第11章 二次根式（单元自测卷）八年级数学新教材苏科版

第11章 二次根式 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．的解在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 6．已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 7．如图，矩形中，对角线与交于点，垂直平分，是垂足，若，则的长是（   ） A．2 B．3 C． D． 8．若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．使有意义的x的取值范围是 ． 10．计算的结果是 ． 11．化简： ． 12．若为实数，且，则的值为 ． 13．现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则 ． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 15．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ． 16．化简： ． 17．在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为 ． 18．如图，在中，，D是上的动点，过点D作，交AC于点E，将沿直线翻折，点A落在F处，交于点G，则长度的最小值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）计算： (1)； (2)． 20．（6分）计算： (1)； (2)； (3)． 21．（5分）已知，，均为实数，求的值． 22．（7分）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 23．（7分）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 24．（8分）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 25．（8分）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 26．（8分）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 27．（9分）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第11章二次根式单元自测卷 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 D 公 B B B B D 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分. 9.x≥510.35 n.205 12.-2 13.-√2 14.b-2a15.60 16.2 17.35 18.含5 三、解答题：本题共9小题，共64分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19.(6分) 【详解】(1)解：V75-√54+√96-108 =5√5-3V6+46-65 =6-5 3分 2解53得2回 2592回 25*5(2w =-√2 .6分 20.(6分) 【译解】解：s+5-5x+ =45+5-√6+26 =5√5+√6 2分 2)解：20+5-6 5 V3 1/6 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2W5+W5 5 2N5 曾G =3-2V5 .4分 3)解：(3+v5)3-5)-(5- =9-5-3-25+1 =4-4+2V5 =2V5 .6分 21.(5分) 【详解】解：2x-5≥0,10-4x≥0 :x2 ∴.y=1 原式=xN2x÷ x55 -÷1 2-55×52 25万5分 22.(7分) 【详解】)解：依题意，a=2 2+ =2-5,b252+5 则a+b=2-5+2+5=4,ab=2-5×2+V5)=4-3=1. ..a'b+ab2=ab(a+b)=1x4=4......... .4分 (2)解：由(1)得a+b=4,ab=1, .a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=42-3×1=16-3=13.7分 23.(7分) 【详解】解：：AB=7m,AC=5m,BC=8m, p=a+b+c-8+5+7=10, 2 2 2/6 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :.S=p(p-a)(p-b)(p-c) =V10×2×5×3 =√300 =10V5 ≈17.3m2) 故这块菜地的面积约为17.3m2.7分 24.(8分) 【详解】(1)解：x=√2-1， ∴x+1=2, ∴.（x+12=2, ∴.x2+2x+1=2,即x2+2x=1, .x2+2x+7=1+7=8; .2分 2)解：x=0-3' 1 1 √10+3 ..x= 10-3(10-30+3) =V10+3. 5分 (3)解：x=0+3, .x-3=√10， ∴(x-3)2=(10,即x2-6x+9=10, .x2-6x=1, .-2x2+12x-8=-2(x2-6x-8=-2×1-8=-10.8分 25.(8分) 【解10)解：对于小 3/6 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 1-15=49 2分 648 99 2500 1 23 49 234 50 1 50 5分 (3)解：对被开方数通分并化简： 2n+1 (n+1)2 (n+1)-(2n+1) (n+1 n2+2n+1-2n-1 (n+1)2 n2 V(n+1)2 以 = n+1 ,n为正整数 四 n 2n+1 n n+1n+1' 即 (n+1) n+18分 26.(8分) 【详解】(1)解： 4+25=VW5+1=5+1, 故答案为：√3+1； 2分 (2)解：9-4厉=厅-2=-2， 故答案为：√15-2；5分 4/6 画学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 1 1 1 1 1 (3)解：3+2W5+5+267+2厉9+220 √4051+2V2025×2026 1 2+5++可5+ VN2025+V2026 2+13+24+5+5+√4 V2025+√2026 =2-1+√5-2+√4-5+5-√4+…+√2026-V2025 =√2026-1.… 8分 27.(9分) 【详解】1)解：令a=xb=16,则有a+b≥2b, 16=8, 得x+16≥2 x V x 当且仅当x=16时，即正数x=4时，式子有最小值，最小值为8： 故答案为：4,8； 2分 (2)解：根据新定义分式子是真分式， x+6_(x+1)+5 x+1 x+1 15 x+1 “x为整数，+6 1+2 x+4 的值为整数， x+4 2 为整数， x+4 ∴.x+4=2或x+4=-2或x+4=1或x+4=-1, 解得：x=-2或x=-6或x=-3或x=-5, 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，1+5， X十’4；o4分 (3)解：设这个矩形的长为x米，则宽为225米，所用的篱笆总长为y米。 根据题意得：y=2x+450 由上述性质知：：x>0, y=2x+450≥22x 450 =60 5/6 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 此时，x=225 .x=15, 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；6分 x-1 x-1 x-1 = 、1 (4)解：父-2x+5 x-2x+1+4(x-1+4x-1+4 -1 x>1, .x-1>0, 1+2- r-1 4 当且仅当名时，即3时，式子+有最小值为+4， x-1 当=3时，分式，2十写取到绿大值，最大值为 9分 6/6 第11章 二次根式 单元自测卷 建议用时：100分钟，满分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有根号内的数相同时才能直接合并系数．对此一一计算即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式加减时，需被开方数相同才能合并， 选项A：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项D：，正确． 故选D． 3．下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A．，被开方数含分母，不是最简二次根式； B．是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式； D．，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选：B． 4．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式化简，同类二次根式；找出与是同类二次根式的选项，即化简后被开方数均为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数为3，故A不符合题意； B、，被开方数为2，故B符合题意； C、，是整式，不是二次根式，故C不符合题意； D、，被开方数为3，故D不符合题意． 故选：B. 5．的解在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法，估算无理数的大小，熟练掌握估算方法是解题的关键． 先解方程，然后通过比较平方数估计所求解的范围. 【详解】解：∵ ， ∴，即， ∵ ， ，且 ， ∴， 因此在到之间. 故选：B． 6．已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算． 【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则 由，得：． 将代入代数式： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过的非负性确定的唯一值，再代入计算． 7．如图，矩形中，对角线与交于点，垂直平分，是垂足，若，则的长是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理． 由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，，， ， 垂直平分， ， ， ， ． 故选：B． 8．若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，由已知条件得出x满足方程，然后利用该方程简化表达式并求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴原式 ． 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出，然后正确的解不等式即可． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即． 故答案为：． 10．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则，直接计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键． 应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根． 【详解】； 故答案是：． 12．若为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 13．现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有． 例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键．根据新运算规则列出算式计算即可求解， 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴判断字母的符号是解题关键． 根据数轴可知，，，据此进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，则， ∴． 故答案为： 15．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由长方形的长为，面积为，得长方形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】解：∵长方形的长为，面积为， ∴长方形的宽为， ∵，，， ∴， ∴正方形的最大边长为长方形的宽， ∴正方形的最大面积为． 故答案为：60． 16．化简： ． 【答案】2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 17．在直角三角形中，，，，平分交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，过点D作于点E，利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质得到，根据求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， ∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，在中，，D是上的动点，过点D作，交AC于点E，将沿直线翻折，点A落在F处，交于点G，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，折叠的性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点，正确作出辅助线． 过点分别作，，垂足为，先由勾股定理求解得到，再由面积法求出，然后证明，由角平分线的性质定理得到，最后由垂线段最短即可求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： .................................................................................................................................3分 （2）解： ......................................................................................................................................6分 20．（6分）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)3-2 (3)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的乘法法则运算，再化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后根据二次根式的除法法则运算； （3）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ...................................................................................................................................2分 （2）解： ......................................................................................................................................4分 （3）解： ..........................................................................................................................................6分 21．（5分）已知，，均为实数，求的值． 【答案】 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性求出、的值,代入代数式即可求解． 本题考查了二次根式的基本性质，掌握二次根式的非负性是解题关键． 【详解】解：∵， ∴, ∴ ∴ 原式．...............................................................5分 22．（7分）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴．..........................................................................................4分 （2）解：由（1）得，， ∴．...........................................................7分 23．（7分）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 【答案】能， 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算． 将题目中的已知量代入到公式中计算即可． 【详解】解：，，， ， 故这块菜地的面积约为．...............................................................................................7分 24．（8分）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【答案】(1)8 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由分母有理化得； （3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴；..........................................................................................................2分 （2）解：∵， ∴；.......................................................................5分 （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴．...............................................................8分 25．（8分）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 【答案】(1)   (2) (3) 【分析】（1）通过观察已知例子，总结被开方数的规律，再利用二次根式的性质化简； （2）先根据规律将每个根式转化为分数形式，再通过约分计算乘积； （3）先对被开方数通分，再结合完全平方公式和二次根式性质化简． 【详解】（1）解：对于： ∵， ∴． 对于： ∵， ∴．.........................................................................................................................2分 （2）解： ．........................................................................................................................................5分 （3）解：对被开方数通分并化简： ∵为正整数 ∴，即．...............................................................................8分 【点睛】本题考查了二次根式的化简与规律探究，解题关键是通过观察例子总结出根式的化简规律，再利用分式约分、完全平方公式等知识进行计算． 26．（8分）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：；...................................................................................................................2分 （2）解：， 故答案为：；.................................................................................................................5分 （3）解： ．..............................................................................................................................8分 27．（9分）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8；......................................................................................................................2分 （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4；..........................................................................................4分 （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；........6分 （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为．....................................................9分 【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 学科网（北京）股份有限公司2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $