上海市新华中学2025-2026学年八年级上学期期末数学模拟试卷（2）

2025-2026学年上海市新华中学八年级（上）期末数学模拟试卷（2） 一、选择题（每题2分，共12分） 1．（2分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0 2．（2分）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 3．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（　　） A．线段BC的长 B．线段AD的长 C．线段EC的长 D．线段AC的长 4．（2分）将甲，乙，丙三个大小不同的正方形如图所示放置，顶点E，F处分别两两相接，顶点A，B，M，C，D在同一条直线上．若正方形甲的边长为2，正方形丙的边长为3，则正方形乙的面积为（　　） A． B．5 C．13 D．25 5．（2分）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到长方形CDGF．若AB＝2，则CF的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共36分） 6．（3分）6的平方根为　 　 ． 7．（3分）若有意义，则x的取值范围为　 　 ． 8．（3分）化简：　 　 ． 9．（3分）0.　 　 ．（填最简分数） 10．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m0有实数根，则m的取值范围是　 　 ． 11．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣4＝0时，可将原方程配方成（x﹣n）2＝m，则m+n的值是　 　 ． 12．（3分）已知x1、x2为一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　 ． 13．（3分）众友药店的某药品原价每盒25元，该药店经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是　 　 ． 14．（3分）如图，某市近郊有一块长为60m、宽为50m的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地．若塑胶场地总占地面积为2430m2，则通道的宽为　 　 m． 15．（3分）如图，在△ABC中，BC＝9cm，AC＝12cm，∠C＝90°，现有两个动点P和Q同时从点A出发，分别在三角形三边按照逆时针和顺时针方向围绕三角形运动一圈后回到初始位置，其中点P的速度为3cm/s，设运动时间为ts．在△DEF中，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在两点运动过程中的某一时刻，恰好有△APQ≌△DEF（顶点A、P分别与顶点D、E对应），则点Q的运动速度为　 　 cm/s． 16．（3分）把一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝9cm，则重叠部分△DEF的面积为　 　 cm2． 17．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD内取一点E，连接AE、BE、CE，若BE＝AB，AE＝2，则△BCE的面积为 　 　 ． 三、解答题（第19，20题每题8分，第21-26题每题6分，共52分） 18．（8分）计算： （1）； （2）（）2． 19．（8分）解方程： （1）（x﹣2）2＝6﹣3x； （2）3x2+7x﹣1＝0． 20．（6分）如图，在△ABC的边AC上作一点P，使点P到△ABC内心的距离等于线段PC的长度．（不要求写作法，保留作图痕迹） 21．（6分）如图1，已知△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，直线MD是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于M、D点． （1）求线段DC的长度； （2）如图2，连接CM，作∠ACB的平分线交DM于N．求证：CM＝MN． 22．（6分）今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元． （1）该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？ （2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋•礼迎国庆”的促销活动，A款礼盒按原价打八折出售，销量在9月16日的基础上增加了50%，超市调研发现，B款礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，则B款礼盒的促销价应定为多少元？ 23．（6分）关于x的一元二次方程中，a、b、c是Rt△ABC的三条边，其中c为斜边． （1）证明：此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根是x1、x2，且，求a：b：c． 24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是边AC上一点，连接DB．过点C作直线BD的垂线，垂足为点E． （1）如图①，若AF⊥BD于点F，求证：CE＝BF； （2）如图②，在线段EC上截取EG＝EB，连接AG交BD于点H，求证：CG＝2EH． 25．（6分）如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，点E是AB上一点，连接CE交BD于点G，延长CE交DA的延长线于点F． （1）若AE＝AD，CE⊥BD，求证：AF＝AB； （2）如图②，在（1）的条件下，连接AG，求证：； （3）如图③，四边形BCDE关于直线DE的对称图形为四边形FGDE，延长FE交CD于点P，若AD＝2，，求四边形ADPE的面积． 2025-2026学年上海市新华中学八年级（上）期末数学模拟试卷（2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 B A B C C 一、选择题（每题2分，共12分） 1．（2分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0 【分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0解方程可得m1＝2，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值． 【解答】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得： m﹣2+4﹣m2＝0， ﹣m2+m+2＝0， 解得：m1＝2，m2＝﹣1， ∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程， ∴m﹣2≠0， ∴m≠2， ∴m＝﹣1， 故选：B． 2．（2分）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【分析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x2﹣x的值就可以求出结论． 【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6． 当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7 故选：A． 3．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（　　） A．线段BC的长 B．线段AD的长 C．线段EC的长 D．线段AC的长 【分析】根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可． 【解答】解：由勾股定理得，AB， ∴ADa， 解方程x2+2ax﹣b2＝0得x±a， ∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根． 故选：B． 4．（2分）将甲，乙，丙三个大小不同的正方形如图所示放置，顶点E，F处分别两两相接，顶点A，B，M，C，D在同一条直线上．若正方形甲的边长为2，正方形丙的边长为3，则正方形乙的面积为（　　） A． B．5 C．13 D．25 【分析】证明△BME≌△CFM，得出BM＝CF＝3，根据勾股定理求出EM即可． 【解答】解：∵甲，乙，丙是正方形， ∴EM＝FM，∠EBM＝∠EMF＝∠MCF＝90°， ∴∠BME+∠CMF＝180°﹣∠EMF＝90°，∠CMF+∠CFM＝180°﹣∠MCF＝90°， ∴∠BME＝∠CFM， 在△BME和△CFM中， ， ∴△BME≌△CFM（AAS）， ∴BM＝CF＝3， ∵BE＝2， ∴在Rt△BME中，由勾股定理得，即正方形乙的面积为13， 故选：C． 5．（2分）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到长方形CDGF．若AB＝2，则CF的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，根据正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，根据线段中点的定义求出CE＝1，根据勾股定理求出，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2， ∴AB＝BC＝CD＝2．∠BCD＝90°， ∵E是BC中点， ∴， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：， 由题意知， ∴， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共36分） 6．（3分）6的平方根为　　 ． 【分析】根据平方运算，可得一个数的平方根． 【解答】解：∵（）2＝6 ∴6的平方根为， 故答案为：． 7．（3分）若有意义，则x的取值范围为x≥﹣7且x≠3　 ． 【分析】根据二次根式有意义即被开方数为非负数以及分母不为0，由此计算即可． 【解答】解：根据已知，得x+7≥0且x﹣3≠0， 解得x≥﹣7且x≠3． 故答案为：x≥﹣7且x≠3． 8．（3分）化简：　　 ． 【分析】利用二次根式的性质即可解答． 【解答】解：由题意得：a＜0， ∴． 故答案为：． 9．（3分）0.　　 ．（填最简分数） 【分析】利用循环小数的特征列方程解答即可． 【解答】解：设x＝0.，则100x＝31.， ∴100x﹣x＝31， ∴99x＝31， ∴x． ∴0.． 故答案为：． 10．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m0有实数根，则m的取值范围是m且m≠0　 ． 【分析】根据判别式即可求出答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m0有实数根， ∴m≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4m（m）＝﹣2m+1≥0， 则m的范围为m且m≠0． 故答案为：m且m≠0． 11．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣4＝0时，可将原方程配方成（x﹣n）2＝m，则m+n的值是　24　 ． 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【解答】解：由题知， x2﹣8x﹣4＝0， x2﹣8x+16＝4+16， （x﹣4）2＝20． 因为原方程可配成（x﹣n）2＝m形式， 所以m＝20，n＝4， 则m+n＝20+4＝24． 故答案为：24． 12．（3分）已知x1、x2为一元二次方程的两个实数根，则的值为　　 ． 【分析】依据题意，由x1、x2为一元二次方程的两个实数根，则x1+x2，x1x2＝﹣2025，从而，进而代入计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵x1、x2为一元二次方程的两个实数根， ∴x1+x2，x1x2＝﹣2025． ∴． 故答案为：． 13．（3分）众友药店的某药品原价每盒25元，该药店经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是　20%　 ． 【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解． 【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元， 故25（1﹣x）2＝16， 解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去）， 故该药品平均每次降价的百分率为20%． 故答案为：20%． 14．（3分）如图，某市近郊有一块长为60m、宽为50m的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地．若塑胶场地总占地面积为2430m2，则通道的宽为　2　 m． 【分析】设通道的宽为xm，根据塑胶场地总占地面积为2430m2，列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得到结论． 【解答】解：设通道的宽为xm，则a， 根据题意得：（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•2430， 整理得：x2﹣40x+76＝0， 解得：x1＝2，x2＝38（不符合题意，舍去）． 即通道的宽为2m， 故答案为：2． 15．（3分）如图，在△ABC中，BC＝9cm，AC＝12cm，∠C＝90°，现有两个动点P和Q同时从点A出发，分别在三角形三边按照逆时针和顺时针方向围绕三角形运动一圈后回到初始位置，其中点P的速度为3cm/s，设运动时间为ts．在△DEF中，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在两点运动过程中的某一时刻，恰好有△APQ≌△DEF（顶点A、P分别与顶点D、E对应），则点Q的运动速度为　或　 cm/s． 【分析】根据题意分两种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点P、Q所走的路程，进而可求出P的运动时间，即Q的运动时间，再利用速度＝路程÷时间求解即可． 【解答】解：设点Q的运动速度为xcm/s，分情况讨论如下： ①当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△DEF时， ∴AP＝DE＝4cm，AQ＝DF＝5cm， ∴4÷3＝5÷x， 解得：x； ②当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△DEF时， ∴AP＝DE＝4cm，AQ＝DF＝5cm， ∴点P的路程为9+12+15﹣4＝32（cm），点Q的路程为9+12+15﹣5＝31（cm）， ∴32÷3＝31÷x， 解得：x， 故答案为：或． 16．（3分）把一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝9cm，则重叠部分△DEF的面积为　　 cm2． 【分析】根据矩形的性质及折叠的性质可知AE＝A′E，∠EA′D＝∠ABC＝90°，再根据勾股定理列方程即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝90°， ∵把长方形纸片ABCD折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF， 由折叠的性质可知：AE＝A′E，∠EA′D＝∠ABC＝90°， 设AE＝A′E＝xcm， ∵AB＝3cm，BC＝9cm， ∴CD＝AB＝FH＝3cm，BC＝AD＝9cm， ∴DE＝（9﹣x）cm，A′D＝3cm， 在Rt△A′ED中，由勾股定理得：A′E2+A′D2＝DE2， ∴x2+9＝（9﹣x）2， 解得：x＝4， ∴DE＝9﹣4＝5（cm）， 如图，作FH⊥AD于点H，则FH＝AB＝3cm， ∴（cm2）， 故答案为：． 17．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD内取一点E，连接AE、BE、CE，若BE＝AB，AE＝2，则△BCE的面积为 　　 ． 【分析】过点A作AHIBE于点H，过点E作EFLBC于点F，设BH＝a，则EH＝3﹣a，在Rt△AHB和Rt△AHE中，由勾股定理得AH2＝AB2﹣BH2＝AE2﹣EH2，即32﹣a2＝22﹣（3﹣a）2，由此解得BH＝a，证明△EBF和△BAH全等得EF＝BH，然后根据三角形的面积公式即可得出△BCE的面积． 【解答】解：过点A作AH⊥BE于点H，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示： ∴∠BFE＝∠AHB＝∠AHE＝90°， ∴△AHB和△AHE都是直角三角形， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为3， ∴AB＝BC＝3，∠ABC＝90°， ∵BE＝AB，AE＝2， ∴BE＝3， 设BH＝a，则EH＝BE﹣BH＝3﹣a， 在Rt△AHB和Rt△AHE中，由勾股定理得：AH2＝AB2﹣BH2＝AE2﹣EH2， ∴32﹣a2＝22﹣（3﹣a）2， 解：a， ∴BH＝a， 在△ABH中，∠ABH+∠BAH＝90°， 又∵∠EBF+∠ABH＝∠ABC＝90°， ∴∠EBF＝∠BAH， 在△EBF和△BAH中， ， ∴△EBF≌△BAH（ASA）， ∴EF＝BH， ∴△BCE的面积为：BC•EF． 故答案为：． 三、解答题（第19，20题每题8分，第21-26题每题6分，共52分） 18．（8分）计算： （1）； （2）（）2． 【分析】（1）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【解答】解：（1） （1）（2） ＝33﹣2 ＝﹣3； （2）（）2 ＝3+21+22 ＝6+5． 19．（8分）解方程： （1）（x﹣2）2＝6﹣3x； （2）3x2+7x﹣1＝0． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝6﹣3x， （x﹣2）2+3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， 则x﹣2＝0或x+1＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣1； （2）3x2+7x﹣1＝0， Δ＝72﹣4×3×（﹣1）＝61＞0， 则x， 所以． 20．（6分）如图，在△ABC的边AC上作一点P，使点P到△ABC内心的距离等于线段PC的长度．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【分析】先分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两平分线相交于O点，则点O为△ABC的内心，然后作OC的垂直平分线交AC于P点，则根据线段垂直平分线的性质得到P点满足条件． 【解答】解：如图，点P为所作． 21．（6分）如图1，已知△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，直线MD是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于M、D点． （1）求线段DC的长度； （2）如图2，连接CM，作∠ACB的平分线交DM于N．求证：CM＝MN． 【分析】（1）连接BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，设DC＝x，表示出BD＝4﹣x，再根据勾股定理逆定理判断出∠C＝90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝MC，根据等边对等角可得∠B＝∠BCM，然后表示出∠B，再根据四边形的内角和定理表示出∠MDC与∠B的关系，根据三角形的内角和定理表示出∠MDC，然后列方程求出∠1＝∠2，根据等角对等边即可证明． 【解答】（1）解：如图，连接BD，∵MD是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， 设DC＝x，则BD＝AD＝4﹣x， 在△ABC中，AC2+BC2＝42+32＝25＝AB2， ∴∠C＝90°， 在Rt△BCD中，DC2+BC2＝BD2， 即x2+32＝（4﹣x）2， 解得x， 即DC的长为； （2）证明：∵M为AB的中点，△ABC是直角三角形， ∴BM＝MC， ∴∠B＝∠BCM， ∵CN是∠ACB的平分线， ∴∠BCN＝45°， ∴∠B＝45°+∠1， 在四边形BCDM中，∠B+90°+∠MDC+90°＝360°， ∴∠MDC+∠B＝180°， 在△CDN中，∠MDC+45°+∠2＝180°， ∴∠MDC＝135°﹣∠2， ∴135°﹣∠2+45°+∠1＝180°， ∴∠1＝∠2， ∴CM＝MN． 22．（6分）今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元． （1）该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？ （2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋•礼迎国庆”的促销活动，A款礼盒按原价打八折出售，销量在9月16日的基础上增加了50%，超市调研发现，B款礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，则B款礼盒的促销价应定为多少元？ 【分析】（1）设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合“该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设B款礼盒的促销价应定为m元，则9月17日B款礼盒的销售量为（350﹣m）盒，根据9月17日超市的销售额达到54000元，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市9月16日A礼盒的销量是200盒，B礼盒的销量是150盒； （2）设B款礼盒的促销价应定为m元，则9月17日B款礼盒的销售量为150+（200﹣m）＝（350﹣m）盒， 根据题意得：100×0.8×200×（1+50%）+m（350﹣m）＝54000， 化简得：m2﹣350m+30000＝0， 解得：m1＝150，m2＝200（不符合题意，舍去）． 答：B款礼盒的促销价应定为150元． 23．（6分）关于x的一元二次方程中，a、b、c是Rt△ABC的三条边，其中c为斜边． （1）证明：此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根是x1、x2，且，求a：b：c． 【分析】（1）先把方程变为一般式：（c﹣a）x2﹣2bx+a+c＝0，由方程有两个相等的实数根，得到Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（c﹣a）＝4（2b2+a2﹣c2），由a、b、c是Rt△ABC的三条边，其中∠C＝90°则有b2+a2﹣c2＝0，即可得出Δ＝4（2b2+a2﹣c2）＞0，得出此方程有两个不相等的实数根； （2）由+＝12，得出（x1+x2）2﹣2x1x2＝12，根据根与系数的关系得出12，由b2＝c2﹣a2得出12，化简得12，进一步得到3a＝c，代入b2＝c2﹣a2得出b＝2a，从而得出a：b：c＝1：2：3． 【解答】（1）证明：方程整理为一般形式为：（c﹣a）x2﹣2bx+a+c＝0， ∴Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（c﹣a）＝4（2b2+a2﹣c2）． ∵a、b、c是Rt△ABC的三条边，其中c为斜边， ∴b2+a2﹣c2＝0， ∴2b2+a2﹣c2＞0， ∴Δ＝4（2b2+a2﹣c2）＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的两个根是x1、x2， ∴x1+x2，x1x2， ∵+＝12， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝12，即12， ∵b2＝c2﹣a2， ∴12， ∴12， ∴12， ∴c+a＝2c﹣2a， ∴3a＝c， ∴b2＝8a2， ∴b＝2a， ∴a：b：c＝1：2：3． 24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是边AC上一点，连接DB．过点C作直线BD的垂线，垂足为点E． （1）如图①，若AF⊥BD于点F，求证：CE＝BF； （2）如图②，在线段EC上截取EG＝EB，连接AG交BD于点H，求证：CG＝2EH． 【分析】（1）证明△CEB≌△BFA（AAS）即可得答案； （2）作AJ⊥BD交BD的延长线于点J，先证明△CEB≌△BJA（AAS），可得BE＝JA，CE＝BJ，等量代换可得EG＝JA，进而证明△AHJ≌△GHE（AAS），则EH＝JH，2EH＝JE，因为CE＝BJ，EG＝EB，CE﹣GE＝BJ﹣BE，即CG＝JE＝2EH． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABF+∠CBE＝90°， 又∵∠CBE+∠ECB＝90°， ∴∠ABF＝∠ECB， 在△CEB和△BFA中， ， ∴△CEB≌△BFA（AAS）， ∴CE＝BF； （2）证明：作AJ⊥BD交BD的延长线于点J， ∴∠AJB＝∠BEC＝90°． 如图2所示， ∵∠CBE+∠JBA＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠JBA＝∠BCE． 在△CEB和△BJA中， ， ∴△CEB≌△BJA（AAS）， ∴BE＝JA，CE＝BJ， 又∵EG＝EB， ∴EG＝JA． 在△AHJ和△GHE中， ， ∴△AHJ≌△GHE（AAS）， ∴EH＝JH，2EH＝JE， ∵CE＝BJ，EG＝EB， ∴CE﹣GE＝BJ﹣BE， 即CG＝JE＝2EH． 25．（6分）如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，点E是AB上一点，连接CE交BD于点G，延长CE交DA的延长线于点F． （1）若AE＝AD，CE⊥BD，求证：AF＝AB； （2）如图②，在（1）的条件下，连接AG，求证：； （3）如图③，四边形BCDE关于直线DE的对称图形为四边形FGDE，延长FE交CD于点P，若AD＝2，，求四边形ADPE的面积． 【分析】（1）证△ABD≌△AFE（AAS），即可得出结论； （2）过点A作AM⊥AG交EF于M，证△AGB≌△AMF（ASA），得AM＝AG，则△AMG为等腰直角三角形，得∠AMG＝∠AGM＝45°，，再证△AME≌△ADG（AAS），得ME＝DG，则MG＝GE+ME＝GE+DG，即可得出结论； （3）由勾股定理得，则，证出∠DAE＝30°，则∠DEA＝60°，再证△DEP为等边三角形，得DP＝D，然后由梯形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB＝∠EAF＝90°， ∴∠AEF+∠F＝90°， ∵CE⊥BD， ∴∠EGB＝90°， ∴∠ABD+∠GEB＝90°， ∵∠GEB＝∠AEF， ∴∠ABD＝∠F， 在△ABD和△AFE中， ， ∴△ABD≌△AFE（AAS）， ∴AF＝AB； （2）证明：过点A作AM⊥AG交EF于M，如图， 则∠GAM＝90°， ∵∠EAF＝90°， ∴∠GAB+∠EAM＝∠FAM+∠EAM， ∴∠GAB＝∠MAF， 在△AGB和△AMF中， ， ∴△AGB≌△AMF（ASA）， ∴AM＝AG， ∵∠GAM＝90°， ∴△AMG为等腰直角三角形， ∴∠AMG＝∠AGM＝45°，， ∵∠DAB＝90°，∠GAM＝90°， ∴∠DAG＝∠EAM， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠AMG＝∠DEA＝45°， ∵CE⊥BD， ∴∠DGE＝90°， ∴∠DGA＝90°﹣∠AGM＝90°﹣45°＝45°， ∴∠AME＝∠DGA， 在△AME和△AGD中， ∴△AME≌△ADG（AAS）， ∴ME＝DG， ∴MG＝GE+ME＝GE+DG， ∵， ∴； （3）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠DAE＝90°， 在Rt△DAE中，由勾股定理得：， ∴， ∴∠DAE＝30°， ∴∠DEA＝90°﹣30°＝60°， ∵四边形BCDE与四边形FGDE关于直线DE对称， ∴∠DEF＝∠DEB， ∵∠PEB＝∠AEF， ∴∠DEA＝∠DEP＝60°， ∴∠PEB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠DPE＝60°， ∴△DEP为等边三角形， ∴， ∴梯形ADPE的面积为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/15 10:51:08；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $