28.2.2　应用举例 第1课时 课件 2025--2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“仰角、俯角问题”，核心内容为仰角俯角概念及利用解直角三角形解决实际问题。通过“工程师计算距离”情境导入，衔接圆的切线性质旧知，过渡到仰角俯角新知，搭建从已有知识到实际应用的学习支架。 其亮点是以任务驱动（如工程师角色）和变式演练（匾额高度、飞机测山高）为主线，通过抽象能力（将实物图转化为几何图形）和模型意识（构建直角三角形模型）培养数学眼光与思维。采用分层作业与方法归纳，助力学生提升应用能力，为教师提供系统案例与分层教学资源。

28.2　解直角三角形及其应用 单击此处编辑母版文本样式 28.2.2　应用举例 第1课时　仰角、俯角问题 单击此处编辑母版文本样式 1.知道仰角、俯角的概念. 2.会根据切线的性质及仰角、俯角的概念结合直角三角形的知识解决实际问题. ◎重点:应用解直角三角形的知识解决实际问题. ◎难点:将实际问题抽象为数学问题. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 多媒体出示课本“例3”及图片,教师引入:今天请你来做一次工程师,计算一下最远点与P点的距离. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 利用圆的有关知识解直角三角形     阅读课本“例3”,填空(阅读时注意思考最远点的位置及圆的切线的性质及扇形的弧长公式). 归纳总结　利用圆的　 　性质得到直角三角形,再结合　 　及　 　求地球上两点的距离.  切线 解直角三角形的知识 弧长公式 单击此处编辑母版文本样式 利用仰角、俯角解直角三角形     阅读课本“例4”,回答下列问题(阅读时注意思考:1.题目中的仰角、俯角分别是从哪儿往哪看;2.题目中的已知条件和所求的结论是什么;3.根据实物图抽象出几何图形). 单击此处编辑母版文本样式 如图,视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的是　 　,视线在水平线下方的是　 　.  仰角 俯角 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　利用仰角、俯角求解直角三角形时,要先找到仰角、俯角所在的直角三角形,再结合解直角三角形的知识求解. 单击此处编辑母版文本样式 利用仰角、俯角解直角三角形 1.如图,两建筑物的水平距离为a米,从A点测得D点的俯角为α,测得C点的俯角为β,则较低建筑物CD的高为( )   A.a 米　　　　　 B. 米 C.米 D.a(tan β-tan α)米 D 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 如图,在高度为10米的平台CD上测得一高层建筑物AB的顶端A的仰角为60°,底端B的俯角为30°,则高层建筑物的高AB=　 　米.  40 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　总结利用仰角、俯角求线段长度(物高或物长)的方法. 答:解法不唯一,如:先作出适当的直角三角形,再根据角度和已知线段的长度求解. 单击此处编辑母版文本样式 2.(抽象能力)如图1,我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额,图2中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图.已知BC=2米,∠MBC=37°.从水平地面点D处看点C,仰角∠ADC=45°,从点E处看点B,仰角∠AEB=53°.且DE=4.4米,求匾额悬挂的高度AB的长. (参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈ ) 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,过点C作CN⊥AB,CF⊥AD,垂足为N,F,   　　 单击此处编辑母版文本样式 在Rt△BCN中, CN=BC·sin∠MBC≈2×=1.2(米), BN=BC×cos 37°≈2×=1.6(米). 在Rt△ABE中, AE===AB×tan 37°≈0.75AB. 单击此处编辑母版文本样式 ∵∠ADC=45°, ∴CF=DF, ∴BN+AB=AD-AF, 即1.6+AB=0.75AB+4.4-1.2, 解得AB=6.4 米. 答:匾额悬挂的高度AB的长约为6.4米. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 如图,某飞机于空中探测某座山的高度,此时飞机的飞行高度AF=3.7千米,从飞机上观测山顶目标C的俯角是30°,飞机继续以相同的高度飞行3千米到B处,此时观测目标C的俯角是60°,求此山的高度CD.(精确到0.1千米;参考数据:≈1.414,≈1.732) 单击此处编辑母版文本样式 解:在Rt△ACE中,∠EAC=30°, 则∠ACE=60°,tan∠ACE=, ∴AE=CE·tan 60°=CE. 在Rt△BCE中,∠CBE=60°, 则∠BCE=30°,tan∠BCE=, ∴BE=CE·tan 30°= CE,AB=AE-BE,即CE-CE=3, 单击此处编辑母版文本样式 ∴CE=≈2.6(千米), ∴CD=AF-CE≈3.7-2.6=1.1(千米). 答:此山的高度CD约为1.1千米. 单击此处编辑母版文本样式 1身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝,他们放出的线长分别为300 m、250 m、200 m,线与地面所成的角度分别为30°、45°、60°(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.甲的最高 B.乙的最低 C.丙的最低 D.乙的最高 D 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2如图,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地面D处测得标志物的仰角为32°.若D到电线杆底部B的距离为a,则电线杆AB的长为 ( ) A.2a·cos 32° B.2a·tan 32° C. D. B 单击此处编辑母版文本样式 3如图,在高出海平面100米的悬崖顶A处,观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC=　 　米.  100 单击此处编辑母版文本样式 4在一个高为h的楼顶上,测得远处一建筑物顶端与底部的仰角与俯角分别为30°和60°,用h表示这个建筑物的高度是 ( ) A.h B.h C.h D.h B 单击此处编辑母版文本样式 5 九年级三班小亮同学学习了“仰角、俯角”的内容后,为了测得如图所示的放风筝的高度,他进行了如下操作: (1)在放风筝的点A处安置测倾器,测得风筝C的仰角∠CBD=60°. (2)根据手中剩余线的长度测出风筝线的长度为70米. 单击此处编辑母版文本样式 (3)量出测倾器的高度AB=1.5米.根据测量数据,问风筝的高度CE约为多少米?(精确到0.1米,≈1.73) 单击此处编辑母版文本样式 解:在Rt△BC中,CD=CB×sin60°=70×=35≈60.55(米), 由题意可知四边形ABDE是矩形, 则AB=DE=1.5(米), 所以CE≈60.55+1.5≈62.1(米). 答:风筝的高度约为62.1米. 单击此处编辑母版文本样式 6随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:如图,无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为120 m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E处的俯角为30°,沿水平方向由点O飞行48 单击此处编辑母版文本样式 m到达点F,测得点E处俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长.(结果精确到1 m;参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,≈1.73) 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,延长AB,CD分别与直线OF交于点G和点H, 则AG=120 m,GH=AC,∠AGO=∠EHO=90°, 在Rt△AGO中,∠AOG=70°, ∴OG=≈44(m). 单击此处编辑母版文本样式 ∵∠HFE是△OFE的一个外角, ∴∠OEF=∠HFE-∠FOE=30°, ∴∠FOE=∠OEF=30°, ∴OF=EF=48 m, 在Rt△EFH中,∠HFE=60°, ∴FH=EF·cos 60°=48×=24(m), 单击此处编辑母版文本样式 ∴AC=GH=OG+OF+FH=44+48+24=116(m), ∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为116 m. 单击此处编辑母版文本样式 7如图,建筑物BC上有一根旗杆AB,小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量旗杆顶端A距地面的高度AC,制订测量方案并实地测量如下:在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED,小明沿直线CD后退,发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上,继续沿直线CD后退,发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上.利用皮尺和测角仪测得CD=18米,FG=4米,∠AFC=30°,∠BGC=22°. 单击此处编辑母版文本样式 (1)根据以上信息,请求出此建筑物上旗杆顶端A距地面的高度AC.(计算结果取整数;参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40,≈1.7) (2)资料显示,此建筑物上旗杆顶端A距地面的高度为14.88米,则计算结果的误差为多少?导致产生误差的原因可能是什么?(写出一条即可) 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)由题意可知CD=18米,FG=4米,∠AFC=30°,∠BGC=22°, 设DE=x米, 在Rt△EDF中,tan 30°=, ∴FD=x米,DG=FD+FG=(x+4)米, 在Rt△DEG中, tan 22°==,解得x≈5米, ∴DF=5≈9,∴CF=CD+DF=18+9=27米, 单击此处编辑母版文本样式 在Rt△AFC中, tan 30°==,∴AC=×27≈15米. 答:AC的高度为15米. (2)误差为15-14.88=0.12米, 由于锐角三角函数的值取了近似值,故在运算中产生了误差. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 37 $