第02讲 幂的乘方与积的乘方（知识详解+4典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 第02讲幂的乘方与积的乘方（知识详解+4典例分析+习题巩固） 目标导航 【知识点01】幂的乘方 【题型二】幂的乘方的逆用 【知识点02】积的乘方 幂的乘方与积的乘方 【题型三】积的乘方运算 【题型一】幂的乘方运算 【题型四】积的乘方的逆用 0细详解 【知识点1】幂的乘方 1.幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘如()4是4个相乘，读作a的3次幂的4次方：(a")"是n个 a"相乘，读作a的m次幂的n次方 招底数啦 2.幂的乘方的运算性质 文字语言 推导 符号表示 对于任意的底数a,当m,n是正整数时 幂的乘方，底数不变 n个um 个m (am)(am)”=amn (am)”=am·am。…·am=an+m++m 指数相乘 (m,n是正整数) 幂的意义同底裁幂的乘法性质 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 指数相乘 (x)=x2=x 示例1 幂的乘方 底数不变 教材延伸 幂的乘方的推广与逆用 (1)幂的乘方的运算性质可推广为(a")”]P=amP(m,n,p是正整数) (2)幂的乘方的运算性质的逆用：amm=(a")”=(a")m(m,n是正整数) 【知识点2】积的乘方 积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方如(b)4,(ab)”等。 积的乘方的运算性质 文字语言 推导 符号表示 积的乘方，把积的每 对于任意底数a,b,当m是正整数时， (ab)m=a"b"(m是正整数) 一个因式分别乘方，再把 m个 所得的幂相乘 (ab)m=(ab)·(ab)·…·(ab)= m个a m个 (a·a·…·a）·(b·b·…·b)=a"bm 乘法交换律、乘法结合律 所得的幂相来 示例2 积的乘方 (2m)=2·m=8m 每一个图式分别乘方 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 教材延伸 积的乘方的推广与逆用 (1)积的乘方的运算性质也适用于三个及三个以上因式的积的乘方，即(abc)"=a"b"cmm是正整数) (2)积的乘方的运算性质的逆用：a"b"=(ab)"(m是正整数) 辨析：同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算性质的区别 运算性质 等号左边 运算特点 公式 同底数幂的乘法 am .a" 指数相加 am.an =amin 底数不变 幂的乘方 (am)n 指数相乘 (am)n=amn 积的乘方 (ab)m 底数中的每个因式分别乘方，幂相乘 (ab)m=ambm 典列分折 【题型一】幂的乘方运算 例1.(24-25七年级下江苏淮安·月考)若k为正整数， 则k+k+…+k =() k个k A.k2k+ B.k2 C.2 D.k月 例2.(24-25七年级下江苏苏州期中)计算：10)2= 例3.(24-25七年级下江苏扬州月考)已知a=35,b=44,比较α，b的大小关系.（用“<”连接) 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。 变式1.(24-25七年级下江苏宿迁期中)已知(-a2)°=5，则(-a)的值为（) A.-5 B.5 D.无法确定 变式2.(23-24七年级下·江苏南京·期中)若a"=3,则a2m的值为. 变式3.(24-25七年级下江苏淮安期中)请阅读下列材料：a3=2,b=3,比较a,b的大小关系： 解：：a5=(a)°=25=32，b5=(b)=32=27,且32>27 als >bis :ax b 类比阅读材料的方法，解答下列问题： ()上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 ； A.同底数幂的乘法B.同底数幂的除法C.幂的乘方D.积的乘方 (2)已知a>0,b>0,a3=9,b2=5,试比较a,b的大小. 【题型二】幂的乘方的逆用 例4.（24-25七年级下江苏南京期中)每天进步一点点(0.01)，一年后将远大于“1”，进步很大(1.0136$≈37.8).如 果每天比前一天进步1%，则两年后所得终值1.0130最接近下面数值中的() 4 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 A.75 B.200 C.378 D.1400 例5.(24-25七年级下江苏苏州月考)若x=2",y=4m+1,则用x的代数式表示y= 例6.(24-25七年级下江苏扬州期中)已知n为正整数，且x2"=4.求下列各式的值： (1)x"; (2)(x3m)2+2(x2)2m. 变式1.(24-25七年级下江苏南京·月考)已知a=53,b=7,则355可以表示为() A.a'bs B.ab C.a+b D.alsbis 变式2.(24-25七年级下·江苏扬州期中)已知a=25,b=34,c=43,则a,b,C的大小关系为 (用 “>”连接). 变式3.(24-25七年级下江苏泰州·期中)比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况 下，比较指数（或底数）的大小，如：2>23,5>4. (1)比较254,1253的大小. (2)比较355,44,5333的大小. 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 【题型三】积的乘方运算 例7.(24-25七年级下江苏·期中)(-a)2的计算结果是() A.-a B.as C.a D.-d 例8.(24-25七年级下江苏徐州·月考)（-22= 例9。（23-24七年级下江苏宿迁月考)先化简，再求值：(-0+（b),其中a-6=2. 变式1.(24-25七年级下·江苏扬州期中)计算-2x的结果是() A.4xs B.-4x C.4x6 D.-4x6 变式2.(24-25七年级下江苏无锡期末)若a2=2,b=5,则(b)°=一 变式3.（24-25七年级下江苏南京·期中)球体表面积的计算公式为S=4πr2.地球可以近似地看成一个球体，其半 径r约为6.4×10米，它的表面积约为多少平方米？（结果用科学记数法表示，π取3）· 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【题型四】积的乘方的逆用 例10.(24-25七年级下江苏泰州·月考)已知数N=22×58,则数N的位数是() A.8 B.11 C.10 D.9 例11.(23-24七年级下江苏宿迁期末)42021×-0.25)2021=_ 例12.（23-24七年级下·江苏常州·月考)已知10=a,5=b,求下列代数式的值：（结果用含a,b的代数式表示） (1)50的值； (2)2的值； (3)20的值 变式1.(24-25七年级下江苏无锡期中)化简 的值为() B.3 D. 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 变式2.(23-24七年级下江苏淮安期中)计算：（-0.5)224×22024= 变式3.(24-25七年级下·江苏淮安·期末)阅读理解：下面是小明完成的一道作业题 小明的作业：计算：（-4’×0.25. 解：原式=(-4×0.25)7=(-1)=-1. ()知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①82025×-0.125)2025； @(9 (2)知识拓展：若a=3,b=53,求155（用字母a,b表示）· 100 习题A固 一、 单选题 1.下列运算不正确的是（) A.x'.x'=x B.(x2)3=x6 C.-x3+x3=2x6D.(-2x)3=-8x 2.计算(2a2)'的结果为() 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 A.2as B.2a5 C.8a D.&a5 3.若3m+1×2m+1=63m-5,则m的值为（) A.3 B.4 C.5 D.6 4.下列属于幂的乘方的是（) A.x2 B.(y)2 c.(x2 D.(x2) g ×(-1)22”的结果是() A. c D 6.32=2,6=81,则2a+b=() A.4 B.6 C.8 D.-8 7.己知m2=2+23,则正整数m的值为() A.84 B.86 C.94 D.96 8.下列等式成立的是() A.(-a）'=a2 B.(-a2=(-a3 c.(a）'=a3.a3 D.(a)=(a2 9.已知m=8，,n=98,则722可以表示为() A.mn B.mns C.mn D.m'ns 10.若(-ab")3=-a2m-b2,则2m-n的值为() A.-1 B.1 C.-3 D.3 二、填空题 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 11.若(a2)=a5,则？”是 12.己知2m1×8m=32,则(-4)"+m=」 13.计算2022×(，)2= 2022 14.若2m=3,8”=5,则26m+2m= 15已知-：-0，则⅓的为 16.设a<0,则代数式中①-a,②4，③am,④a,⑤a,⑥a是负数的有 (填序号). 17.已知5=160,32=160，则(-2022)-10-1-1= l8.(a,b,c)表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，(ab,bc,ca表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为 左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数)，（ab2c,bc2a,cab)表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成 很多数组，记开始三个数之积为I=abc,第1个数组的三个数之积为T=abbcca=ab2c2,第n个数组的三个数之积为 工，(n为正整数)，若Tn=T,k>2024,则符合条件的最小的n值为 三、解答题 19.计算：xx+(-2x+(x2 20.计算： (1)102): 2(x2; 3[-a)], 10 第02讲 幂的乘方与积的乘方（知识详解+4典例分析+习题巩固） 【知识点01】幂的乘方 1.幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如()是4个相乘,读作a的3次幂的4次方;()是n个相乘,读作a的m 次幂的n 次方. 2.幂的乘方的运算性质 文字语言 推导 符号表示 幂的乘方,底数不变, 指数相乘 对于任意的底数a,当m,n 是正整数时, () (m,n是正整数). 教材延伸 幂的乘方的推广与逆用 （1）幂的乘方的运算性质可推广为[]=(是正整数). （2）幂的乘方的运算性质的逆用：==() (是正整数). 【知识点02】积的乘方 积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如等. 积的乘方的运算性质 文字语言 推导 符号表示 积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 对于任意底数a,b,当m 是正整数时, (m 是正整数) . 教材延伸 积的乘方的推广与逆用 （1）积的乘方的运算性质也适用于三个及三个以上因式的积的乘方,即 (m是正整数). （2）积的乘方的运算性质的逆用：(m是正整数). 辨析：同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算性质的区别 运算性质 等号左边 运算特点 公式 同底数幂的乘法 底数不变 指数相加 幂的乘方 指数相乘 积的乘方 底数中的每个因式分别乘方，幂相乘 【题型一】幂的乘方运算 例1．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）若k为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了算式的基本意义，k个k相加可以表示为，利用同底数幂的乘法以及幂的乘方即可得解． 【详解】解：， 故选：B． 例2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 例3．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）已知，比较a，b的大小关系．（用“”连接） 【答案】，见解析 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题主要考查幂的乘方，根据幂的乘方，可化成指数相同的幂，根据指数相同，底数越大，幂越大即可求出． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 变式1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则的值为（    ） A． B．5 C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用幂的乘方运算法则将，化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 变式2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）若，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘计算即可． 【详解】解∶∵， ∴， 故答案为：9． 变式3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）请阅读下列材料：，，比较，的大小关系： 解：∵，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C． 幂的乘方    D．积的乘方 (2)已知，，，，试比较，的大小． 【答案】(1)C (2) 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方的运算，根据题意所示，先根据幂的乘方的公式得到同指数幂，进而比较大小即可； 【详解】（1）解：由运算郭晨易看出运用的幂的乘方的公式， 故答案选：C （2）解：∵， 且 又， 【题型二】幂的乘方的逆用 例4．（24-25七年级下·江苏南京·期中）每天进步一点点（），一年后将远大于“1”，进步很大（）．如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（   ） A．75 B．200 C．378 D．1400 【答案】D 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 例5．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若，，则用x的代数式表示 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】此题主要考查了幂的乘方，要熟练掌握运算法则，解答此题的关键是要明确：是正整数）． 根据题意可得：，即可用的代数式表示． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 例6．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知为正整数，且．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)96 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方逆用． （1）根据题意可知，继而可得本题答案； （2）将整理得，再将（1）中结果代入其中即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴． 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握基本运算是解题关键； 先将变形为，再利用幂的乘方逆运算计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，则，，的大小关系为 （用“>”连接）． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，运用幂运算的性质把它们变成相同的指数，然后根据底数大的就大比较两个数的大小即可. 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为： 变式3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方的逆用、有理数的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，比较指数即可； （2）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即； （2）解：∵，，， 又∵，，， ∴， ∴． 【题型三】积的乘方运算 例7．（24-25七年级下·江苏·期中）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算 【分析】根据积的乘方运算法则计算判断即可． 本题考查了积的乘方，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵． 故选：B． 例8．（24-25七年级下·江苏徐州·月考） 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 例9．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．先算乘方，再算乘法，后算加减，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算，利用积的乘方运算法则计算即可，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，，则 ． 【答案】10 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，根据即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：10． 变式3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）球体表面积的计算公式为．地球可以近似地看成一个球体，其半径约为米，它的表面积约为多少平方米？（结果用科学记数法表示，取3）． 【答案】它的表面积约为平方米 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方的应用，根据球的表面积计算公式列式计算即可． 【详解】解： 平方米， 答：它的表面积约为平方米． 【题型四】积的乘方的逆用 例10．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知数，则数N的位数是（   ） A．8 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方，最终结果利用科学记数法进行表示后，得出结果． 【详解】解：， 故数N的位数是位； 故选C． 例11．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末） 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，熟练掌握积的乘方运算法则，是解题的关键．逆用积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 例12．（23-24七年级下·江苏常州·月考）已知，求下列代数式的值：（结果用含的代数式表示） (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算： （1）利用积的乘方的逆运算，即可求解； （2）利用积的乘方的逆运算，即可求解； （3）利用积的乘方的逆运算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：； （3）解：． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）化简的值为（ ） A．－ B． C．－ D． 【答案】A 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的逆运算法则计算解题即可． 【详解】解：， 故选：A． 变式2．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）计算： ． 【答案】1 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】利用积的乘方的逆运算将原式转化为乘积的幂的形式计算即可；本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1． 变式3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． (2)知识拓展：若，求（用字母表示）． 【答案】(1)①；②； (2) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）知识迁移：①结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可；②结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； （2）知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则、积的乘方逆运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 一、单选题 1．下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，根据这些法则一一判断即可． 【详解】解：，根据同底幂相乘法则可知选项A正确，不符合题意； ，根据幂的乘方法则可知选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，符合题意； ，根据积的乘方法则可知选项D正确，不符合题意； 故选：C． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及幂的乘方运算是解题的关键．根据积的乘方法则及幂的乘方运算，逐步计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．若，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，解一元一次方程，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．先根据积的乘方的逆用得出，再解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：A． 4．下列属于幂的乘方的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解决此题的关键． 根据积的乘方与幂的乘方进行计算即可得到答案． 【详解】解：A.没有运算，故不符合题意 B.，是积的乘方，故不符合题意 C.,是积的乘方和幂的乘方，故不符合题意 D.,是幂的乘方，故符合题意 故选：D ． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方．逆用积的乘方法则，计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 6．，，则（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，由题意可得，从而得出，即可得解，熟练掌握运算法则，进行适当变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 7．已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 8．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不成立，不符合题意； B、，，则此项不成立，不符合题意； C、，，则此项不成立，不符合题意； D、，，则此项成立，符合题意； 故选：D． 9．已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，将原式进行正确地变形是解题的关键．逆用幂的乘方与积的乘方法则将原式变形后即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 10．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 二、填空题 11．若，则“？”是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：， “？”是3． 故答案为：3． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】2022 【分析】根据逆用积的乘方进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，掌握即的乘方运算与同底数幂的乘法是解题的关键． 14．若，，则= ． 【答案】225 【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当，时， ， 故答案为：225． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，，，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 15．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据非负式子和为0，它们分别等于0，解出a，b，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：1； 【点睛】本题考查绝对值与完全平方的非负性，积的乘方的逆应用，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0，它们分别等于0，． 16．设，则代数式中①，②，③，④，⑤，⑥是负数的有 （填序号）． 【答案】③⑥ 【分析】先根据乘方、绝对值、相反数的概念对各数进行化简，结合正负数的概念进行判断即可． 【详解】解：， ，故①不合题意； ，故②不合题意； ，故③符合题意； ，故⑤不合题意； ，故⑥符合题意． 是负数的有③⑥． 故答案为：③⑥． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值，非负数的性质等知识，关键是理解负数的概念，而且要把这些数化为最后结果才能得出正确答案．这就又要理解平方、立方、绝对值，正负号的变化等知识点． 17．已知，，则 ． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 18．表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数），表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第个数组的三个数之积为（为正整数），若，，则符合条件的最小的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查整式的乘法、数字类规律探究，理解题意是解答的关键．先根据前几个变化规律得到，则只需，根据乘方运算即可求解． 【详解】解：由题意，第一个数组为， 第二个数组为， 则第三个数组为， 第四个数组为，……， ∴， ， ， ， ， ……， 依次类推，发现， ∵若，， ∴， ∵，， ∴n值最小为11， 故答案为：11． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方与积的乘方法则计算即可； 本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解： 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则．幂的乘方，底数不变，指数相乘，用公式表示为（、是正整数）．熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． （1）对于，可根据幂的乘方法则，即幂的乘方，底数不变，指数相乘来进行计算． （2）对于，同样依据幂的乘方法则，底数不变，指数与相乘． （3）对于，先根据幂的乘方法则，底数不变，指数与相乘，然后确定符号即可． （4）先根据幂的乘方法则计算，再取其相反数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（1）比较与的大小； （2）已知，，试比较P与Q的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方运算，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）将问题转化为比较之间的大小即可； （2）将利用积的逆运算整理得到即可比较大小． 【详解】解：（1）， 因为， 所以， （2） 所以． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据幂的乘方运算法则计算即可； （4）根据幂的乘方与同底数幂的乘法运算法则计算即可； （5）根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据积的乘方法则计算即可； （2）根据积的乘方法则计算即可； （3）先进行积的乘方计算，然后合并同类项即可； （4）先进行积的乘方计算，然后合并同类项即可； 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） ； 24．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用幂的乘方法则，通过底数不变、指数相乘来计算； （2）运用幂的乘方法则，同时注意负数偶次幂的符号处理； （3）先对两个式子分别进行幂的乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则计算； （4）把看作一个整体，运用幂的乘方法则计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘；同底数幂相乘：底数不变、指数相加是解题的关键． 25．（1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）144；（2） 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方的逆运算： （1）先根据积的乘方计算法则把所求式子变形为，再根据幂的乘方的逆运算法则把所求式子变形为，据此代值计算即可； （2）根据积的乘方计算法则把已知条件式变形为，则可得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴ ． （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得． 26．课上，同学们一起利用球的体积公式计算出地球的体积约是，接着老师问道：“太阳的半径约是地球的倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢”，你能迅速求出结果吗？ 【答案】 【分析】根据体积公式，结合积的乘方代入求解即可得到答案； 【详解】解：，若代表地球的半径，则太阳的半径为， ， ， ， 即太阳的体积约是． 【点睛】本题考查积的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $