㉖ ⁠ ⁠ 交点式 已知二次函数图象与x轴的交点坐标（x1，0），（x2， 0），则可设二次函数的解析式为㉗ ⁠ ⁠ y＝a（x－h）2＋ k　 y＝a（x－x1） （x－x2）　 确定二次函数解析式的一般步骤： （1）根据题意设合适的二次函数解析式（一般式、顶点式、交点式）； （2）将图象上的点的坐标代入所设的解析式； （3）解方程（组），求得待定系数的值. 4. （教材整合）已知二次函数在x＝1时有最大值－6，且图象经过点（2， －8），由已知条件可得抛物线的顶点坐标为 ，可设解 析式为 ，代入点（2，－8），得a＝ ⁠ ，则该二次函数的解析式为 ，化成一般式 为 ⁠. （1，－6）　 y＝a（x－1）2－6　 －2 y＝－2（x－1）2－6　 y＝－2x2＋4x－8　 知识点　5　抛物线y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的平移 平移前解析式 平移m个单位长度 （m＞0） 平移后解析式 规律 y＝a（x－h）2＋ka≠0） 向左平移m个单位长度 y＝a（x－h㉘ ⁠ ）2＋k 左 “＋” 右 “－” 向右平移m个单位长度 y＝a（x－h㉙ ⁠ ）2＋k 向上平移m个单位长度 y＝a（x－h）2＋k ㉚ ⁠ 上 “＋” 下 “－” 向下平移m个单位长度 y＝a（x－h）2＋k ㉛ ⁠ ＋ m　 － m　 ＋m　 －m　 二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移（以研究顶点坐标为 主），平移过程中a不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平 移求解即可. 5. （教材整合）已知二次函数解析式为y＝－（x－1）2＋2. （1）将函数y＝－（x－1）2＋2的图象向下平移2个单位长度得函 数 ⁠； （2）将函数y＝－（x－1）2＋2的图象向左平移2个单位长度得函 数 ⁠； （3）将函数y＝－（x－1）2＋2的图象向右平移1个单位长度，再向下平 移1个单位长度得函数 ⁠； （4）y＝－（x－1）2＋2关于x轴翻折得到的二次函数解析式是 ⁠ ⁠； y＝－（x－1）2　 y＝－（x＋1）2＋2　 y＝－（x－2）2＋1　 y＝ （x－1）2－2　 （5）y＝－（x－1）2＋2关于y轴翻折得到的二次函数解析式是 ⁠ ⁠； （6）y＝－（x－1）2＋2关于原点对称得到的二次函数解析式是 ⁠ ⁠. y＝ －（x＋1）2＋2　 y＝ （x＋1）2－2　 知识点　6　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数 与一元二 次方程 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是其对应的二次函数图象 与x轴交点的㉜ ⁠ 二次函数 与一元二 次不等式 ax2＋bx＋c ＞0 它的解集就是当y㉝ 0时自变量x的取值 范围，也就是x轴㉞ 抛物线对应的x 的取值范围 ax2＋bx＋c ＜0 它的解集就是当y㉟ 0时自变量x的取值 范围，也就是x轴㊱ 抛物线对应的x 的取值范围 横坐标　 ＞　 上方　 ＜　 下方　 6. （教材整合）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴是直 线x＝2，且经过点A（3，0），根据图象解答下列问题： （1）方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是 ⁠； （2）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 ⁠； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 ⁠. x1＝1，x2＝3　 x＜1或x＞3　 x＜2　 思维·真题模拟精练 启思维·明命题 目 录 命题点1　二次函数的概念 1. 下列函数是二次函数的是（　D　） A. y＝ B. y＝x2－（x－2）2 C. y＝2x＋3 D. y＝x2－5x D 命题点2　二次函数图象与性质（5年5考，高频考点） 2. （2024·贵州）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个 交点的横坐标是－3，顶点坐标为（－1，4），则下列说法正确的是 （　D　） A. 二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当x＜－1时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 D 命题点3　二次函数的图象与系数的关系 3. （2025·贵州遵义模拟预测）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其对称轴 为直线x＝ .现有以下五个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③ ＜ 0；④－ ＞0；⑤a＋5b＝0.其中正确的是（　B　） A. ①②③④⑤ B. ①③④⑤ C. ②③④ D. ①②⑤ B 4. （2025·贵州铜仁三模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象 如图所示，下列结论中：①abc＜0；②b＋2a＝0；③a－b＜am2＋bm （m≠－1）；④ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝－1，x2＝1；⑤4a＋ 2b＋c＞0.其中正确的个数是（　B　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 命题点4　二次函数与一元二次方程的关系 5. （2025·贵州贵阳一模）二次函数y＝x2＋nx的图象如图所示，对称轴为 直线x＝3.若关于x的一元二次方程x2＋nx－m＝0（m为实数）在2＜x＜ 7的范围内有解，则m的取值范围是（　C　） A. m＞7 B. －8＜m≤2 C. －9≤m＜7 D. m≤2 C 6. （2025·贵州黔西二模）如图，为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的 部分图象，已知抛物线的对称轴为直线x＝－1.若点A的坐标为（－3， 0），则以下结论错误的是（　B　） A. 方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－3，x2＝1 B. 8a＋c＞0 C. ac＜0 D. 若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上的两点，且x1＜x2＜－1，则y1＜y2 B 命题点5　二次函数与不等式的关系 7. （2024·贵州毕节一模）二次函数y＝ax2＋3ax＋n（a＞0）的图象过点 （ ，0），则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（　A　） A. x＜－ 或x＞ B. － ＜x＜ C. x＜0或x＞ D. 0＜x＜ A 8. （2024·贵州铜仁模拟）如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图 象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 ⁠. x＜－1或x＞5　 素养·熟知考向 提素养·知考向 目 录 1. [新定义]（2024·眉山）定义运算：a⊗b＝（a＋2b）（a－b），例 如4⊗3＝（4＋2×3）（4－3），则函数y＝（x＋1）⊗2的最小值为 （　B　） A. －21 B. －9 C. －7 D. －5 B 2. [新考向·整体思想]（2024·牡丹江）将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5 个单位长度后，经过点（－2，4），则6a－3b－7＝ ⁠. 3. [新考向]（2025·宿迁）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的 距离都小于或等于k的点叫“k阶近轴点”，所有的“k阶近轴点”组成的 图形记为图形W. 如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原 点为中心，2为边长的正方形区域. （1）下列函数图象上存在“1阶近轴点”的是 ⁠； ①y＝ ；②y＝－x＋3；③y＝x2－2x＋3. 2　 ①　 （2）若一次函数y＝2x＋m的图象上存在“3阶近轴点”，求实数m的取 值范围； 解：设一次函数y＝2x＋m的图象上“3阶近轴 点”的坐标为（t，2t＋m）， 由题意，得 解得 ∵一次函数y＝2x＋m的图象上存在“3阶近轴点”，∴关于t的不等式组 有解，∴ ≤－3≤ 或－3＜ ＜ ＜3或 ≤3≤ ，解得3≤m≤9或－3＜m＜3或－9≤m≤－3， 即－9≤m≤9，∴实数m的取值范围为－9≤m≤9； （3）特别地，当点P在图形W上，且横坐标是纵坐标的k倍时，称点P是 图形W的“k阶完美点”，若二次函数y＝ax2－ax－2a＋2的图象上有且 只有一个“2阶完美点”，求实数a的取值范围. 解：设“2阶完美点”的坐标为（2c，c）， 由题意，得－2≤2c≤2， ∴“2阶完美点”在函数y＝ x（－2≤x≤2）的图 象上. ∵二次函数y＝ax2－ax－2a＋2的图象上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数y＝ax2－ax－2a＋2与函数y＝ x（－2≤x≤2）只有一个交点，令ax2－ax－2a＋2＝ x，整理得ax2－（a＋ ）x－2a＋2＝0， 设函数y1＝ax2－（a＋ ）x－2a＋2，则函数y1的图象与x轴的交点中， 有且只有一个交点横坐标满足－2≤x≤2，当x＝2时，y1＝4a－2（a＋ ）－2a＋2＝1＞0，若函数y1的图象与x轴有2个交点，则当x＝－2 时，有y1≤0，∴4a＋2（a＋ ）－2a＋2≤0， 解得a≤－ ；若函数y1的图象与x轴只有1个交点，则Δ＝ － 4a（－2a＋2）＝0， 整理得9a2－7a＋ ＝0， 解得a＝ 或a＝ ， 当a＝ 时，则y1的图象与x轴的交点的横坐标为 ＝4－ ， ∵－2＜4－ ＜2，∴a＝ 符合题意；当a＝ ，则y1的图 象与x轴的交点的横坐标为 ＝4＋ ＞2，不符合题意，舍去.综 上所述，实数a的取值范围为a≤－ 或a＝ . $