2026年寒假验收卷一（范围：第6章 数据的收集、整理与描述-第9章 因式分解）八年级数学新教材苏科版

2026年寒假验收卷一 范围：新教材苏科版八下数学第6章（数据的收集、整理与描述）—第9章（因式分解） 建议用时：100分钟，满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：中等号右边不是积的形式，则A不符合题意， 是乘法运算，则B不符合题意， 是乘法运算，则C不符合题意， 符合因式分解的定义，则D符合题意， 故选：D． 2．2025年全国高考报名人数达到1335万人，相关部门要统计全国近五年的高考报名人数的变化情况，选用（    ）表示更合适． A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 【答案】C 【分析】此题考查了统计图的选择．统计近五年高考报名人数的变化情况，需要显示数据随时间的变化趋势，折线统计图能直观反映这种趋势． 【详解】解：∵折线统计图适用于表示数据随时间的变化情况，能清晰显示增减趋势， ∴选用折线统计图更合适． 故选：C 3．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理判断各选项是否成立即可． 【详解】解：∵ 平行四边形的判定定理：两组对边分别平行（选项C）、两组对边分别相等（选项A）、一组对边平行且相等（选项D）均能判定平行四边形； 而选项B：一组对边平行且另一组对边相等，不能判定平行四边形（如等腰梯形满足此条件但非平行四边形）． ∴ 不能判定四边形为平行四边形的是B． 故选B． 4．下列事件中，必然事件是（   ） A．2025年有13个月 B．长江是我国最长的河流 C．打开电视，正在播放新闻 D．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 【答案】B 【分析】必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件.选项A是不可能事件，因为一年只有12个月；选项B是事实，总是成立；选项C和D是随机事件，不一定发生． 本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵必然事件是必定会发生的事件， A中一年只有12个月，不可能有13个月，为不可能事件； B中长江是我国最长的河流，是客观事实，必然发生； C中打开电视可能播放新闻或其他节目，为随机事件； D中抛硬币可能正面或反面朝上，为随机事件．     ∴只有B是必然事件． 故答案为：B． 5．如图，这是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形中位线的性质求解． 【详解】解：连结， ∵，分别是，的中点，， ∴， 即，两点之间的距离为， 故选：B． 6．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据正方形性质得，在中，，根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：四边形为正方形， ， 在中，， ． 故选：． 7．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，作，，证明四边形是矩形，从而有，，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对直角边是斜边的一半得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴等腰梯形的周长为， 故选：． 8．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．在中，，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补． 根据平行四边形的性质可知，再有，可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 两式相加可得， ∴． 故答案为：． 10．一个容量为80的样本的最大值是142，最小值是52，若取组距为10，则可分成 组． 【答案】9 【分析】本题主要考查了频率分布表中组数的确定，熟练掌握“组数 = 极差÷组距（若结果不是整数则向上取整）”是解题的关键．先求极差，再用极差除以组距，根据结果确定组数． 【详解】解：∵最大值是142，最小值是52， ∴ 极差为 ， ∵取组距为10， ∴可分成 组， 故答案为：9． 11．3月12日是我国植树节，绿化祖国、改善生态环境是每一位公民的责任．某林业部门为考察某种耐寒幼树在大连沿海地区的移植成活率，在同等条件下对这种幼树进行大量移植，统计情况如下表： 移植总数n 50 150 400 750 1500 7000 9000 成活数m 47 134 369 680 1350 6335 8173 成活的频率 0.940 0.893 0.923 0.907 0.900 0.905 0.908 估计这种幼树移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1） 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率的方法；当试验次数大量增加时，事件发生的频率会稳定于概率，因此取移植总数较大时的成活频率进行估计，并精确到． 【详解】解：由表格数据可知，随着移植总数n的增加，成活频率逐渐稳定． 当时，频率为； 当时，频率为； 当时，频率为． 这些频率值均在附近波动，且精确到后均为， 因此估计这种幼树移植成活的概率为． 故答案为：． 12．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查平行线的性质、矩形的翻折和几何中角度的计算；根据矩形对边平行，而两直线平行，内错角相等，可以得到和，又，由翻折性质知，代入的值即可； 熟练掌握“两直线平行，内错角相等”和翻折前后的对应角相等是解题的关键． 【详解】在矩形中，， ， 由翻折得：， ， 则； 故答案为：． 13．如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要利用等腰三角形的性质和三角形中位线定理来求解的长度．首先，根据等腰三角形的性质确定；然后，利用三角形中位线定理计算的长度． 【详解】 又 ∴是的中位线， 故答案为：5. 14．如图所示的是一块大正方形地板砖，上面的图案是由四个全等的五边形和一个小正方形组成的．若，点是的中点，则图中大正方形地板砖的边长为 ． 【答案】 【分析】先利用图形对称性和勾股定理求出相关线段长度，再结合点是中点的条件推导． 【详解】解：四边形是正方形， ，． 设． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）． 是的中点， ， 大正方形地板砖的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是通过勾股定理计算小正方形对角线，最后结合“中点”条件确定大正方形边长． 15．如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】通过旋转构造全等三角形，利用角度关系证明三点共线，构造辅助线形成直角三角形，结合勾股定理计算DE的长度． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，作于F，于G，作于H． ， ，，． 在四边形中， ，， ． ． ． 点C，D，三点共线． 由旋转的性质得． ， ． ， 四边形是等腰梯形． ，． ，， 四边形是矩形． ． ，， ． 同理可得． ． ，，． ． ． ． 故答案为： 【点睛】本题运用四边形内角和定理、旋转的性质、等腰梯形的性质、矩形的性质以及勾股定理来求解． 16．如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接可知，的面积等于与的面积和，分别表示出和的面积，再列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 17．在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为 ． 【答案】6或7 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 分落在上和落在上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】①当落在上时，如图， ∵菱形中，，边长为8， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当落在上时，如图： 作交的延长线于点，作于点， ∵菱形， ∴， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴； 综上：或； 故答案为：6或7． 18．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式对余下的多项式继续分解． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，思路是“先提公因式，再用公式法”，注意检查分解是否彻底． 先提取公因式，然后再用公式法求解即可． 【详解】（1）解：原式=； .......................................................3分 （2）解：原式=． .......................................................................6分 20．（6分）每年的4月23日是世界读书日．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型(只填写一项)”的随机抽查，相关数据统计如下：请根据以上信息解答下列问题： (1)该校对 名学生进行了抽样调查； (2)请将图1补充完整；扇形统计图中“科幻”所对应的圆心角的度数是 ； (3)已知该校共有学生人，利用样本估计全校学生中最喜欢小说的人数约为 人； (4)学校图书馆打算采购一批图书，请你根据调查结果提供一些采购建议． 【答案】(1) (2)图见解析； (3) (4)优先多采购漫画类书籍；适当增加科幻类书籍的采购量；小说和其他类型书籍可按比例少量采购 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用选择“漫画”的人数除以其人数占比即可得到答案； （2）求出选择“科幻”的人数，再用360度乘以选择“科幻”的人数占比可求出对应的圆心角度数，最后补全统计图即可； （3）用乘以样本中选择“小说”的人数占比即可得到答案； （4）根据调查结果按比例进行适当建议即可． 【详解】（1）解：（人）， 故答案为：． .....................................................................................................................1分 （2）解：（人），图1补充如下： ， 对应圆心角度数为， 故答案为：． .............................................................................................................3分 （3）解：（人）， 故答案为：（人）． .....................................................................................................5分 （4）解：从调查结果看，喜欢漫画的学生占比最高（），科幻类占比其次（）， 因此建议： 优先多采购漫画类书籍； 适当增加科幻类书籍的采购量； 小说和其他类型书籍可按比例少量采购． .....................................................................6分 21．（6分）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； ......................................................................................................................3分 （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． .............................................6分 22．（6分）如图，，，，垂足分别为，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，则____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由等角推出与平行，再通过垂直条件和已知边相等，证明三角形全等得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明； （2）利用平行四边形的性质得到边的长度，结合的直角三角形性质，求出相关线段长度，再用勾股定理计算． 【详解】（1）证明：， ， ． ，， ． 在和中： ， ， 四边形是平行四边形． ............................................................................................3分 （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，． ， ． ....................................................................6分 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、角的直角三角形性质与勾股定理的应用，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，及直角三角形中角对的直角边为斜边的一半是解题的关键． 23．（7分）如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； ....................................................................................................3分 （2）解：四边形是矩形， ， 、分别为、中点， 是的中位线， ， ， ， ． .....................................................................................7分 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 24．（8分）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． .....................................................................................................4分 （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． .............................................................................................................8分 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 25．（8分）图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找一点D，连接，使； (2)在图②中，画出的角平分线； (3)在图③中，在边上找一点F，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是利用网格特点作图，同时考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，熟记基本几何图形的判定与性质是解本题的关键． （1）取格点M，N，再利用平行四边形的对角线互相平分可得线段的中点D； （2）取格点Q，K，连接，连接交于，再利用正方形的性质可得是的角平分线； （3）取格点，G，可得直线是的垂直平分线，交于，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； .....................................................................................................2分 （2）解：如图所示，即为所求； .....................................................................................................5分 （3）解：如图所示，即为所求． ......................................................................................................8分 26．（8分）某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究． 现有一张直角梯形纸片（如图1），，．    (1)有一张直角梯形纸片（如图2），，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的通过图形的运动，使点M、Q分别与点A、D重合，从而拼成一个（如图3），请完成填空：的值是 ；的值是 ； (2)有一张直角梯形纸片（如图4），，．请设计一种方法，用一条直线l将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形S）通过图形的运动能与梯形纸片（图1）拼成一个无重叠的直角三角形． 要求：①在答题纸图4的梯形EFGH纸片上画出直线l； ②写出直线l的与梯形的边的交点位置； （简述语言示例：点Q是梯形的顶点，点P是边的一个四等分点） ③直接写出图形S与梯形的面积比． 【答案】(1)． (2)①见详解；②点O是的一个三等分点；③ 【分析】本题考查直角梯形，平行线间线段成比例，矩形的判定与性质，全等三角形的判定，平行公理的推论，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，过点Q作于点E，推导出四边形是矩形，得到，继而推导出，，得到，则，得到，即可解答． （2）在上截取，证明，则符合题意；过点O作交于点P，过点H作于点M交w于点N，，四边形是矩形，四边形是矩形，得到，推导出，，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 过点Q作于点E，如图    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 由图3，图2，可得 ， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． .............................................................................................................4分 （2）如图，在上截取，作直线，即直线，    ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴符合题意， 如下图，过点O作交于点P，过点H作于点M交于点N，    由（1），同理可得，， ∵，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即O点是的一个三等分点， ∴． .......................................................8分 27．（9分）问题提出 （）如图，在正方形中，分别为边上的点，，连接，求证：． 小明是这样思考的：延长至点G，使，连接，如图，通过求证，此时即是，再证明即可证得结论．请你帮小明写出证明过程． 问题探究 （）如图，在直角梯形中，，，，是边上的一点，连结．若，，求的长． 问题解决 （）年月日，国家卫生健康委员会相关负责人在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某小区为积极响应国家号召，拟规划一所健身中心，如图4所示，健身中心由和正方形组成．根据设计要求，，现要在健身中心里修建一条笔直的训练长廊，为了满足健身需求，长廊要尽可能的长，请问长廊的长是否存在最大值？若存在，求出长廊的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）见解析；（）；（）存在，的最大值为 【分析】本题主要考查正方形、直角梯形及组合图形的几何性质展开，核心考查全等三角形的判定与性质，同时结合图形的旋转变换思想、勾股定理、三角形三边关系以及一元二次方程的解法，利用“截长补短”或旋转构造全等的几何转化能力，将线段和差、最值问题转化为全等三角形的对应边相等问题来求解． （）利用旋转全等思想，将绕点顺时针旋转得到，通过证，得到；结合，推导出，再用证明，得出；利用线段和的关系，完成证明； （）先由已知条件推得四边形为正方形，得等关键线段长度；再结合()中的结论，设未知数表示相关线段；最后在中，利用勾股定理列方程，求解未知线段长度； （）先作辅助线构造等腰直角三角形，通过证明，将转化为等长的；再依据“三角形两边之和大于第三边”，当三点共线时取最大值，进而得到的最大值． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ． ......................................................................................3分 （2）解：过点作交的延长线于点，则， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据（1）中的结论，可知， 设， ， ， ，， ， ， ， 解得：， 故． ..............................................................................................................................6分 （3）解：过点作，取，连结，， 四边形为正方形， ，， ， 又， ， ， 线段有最大值时，只需最大即可， 由题可得， 当、、三点共线时，取最大值，此时， ， ， 最大值为：， 的最大值为． ......................................................................................9分 学科网（北京）股份有限公司27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年寒假验收卷一 范围：新教材苏科版八下数学第6章（数据的收集、整理与描述）—第9章（因式分解） 建议用时：100分钟，满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．2025年全国高考报名人数达到1335万人，相关部门要统计全国近五年的高考报名人数的变化情况，选用（    ）表示更合适． A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 3．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 4．下列事件中，必然事件是（   ） A．2025年有13个月 B．长江是我国最长的河流 C．打开电视，正在播放新闻 D．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 5．如图，这是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．在中，，则的度数为 ． 10．一个容量为80的样本的最大值是142，最小值是52，若取组距为10，则可分成 组． 11．3月12日是我国植树节，绿化祖国、改善生态环境是每一位公民的责任．某林业部门为考察某种耐寒幼树在大连沿海地区的移植成活率，在同等条件下对这种幼树进行大量移植，统计情况如下表： 移植总数n 50 150 400 750 1500 7000 9000 成活数m 47 134 369 680 1350 6335 8173 成活的频率 0.940 0.893 0.923 0.907 0.900 0.905 0.908 估计这种幼树移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1） 12．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为 ． 13．如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为 ． 14．如图所示的是一块大正方形地板砖，上面的图案是由四个全等的五边形和一个小正方形组成的．若，点是的中点，则图中大正方形地板砖的边长为 ． 15．如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为 ． 16．如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 17．在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为 ． 18．因式分解： ． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）因式分解： (1) (2) 20．（6分）每年的4月23日是世界读书日．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型(只填写一项)”的随机抽查，相关数据统计如下：请根据以上信息解答下列问题： (1)该校对 名学生进行了抽样调查； (2)请将图1补充完整；扇形统计图中“科幻”所对应的圆心角的度数是 ； (3)已知该校共有学生人，利用样本估计全校学生中最喜欢小说的人数约为 人； (4)学校图书馆打算采购一批图书，请你根据调查结果提供一些采购建议． 21．（6分）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 22．（6分）如图，，，，垂足分别为，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，则____________． 23．（7分）如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 24．（8分）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 25．（8分）图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找一点D，连接，使； (2)在图②中，画出的角平分线； (3)在图③中，在边上找一点F，连接，使． 26．（8分）某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究． 现有一张直角梯形纸片（如图1），，．    (1)有一张直角梯形纸片（如图2），，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的通过图形的运动，使点M、Q分别与点A、D重合，从而拼成一个（如图3），请完成填空：的值是 ；的值是 ； (2)有一张直角梯形纸片（如图4），，．请设计一种方法，用一条直线l将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形S）通过图形的运动能与梯形纸片（图1）拼成一个无重叠的直角三角形． 要求：①在答题纸图4的梯形EFGH纸片上画出直线l； ②写出直线l的与梯形的边的交点位置； （简述语言示例：点Q是梯形的顶点，点P是边的一个四等分点） ③直接写出图形S与梯形的面积比． 27．（9分）问题提出 （）如图，在正方形中，分别为边上的点，，连接，求证：． 小明是这样思考的：延长至点G，使，连接，如图，通过求证，此时即是，再证明即可证得结论．请你帮小明写出证明过程． 问题探究 （）如图，在直角梯形中，，，，是边上的一点，连结．若，，求的长． 问题解决 （）年月日，国家卫生健康委员会相关负责人在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某小区为积极响应国家号召，拟规划一所健身中心，如图4所示，健身中心由和正方形组成．根据设计要求，，现要在健身中心里修建一条笔直的训练长廊，为了满足健身需求，长廊要尽可能的长，请问长廊的长是否存在最大值？若存在，求出长廊的最大值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2026年寒假验收卷 范围：新教材苏科版八下数学第6章（数据的收集、整理与描述）一第9章（因式分解） 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题月要求的， 1 5 7 0 C B B B D 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分. 9.115°/115度 10.9 11.0.9 12.70°70度 13.5 60 14.402 15.14 16. 17.6或7 18.2n(n-3)(n+3) 三、解答题：本题共9小题，共64分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19.(6分) 【详解】(1)解：原式=xy2-2）=x(y-x(y+；3分 (2)解：原式=3a2-4a+4=3a-22 6分 20.(6分) 【详解】(1)解：80÷40%=200（人）， 故答案为：200. 1分 (2)解：200-40-80-20=60（人），图1补充如下： ↑人数 8 80 60 60 40 40 360°× 20 60=108°， 200 0 0小说漫画科幻其它类型 图1 对应圆心角度数为108°， 故答案为：108°. 3分 (3)解：900×20%=180（人）， 故答案为：180（人). 5分 (4)解：从调查结果看，喜欢漫画的学生占比最高(40%)，科幻类占比其次(30%)， 因此建议： 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 优先多采购漫画类书籍： 适当增加科幻类书籍的采购量； 小说和其他类型书籍可按比例少量采购 6分 21.(6分) 【详解】(1)解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率”在0.5附近摆动， n 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； 3分 (2)解：580×0.5=290， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次. 6分 22.(6分) 【详解】(I)证明：：∠BCE=∠DEC, :BC∥DE, :∠CBH=∠EDG. :CH⊥BD,EG⊥BD, .∠CHB=∠EGD=90°. 在△BCH和△DEG中： ∠CBH=∠EDG ∠CHIB=∠EGD CH=EG △BCH≌△DEG(AAS), :BC=DE, 四边形BCDE是平行四边形. 3分 (2)解：由(1)得四边形BCDE是平行四边形， :DE =BC=4,BE =CD=6,BECD, ∠DCF=∠A=30°，∠CFD=∠ACB=90°， DF-CD-3. :CF=CD2-DF2=33,EF=DE-DF =4-3=1. :∠CFE=180°-∠CFD=90°， 2/8 画学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 CE=CF+EF=33)+1=27 6分 23.(7分) 【详解】(I)证明：：CE∥BD,DE∥AC, :四边形ODEC是平行四边形， 又：AC⊥BD, :∠D0C=90°， ·四边形ODEC是矩形； 3分 (2)解：“四边形ODEC是矩形， ∠ACE=90°， :O、F分别为AC、AE中点， :OF是△ACE的中位线， CE=20F=2, :∠CAE=30°， ∴AE=2CE=4, AC=VAE2-CE2=V④2-2=25.7分 24.(8分) 【详解】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC, ,AE平分∠BAD交BC于点E,F为边AD上的点，AB=AF, .∠FAE=∠BAE,∠FAE=∠BEA, ∠BAE=∠BEA, :AB EB, :AB=AF, .AF EB, :AF∥BE, 四边形ABEF是平行四边形， AB=AF, .四边形ABEF是菱形 4分 (2)解：连接CF,如图所示： 3/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D ,四边形ABEF是菱形， :EF AB=BE =2, CE=1,CF=3, :CE2+CF2=EF2=4,BC=BE+CE=3, ∴.△CEF是直角三角形，且∠ECF=90°， ∴.BF=VBC2+CF2=V32+(N5)2=2V5, .BF的长是25. 8分 25.(8分) 【详解】(1)解：如图所示，点D即为所求； B✉ --D 2分 (2)解：如图所示，AE即为所求； 5分 B (3)解：如图所示，∠AFC即为所求。 A 8分 26.(8分) 4/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 1 【详解】(1)解：，AD∥BC,MN=三AB,AN=NM, 2 .AN BN.AN AD 3 N.BNBC .AD_3 BC-BN=3 过点Q作OE⊥PN于点E,如图 E 图2 ∠QEP=90°， ,∠QMN=∠N=∠QEP=90°， ∴.四边形QMNE是矩形， .'MO=NE, 由图3，图2，可得 ∠NDA=∠MQN, ,MQ∥NP,AD∥BC, .∠QNP=∠MQN,∠NDA=∠C, .∠QNP=∠C, ,∠p=∠C, .∠QNP=∠P, ∴.PE=NE, .PN=PE+NE =2MO=2AD, .BC=3AD3 NP 2AD 2 13 故答案为：32 .4分 （2)如图，在EF上截取OE-B,作直线0H,即直线1. A(M)D() 图1 图2 图3 图4 5/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 MN-14B, 2 ∴.OE=MN, .EH=AD,MO=AD,FG=4EH .EH =MO,FG=4AD, ,∠E=∠M=90°， .△EHO≌△MQN, .△EHO符合题意， 如下图，过点O作OP∥FG交HG于点P,过点H作HM⊥FG于点M交OP于点N, E H 0 M 由(1)，同理可得，OP=2EH, ,EH∥FG,OP∥FG,HM⊥FG,EF⊥FG, .EH∥OP∥FG,EF∥HM, .四边形ONMF是平行四边形， ∠F=90°， .四边形OWMF是矩形， 同理可得四边形EHNO,EFMH是矩形， .EH =ON FM,OE=HN,EF HM, .PN =OP-ON=EH,MG=FG-FM 4EH -EH =3EH, 0P∥FG, HN=PN EH 1 HM MG 3EH3' .EF=HM=3HN=3OE,即O点是EF的一个三等分点， EH0 EH×EO1 8分 S直角梯形EFGH EF×(EH+FG) 3E0×5EH15 2 27.(9分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为正方形， .AD=AB,∠D=∠ABC=LBAD=90°， 6/8 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠D=∠ABG=90°， 又：BG=DE, △ABG≌△ADE(SAS, AE=AG,∠EAD=∠GAB, :∠EAF=45°， ·∠BAF+LEAD=45°， LGAF=∠EAF=45°， 又：AF=AF, △GAF≌△EAF SAS), :EF=GF, .EF =GF =GB BF DE B F. 3分 (2)解：过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F,则∠F=90°， D E AD‖BC,∠D=90°， 夕 ∠C=180°-∠D=90°， ·四边形AFCD是矩形， AD=CD=8, :四边形AFCD是正方形， CF=8, 根据(I)中的结论，可知BE=DE+BF, 设BE=X, DE=3, :BF BE-DE=x-3, .CB=CF-BF=8-x+3=11-x,CE=CD-DE=8-3=5, :∠C=90°， ∴.CE2+CB2=BE2, 7/8 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 52+11-x2=x2, 73 解得：x= 11 故BE=73 1 .6分 (3)解：过点A作AF⊥CA,取AF=AC,连结BF,CF, B A D E :四边形ABED为正方形， ∠DAB=90°，AB=AD, .∠BAF=LDAC, 又：AC=AF, ·.AFAB≌ACAD(SAS), :BF =CD, “线段CD有最大值时，只需BF最大即可， 由题可得BF≤BC+CF, 当B、C、F三点共线时，BF取最大值，此时BF=BC+CF, :.CF=AF2+4C2=1800(m), :CB=50m, .BF最大值为：V1800+50m, :CD的最大值为W1800+50m. 9分 8/8