专题6.2 排列与组合（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦排列与组合核心知识点，系统梳理排列的定义、排列数公式、全排列与阶乘，以及组合的定义、组合数公式及性质，构建从基础概念到应用问题的学习支架，涵盖10类典型题型，形成递进式知识体系。 以“举一反三”为设计核心，通过例题与变式题组强化数学思维，如相邻问题用捆绑法培养转化能力，组合计数问题结合实际情境提升应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，深化对排列组合本质的理解。

专题6.2 排列与组合（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 有关排列数的计算与证明】 2 【题型2 排列数方程和不等式】 3 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 4 【题型4 相邻问题的排列问题】 4 【题型5 不相邻排列问题】 5 【题型6 有关组合数的计算与证明】 6 【题型7 组合数方程和不等式】 7 【题型8 组合计数问题】 8 【题型9 分组分配问题】 9 【题型10 排列、组合综合】 9 知识点1 排列与排列数 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*)，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；…；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 . 4．排列应用问题的分类与求解思路 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 【题型1 有关排列数的计算与证明】 【例1】（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·广东茂名·月考）计算： (1)； (2)； (3)若，求值. 【变式1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【题型2 排列数方程和不等式】 【例2】（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·新疆哈密·月考）已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【变式2-2】（24-25高二下·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 【变式2-3】（24-25高二下·江苏扬州·月考）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 【例3】（24-25高二下·内蒙古·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 【变式3-1】（24-25高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【变式3-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．8种 【变式3-3】（24-25高二下·四川眉山·期末）某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为（  ） A．9 B．18 C．21 D．24 【题型4 相邻问题的排列问题】 【例4】（24-25高二下·吉林·月考）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【变式4-1】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【变式4-2】（24-25高二下·江苏徐州·期末）某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【变式4-3】（24-25高二下·湖北黄冈·期末）某地下车库有8个连在一排的车位.现有6辆不同型号的车需要停放，若其中A，B，C，3辆车相邻停放，另3辆车也相邻停放，但这6辆车不停放在一起的不同停放种数为（    ） A．72 B．144 C．216 D．432 【题型5 不相邻排列问题】 【例5】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【变式5-1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【变式5-2】（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【变式5-3】（24-25高二下·陕西西安·期末）为了加强家校协作，华清中学4月召开了2024-2025学年度家长会，高二某班计划让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，会后合影留念，要求2名家长不相邻，3名优秀学生代表也不能相邻，则不同排法共有（   ） A．72 B．84 C．120 D．150 知识点2 组合与组合数 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 3．组合数的性质 (1)性质1： 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2： 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 4．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 【题型6 有关组合数的计算与证明】 【例6】（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【变式6-1】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【变式6-2】（24-25高二下·浙江台州·期中）计算：（用数字作答） (1)； (2)． 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课后作业）已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【题型7 组合数方程和不等式】 【例7】（24-25高二下·广西来宾·月考）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【变式7-1】（24-25高二下·云南保山·期中）已知，则（   ） A．2 B．6 C．2或5 D．2或6 【变式7-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）（1）已知，计算：； （2）解方程：． 【变式7-3】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）解下列方程或不等式： (1)； (2). 【题型8 组合计数问题】 【例8】（24-25高二下·广东广州·期末）在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 【变式8-1】（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式8-2】（2025高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 【变式8-3】（25-26高二上·北京·月考）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 【题型9 分组分配问题】 【例9】（25-26高三上·重庆·月考）某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（   ） A．300 种 B．90 种 C．240 种 D．150 种 【变式9-1】（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【变式9-2】（2025高二·全国·专题练习）将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 【变式9-3】（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 【题型10 排列、组合综合】 【例10】（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【变式10-1】（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 【变式10-2】（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【变式10-3】（24-25高二下·福建三明·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 排列与组合（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 有关排列数的计算与证明】 2 【题型2 排列数方程和不等式】 4 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 5 【题型4 相邻问题的排列问题】 7 【题型5 不相邻排列问题】 8 【题型6 有关组合数的计算与证明】 11 【题型7 组合数方程和不等式】 12 【题型8 组合计数问题】 14 【题型9 分组分配问题】 16 【题型10 排列、组合综合】 19 知识点1 排列与排列数 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*)，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；…；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 . 4．排列应用问题的分类与求解思路 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 【题型1 有关排列数的计算与证明】 【例1】（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【答案】D 【解题思路】根据排列数公式计算即可. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据排列数的计算公式进行判断. 【解答过程】中总共有个数连乘， 故． 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·广东茂名·月考）计算： (1)； (2)； (3)若，求值. 【答案】(1)5040 (2)5 (3)6 【解题思路】（1）（2）（3）根据排列数的计算公式即可求解. 【解答过程】（1） （2） （3）若，则 所以 解得或（舍），所以. 【变式1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【解答过程】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 【题型2 排列数方程和不等式】 【例2】（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用排列数公式展开化简，得，再结合即可. 【解答过程】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二下·新疆哈密·月考）已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【答案】D 【解题思路】根据排列数公式，化简计算，结合的取值范围，即可得答案. 【解答过程】由题意，，即， 化简可得，即，解得或 因为，所以，故 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二下·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 【答案】（1）64；（2）3或4 【解题思路】（1）利用排列数公式计算即可； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【解答过程】（1）. （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 【变式2-3】（24-25高二下·江苏扬州·月考）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【答案】(1) (2)6 【解题思路】（1）根据排列数公式计算，可得答案； （2）根据排列数公式化简可得一元二次方程，结合排列数性质，即可求得答案. 【解答过程】（1）； （2）由，得， 即，即， 解得或， 又因为且，故， 故的解为. 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 【例3】（24-25高二下·内蒙古·期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有（   ） A．20 B．30 C．36 D．48 【答案】A 【解题思路】由题意甲、乙站在丙、丁之间，先排丙、丁，再将甲、乙排在丙、丁之间，再排戊以及分步乘法计算原理即可得出. 【解答过程】由题意先将丙、丁排列有种站法， 再将甲、乙排在丙、丁之间有种站法， 最后在排好的4人所形成的5个空挡中选一个站戊， 有种站法， 根据分步乘法计数原理， 得共有种不同的站法. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【解题思路】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，即可求解. 【解答过程】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，这样的数有个， 若五位数的个位不为零，而个位仅有2，4两种选择，万位有3种选择，这样的数有， 所以五位的偶数有. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．8种 【答案】B 【解题思路】由分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有种排法， 其次选一人在乙丙中间有种排法， 然后乙丙中间排序有种排法， 最后另一人选在排头排尾有种排法， 共种排法. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高二下·四川眉山·期末）某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为（  ） A．9 B．18 C．21 D．24 【答案】A 【解题思路】因为拔河排在最后一场，先排第一场，再排剩余三场，再根据对称性即可得结果. 【解答过程】因为拔河排在最后一场，且多人多足不排在第一场， 先排第一场，有种，再排剩余三场，有种， 共有种， 又因为踢毽在跳绳的前面，根据对称性可知不同的安排方案种数为. 故选：A. 【题型4 相邻问题的排列问题】 【例4】（24-25高二下·吉林·月考）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（   ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【答案】C 【解题思路】分乙在甲、丙之间，乙不在甲、丙之间两种情况讨论即可. 【解答过程】根据题意，可分成两类情况： 第一类：乙在甲、丙之间，有种； 第二类：乙不在甲、丙之间，有种； 由分类加法计数原理，共有种方案. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【解题思路】应用捆绑法及特殊位置优先处理计算求解 【解答过程】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演， 若甲和乙相邻，则有种排法，且甲和乙都不站在两端丙、丁、戊、己4名同学选2人在两端有种排法， 所以不同的排列方式有种排法. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高二下·江苏徐州·期末）某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】A 【解题思路】利用捆绑法即可求解. 【解答过程】利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有种. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高二下·湖北黄冈·期末）某地下车库有8个连在一排的车位.现有6辆不同型号的车需要停放，若其中A，B，C，3辆车相邻停放，另3辆车也相邻停放，但这6辆车不停放在一起的不同停放种数为（    ） A．72 B．144 C．216 D．432 【答案】C 【解题思路】采用分步乘法计数原理结合捆绑法插空法计算即可. 【解答过程】第一步：先排A，B，C，3辆车共有种排法， 第二步：再排另3辆车共有种排法， 第三步：还剩两个空车位，把两个捆绑体插入两个空车位产生的3个空中共有种排法， 由分步乘法计数原理可知这6辆车不同停放种数共有：种排法. 故选：C. 【题型5 不相邻排列问题】 【例5】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【解题思路】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【解答过程】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】C 【解题思路】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，即可求得答案. 【解答过程】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻， 此时共有种排列方式； 然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列， 在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入， 此时共有种排列方式； 故符合题意的不同排列方式共有（种）， 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【解题思路】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【解答过程】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 【变式5-3】（24-25高二下·陕西西安·期末）为了加强家校协作，华清中学4月召开了2024-2025学年度家长会，高二某班计划让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，会后合影留念，要求2名家长不相邻，3名优秀学生代表也不能相邻，则不同排法共有（   ） A．72 B．84 C．120 D．150 【答案】C 【解题思路】由计数原理结合排列组合知识即可求解. 【解答过程】当班干部是第一个发言的时候，满足题意的排法有， 当班干部是第二个发言的时候，满足题意的排法有， 当班干部是第三个发言的时候，满足题意的排法有， 根据对称性可知，让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，满足题意的发言顺序有. 故选：C. 知识点2 组合与组合数 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 3．组合数的性质 (1)性质1： 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2： 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 4．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 【题型6 有关组合数的计算与证明】 【例6】（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【解题思路】利用排列数和组合数公式计算即可． 【解答过程】， ，， 因此. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二下·广东深圳·期中）若，则（    ） A．28 B．56 C．112 D．120 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解. 【解答过程】由，得，解得， 所以 . 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二下·浙江台州·期中）计算：（用数字作答） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用排列数，组合数和阶乘的定义计算即可； （2）利用组合数的定义直接计算或者是利用组合数的性质计算即可. 【解答过程】（1）原式. （2）法一（直接计算）：原式 法二（组合数的性质）：原式 . 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课后作业）已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】代入阶乘公式，化简证明. 【解答过程】（1）根据组合数公式，可以得到． （2）根据组合数公式，可以得到 ． 【题型7 组合数方程和不等式】 【例7】（24-25高二下·广西来宾·月考）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【答案】B 【解题思路】根据组合数性质列出关于x的方程和不等式组求出，再根据组合数定义即可求解. 【解答过程】由，得或，且， 解得或， 当时，， 当时，. 故选：B． 【变式7-1】（24-25高二下·云南保山·期中）已知，则（   ） A．2 B．6 C．2或5 D．2或6 【答案】D 【解题思路】由，利用组合公式,列方程进行求解. 【解答过程】由，可得或，解得或. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）（1）已知，计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）126；（2）． 【解题思路】（1）根据给定条件，利用组合数的性质求出并计算得解. （2）利用组合计算公式、排列数公式求解即得. 【解答过程】（1）因为，则，解得，经验证符合题意， 所以 . （2）由，得， 即，而由，知，解得， 所以原方程的解为. 【变式7-3】（24-25高二下·安徽芜湖·期中）解下列方程或不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用组合数的性质，得到，求得或，结合，即可求得的值. （2）由不等式，求得，结合且，即可得到答案. 【解答过程】（1）解：由组合数的性质，可得，且， 即，则， 整理得，解得或， 又因为，即，所以. （2）解：由不等式， 可得， 化简得，解得， 又因为且，所以， 所以原不等式的解集是. 【题型8 组合计数问题】 【例8】（24-25高二下·广东广州·期末）在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是（    ） A．56 B．64 C．72 D．120 【答案】B 【解题思路】利用分类计数原理和分步计数原理结合组合列式计算即可. 【解答过程】根据题意，抽出的3件产品中至少有1件是次品包含1件次品、2件正品和2件次品、1件正品两个事件， 当抽取的为1件次品、2件正品时，抽法有种， 当抽取的为2件次品、1件正品时，抽法有种， 所以抽出的3件产品中至少有1件是次品共有种. 故选：B. 【变式8-1】（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解题思路】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【解答过程】如下图，共有个点任选个有种， 每个侧面的个点都共面，任选个有种，共个面，则有种共面情况， 如、、分别构成一个平面，有种， 如、、、、、分别构成一个平面，有种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：D. 【变式8-2】（2025高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 【答案】(1)144 (2)162 【解题思路】（1）结合排列数和组合数的应用，利用分步乘法原理求解即可； （2）结合排列数和组合数的应用，利用分类加法原理求解即可. 【解答过程】（1）第一步，从1．3．5这3个奇数中选择1个放在个位，有种； 第二步，从余下的除0外的4个数中选择1个放在千位上，有种； 第三步，从剩下的4个数中选择2个放在百位和土位，有种． 由分步乘法计数原理可得，共有个满足条件的四位数． （2）第一类，在千位和百位不变的情况下，十位可以是4或者5，共有6个； 第二类，在千位不变的情况下，需要百位大于1，则从2，4，5这3个数中任选1个，有种， 再从剩下的4个数中任选2个放在十位和个位，有种，故共有个； 第三类，千位是4或5，有种，再从余下的5个数中选出3个放在百位、十位和个位上，有种，则共有个． 由分类加法计数原理可得，满足条件的四位数有个． 【变式8-3】（25-26高二上·北京·月考）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用组合进行计数，可求结果； （2）先计算出选出的三人都是男生、都是女生的选法数，然后利用选法总数减去都是男生、都是女生的选法数可求结果； （3）根据分步乘法计数原理，结合组合数和排列数的计算，可求解出结果. 【解答过程】（1）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动， 其方法数为种； （2）若选的三人都是男生，有种选法， 若选的三人都是女生，有种选法， 所以既有男生又有女生的选法有种； （3）根据题意，分步进行分析： ①从名男志愿者和名女志愿者中选出男女，选择方法数共有种， ②安排选出的人分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，有种情况， 故不同选派方法数为种． 【题型9 分组分配问题】 【例9】（25-26高三上·重庆·月考）某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（   ） A．300 种 B．90 种 C．240 种 D．150 种 【答案】D 【解题思路】利用先分组后分配原则来进行求解即可. 【解答过程】先将5名学生分成三组的分法有：（种） 再将这三组学生分配到三个地段共有：（种） 所以利用分步乘法原理，可知每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（种） 故选：D. 【变式9-1】（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D 【解题思路】先将论文分成3组，再分配给专家. 【解答过程】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D. 【变式9-2】（2025高二·全国·专题练习）将6个不同的球分别按如下方式来分，写出不同分法的种数． (1)平均分成3堆，每堆2个； (2)分给甲、乙、丙3人，每人2个； (3)分成3堆，每堆个数分别为1个、2个、3个： (4)分给甲1个、乙2个、丙3个； (5)分给3人，3人分别得到1个、2个、3个． 【答案】(1)15 (2)90 (3)60 (4)60 (5)360 【解题思路】（1）利用平均分组法求解即可； （2）利用平均分组分配求解即可； （3）利用不平均分组法求解即可； （4）利用不平均分组分配求解即可； （5）利用不平均分组，结合排列数公式求解即可； 【解答过程】（1）本题是平均分组无归属问题，则共有种分法． （2）本题是平均分组有归属问题，则共有种分法． （3）本题是不平均分组问题，则共有种分法． （4）本题是不平均分组有归属且归属确定问题，将球按照分成3堆， 甲、乙、丙3人来拿，只有1种拿法，则共有种分法． （5）本题是不平均分组目归属不确定问题，先将球按照分成3堆， 有种分法，再分给3人，有种分法， 因此共有种分法. 【变式9-3】（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）分恰有1名教师和恰有2名教师两种情况讨论，利用组合数公式计算可得； （2）从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行平均分配，其中两名教师有两种分配方法； （3）分高一高二各选1、、名学生三种情况讨论，先选人，再平均分配到社区. 【解答过程】（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有种选法． 选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有种选法． 所以志愿者中有教师的选调方法为：种． （2）若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用， 再从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行分配，共有种分配方法． （3）选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有分配时有三种情况： 当高一高二各选1名学生时，种分配方法； 当高一高二各选2名学生时，种分配方法； 当高一高二各选3名学生时，种分配方法； 则共有种分配方法. 【题型10 排列、组合综合】 【例10】（24-25高二下·海南三亚·月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【答案】B 【解题思路】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【解答过程】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 【变式10-1】（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 【答案】C 【解题思路】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【解答过程】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故选：C. 【变式10-2】（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解答过程】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 【变式10-3】（24-25高二下·福建三明·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】(1)504 (2)360 (3)1140种 【解题思路】（1）利用间接法计算可得； （2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【解答过程】（1）依题得，共有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①当只任教1科时：先排任教科目，有种； 再从剩下5科中排的任教科目，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当只任教1科时，共有种； ②当任教2科时：先选任教的2科有种， 这样6科分为4组共有种， 所以当任教2科时，共有种， 综上课程安排方案有1140种. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $