第8章 四边形（单元自测卷）八年级数学新教材苏科版

第8章 四边形 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．将圆柱体的侧面展开，将得不到（   ）． A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱体的侧面展开图，掌握圆柱体的侧面展开图是解题的关键； 根据圆柱的侧面展开图沿直线剪开可能为正方形、长方形或平行四边形可得结果． 【详解】围成圆柱的侧面的是一个圆筒，沿高线剪开，会得到长方形或正方形，沿斜直线剪开会得到平行四边形．但是无论怎么沿直线剪开，都不会得到梯形． 故选：C． 2．如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解题的关键． 根据三角形中位线的判定，确定是的中位线，再利用中位线定理求的长度． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．下列命题中正确的是（    ） A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，原说法错误，不符合题意； 故选；B． 4．如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质．由作法得：平分，再结合平行四边形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 5．如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， 故选：B． 6．如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得出，，再根据直角三角形两锐角互余可得出，再根据等边对等角得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C. 7．如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 【答案】B 【分析】本题考查梯形的知识，平行线之间的距离，三角形的面积，关键是这些知识的熟练掌握及灵活运用．根据梯形的性质可得的面积的面积，进而同理即可解决问题． 【详解】解：梯形中， ， ∴的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积， 同理的面积， ∴的面积的面积， 故选：B． 8．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案． 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．在平行四边形中，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握知识是解题的关键．根据平行四边形得到，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． 10．如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件 ，使矩形成为正方形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是正方形的判定．有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可． 【详解】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加：； 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加：； 故答案为：（答案不唯一） 11．如果一个梯形的中位线长为8，高为6，那么它的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是掌握梯形的中位线等于上底与下底和的一半．先求出该梯形上底与下底的和，再根据梯形面积公式即可解答． 【详解】解：∵梯形的中位线长为8， ∴该梯形上底与下底的和为， ∴它的面积， 故答案为：48． 12．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米． 【答案】84 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键．利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵M、N是、的中点， ∴， 又米， ∴米， 即A、B间的距离约为84米， 故答案为：84． 13．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键．根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可求解． 【详解】解：∵菱形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 先利用得出，再由，求出，即可求出梯形的面积． 【详解】解：， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．如图，四边形的四条边长均为，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，则的长为 ；连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据尺规作图可知垂直平分线，根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理可知的长度． 此题考查了尺规作垂直平分线以及中垂线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是掌握以上知识点． 【详解】解：根据题意可得图，连接， 垂直平分线段， ， , ∴， ， 故答案为：； 17．如图梯形的周长为，，分别是的外角平分线，于点，于点，则线段长为 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，梯形中位线的性质，延长交于点，延长交于点，可证，得到，，同理可得，，即可由得到，进而由梯形中位线的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵平分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理可得，，， ∵梯形的周长为， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴是梯形的中位线， ∴， 故答案为：． 18．如图，在中，为斜边的中点，． （1）线段的长为 ； （2）过点作的垂线，与相交于点，若，则边的长为 ． 【答案】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质求解； （2）通过延长中线，再证明四边形是矩形，接着说明垂直平分，然后用勾股定理得到关于的方程求解，再利用勾股定理求得． 【详解】（1）解：∵在中，，D为斜边的中点，， ∴​． 故答案为：； （2）解：延长到点F，使，连接、、，如图． ∵D为斜边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． ∴，，，． ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，斜边的中线等于斜边的一半，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（5分）如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，首先得到，然后得到，证明出，得到，进而证明即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ∴，     ∵于点E，于点F， ， ∵， ∴，     ∴， ∴， ∴．.............................................................................................................................5分 20．（6分）如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而推出，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形；...............................................................................................6分 21．（6分）下面是正方形点子图，请你在图中选一个点作为点D，使四边形成为一个梯形，至少画出两种情况 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查梯形作图，只有一组对边平行的四边形是梯形，据此解答． 【详解】（1） ......................................................................................................................................................3分 （2） ......................................................................................................................................................6分 22．（7分）如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的判定是解题关键．利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形．..............................................................................................................................................7分 23．（7分）在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． (1)在图1中，画出的中线； (2)在图2中，画出的角平分线（为格点） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，理解题意，灵活运用所学的知识解决问题是解题的关键． （1）连接，相交于点E，即可求解； （2）取格点F，连接即可； 【详解】（1）解：如图1，连接，相交于点E，则即为所求， ， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴为中点， ∴是的中线；.............................................................................................................................................3分 （2）解：如图2，取格点F，连接，则即为所求， 理由：∵， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即平分；....................................................................................................................................7分 24．（8分）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明四边形是平行四边形，由三线合一定理得到，据此可证明结论； （2）当时，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形．..........................................................................................................4分 （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形．.........................................................................................................8分 25．（8分）如图，在直角坐标系中，四边形为直角梯形，A点坐标为，B点坐标为．动点P、Q分别从C、A两点同时出发，点P以每秒1个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒2个单位的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为t（）； (1)当t为多少时，四边形是平行四边形？ (2)当t为多少时，四边形是等腰梯形？ 【答案】(1)2秒后，四边形是平行四边形 (2)秒后，四边形是等腰梯形 【分析】本题考查了几何中的动点问题，掌握平行四边形和等腰梯形的性质是解题关键； （1）根据即可建立方程求解； （2）作，，可退出，据此即可求解； 【详解】（1）解：设秒后，四边形是平行四边形； 则， ∴， ， 故2秒后，四边形是平行四边形；................................................................................4分 （2）解：设秒后，四边形是等腰梯形； 作，，如图所示： 由题意得：，四边形是平行四边形， ∴， ∴； 若四边形是等腰梯形，则， ∴， 故秒后，四边形是等腰梯形；..................................................................................8分 26．（8分）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，与三角形中位线有关的证明，梯形中位线定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先说明是的中位线，再根据三角形的中位线定理得出结论即可； 【详解】（2）先证明，从而可得，，于是有，再根据三角形的中位线定理得出，从而可得； （3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解． （1）解：∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：．...........................................................................................................2分 （2）， 理由：如图（2），连接并延长交的延长线于点E， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴．.............................................................................................................5分 （3）∵梯形的中位线长为，高为， ∴（）， 故答案为：．.........................................................................................................................8分 27．（9分）如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．...................................................................................................................................3分 （2）解：，证明如下：    如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即．.......................................................6分 （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，   ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10．............................................................................................9分 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 四边形 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．将圆柱体的侧面展开，将得不到（   ）． A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 D．正方形 2．如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．下列命题中正确的是（    ） A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 4．如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 6．如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 8．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．在平行四边形中，，则 ， ． 10．如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件 ，使矩形成为正方形（填一个即可）． 11．如果一个梯形的中位线长为8，高为6，那么它的面积为 ． 12．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米． 13．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为 ．    14．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 15．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 16．如图，四边形的四条边长均为，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，则的长为 ；连接，则的长为 ． 17．如图梯形的周长为，，分别是的外角平分线，于点，于点，则线段长为 18．如图，在中，为斜边的中点，． （1）线段的长为 ； （2）过点作的垂线，与相交于点，若，则边的长为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（5分）如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 20．（6分）如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 21．（6分）下面是正方形点子图，请你在图中选一个点作为点D，使四边形成为一个梯形，至少画出两种情况 (1) (2) 22．（7分）如图，在中，，为的中线．，，连接，求证：四边形为菱形． 23．（7分）在网格内用无刻度直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．无刻度直尺网格作图题，就是只能用无刻度的直尺在网格中取点、画直线、射线或线段，画出符合题目要求的图形．取点方法：如直接取格点，取两条格点连线的交点等． (1)在图1中，画出的中线； (2)在图2中，画出的角平分线（为格点） 24．（8分）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 25．（8分）如图，在直角坐标系中，四边形为直角梯形，A点坐标为，B点坐标为．动点P、Q分别从C、A两点同时出发，点P以每秒1个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒2个单位的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为t（）； (1)当t为多少时，四边形是平行四边形？ (2)当t为多少时，四边形是等腰梯形？ 26．（8分）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 27．（9分）如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 第8章四边形单元自测卷 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1 2 3 5 6 7 A 公 B B B 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分. 9.100°，80° 10.AB=BC(答案不唯一) 11.48 12.84 13.2√5 14.0B=0D(答案不唯一)15.112 16.√2，√6 17.15 18.√6,22 三、解答题：本题共9小题，共64分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19.(5分) 【详解】证明：四边形ABCD是菱形， ∴.CB=CD, BE⊥CD于点E,DF⊥BC于点F, ·LBEC=LDFC=90°， ∠C=∠C, .△BEC≌△DFC(AAS, ∴.EC=FC, ..CD-EC=BC-FC, BF=DE... 5分 20.(6分) 【详解】证明：：四边形ABCD是矩形， AD∥BC,AD=BC, CE=BC, :AD=CE, 又.AD∥CE, :四边形ACED是平行四边形； 6分 21.(6分) 【详解】(1) 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B ● ●●●● 3分 2 B ● ● ● 6分 22.(7分) 【详解】证明：，BE∥DC,BE=DC, .四边形BDCE为平行四边形， :∠ABC=90°，BD为ABC的中线， 1 BD=CD-74C. ∴.四边形BDCE为菱形， 7分 23.(7分) 【详解】(I)解：如图1，连接AC,BD相交于点E,则CE即为所求， 图1 理由：：AD=VP+22=BC,AB=V22+42=CD, .∴.四边形ABCD是平行四边形， E为BD中点， 2/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CE是△BCD的中线； 3分 (2)解：如图2，取格点F,连接AF,则AF即为所求， B 图2 理由：AD=P+22=DF, ∠DAF=∠DFA, 由(1)知：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD, .∠BAF=∠AFD, ∴.∠BAF=∠DAF, 即AF平分∠BAD;… 7分 24.(8分) 【详解】(1)证明：，点D是BC的中点， ∴.BD=CD, 又，AE=CD, :AE BD, AE∥BC,AE=BD, ∴.四边形AEBD是平行四边形， AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC, .∠ADB=90°， 四边形AEBD是矩形. 4分 (2)解：当∠ABC=45°时，四边形AEBD是正方形，证明如下： 由(I)可得AD⊥BC,且四边形AEBD是矩形， 又AD⊥BC,∠ABC=45°， 3/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∴.△ABD是等腰直角三角形， .AD BD, .矩形AEBD是正方形.8分 25.(8分) 【详解】(1)解：设t秒后，四边形PQAB是平行四边形； 则PB=AQ, ∴.6-t=2t, t=2, 故2秒后，四边形P0AB是平行四边形；4分 (2)解：设t秒后，四边形PQAB是等腰梯形； 作BD⊥AO,PE⊥A0,如图所示： yA P (P) B C o(2) EO D 由题意得：BC=6,AO=10,四边形BC0D是平行四边形， .0D=BC=6, .AD=4; 若四边形P0AB是等腰梯形，则QE=AD=4, .6-1=2t-4-4, 14 123 感秒后，四边形PQ1B是等陵梯2 … 8分 26.(8分) 【详解】(2)先证明sAME≌△BMC(AAS),，从而可得AE=BC,EM=CM,于是有 AD+BC:HD+4E=ED,再根据三角形的中位线定理得出MN=ED,从而可得AN=AD+BC: (3)根据梯形的面积公式，结合(2)中的结论求解. (1)解：点E是边AB的中点，点F是边AC的中点， .EF是ABC的中位线， 4/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .EF=BC, 2 故答案为：EF=二BC. 2分 (2)MN=4D+BC 理由：如图(2)，连接并延长CM交DA的延长线于点E, E B 图(2) AD∥BC, ∴.LE=LMCB, ,点M为AB的中点， .AM BM, 在△AME和△BMC中， ∠AME=∠BMC ∠E=∠MCB, AM=BM .△AME≌△BMC(AAS, ∴.AE=BC,EM=CM, ∴.AD+BC=AD+AE=ED, ,M为EC的中点，N为DC的中点， .MN为△CED的中位线， MN=1ED. 2 MN -(4D+BC). 5分 (3):梯形的中位线长为7cm,高为6cm, ∴.S梯形BCD= 1(AD+BC)h=MN.h=7x6=42 (cm ) 故答案为：42. 8分 27.(9分) 【详解】(1)解：如图，连接AC, 5/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 四边形ABCD是菱形， .AB=BC=CD=AD,AB∥CD, ∴.∠ACD=LBAC. ∠B=60°， .ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠ACD=∠BAC=60°. ,∠EAF=60°， ∴.LBAE+∠EAC=∠EAC+LCAF=60°， ∴.∠BAE=∠CAF, .△ABE≌△4CE(ASA), .AE=AF. 故答案为：AE=AF, 3分 (2)解：BE-DF=EF,证明如下： F BF C E 如图：在BC上取点F,使得BF'=DF,连接AF', ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠ABF'=∠ADF=90°， 在△ABF'和△ADF中， AB=AD ∠ABF'=∠ADF=90°， BE'=DE .△ABF'≌△4DF(SAS, 6/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AF'=AF,∠BAF'=∠DAF .∠EAF=45°，∠BAD=90°， ∴.∠DAE+∠DAF=∠DAE+∠BAF'=45°， ∠EAF'=∠EAF=45°. 在△AEF'和△AEF中， 「AF'=AF ∠EAF'=∠EAF, AE=AE .△AEF'≌△AEF(SAS), ∴.EF'=EF, .BE DF BE BF'=EF'=EF BE-DF EF .6分 (3)解：①如图，当点E在线段BC上时，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到 △ABF', 0 F .AF=AF,∠BAF'=∠DAF,DF=BF', 四边形ABCD为正方形，∠EAF=45°， ∠EAF'=∠BAF'+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF, 又：AE=AE, △EAF≌△EAF'(SAS :EF EF'=BF'+BEBE DF, ,AB=4 :BE EC=2, 设EF=x,则DF=x-2,CF=4-x-2=6-x, 在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE2+CF2=EF,即22+(6-x=,解得：x=10 1 r9 ②如图，当点E在BC延长线上时，取CD的中点G,连接AG, 7/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G .DG-CD. ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠ABE=∠D,BC=CD,∠BAD=90°， BE=1BC=2, ∴.BE=DG=2, .△ABE≌AADG(SAS), .'AE AG,Z BAE Z DAG .∠BAE+∠BAG=∠DAG+∠BAG=90°， ∴LEAF=LGAF=45°， 又AF=AF, .△AEF≌△AGF(SAS, ..EF=GF=DF-DG=DF -BE EF=x,DF=x+2,CF=x+2-4=x-2,CE=BE+BC=2+4=6, 在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2=EF2,即62+(x-22=x2, 解得：x=10. .∴.EF=10 综上所述，EF的长为9或10. …9分 3 8/8