专题12 圆中的最值问题（热点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题12 圆中的最值问题 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：圆的最值问题是近3年的高考命题热点，常以选填为主，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是直线与圆结合最值问题． 预测2026年：圆的最值问题仍会考一道中档选填试题，重点考察直线与圆的关系及最值 热点题型： 题型01 过圆内一点的最长最短弦问题 题型02 圆上一点到直线距离的最值问题 题型03 圆中夹角最大值问题 题型04 圆中的三角不等式（将军饮马）问题 题型05 阿波罗尼斯圆中的最值问题 题型06 圆中可转化为斜率的最值问题 题型07 圆中利用参数方程求最值问题 题型01 过圆内一点的最长最短弦问题 解｜题｜策｜略 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦 【精选例题】 【例1】已知直线，则直线过定点____，该直线被圆截得的最短弦长为______. 【例2】已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为______． 【例3】若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（    ） A． B．1 C． D．2 【跟踪训练】 1.已知直线与圆交于两点，则的取值范围是__________． 2．已知直线：与圆心为且半径为的圆相交于，两点，直线：与圆交于，两点，则四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型02 圆上一点到直线距离的最值问题 解｜题｜策｜略 直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离,最近为； 【精选例题】 【例1】已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知：，分别交，轴于，两点，在圆：上运动，则面积的最大值为（       ） A． B． C． D． 【例3】若点M在上，点P在直线上，则下列说法不正确的是（    ） A．最小值为 B．若与圆C相切，则最小值为1 C．最大值为 D．最小值为 【跟踪训练】 1.直线分别与x轴，y轴交予A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（       ） A． B． C． D． 2．已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ． 3.（多选题）已知点在圆C：上，点，，则（    ） A．直线与圆相切 B．点到直线的距离小于7 C．当最大时， D．的最小值小于15° 4．（多选题）已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（    ） A．若点到直线的距离为，则 B．若，则 C．若，则的最大值为6 D．的最小值为 题型03 圆中夹角最大值问题 解｜题｜策｜略 圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大. 【精选例题】 【例1】已知直线l：与x轴和y轴分别交于两点，点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当最大时，的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【例2】（多选题）已知圆，直线，P为直线上的动点，过点P作圆M的切线、，切点为A、B，则下列结论正确的是（   ） A．四边形面积的最小值为4 B．四边形面积的最大值为8 C．当最大时， D．当最大时，直线AB的方程为 【例3】（多选题）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，则下列结论正确的是（    ） A．当最大时， B．当最大时，直线的方程为 C．四边形面积的最大值为 D．四边形面积的最小值为 【例4】若点直线上的动点，过与圆相切的两条直线的夹角为，则的最大值为 . 【跟踪训练】 1．过作圆的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线AB的方程为 D． 2.已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为__________；直线过定点__________. 3．已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时，________． 4.已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，其中为切点，若的最大值为，则的值为________． 5.已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型04 圆中的三角不等式（将军饮马）问题 解｜题｜策｜略 ①任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线. ②如图动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么的最大值当且仅当三点共线.倘若在两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！此时，的最小值为0，即为中垂线与的交点. 总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧” 【精选例题】 【例1】已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【例2】（多选题）已知分别为圆与圆上的两个动点，为直线上的一点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【例3】已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（       ） A． B．9 C．7 D． 2.（多选题）已知圆和圆分别是圆和圆上的动点，为轴上的动点，则关于的最值，下列正确的是（    ） A．无最大值 B．既有最大值又有最小值 C．无最小值 D．的最小值为 题型05 阿波罗尼斯圆中的最值问题 解｜题｜策｜略 ①阿氏圆定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆.若,则圆的半径为，圆心为. ②已知圆上任意一点和坐标轴上任意两点，求形如的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算. 【精选例题】 【例1】已知两定点，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为__________. 【例2】在平面直角坐标系中，动点到点的距离是到点的距离的2倍，则的面积的最大值为________． 【例3】已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，A（6，0），点B为圆C：上的动点，点P满足，则动点P的运动轨迹方程为_________.的最小值为_________. 2.（多选题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的方程为 B．当，，三点不共线时，则 C．在上存在点，使得 D．若，则的最小值为 3.（多选题）已知点在圆上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值为 B．满足的点有3个 C．过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为 D．的最小值是 题型06 圆中可转化为斜率的最值问题 解｜题｜策｜略 解题思路：①已知两点，，则，所以看到形如，要想到看成到两点的距离 ②也可设，根据圆心到直线的距离小于等于半径列式可求出结果. 【精选例题】 【例1】已知实数满足，则的取值范围为__________. 【例2】直线与直线相交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】函数的值域为_____ 【跟踪训练】 1．已知虚数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.若在圆上运动，则的最大值为___. 3.若点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.若，则函数的值域是__________． 题型07 圆中利用参数方程求最值问题 解｜题｜策｜略 解题思路：①圆的参数方程为 ②也可设，根据圆心到直线的距离小于等于半径列式可求出结果. 【精选例题】 【例1】已知，求的取值范围______________． 【例2】（2023全国乙卷高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【例3】已知，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．设实数满足，当恒成立时，的取值范围是_______. 2.设直线被圆所截得的弦的中点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高三上·江苏徐州第一中学、徐州第三中学等五校·)已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·广东澳台侨二十校·)已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（    ） A．36 B．60 C．72 D．80 5．(25-26高三上·江苏苏南五校·月考)已知圆C的方程为，，点P在圆C内部，过点P的2025条弦长组成一个等比数列，且过点P的最短弦长和最长弦长分别为，，若，则的最大值为（    ） A．24 B．26 C．28 D．30 6．已知是的等差中项，直线与圆交于两点，若弦的最小值为4，则实数的值为（    ） A．24 B．19 C． D． 7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 8．已知点是圆上的动点，点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．(25-26高三上·贵州遵义·)若圆与圆有且仅有3条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知实数满足，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．(25-26高三上·云南师范大学附属中学·月考)已知直线与圆交于，两点.当的面积最大时，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．1或7 12．已知实数x、y满足方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．(25-26高三上·湖南长沙第一中学·月考)设为坐标原点，已知对任意实数，直线与圆都有两个交点，，则（    ） A．直线过定点 B． C．当时，的最小值为 D．当时， 14．如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．的最大值为 C．若直线与曲线有2个交点，则的取值范围为 D．曲线上的点到直线的距离的最小值是 15．（多选）已知直线 过点 ，点 是圆 上的点，则下列命题正确的是 （    ） A．直线 被圆截得的弦长最短为 B．若圆上有且只有 3 个点到直线 的距离为 1，则直线 的方程为 或 C． 的取值范围是 D．若是直线 上的动点，过点作圆 的切线，则切线长的最小值为 2 16．若动直线与圆相交于两点，则（    ） A．直线过定点 B．的最小值为 C．的最小值为 D．过直线上一点作圆C的切线，切线长的最小值是 17．(25-26高三上·河北定州中学·期中)在平面直角坐标系中，已知动圆，动直线，记圆的圆心的轨迹为曲线，则（    ） A．曲线的方程为 B．直线l与曲线 相交 C．若动圆的圆心沿曲线运动一周，则圆 扫过的区域面积为 D．动直线l上的点不可能覆盖到的区域面积为π 18．已知实数满足，则（    ） A．当时，的最小值是 B．的最小值是1 C．的最小值是 D．的最小值为2 三、填空题 19．直线： 与直线：交于点，则的取值范围为 . 20．(25-26高三上·重庆第一中学校·期中)在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为 ；若为圆上任意一点，则最大值是 . 21．已知圆，若点是轴上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当取得最大值时，面积为 ． 22．直线与交于点P，圆上有两动点A，B，且，则的最小值为 ． 23．已知点是曲线上的动点，则的取值范围为 . 24．已知点，，点P为直线上的动点，则的最小值为 ；当最大时，点P的横坐标为 ． 25．(25-26高三上·上海复旦大学附属中学·月考)已知实数、、、满足：，，，则的最小值为 . 26．已知为圆上一动点，过点作圆的切线，交圆于点A、B，则的最大值是 . 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 圆中的最值问题 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：圆的最值问题是近3年的高考命题热点，常以选填为主，常考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是直线与圆结合最值问题． 预测2026年：圆的最值问题仍会考一道中档选填试题，重点考察直线与圆的关系及最值 热点题型： 题型01 过圆内一点的最长最短弦问题 题型02 圆上一点到直线距离的最值问题 题型03 圆中夹角最大值问题 题型04 圆中的三角不等式（将军饮马）问题 题型05 阿波罗尼斯圆中的最值问题 题型06 圆中可转化为斜率的最值问题 题型07 圆中利用参数方程求最值问题 题型01 过圆内一点的最长最短弦问题 解｜题｜策｜略 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦 【精选例题】 【例1】已知直线，则直线过定点____，该直线被圆截得的最短弦长为______. 【答案】 【详解】将直线l变形得，即直线l恒过定点；圆的方程可化为，显然点P在圆内.当圆心到直线l的距离最大时，直线l被圆所截得的弦AB的长度最短.此时，且 ，所以.故直线l被圆C截得的最短弦长为.故答案为：（4，-3）； 【例2】已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为______． 【答案】 【详解】依题意，圆的圆心，半径，点与圆心的距离，则点在圆内，过点及圆心的直线与圆相交，得最长弦长，当时，最短，过的最短的弦长，所以四边形的面积.故答案为： 【例3】若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，直线可化为，当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点，由圆的方程知，圆心为，半径，当直线时，取得最小值，且最小值为，如图， 此时弦长对的圆心角一半的正切值为，故圆心角为，所以劣弧长为.故选：B. 【例4】已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由题意可知圆的圆心在圆上，则当动直线经过圆心，即点或与圆心重合时，如图1，此时弦长取得最大值，且最大值为；设线段的中点为，在中，由，且，则，则动直线在圆上做切线运动，所以当动直线与轴垂直，且点的坐标为时，如图2，此时弦长取得最小值，且最小值为，所以的最大值与最小值之差为2．故选：D． 【跟踪训练】 1.已知直线与圆交于两点，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由可得：，令， 则直线过定点，圆的圆心，半径．当直线经过圆心时，， 当直线时，．综上，的取值范围是．故答案为：. 2．已知直线：与圆心为且半径为的圆相交于，两点，直线：与圆交于，两点，则四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，圆的圆心为且半径为，所以圆的方程为，即，直线：与圆相交于，两点，则有，解得或，所以、的坐标为，，则，且的中点为，直线：，变形可得，直线恒过定点，当与垂直时，四边形的面积最大，此时的方程为，变形可得，经过点，所以，故四边形的面积的最大值，故，所以四边形的面积的最大值为．故选：B． 题型02 圆上一点到直线距离的最值问题 解｜题｜策｜略 直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离,最近为； 【精选例题】 【例1】已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知直线，分别过定点，，当时，：，：，交点为，当时，直线的斜率为，直线的斜率为，斜率的乘积为，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心坐标为，半径，所以圆的方程为，不包括点，点满足该方程，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最大值为.故选：. 【例2】已知：，分别交，轴于，两点，在圆：上运动，则面积的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，以为底边，则面积最大等价于点到距离最大， 而点到距离最大值等于到的距离加半径看，到的距离，又圆的半径，，，则，所以面积的最大值为故选：C 【例3】若点M在上，点P在直线上，则下列说法不正确的是（    ） A．最小值为 B．若与圆C相切，则最小值为1 C．最大值为 D．最小值为 【答案】D 【详解】圆心到距离，所以最小值为，所以A正确；，所以当取最小值时，最小，则最小值为1，所以B正确;在直线上任取一点P，当与圆相切时，最大，又因为点P是直线上的动点，所以取最小值时，最大为，所以C正确，D选项错误故选:D. 【跟踪训练】 1.直线分别与x轴，y轴交予A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆心到直线距离，所以点P到距离即高的范围，又可求得，所以面积的取值范围为.故选：A. 2．已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ． 【答案】 【详解】设，则满足；易知圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，如下图所示：易知，所以，即，整理可得；同理可得，即是方程的两组解，可得直线的方程为，联立，即； 令，可得，即时等式与无关，所以直线恒过定点，可得；又在圆内，当，且点为的延长线与圆的交点时，点到直线的距离最大；最大值为；故答案为： 3.（多选题）已知点在圆C：上，点，，则（    ） A．直线与圆相切 B．点到直线的距离小于7 C．当最大时， D．的最小值小于15° 【答案】BCD 【详解】对于A：圆：的圆心，半径，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，可知直线与圆相离，A错误；对于B：因为圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离最大值为，B正确；对于C：当直线与圆相切（图中位置）时，最大，此时，C正确；对于D：直线与圆相切（图中位置）时，最小，由，又，得， 又，可得， 又，因为，所以，又为锐角，所以，D正确.故选：BCD. 4．（多选题）已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（    ） A．若点到直线的距离为，则 B．若，则 C．若，则的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】依题意，圆的圆心，半径为，如图所示： 对于A选项：因为点到直线的距离为，所以，故选项A正确；对于B选项：因为，且， 所以在中，由余弦定理可得：,所以，故选项B错误；对于C选项：由，其几何意义为到直线的距离之和的倍设的中点为,结合梯形的中位线可知：则有，因为，所以,在直角三角形中，,所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆.因为到的距离为，所以，所以，故选项C正确；对于D选项：因为，所以当所成的角为时，. 故选项D正确;故选：ACD. 题型03 圆中夹角最大值问题 解｜题｜策｜略 圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大. 【精选例题】 【例1】已知直线l：与x轴和y轴分别交于两点，点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当最大时，的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】如图示，,点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，,当最大时，直线为圆的切线，则, 此时,故的面积为， 故选：C 【例2】（多选题）已知圆，直线，P为直线上的动点，过点P作圆M的切线、，切点为A、B，则下列结论正确的是（   ） A．四边形面积的最小值为4 B．四边形面积的最大值为8 C．当最大时， D．当最大时，直线AB的方程为 【答案】AD 【详解】如下图所示：由圆的几何性质可得，，圆，半径为2，对于A，由切线长定理可得，又因为，，所以，，所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值，且，所以，四边形的面积的最小值为，故A正确；对于B，因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，故B错误；对于C，因为为锐角，，且，故当最小时，最大，此时最大，此时，故C错误；对于D，由上可知，当最大时，且，故四边形为正方形，且有，直线，，则的方程为，联立，可得，即点，由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，故D正确．故选：AD． 【例3】（多选题）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，则下列结论正确的是（    ） A．当最大时， B．当最大时，直线的方程为 C．四边形面积的最大值为 D．四边形面积的最小值为 【答案】BD 【详解】如图所示：由圆的几何性质可得，， 由切线长定理可得，因为，，所以，所以，因为，当时，取最小值，且，所以四边形的面积的最小值为，因为无最大值，即无最大值，故四边形面积无最大值，错对 因为为锐角，，且，故当最小时，最大，此时最大，此时，错由上可知，当最大时，且， 故四边形为正方形，且有，则的方程为，联立可得即点，由正方形的几何性质可知，直线过线段的中点，此时直线的方程为，对故选：． 【例4】若点直线上的动点，过与圆相切的两条直线的夹角为，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意，直线与圆是相离关系，且，则，如下图，，且，所以， 令，则， 所以.故答案为： 【跟踪训练】 1．过作圆的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线AB的方程为 D． 【答案】AC 【详解】如图所示，连接OC交直线AB于D，连接AC，BC，在中，，，则，，， ，故A中说法正确，B中说法错误，易知，， ，，设直线AB的方程为，即， ，负值舍去，故，故C中说法正确，，，中说法错误.故选： 2.已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为__________；直线过定点__________. 【答案】 【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为，连接,则,设，则, 故,当垂直于直线时，d最小，所以，所以；由于点A是直线上的一个动点，设点，线段的中点设为P，则，且，所以以线段为直径为圆的方程为 ，即， 将方程与作差可得，即直线的方程为，可得，由于,故，因此，直线恒过定点，故答案为：； 3．已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时，________． 【答案】 【详解】如图所示：由圆的几何性质可得，，由切线长定理可得，又因为，，所以，， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以，，当与直线垂直时，取最小值，且，所以，，所以，，此时，因此，.故答案为：. 4.已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，其中为切点，若的最大值为，则的值为________． 【答案】 【详解】由题可知，，所以的最大值为，在直角中,，所以当最小时，最大，此时，所以， 当时，最小，等于圆心到直线的距离，所以，解得，故答案为: . 5.已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】连接，如图，则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形为正方形，又，所以点到直线的距离必须小于或等于，即，所以，故选：D. 题型04 圆中的三角不等式（将军饮马）问题 解｜题｜策｜略 ①任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线. ②如图动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么的最大值当且仅当三点共线.倘若在两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！此时，的最小值为0，即为中垂线与的交点. 总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧” 【精选例题】 【例1】已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：圆：与圆：的圆心分别为：，由题意得的最小值为的最小值，设关于直线的对称点为，则，解得，则，如图所示：   当三点共线时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为，故选：B 【例2】（多选题）已知分别为圆与圆上的两个动点，为直线上的一点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【详解】圆的标准方程为，所以其圆心为，半径为， 圆的标准方程为，所以其圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，则解得即. 如图，连接交直线于点，连接，此时三点共线，最小，则最小，所以3，故A正确、B错误；因为，所以当取到最大值且点共线时，取到最大值．由图可知，，所以的最大值为，故C正确；时，不能共线，最小值不存在，D错误.故选：AC 【例3】已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示：设点与点关于直线对称， 则，解得，即，所以，其中分别为圆的圆心和半径， 等号成立当且仅当分别与重合，其中分别为线段与直线和圆的交点，综上所述，的最小值为.故选：C. 【跟踪训练】 1.已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（       ） A． B．9 C．7 D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为．，又，， ．点关于轴的对称点为，，所以，，故选：B． 2.（多选题）已知圆和圆分别是圆和圆上的动点，为轴上的动点，则关于的最值，下列正确的是（    ） A．无最大值 B．既有最大值又有最小值 C．无最小值 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】如图，圆心关于轴的对称点为， ，所以的最小值是，结合图形可得无最大值故选：AD. 题型05 阿波罗尼斯圆中的最值问题 解｜题｜策｜略 ①阿氏圆定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆.若,则圆的半径为，圆心为. ②已知圆上任意一点和坐标轴上任意两点，求形如的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算. 【精选例题】 【例1】已知两定点，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为__________. 【答案】12 【详解】设点，则，整理为：，设圆的圆心为，圆的圆心为，如图，可知，的最大值是圆心距加两个圆的半径，即.故答案为：12 【例2】在平面直角坐标系中，动点到点的距离是到点的距离的2倍，则的面积的最大值为________． 【答案】 【详解】设，由题知动点到点的距离是到点的距离的2倍，所以，即，化简整理得：，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，点到直线的距离最大值为半径，的面积的最大值为.故答案为： 【例3】已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，知：且，即圆的半径为4，∴圆：，如上图，坐标系中则，∴，即△△，故，（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）.∴，在△中，∴要使最大，共线且最大值为的长度. ∴. 故选：A 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，A（6，0），点B为圆C：上的动点，点P满足，则动点P的运动轨迹方程为_________.的最小值为_________. 【答案】 / 【详解】答题空1：设点的坐标为，由得，化简得动点P的轨迹方程为圆上,答题空2：，则圆内含于圆，（当且仅当三点共线，且在之间时等号成立）又因为（当且仅当三点共线，且在之间时等号成立）综上：当四点共线，且从左到右的位置顺序依次为时取得最小值 故答案为：；. 2.（多选题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的方程为 B．当，，三点不共线时，则 C．在上存在点，使得 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】设，（不与，重合）∵，，∴，， ∴，得，化简得，∴点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，对于A，曲线的方程为，故选项A正确；对于B，由已知，，，∴，∴当，，三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，是内角的角平分线，∴，故选项B正确；对于C，若，则，由题意，点轨迹是圆，设，由得，化简得点轨迹方程为，即点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆与圆的圆心距， ∴圆与圆的位置关系为内含，圆与圆无公共点，∴上不存在点，使得，故选项C错误；对于D，∵，∴， ∴，当且仅当在线段上时，等号成立，故选项D正确.故选：ABD. 3.（多选题）已知点在圆上，点，，则（    ） A．点到直线的距离最大值为 B．满足的点有3个 C．过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为 D．的最小值是 【答案】ACD 【详解】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为．A正确；对B，设点，则，且，由题意，两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个．B错误；对C，设，则直线MB，NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为．C正确；对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，则有，即，∴，则，所以，所以D正确．故选：ACD． 题型06 圆中可转化为斜率的最值问题 解｜题｜策｜略 解题思路：①已知两点，，则，所以看到形如，要想到看成到两点的距离 ②也可设，根据圆心到直线的距离小于等于半径列式可求出结果. 【精选例题】 【例1】已知实数满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由题意，设，且可得表示点与点连线的斜率，其中点为圆上的点，如图所示，在直角中，可得，可得直线的斜率为；在直角中，可得，可得直线的斜率为，所以的范围为.故答案为：. 【例2】直线与直线相交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的方程可化为，由可得，对于直线，由可得， 所以，直线过定点，直线过定点，又因为，则，即， 则，，所以，，所以，，当，，点不在直线上，所以，点的轨迹是曲线，设可得， 由题意可知，直线与曲线有公共点，且圆的圆心为原点，半径为，所以，，解得，当，时，；当，时，.因此，的取值范围是.故选：B. 【例3】函数的值域为_____ 【答案】 【详解】表示点与点连线的斜率，的轨迹为圆，表示圆上的点与点连线的斜率，由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在， 则设过的圆的切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得：， 结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为， 即的值域为.故答案为：. 【跟踪训练】 1．已知虚数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由复数的几何意义可知，表示点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即，如图，表示圆上的点与原点连线的斜率，如图，当直线与圆相切时，分别取得最大值和最小值，点为切点，点为圆心，，所以，即，，所以的取值范围是.故选：B 2.若在圆上运动，则的最大值为___. 【答案】 【详解】表示两点所在直线的斜率，设两点所在直线的方程为，即，如图，当直线与圆相切时，斜率取得最值， 圆的圆心为，半径为，当圆与直线相切时，圆心到直线的距离，解得，所以的最大值为.故答案为：. 3.若点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆化成标准方程为，圆心，半径为4；设，故在直线上，又点在圆上，则圆心到直线的距离，即，故，解得，则的取值范围为.故选：B. 4.若，则函数的值域是__________． 【答案】 【详解】，设，，则.由于，则，且.设，由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知.由图知， 在中，有，，所以， 所以，所以.所以，，故所求值域为．故答案为：． 题型07 圆中利用参数方程求最值问题 解｜题｜策｜略 解题思路：①圆的参数方程为 ②也可设，根据圆心到直线的距离小于等于半径列式可求出结果. 【精选例题】 【例1】已知，求的取值范围______________． 【答案】 【详解】将化为，表示以为圆心，为半径的圆， 令，即，由题可知，直线和圆有公共点，所以，即，解得. 即的取值范围为.故答案为： 【例2】（2023全国乙卷高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【详解】法一：令，则，代入原式化简得， 因为存在实数，则，即，化简得，解得，故 的最大值是， 法二：，整理得，令，，其中， 则，，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得故选：C. 【例3】已知，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得：，整理可得：，则可令，，，（其中），则当时，.故选：D. 【跟踪训练】 1．设实数满足，当恒成立时，的取值范围是_______. 【答案】 【详解】令，即化为直线方程，直线与圆始终有交点，则圆心到直线的距离恒成立，解得：．当恒成立，即恒成立，．的取值范围是．故答案为：． 2.设直线被圆所截得的弦的中点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直线过定点，因为M是弦的中点，所以，故的轨迹方程为：，设，即，即是直线与圆的公共点，由直线与圆的位置关系可得，，解得，所以的最大值为. 故选：C. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据题意可得点的轨迹，再将看作点到直线的距离的倍即可求解. 【详解】 由题知，圆的圆心为，半径为2， 取的中点，连接，则， 因为，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，其方程为. 因为可分别看作点到直线的距离， 所以当点在直线同侧时，是点到直线的距离的2倍， 又点到直线的距离，所以的最大值为， 所以的最大值为； 当点在直线异侧时，， 所以的最大值为. 因为，所以的最大值为. 故选：B. 2．(25-26高三上·江苏徐州第一中学、徐州第三中学等五校·)已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定直线经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最小距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点； 直线变形为，过定点； 因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为. 由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最小值为. 故选：C. 3．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过建立直角坐标系将向量坐标化，确定动点的圆轨迹；构造相似三角形转化所求表达式为线段和的倍数形式；利用两点之间线段最短的几何性质，求出该线段和的最小值，进而得到原式的最小值. 【详解】由题可建立如图所示的直角坐标系，且可设，， 则由，故点在以为圆心，半径为1的圆上， 如图：取点，则，且， 因此，所以，故， 所以， 由于，当三点共线且点在线段上时取等号， 因此. 故选：D 4．(25-26高三上·广东澳台侨二十校·)已知两点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（    ） A．36 B．60 C．72 D．80 【答案】C 【分析】设，利用两点间距离公式求出，利用余弦函数的范围求出的最大值和最小值，从而得到所求. 【详解】由点在圆上运动，设， ， ，的最大值为， 最小值为，的最大值与最小值之和为. 故选：C. 5．(25-26高三上·江苏苏南五校·月考)已知圆C的方程为，，点P在圆C内部，过点P的2025条弦长组成一个等比数列，且过点P的最短弦长和最长弦长分别为，，若，则的最大值为（    ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】A 【分析】设，根据圆的性质可得过点P的最长弦长，再由等比数列的性质求出，由求出，进而得到点P的轨迹是圆，即可利用圆的性质求出的最大值. 【详解】 由圆C的方程为可知，圆心，半径 由题意可知，过圆内点的最长弦为直径，即. 过圆内点的最短弦与垂直，设， 所以①. 又因为数列是等比数列，由等比数列的性质可知， 即，解得，将其代入①式可得， 所以点P在以C为圆心，8为半径的圆上. 由，可得， 所以圆外一点到圆上一点的最大值. 故选：A 6．已知是的等差中项，直线与圆交于两点，若弦的最小值为4，则实数的值为（    ） A．24 B．19 C． D． 【答案】B 【分析】先由是的等差中项得出直线过定点，再由定点得出圆心到直线的距离的最值，结合垂径定理可得出弦长的最值，解出即可. 【详解】由题意，，则点满足直线方程，即该直线过定点，    圆即， 则圆心，半径， 设中点为，则， ，当时，，则， 故选：B. 7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】C 【分析】根据直线经过定点，结合两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解A，根据基本不等式即可求解BC，又面积公式即可求解D. 【详解】由直线，令，得，可得过定点， 动直线， 令，可得，即恒过定点， 由， 所以两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以， 所以点在以为直径的圆上，A错； , 由于，又， 所以， 所以，故，当且仅当取等号， 故B错，C对； 设到直线的距离为，由于， 故，当取等号，故最大值为，故D错， 故选：C 8．已知点是圆上的动点，点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一根据几何意义并结合正弦定理直接求解；法二，再根据余弦定理并结合基本不等式得即可求解；法三设，则，结合为锐角，即可得到的最大值即可． 【详解】法一：如图，设过，，三点的圆的半径为， 则，又， 所以，则是锐角，可得， 故取最大，最大， 则时，取得最小值，此时， 而是锐角，此时， 法二：如图，结合圆的性质设， 则由余弦定理得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时取等， 故， 则的最大值是； 法三：设，由正弦定理得， 即，则， 因为，所以， 故为锐角，得到的最大值为． 故选：B． 9．(25-26高三上·贵州遵义·)若圆与圆有且仅有3条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定两圆相外切，再转化为圆上点到直线的距离问题. 【详解】由题意知，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由圆与圆有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，即， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又，所以表示点到直线的距离的5倍， 由圆心到直线的距离为， 又直线与相交， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为0，最大值为， 所以的取值范围为， 故选：C. 10．已知实数满足，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得点在圆上，且，再利用目标式的几何意义，结合圆上的点到直线距离的最大值求解. 【详解】设，由，得， 点在以原点为圆心，2为半径的圆上，由， 得，而，则， 取线段中点，则，过分别作直线的垂线， 垂足分别为，则，且， ，，当且仅当共线时取等号， 因此 ，当且仅当共线时取等号， 所以的最大值为. 故选：B 11．(25-26高三上·云南师范大学附属中学·月考)已知直线与圆交于，两点.当的面积最大时，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．1或7 【答案】D 【分析】可求得直线过定点，根据三角形面积公式，结合圆的性质知当时，面积最大,利用点到直线的距离公式可得实数 a的值. 【详解】由，得. 由，得. 所以直线过定点，记作点P，点P在圆O内. 如图，过O作直线l的垂直，交l于点C，则. 当的面积最大时，由，知，此时. 即点O到直线l的距离为，解得：，或. 故选：D. 12．已知实数x、y满足方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率的几何意义，结合直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，再利用数形结合即可得范围. 【详解】点在圆上，圆心，半径为， 设，则k表示圆上点与连线的斜率， 当PQ与圆相切时，，得或．      结合图像k的取值范围是． 故选：B． 二、多选题 13．(25-26高三上·湖南长沙第一中学·月考)设为坐标原点，已知对任意实数，直线与圆都有两个交点，，则（    ） A．直线过定点 B． C．当时，的最小值为 D．当时， 【答案】BC 【分析】直线过定点问题将含参数部分合并同类项，令其为零即可得到定点；判断定点与圆的位置关系结合两点间距离公式得到判断半径的范围；根据向量的数量积定义将数量积的最小值转化为求的最小值求解；利用弦长公式和圆心到直线距离的范围求解. 【详解】选项，将直线整理为， 令得，故直线过定点，故错误. 选项，由题可知直线与圆总有两个交点，则说明定点在圆内， 圆心为，半径为，可得， 因为在圆内，所以，即，故正确. 选项，当时， ， 要使最小，只需要最小即可， 圆心到直线的距离，且， 则. 由，将上式代入得 ， 整理得， 由， 解得，故最小值取， 因此最小值为， 故正确. 选项，当时， 弦长公式， 因为,则， 故,故错误. 故选： 14．如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，曲线的一个焦点为，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．的最大值为 C．若直线与曲线有2个交点，则的取值范围为 D．曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】ACD 【分析】对于A：根据题意可得，即可得方程；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线与圆、椭圆的位置关系分析临界条件，结合图形即可得结果；对于D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离，即可得结果. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得（舍去）或， 取直线和直线； 若点到直线，即的距离，解得或（舍去）， 若点到直线，即的距离，解得或（舍去）， 取直线和直线； 以直线为临界，结合图形可知： 若直线与曲线有2个交点，则或， 所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 15．（多选）已知直线 过点 ，点 是圆 上的点，则下列命题正确的是 （    ） A．直线 被圆截得的弦长最短为 B．若圆上有且只有 3 个点到直线 的距离为 1，则直线 的方程为 或 C． 的取值范围是 D．若是直线 上的动点，过点作圆 的切线，则切线长的最小值为 2 【答案】ABD 【分析】直线与垂直时，弦长最短,利用弦长公式得，圆上有且只有 3 个点到直线 的距离为 1，则圆心到直线的距离为，分斜率存在和不存在讨论即可得到直线方程，将表示圆上的点与连线的斜率，再利用直线与圆有交点求解范围，当最小时切线长最短，再根据题目求解. 【详解】圆 的圆心为,半径为 点在圆内， 当直线与垂直 时，弦长最短， 此时圆心到直线的距离为，弦长为 ，选项A正确； 若圆上有且只有 3 个点到直线 的距离为 1，则圆心到直线的距离为， 当直线斜率存在时，设直线方程为 ，即， 则 ，解得 ，直线方程为 ， 当直线斜率不存在时，直线方程为 ，也满足条件，所以选项B正确； 表示圆上的点与连线的斜率， 设直线为 ，即， 则由题意可知，圆心到直线的距离小于等于半径， 即，即 解得或 ， 即的取值范围是，选项C错误； 切线长 ，需最小（即圆心到直线的距离）: ，最小切线长为，选项D正确. 故选：ABD 16．若动直线与圆相交于两点，则（    ） A．直线过定点 B．的最小值为 C．的最小值为 D．过直线上一点作圆C的切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【分析】整理方程即可求得直线过定点，判断A选项；由圆方程得到圆心和半径，由圆的性质得到最短交点弦，由垂径定理求得最短弦，判断B选项；取的中点，由向量的加法整理即可求得其最值，判断C选项；设为直线上任意一点，则切线长为，当时，切线长最短，计算即可求解. 【详解】对于A，由，可得，故直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，圆心为，半径为3， 由圆的性质可得当时，最小， 此时，故B正确； 对于C，取的中点，则， 又，则圆心到直线的距离，所以， 则的最大值为，故C错误； 对于D，设为直线上任意一点， 过点作圆的切线，则切线长为， 要使切线长取最小值，则有最小值， 即圆心到直线距离最短， 当与直线垂直时，有最小值，即， 所以切线长取最小值为，故D正确. 故选：ABD． 17．(25-26高三上·河北定州中学·期中)在平面直角坐标系中，已知动圆，动直线，记圆的圆心的轨迹为曲线，则（    ） A．曲线的方程为 B．直线l与曲线 相交 C．若动圆的圆心沿曲线运动一周，则圆 扫过的区域面积为 D．动直线l上的点不可能覆盖到的区域面积为π 【答案】ACD 【分析】对于A，由即可判断，对于B，由圆心到直线的距离为1即可判断，对于C，由圆恒过坐标原点，得到动圆的圆心沿曲线运动一周扫过的区域为以为圆心，以2为半径的圆面，即可判断，对于D，由和圆相切即可判断. 【详解】对于A，圆心坐标为，由， 可得圆心轨迹方程为，A正确， 对于B，的圆心坐标为，半径为1， 圆心到直线的距离， 所以直线l与曲线 相切，B错误， 对于C，由，知其半径为1， 且恒过坐标原点， 所以动圆的圆心沿曲线运动一周扫过的区域为以为圆心，以2为半径的圆面， 则面积为，故C正确； 对于D，由B知，与相切， 所以动直线l上的点不可能覆盖到的区域即为圆的内部， 面积为，故D正确， 故选：ACD 18．已知实数满足，则（    ） A．当时，的最小值是 B．的最小值是1 C．的最小值是 D．的最小值为2 【答案】BC 【分析】对于A，设过与点的直线方程为，则，根据圆心到直线的距离小于等于半径推导出k的范围即可求解；对于B，结合几何意义判断的最小值即可；对于C，根据圆心到直线的距离小于等于半径推导出b的范围即可求解；对于D，求出圆心到直线的距离d，后根据几何意义即可求解． 【详解】对于A，由，得.该方程表示圆心为，半径的圆， 设，则表示圆上的点（除去点和）与原点连线的斜率， 由圆心到直线的距离小于等于半径，可得，解得或， 所以或，即当时，无最小值，故A错误； 对于B，因为表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在轴上，由几何意义可知， 当时，取得最小值，且最小值为1，故B正确； 对于C，设，即，则可理解为当直线与圆有公共点时直线在轴上的截距， 则圆心到直线的距离小于等于半径，所以，解得，即的最小值是，故C正确； 对于D，因圆心到直线的距离，而圆上任一点到直线的距离，又， 所以的最小值为，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 19．直线： 与直线：交于点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】通过直线过定点，且垂直确定的轨迹为圆，再由的几何意义即可求解. 【详解】对于直线：，令，得， 即直线过定点， 对于直线：，化简得， 由，得，即直线过定点， 当时，，，两直线垂直， 当时，，两直线垂直， 所以点的轨迹为以为直径的圆，除去点， 中点坐标为，， 所以以为直径的圆方程为：， 即点的轨迹方程为： ，   的几何意义为两点连线的斜率， 由图可知：直线与圆相切， 过作圆的切线，设斜率为，直线方程为， 即，由圆心到直线的距离等于半径可得：， 解得：， 由图形可知：的取值范围是， 故答案为： 20．(25-26高三上·重庆第一中学校·期中)在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为 ；若为圆上任意一点，则最大值是 . 【答案】 【分析】根据已知有，应用分类讨论去绝对值求出动点的轨迹，进而得到面积，数形结合判断最大对应点的位置，再应用点线距离公式、圆的性质求距离最大值. 【详解】由题设， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 所以点的轨迹所围成图形如下图示， 轨迹是边长为的正方形，故其面积为8， 由图及以上分析知，直线上的线段存在点到圆上点的距离最大， 由的圆心为，半径，则到的距离为， 而到的距离为，到的距离为，显然， 综上，线段上到圆上点的最大距离. 故答案为：8， 21．已知圆，若点是轴上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当取得最大值时，面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知画出示意图，且、，取得最大值化为取最小，进而求出的最大值，即可求三角形面积. 【详解】由，则，故，半径，    如上图示，，且，则， 要使最大，即最大，故只需最小， 而，故只需最小， 由图知，要使最小，即轴，此时，则， 所以，在中，最大，即 ，故最大， 所以取得最大值时，是边长为的等边三角形， 所以. 故答案为： 22．直线与交于点P，圆上有两动点A，B，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据条件可知点P的轨迹是以为直径的圆，其方程为，作，则为的中点，求得最小值即可. 【详解】直线,，因为，所以， 又的方程可化为，所以过定点， 的方程可化为，所以过定点， 所以点P的轨迹是以为直径的圆，去除，其方程为， 其圆心，半径，作，则为的中点， 根据勾股定理易求得， 如图所示，当在同一条直线上时最小， 又， ， 故的最小值为. 故答案为： 23．已知点是曲线上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知曲线表示的是一个半圆，可表示为点与点两点间的直线的斜率，数形结合求得的取值范围. 【详解】曲线可化为， 可知曲线表示为以为圆心，1为半径在直线上方的半圆， 又由， 可得表示点与点两点间的直线的斜率， 当直线与曲线相切时，设直线的方程为， 有，解得（舍去）或， 设曲线与直线的一个交点为， 因为点和点两点间的直线的斜率为， 所以，由图形可知的取值范围为， 可得的取值范围为. 故答案为：. 24．已知点，，点P为直线上的动点，则的最小值为 ；当最大时，点P的横坐标为 ． 【答案】 【分析】先设点，利用向量坐标运算表示，再利用向量数量积的坐标表示求出的表达式，最后根据二次函数性质求最小值；当最大时，以为弦的圆与直线相切，根据圆的性质和直线方程求出点的横坐标． 【详解】设点，点P为直线上的动点，， ， ， 令，函数图像开口向上，对称轴为， 当时，函数取得最小值，即取得最小值，最小值为； 当最大时，以为弦的圆与直线相切，此时圆心在的垂直平分线轴上，设圆心坐标，半径为，则， 圆与直线相切，则圆心到直线的距离， ，化简得，解得， 半径越小，圆周角越大， ，则圆心， 圆与直线相切，，设直线斜率为，则，解得， 直线的方程为：，即， 点是直线与的交点， 联立，解得， 点P的横坐标为． 故答案为：． 25．(25-26高三上·上海复旦大学附属中学·月考)已知实数、、、满足：，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，根据给定条件可得为单位圆上两点，且，再利用的几何意义列式，结合三角函数恒等变换求得最小值. 【详解】设，，由，，可得、在单位圆上， 又，可得，可得. 设直线，则所求即为. 设，，， 结合图象，当时，、在同侧. 先考虑同侧，所求即为 ，而， 取值范围是， 所以所求式最小值在取到，此时最小值为. 再考虑异侧（含或在上），此时， 所求即为 ， 而，取值范围是， 因此所求式最小值为，在或时取到. 故答案为：. 26．已知为圆上一动点，过点作圆的切线，交圆于点A、B，则的最大值是 . 【答案】 【分析】首先确定在处的切线l：，进而把题转化为求A，B两点横坐标的绝对值的比的取值范围.再联立切线与圆的参数方程和根与系数的关系求出关于的方程，根据基本不等式求出的取值范围，解不等式组即得. 【详解】原题等价于已知及其处的切线l：， 圆C的圆心到圆O的距离为，半径为且与直线l交于A，B两点， 求A，B两点横坐标的绝对值的比的取值范围. 如图，设， 则圆C的方程为， 与直线l的方程联立可得， 设两点横坐标之比为， 则，， 得， 整理得， 当且仅当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以，得，得， 故的最大值为. 故答案为： 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $