江苏省南通市海安市紫石中学2025-2026学年上学期第二次学研九年级数学 试卷

2025-2026学年第一学期第二次学研 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第二、第四象限 C. 第一、第四象限 D. 第二、第三象限 2. 将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 4. 如图，点，在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（     ） A. 1.5 B. 3 C. 9 D. 13 5. 不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则（　　） A. B. C. 2 D. 8. 如图，建筑物和旗杆的水平距离为6m，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（ ） A. m B. m C. m D. m 9. 如图，在半圆中，为直径，点为半圆的三等分点，连接，相交于点，连接交于点．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图，M为斜边上的中点，等腰的底边与交于点P，若，则的最小值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，11-12题每题3分，13-16题每题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：______． 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 13. 某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛．若随机推荐，则两名同学均来自相同班级的概率是__________． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 15. 若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是___________．（用“”号连接） 16. 如图，正方形的顶点是坐标原点，分别在轴的正半轴上，反比例函数的图象与边分别交于点，边上的点满足． （）若，则线段的长为______； （）若的面积为，则实数的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况． （1）列举出所有可能的情况； （2）求出至少有一辆车向左转的概率． 19. 如图，在中，是高，矩形的顶点分别在上，在上，交于点，设，，，求矩形的面积． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值． 21. 如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）结合图象，直接写出时的取值范围； （3）求的面积． 23. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为______； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式； （3）设点，在该抛物线上，若，求m的取值范围． 24. 在中，，，点E在内部，以为斜边作等腰直角三角形，使得点D，E在AC的异侧，连接交于点M，点G在上，且满足． （1）如图1，求证：； （2）当点E是的中点时，连接，如图2，求的值； （3）连接，延长交于点F，如图3，求证：点F是的中点． 25. 【问题情境】 用两个直角边分别为a，b的4个全等的直角三角形可以拼成一个正方形．若可以拼成如图1所示的正方形，从而得到即当时，中间小正方形收缩为1个点，此时正方形的面积等于4个直角三角形面积的和．即于是我们可以得到结论a，b为正数，总有当且仅当时，代数式取得最小值2ab．另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论：∴对于任意实数a，b总有且当时，代数式取最小值2ab，同理，对于正数a，b，总有当且仅当时等号成立． 【类比应用】 利用上面所得到的结论完成填空： （1）当时，代数式的最小值为__________． （2）当时，代数式有最小值为________． （3）如图2，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，试求的最小面积． 【拓展应用】 （4）某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0．2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入=支出总费用参加活动的同学人数） （5）若正数a，b满足则的最小值为_______． 2025-2026学年第一学期第二次学研 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共6小题，11-12题每题3分，13-16题每题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 【11题答案】 【答案】##0.5 【12题答案】 【答案】15 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】（1），； （2）， 【18题答案】 【答案】（1） 解：两辆车分别记为车1，车2，可以用表格列举出所有可能出现的情况， 车1 车2 直行 左转 右转 直行 （直行，直行） （左转，直行） （右转，直行） 左转 （直行，左转） （左转，左转） （右转，左转） 右转 （直行，右转） （左转，右转） （右转，右转） （2） 【19题答案】 【答案】矩形的面积为． 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1） 证明：∵ 是的半径 ∴， （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） ∴（同弧或等弧所对的圆周角相等） （2） 【22题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【23题答案】 【答案】（1）直线 （2）或 （3）时，或；时， 【24题答案】 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） （3）证明： 法一：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又， ∴， 即点F是EC的中点． 法二：过点B作，延长交于点N，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点F是EC的中点． 【25题答案】 【答案】（1）4；（2）2；（3）2；（4）人数为60人，最低费用为36元；（5） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $