专题13 椭圆和双曲线中离心率及其范围常见解题策略（热点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题13 椭圆和双曲线中离心率及其范围常见解题策略 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：圆锥曲线的离心率是近3年的高考命题热点，常以选填为主，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是双曲线求离心率的值及范围问题． 预测2026年：圆锥曲线的离心率仍会考一道中档选填试题，重点考察椭圆或者双曲线的离心率 热点题型： 题型01 爪型图邻角互补余弦定理和为0模型或用两次余弦定理 题型02 中位线，角平分线相关离心率问题 题型03 圆锥曲线中有心四边形与离心率 题型04 利用定义、几何性质求离心率的值 题型05 内切圆外接圆与离心率问题 题型06 构造齐次方程求离心率 题型07 中点弦公式秒杀离心率 题型01 爪型图邻角互补余弦定理和为0模型或用两次余弦定理 解｜题｜策｜略 在圆锥曲线中看到如右图所示爪形图形，我们要想到利用，或者在大三角形和小三角形中分别用余弦定理，构造方程，解决问题 【精选例题】 【例1】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则， 因，即，整理得，故. 【例2】已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，点M满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由椭圆定义可知，由，故，，点满足，即，则，又，，即，又，故，则，即，即平分，又，故，则，则，，，由，故，即，即，即，故.故选：B. 【例3】已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意得，，令，则∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故选：A. 【例4】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】设，所以，又因为成等差数列，所以，所以，所以，因为，解得，所以，因为，所以，所以，所以，化简可得，所以，故选：A. 【例5】已知分别是椭圆的中心、右焦点和上顶点，直线与椭圆交于另一点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】设，则，设椭圆左焦点为，连接，，如图，则，在中，，，由余弦定理的推论，得．在中，由余弦定理的推论，得，因为，所以，故，整理，得（可将四个选项中的数值依次代入，只有符合此方程），即，解得．故选：A． 【跟踪训练】 1.已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】如图所示：由题意得，又，则，因为，，则，，故，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，化简得，即，解得.故选：A. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】设，则，由椭圆的定义得，，由得，即，整理得，解得或（舍去），∴，故点在轴上.如图，在直角中，，在中，，化简得，∴椭圆的离心率.故选：C. 3.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l经过，且与C交于两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上．设，则，，．在中，，得，则，.在中，，即，得．所以双曲线C的离心率为.故选：D. 4.已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由题意可得，因为，所以，，因为为椭圆的上顶点，所以，则，在中，，在中，，即，所以.故选：C. 5.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l过点且与双曲线C交于A，B两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A【详解】令，则由得，，由双曲线的定义知，，又，得，得，所以，，，，又，所以，即，得，故.故选：A. 题型02 中位线，角平分线相关离心率问题 解｜题｜策｜略 看到两个边的中点，要想到中位线性质，看到角平分线，要想到角平分线定理 【精选例题】 【例1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ． 【答案】2 【详解】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为 【例2】过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接 ，因为切圆于，则，有 ，因为，则有，，而为的中点，于是，即，，在中，，整理得， 所以双曲线E的离心率. 【例3】（多选题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC【详解】情况一  M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，， ，设，由即，则，，，，选A 情况二：若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，， ，设，由，即，则，，，所以，即，所以双曲线的离心率选C 【例4】已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于角平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】设关于角平分线的对称点为，则三点共线，设，则，又，所以为等边三角形，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以．故选：B. 【跟踪训练】 1.若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点与右支上一点，作直线交“伴随圆”于，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】设双曲线的右焦点为，连接，过作于，则，因为，，所以，因为，所以，即为线段的中点，因为为的中点，所以，所以，，设，则，，，所以，在中，由勾股定理可得，即，解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.故选：C. 2.已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】设的左焦点为，连接，过作于易知，所以为的中位线，又图中双曲线的渐近线方程为，则，，则为线段的中点，所以为等腰三角形，即，又，即，，即，，解得.故选：B. 3.已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由题意可知：，可得，取的中点，连接，可知，因为，可得，则，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，所以双曲线C的离心率为.故选：B. 4.设双曲线的左焦点为，过点作圆的切线，切点为，直线与的右支交于点，为线段的中点，为坐标原点，，则的离心率为 . 【答案】【详解】如图，设的右焦点为，连接，则，且为直角三角形，，则.由中位线的性质可得，∴.由双曲线定义可得，∴，∴，即.在中，，即，则，所以.故答案为： 5.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______. 【答案】 【详解】解：如图所示：延长，交于点Q，∵PA是的外角平分线，，，又O是的中点，，且.又， ，，∴离心率为. 题型03 圆锥曲线中有心四边形与离心率 解｜题｜策｜略 考到过椭圆或者双曲线中心的直线，要想到它与椭圆的交点与两个焦点构成的四边形为平行四边形 【精选例题】 【例1】设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在椭圆C上（点M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，∴四边形是矩形，其中，，设，则，根据勾股定理，，，整理得，由于点M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得或舍去.故选：B． 【例2】如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，设，则，，，在中，，解得或m＝0（舍去），从而有，中，，整理得，，所以双曲线E的离心率为．故选：B 【例3】设椭圆的左右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由题意，可设，根据椭圆对称性，有，，所以，而，则，故，所以，即，由为平行四边形，则，又，所以.故选：B 【例4】已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是 . 【答案】【详解】设椭圆的左焦点为，连接，因为点平分，所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形，设，则，在直角中，，所以，整理可得，所以，在直角中，，所以，所以，所以.故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】【详解】设，则由题意可得，，，所以，在中，，因为，所以，解得，所以，，因为，所以，所以，解得，所以离心率.故答案为： 2.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为S，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【详解】由题意可得，，解得，又为直径，所以四边形为矩形，所以，又，所以，即，由，得，即，所以，即．故选：C． 3.已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】设椭圆右焦点为，连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，因为，可得，所以，则，.由余弦定理可得，即，即 故椭圆离心率故选：C. 4.如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积为_____. 【详解】连接，根据椭圆的对称性可知：点是的中点，所以，四边形为平行四边形，若，所以，因为，所以，所以是等边三角形，所以，，，所以，四边形为矩形，所以，在直角三角形中，，所以，，在椭圆中，，可得，在双曲线中，，可得所以离心率之积，故答案为：. 题型04 利用定义、几何性质求离心率的值 解｜题｜策｜略 看到椭圆或者双曲线上一点到两焦点的距离，要想到定义优先原则 【精选例题】 【例1】已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的离心率为______________. 【解答】解：设，由双曲线定义得：，，所以， 作，△中，，可得， △中，勾股定理得： ①， △中，勾股定理得：，可得②， 由①②可得，整理可得，即 【例2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A【详解】设，则，，由双曲线定义得，在中，由余弦定理得，解得，因此，令双曲线的半焦距为c，在中，由余弦定理得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：A 【跟踪训练】 1.设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B【详解】解：如图，设与的交点为，，因为，所以，所以，由双曲线的定义可知：，，因为，所以，所以，，所以，，所以，在中，，所以 ，由余弦定理有：，代入，，，整理得，解得，（舍），所以，,，，所以，在中，由余弦定理有：，代入数据整理得：，所以，双曲线的离心率为：.故选：B 2.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】，，又，，解得：，，在中，由余弦定理得：，解得：，即，， 双曲线的离心率. 3.已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 . 【答案】【详解】由题知，过作轴于，则 ，， ，解得， 题型05 内切圆外接圆与离心率问题 解｜题｜策｜略 看到内切圆一般可以利用，或者利用过圆外一点引切线，切线长相等解决 【精选例题】 【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，直线交于另一点，△的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，设的内切圆与，分别相切于点，如图所示，则，，所以，所以的周长为，由椭圆的定义，得，所以，则离心率，故选：B． 【例2】已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】如图，由椭圆定义可知，且，又，利用余弦定理可知： ，化简可得，所以的面积为，设的外接圆半径为，内切圆半径为，由正弦定理可得，可得，易知的周长为，利用等面积法可知，解得，又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以，即可得，所以，离心率.故选： 【跟踪训练】 1.设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与C的右支交于M，N两点，记与的内切圆半径分别为.若，则C的离心率为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D【详解】设，，其中，设与的内心的横坐标分别为，过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，则、、，又，且，则，，于是，同理，因此点、在直线上，又平分，平分，，则，，而，， 则，即，解得，所以双曲线的离心率.故选：D 2.已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点在上，是等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A【详解】不妨设点在第一象限，如下图所示：由图可知，，且，因为为等腰三角形，则，设的外接圆半径为，则，可得，由正弦定理可得，则，即，易知，为锐角，则，所以，，，所以，直线的方程为，直线的方程为，联立，解得，即点，将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得，因此，双曲线的离心率为.故选：A. 3.数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为 ． 【答案】/【详解】令两个球分别与截面相切于点，在截口曲线上任取一点，过点作圆锥的母线，分别与两个球相切于，均为球的切线，则，同理，因此，由切点的产生方式知，长为定值，于是截口曲线上任意点到定点的距离和为定值，该曲线是以点为焦点的椭圆，作出几何体的轴截面，如图，设，依题意，，则，椭圆的长轴长，半焦距为c，则，因此，所以离心率.故答案为： 题型06 构造齐次方程求离心率 解｜题｜策｜略 利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解 【精选例题】 【例1】双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D．2 【解答】解：因为点在双曲线上，且轴，所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得， 则，，所以，所以，所以，所以，所以，所以（舍去），或 【例2】已知双曲线的两条渐近线分别为，点，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解答】设于H，作PH⊥x轴于H，易知如右图，易知∠POH=∠GOQ，则∠1=∠2 而，，则，故 ，即同除a²可得，解得 【跟踪训练】 1.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设椭圆方程为，焦点，离心率为e，将代入可得，所以,又是等腰直角三角形，所以，所以即，所以，解得（负值舍去）. 2.椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为，由椭圆定义知，又，所以，再由椭圆定义，因为，所以，所以由余弦定理可得，即 ，化简可得，即，解得或（舍去）.故选：D 题型07 中点弦公式秒杀离心率 解｜题｜策｜略 椭圆中，若为弦的中点，则，双曲线中，若为弦的中点，则 【精选例题】 【例1】在平面直角坐标系中，过点的直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，若线段的中点是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】  直线的斜率不存在时，应该在轴上，不符合题意，直线的斜率为0时，两点重合，不符合题意，所以直线的斜率存在且不为0，设直线，双曲线的两条渐近线方程分别为，联立解得，不妨令，联立，解得，则，因为线段的中点为，所以，即，②式两边分别平方得③，将①代入③并化简可得，所以离心率.故选：D． 【例2】椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由题可得，设，，则，又，则，，则，．故选：B 【例3】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”.若黄金双曲线：（）的左右两顶点分别为，，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【答案】ACD【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为，则较小部分为，由题黄金分割比为，且，所以离心率，故A正确；对于B，设，，则点，，，两式作差得，，故B错误；对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率，所以，所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确：对于D，，，若成立，则有，而，则，解得（负值舍去），满足题意，故D正确.故选：ACD 【跟踪训练】 1.点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 . 【答案】【详解】由题意得，.设，则，，∴，由得，，∴，即，∴离心率.故答案为：. 2.椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上第一象限内，记，存在圆经过点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】/【详解】显然直线斜率都存在，且，由，得，则，而，于是，设，则，因此，解得，所以椭圆的离心率为.故答案为： （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义及焦点三角形为直角三角形求解即可. 【详解】设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 2．已知椭圆的左焦点，O为坐标原点，已知在椭圆上点P的纵坐标不等于0，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设条件及，可知平行于轴，且点的横坐标为，又 知点在角平分线上.，由此推出三角形是等腰三角形，通过椭圆的第二定义求e 【详解】如图： ∵椭圆 的左焦点F ，O为坐标原点，点在椭圆上，点在椭圆的右准线上，， ∴平行于轴，且点的横坐标为，点的横坐标为， 又知点在角平分线上，如图是等腰三角形，所以由椭圆的第二定义可知，解得． 故选：C． 3．(25-26高三上·安徽六安第一中学·月考)如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，由椭圆的定义分别表示出，，，再在和中，由勾股定理得到关系可得. 【详解】    连接，设，则，，， 因为，所以在中，由勾股定理得， 即，① 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 将代入①式得，整理得， 所以离心率.      故选：D 4．数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别往点处切线上作垂线，垂足分别为，设，求出，，，即可得出，再在中利用余弦定理即可求出，最后根据离心率公式求出. 【详解】如图，过点分别往点处切线上作垂线，垂足分别为， 是的平分线，则，设，则. 根据椭圆的光学性质，点处切线与直线，所成的角均为， 所以，. 因为为的中点，所以由梯形中位线性质得， ， 得，故，. 又，    在中由余弦定理，得 ， 即，即，故， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 5．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据椭圆与双曲线的定义可得，从而可得，于是可得的取值范围. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，则，    由椭圆与双曲线的定义得，可得， 因为，所以，即， 则，故，且，则 所以， 由于函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 故选：D. 6．，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用可得、的不等关系，可得离心率. 【详解】由题，不妨取点为右支上的点，设， 根据双曲线的定义知：， 在三角形中，由余弦定理可得：， 又因为 可得，即， 又因为， 所以 即，. 故选：B. 7．已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的平方关系得出，然后利用双曲线定义列式计算即可. 【详解】因，且， 可得， 在直角中，因为， 所以， 显然，故由双曲线的定义，可得， 即，即，则双曲线的离心率为． 故选：A 8．双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设，代入双曲线方程得到，根据四边形是正方形，得到，从而得到，再转化为齐次式求离心率的取值范围即可. 【详解】设，在第一象限， 由题知：，解得：， 由双曲线的对称性可知，正方形的中心为原点，且其顶点关于坐标轴对称， 所以， 所以，解得. 又因为，所以，解得， 所以. 即双曲线离心率的取值范围是， 故选：C 9．(25-26高三上·江苏泗阳中学·期末)已知双曲线的焦点为，，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据圆中切线的性质结合已知条件可得，由轴，，求出，然后在中，可得，可得，进而求解即可. 【详解】由圆，则圆心为，半径， 如图，设直线与圆A相切于点B，连接， 又，则， 易知≌，所以， 则， 又轴，，设，则， 又，解得，即， 所以在中，， 则，即，解得（舍去）或， 所以. 故选：D 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，过作直线的垂线，与的右支交于点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合三角形面积求出点坐标，再由点在双曲线上建立方程求出离心率. 【详解】设，显然点在第一象限， 由的面积为，得，解得， 由直线，得直线方程为，则， 又，则，整理得，， 所以双曲线的离心率为.    故选：A 11．已知双曲线的右焦点为，半焦距为．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C．2或 D． 【答案】C 【分析】 利用点到直线距离可求出，再根据的面积为列出相应等式，即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线为，这里不妨取，即， 点到直线的距离， 在中， 所以，则， 又因，所以， 化简可得，等式两边同时除以，可得， 即，解得或， 因，所以或，结合选项可得C正确. 故选：C. 12．(25-26高三上·江苏徐州第一中学、徐州第三中学等五校·)已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线交双曲线左右两支于两点，的内切圆的圆心为，若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内切圆的性质，可由面积比得到边长比，设出边长，利用双曲线的概念，结合余弦定理，可得答案. 【详解】 因为，所以， 设，则， 由定义可知：， ， 即，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，， 解得：， 故选：C. 13．已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用角平分线性质及双曲线定义，结合余弦定理建立方程求出离心率. 【详解】由的角平分线交轴于点，得， 而，则，， 在中，，由余弦定理得， 整理得，即，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 二、多选题 14．对于双曲线，左、右焦点为、，左、右顶点为、，以为直径的圆与的一条渐近线交于、，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】设双曲线的一条渐近线为，求出点，点，可得，，进而求得，可判断A；在中利用三角函数，可判断B；根据求出，可判断C；根据求出，再利用面积公式，可判断D. 【详解】设双曲线的一条渐近线，又， 设点， 则，解得， 则点，根据对称性可得点， 又，，则，， 则，，故A正确； 在中，，故，即，故B错误； 因为，则，则，故C正确； 当时，，，故D正确. 故选：ACD． 15．(25-26高三上·江西赣州部分学校·调研)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．当点P异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D．为定值 【答案】AC 【分析】对于A，由圆与渐近线相切，可知圆心到渐近线距离等于半径，联立方程求和，对于B，由A得和，根据双曲线中和离心率公式求解；对于C，设的内切圆与轴，，分别相切于点，N，Q，利用圆的切线性质得，进而可得，即可判断圆心位置；对于D，设，通过点到渐近线的距离表示，，可得，再利用点在双曲线上联立方程求解. 【详解】如图所示：    对于A:双曲线的渐近线方程是， 圆的圆心是，半径是1， 则，（，舍去）， 由，，可得双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于B：由，则离心率，故B错误； 对于C：设的内切圆与轴，，分别相切于点，N，Q， 由圆的切线性质知， 即，所以， 因此内心在直线，即直线上，故C正确； 对于D：设，则，即， 又渐近线方程是，则，， ，则，故D错误. 故选：AC. 16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为1 B．若，，则 C．若，则的最小值为25 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆与双曲线有相同的焦点，结合椭圆及双曲线定义，用表示出和. 根据选项给出的已知条件，结合勾股定理逆定理、余弦定理及基本不等式、三角函数的知识逐项分析即可. 【详解】由题意知，. 设，（）， 由椭圆定义：，由双曲线定义：， 所以，. 选项A：若，则，即，. 又， 所以为直角三角形，且. 所以，故A正确. 选项B：若，，则，， 所以，B错误. 选项C：在中，由余弦定理得， 即， 整理得，则. 所以 ，当且仅当即时，等号成立，故C正确. 选项D：同理可得，，即. 设，，则. 又，所以，故D正确. 故选：ACD. 17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点P，M，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线C的离心率为 B．当时，曲线C的离心率为 C．当时，曲线C的离心率为4 D．当时，曲线C的离心率为 【答案】ABD 【分析】求出双曲线渐近线方程，由已知求出点的坐标，再结合双曲线定义，逐项列式求出离心率并判断得解. 【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为， 以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点，得， 设，由，解得， 对于A，，又，则， 由勾股定理得，即，曲线C的离心率为，A正确； 对于B，，不妨令，则， 即，整理得，曲线C的离心率为，B正确； 对于C，，则， 解得，曲线C的离心率为，C错误； 对于D，，而， 解得，又，即，曲线C的离心率为，D正确. 故选：ABD 18．已知双曲线：（，）的两个焦点分别为，（），直线：与双曲线的右支交于，两点，且，则（   ） A．当时，双曲线的离心率为 B．当时，与的面积之比为5∶1 C．当时，双曲线的离心率为 D．当时，与的周长之比为5∶3 【答案】ACD 【分析】选项A和C，假设，则，在中，根据双曲线定义和余弦定理可得关系，再根据和求解； 选项B，利用和等高，即高为到直线的距离，结合面积公式求解； 选项D，利用，求得，再利用焦三角形性质分别求和周长. 【详解】由题意可知直线过双曲线的右焦点，如图所示：    不妨设点位于第一象限，则，， 设，则. 由双曲线的定义可知，. 在中，由余弦定理可得， 即， 即①. 在中，同理可得②. 当时，由①可得③， 联立②③，得，则，A正确. 设点到直线的距离为， 则，B错误； 当时，由①可得④， 联立②④，得，则，C正确； 将代入④，得， 则的周长为， 的周长为， 则与的周长之比为，D正确； 故选：ACD. 19．(25-26高三上·广西部分校·)设O为坐标原点，，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上的一点，且，若的内切圆半径为a，设内切圆圆心，则（    ） A． B．为直角三角形 C．的面积为ac D．C的离心率为 【答案】BD 【分析】利用三角形内切圆的性质及切线长定理结合双曲线定义与性质可判定A、C、D，根据平面向量数量积可判定B． 【详解】如图，设点P在第一象限，设的内切圆与三边相切于点D，E，F，则，，， 由双曲线的定义得，设，所以，所以，若点P在第二象限，同理可得，A错误； 设的中点为M，由，知． 因为，，所以为直角三角形，B正确； 在中，，C错误； 在中，，， 在中，，，知， 由，得，D正确． 故选：BD. 三、填空题 20．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/2.5 【分析】由椭圆及双曲线的定义可得，，设，从而可得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦的定义可得，从而得，求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义知，①，， 由双曲线的定义知，②， 由①②解得，， 设， 因为点与右焦点的连线交轴于点， 且平分， 所以， 在中，由余弦定理知， ③， 设， 则， 由角平分线定理知，， 即， 解得， 在中，④， 由③④得，， 解得或（舍）， 所以双曲线的离心率为． 故答案为： 21．双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据“ 与的周长之和”、“ 与的内切圆面积相等”、“”等列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】记与的周长分别为与， 设与的内切圆半径为， 则， 根据，则，则， 又与的周长之和为， 所以． 因为， 又，所以可得．又， 所以． 由，即，化简得， 所以离心率． 故答案为：2 22．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，若，，双曲线的离心率为 【答案】 【分析】根据双曲线定义和余弦定理进行求解. 【详解】解：由双曲线的定义知，， ， 在中，由余弦定理知，，， 化简得，离心率． 故答案为： 23．(25-26高三上·云南多校联考·月考)已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率 . 【答案】3 【分析】先求出抛物线方程为，设点的坐标为，求出，及，在中，，即可求解． 【详解】如图所示： 抛物线的焦点为，准线为， 则，得，得抛物线方程为， 设抛物线与双曲线在第一象限交于点的坐标为， 过点作准线，交准线于点，则， 由，得，得， 再由及，解得， 由，得， 在中，， 整理得，得， 即，得. 故答案为：3 24．已知，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线上的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，设出点的坐标，利用斜率坐标公式列式计算出，进而求出离心率. 【详解】因为，所以，所以， 所以双曲线，设， 则，所以，所以； 又，所以， 所以，解得，所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 25．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交于点，若线段的垂直平分线恰好为的另一条渐近线，则的离心率为 . 【答案】2 【分析】根据圆的性质和垂直平分线的性质可知，再根据渐近线的对称性可知，进而求得，即可求解离心率. 【详解】如图， 由圆的性质可知，又，，所以有， 又直线OA与OB都是双曲线的渐近线，得， 又，得， 又渐近线OB的斜率为， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为：2 26．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由双曲线定义及余弦定理求得关系进而求出离心率. 【详解】如图，设，则，因为，所以，则. 在中，由余弦定理得， 即，化简可得，故. 故答案为：.    21 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 椭圆和双曲线中离心率及其范围常见解题策略 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：圆锥曲线的离心率是近3年的高考命题热点，常以选填为主，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是双曲线求离心率的值及范围问题． 预测2026年：圆锥曲线的离心率仍会考一道中档选填试题，重点考察椭圆或者双曲线的离心率 热点题型： 题型01 爪型图邻角互补余弦定理和为0模型或用两次余弦定理 题型02 中位线，角平分线相关离心率问题 题型03 圆锥曲线中有心四边形与离心率 题型04 利用定义、几何性质求离心率的值 题型05 内切圆外接圆与离心率问题 题型06 构造齐次方程求离心率 题型07 中点弦公式秒杀离心率 题型01 爪型图邻角互补余弦定理和为0模型或用两次余弦定理 解｜题｜策｜略 在圆锥曲线中看到如右图所示爪形图形，我们要想到利用，或者在大三角形和小三角形中分别用余弦定理，构造方程，解决问题 【精选例题】 【例1】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【例2】已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，点M满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例3】已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【例5】已知分别是椭圆的中心、右焦点和上顶点，直线与椭圆交于另一点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l经过，且与C交于两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 5.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l过点且与双曲线C交于A，B两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 题型02 中位线，角平分线相关离心率问题 解｜题｜策｜略 看到两个边的中点，要想到中位线性质，看到角平分线，要想到角平分线定理 【精选例题】 【例1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ． 【例2】过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例3】（多选题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于角平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点与右支上一点，作直线交“伴随圆”于，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2.已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.设双曲线的左焦点为，过点作圆的切线，切点为，直线与的右支交于点，为线段的中点，为坐标原点，，则的离心率为 . 5.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______. 题型03 圆锥曲线中有心四边形与离心率 解｜题｜策｜略 考到过椭圆或者双曲线中心的直线，要想到它与椭圆的交点与两个焦点构成的四边形为平行四边形 【精选例题】 【例1】设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在椭圆C上（点M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例3】设椭圆的左右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例4】已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是 . 【跟踪训练】 1.已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为 . 2.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为S，且满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 3.已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积为_____. 题型04 利用定义、几何性质求离心率的值 解｜题｜策｜略 看到椭圆或者双曲线上一点到两焦点的距离，要想到定义优先原则 【精选例题】 【例1】已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的离心率为______________. 【例2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【跟踪训练】 1.设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 2.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 . 题型05 内切圆外接圆与离心率问题 解｜题｜策｜略 看到内切圆一般可以利用，或者利用过圆外一点引切线，切线长相等解决 【精选例题】 【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，直线交于另一点，△的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例2】已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与C的右支交于M，N两点，记与的内切圆半径分别为.若，则C的离心率为（    ） A． B． C．3 D．4 2.已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点在上，是等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 3.数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为 ． 题型06 构造齐次方程求离心率 解｜题｜策｜略 利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解 【精选例题】 【例1】双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D．2 【例2】已知双曲线的两条渐近线分别为，点，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 2.椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（       ） A． B． C． D． 题型07 中点弦公式秒杀离心率 解｜题｜策｜略 椭圆中，若为弦的中点，则，双曲线中，若为弦的中点，则 【精选例题】 【例1】在平面直角坐标系中，过点的直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，若线段的中点是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2】椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例3】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”.若黄金双曲线：（）的左右两顶点分别为，，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【跟踪训练】 1.点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 . 2.椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上第一象限内，记，存在圆经过点，且，则椭圆的离心率为 . （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左焦点，O为坐标原点，已知在椭圆上点P的纵坐标不等于0，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 3．(25-26高三上·安徽六安第一中学·月考)如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 4．数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．(25-26高三上·江苏泗阳中学·期末)已知双曲线的焦点为，，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点P，且轴，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，过作直线的垂线，与的右支交于点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的右焦点为，半焦距为．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C．2或 D． 12．(25-26高三上·江苏徐州第一中学、徐州第三中学等五校·)已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线交双曲线左右两支于两点，的内切圆的圆心为，若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 13．已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 14．对于双曲线，左、右焦点为、，左、右顶点为、，以为直径的圆与的一条渐近线交于、，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．的离心率为 D．当时，四边形的面积为 15．(25-26高三上·江西赣州部分学校·调研)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．当点P异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 D．为定值 16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为1 B．若，，则 C．若，则的最小值为25 D．若，则的最大值为 17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与曲线C及曲线C的一条渐近线分别交于点P，M，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线C的离心率为 B．当时，曲线C的离心率为 C．当时，曲线C的离心率为4 D．当时，曲线C的离心率为 18．已知双曲线：（，）的两个焦点分别为，（），直线：与双曲线的右支交于，两点，且，则（   ） A．当时，双曲线的离心率为 B．当时，与的面积之比为5∶1 C．当时，双曲线的离心率为 D．当时，与的周长之比为5∶3 19．(25-26高三上·广西部分校·)设O为坐标原点，，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上的一点，且，若的内切圆半径为a，设内切圆圆心，则（    ） A． B．为直角三角形 C．的面积为ac D．C的离心率为 三、填空题 20．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为 ． 21．双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为 . 22．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，若，，双曲线的离心率为 23．(25-26高三上·云南多校联考·月考)已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率 . 24．已知，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线上的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为 ． 25．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交于点，若线段的垂直平分线恰好为的另一条渐近线，则的离心率为 . 26．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为 . 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $