第01讲 同底数幂的乘法（知识详解+3典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

本初中数学讲义聚焦同底数幂的乘法核心知识点，从同底数幂的定义出发，系统梳理运算性质（底数不变、指数相加）的文字描述、推导过程及符号表示，延伸至三个以上同底数幂相乘、逆用性质及幂的变形等拓展应用，构建从基础到进阶的学习支架。 资料通过分层典例（基础计算、逆用性质、科学记数法应用）与变式训练，结合光传播距离、星球体积等实际问题，培养学生运算能力、推理意识与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过习题巩固查漏补缺，强化知识理解与应用能力。

第01讲 同底数幂的乘法（知识详解+3典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的乘法 同底数幂的意义 同底数幂是指底数相同的幂 说明：同底数幂中的底数可以是单项式，也可以是多项式 同底数幂的乘法 的运算性质 文字语言 推导 符号表示 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 对于任意的底数𝑎 ，当𝑚，𝑛 是正整数时，   (𝑚,𝑛是正整数) . 教材延伸 幂的运算的常见拓展应用 （1）同底数幂的乘法的运算性质对于三个或三个以上的同底数幂相乘同样适用,如 (是正整数). （2）同底数幂的乘法的运算性质的逆用： (是正整数). （3）在幂的运算中,经常用到以下变形： 【题型一】同底数幂相乘 例1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）计算： ． 例3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）请用同底数幂的乘法运算性质（，其中是正整数），推导出积的乘方运算性质，其中是正整数． 变式1．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知，那么a、b、c之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，，则= ． 变式3．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）规定，求： (1)求； (2)若，求的值． 【题型二】同底数幂乘法的逆用 例4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 例5．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知：，则 ． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，，，为正整数，则 （用含，的代数式表示）． 变式3．（22-23七年级下·江苏宿迁·月考）下面是小明完成的一道作业题．小明的作业： 计算： 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【题型三】用科学记数法表示数的乘法 例6．已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 例7．（22-23七年级下·江苏泰州·月考）数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是 立方千米． 例8．某种计算机每秒可进行次运算．它工作，可进行多少次运算？ 变式1．为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 变式2．一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 变式3．光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 一、单选题 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．若（，为正整数），则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．若，，则的值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．① 7．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后再从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ） A． B． C． D． 8．下列算式中结果等于的是（　　） A． B． C． D． 9．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 二、填空题 11．已知：是正整数，且，，那么满足条件的整数一共有 个． 12．若，则 ． 13．计算，，则 ． 14．已知，，则 ． 15．一质点从距原点个单位的点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，则第次跳动后，该质点到原点的距离为 个单位． 16．规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 三、解答题 17．若，求m． 18．计算： (1) (2) (3)(是正整数)． 19．计算： (1)； (2)． 20．已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 21．计算： (1)； (2)（n为大于1的整数）； (3)（n为正整数） (4)． 22．记＝﹣2，＝（﹣2）×（﹣2），＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n个－2相乘，其中n为正整数）． (1)计算：； (2)求的值； (3)说明与互为相反数． 23．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：　　，　　，　　，　　； (2)观察（1）中的数量关系，猜想一般性的结论：　 　（），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想． 24．阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 25．阅读材料： 求的值． 解：令①． 将等式①两边同时乘2，得 ②． ②①，得，即， 所以 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：． (2)已知数列：，9，，，，…． ①它的第100个数是_____； ②求该数列中前100个数的和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 同底数幂的乘法（知识详解+3典例分析+习题巩固） 【知识点01】同底数幂的乘法 同底数幂的意义 同底数幂是指底数相同的幂 说明：同底数幂中的底数可以是单项式，也可以是多项式 同底数幂的乘法 的运算性质 文字语言 推导 符号表示 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 对于任意的底数𝑎 ，当𝑚，𝑛 是正整数时，   (𝑚,𝑛是正整数) . 教材延伸 幂的运算的常见拓展应用 （1）同底数幂的乘法的运算性质对于三个或三个以上的同底数幂相乘同样适用,如 (是正整数). （2）同底数幂的乘法的运算性质的逆用： (是正整数). （3）在幂的运算中,经常用到以下变形： 【题型一】同底数幂相乘 例1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可求解 【详解】解：， 故选：A 例2．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 例3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）请用同底数幂的乘法运算性质（，其中是正整数），推导出积的乘方运算性质，其中是正整数． 【答案】见解析 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查乘方的定义，同底数幂的乘法，根据乘方的定义，同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可． 【详解】解：， ． 变式1．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知，那么a、b、c之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据得，可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，，则= ． 【答案】30 【知识点】同底数幂相乘 【分析】此题考查同底数幂乘法的逆运算，根据同底数幂乘法公式得到，代入，求出结果． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为30． 变式3．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）规定，求： (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)27 (2) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，准确理解题目中给出的式子，正确计算是解答本题的关键． （1）根据题意把写成的形式，算出最后结果即可； （2）根据给出的式子，表示出，而，根据等式算出最后结果即可． 【详解】（1）解：， ； （2）∵，， ， ∴， 解得：． 【题型二】同底数幂乘法的逆用 例4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查同底数幂乘法法则、积的乘方法则以及对整数位数的理解．解题关键是熟练掌握同底数幂乘法法则． 首先利用同底数幂乘法法则将变形为 ，因为是位数．根据是10位数，得 乘一个数后变为10位数，这个数的范围是 ．最后根据的取值范围，进而得出的可能值． 【详解】， 是一个位数， 整数是一个10位数， ， 可能是，，， 可能是12，13，14． 故选：C． 例5．（24-25七年级下·江苏常州·期末）已知：，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法公式是解答本题的关键．先把变形为，再把，代入计算求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为： 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数： 甲袋：个，乙袋：个，丙袋：个， 一共有个球，且调整后三只袋中球的个数相同， 调整后每只袋中球数为：（个）， ，， ，， ． 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，，，为正整数，则 （用含，的代数式表示）． 【答案】/ 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】该题考查了同底数幂乘法法则，根据同底数幂乘法逆运用即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 变式3．（22-23七年级下·江苏宿迁·月考）下面是小明完成的一道作业题．小明的作业： 计算： 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①1 ②，知识拓展： 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】(1)根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可． (2)根据同底数幂的乘法的逆运算，再按照分数乘法计算即可． (3)根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可． 【详解】①， ②， 知识拓展：， ． 【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法． 【题型三】用科学记数法表示数的乘法 例6．已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选D． 例7．（22-23七年级下·江苏泰州·月考）数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是 立方千米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 例8．某种计算机每秒可进行次运算．它工作，可进行多少次运算？ 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及同底数幂的乘法，熟练掌握各个运算是解题的关键；由题意可列算式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：； 答：进行次运算． 变式1．为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 变式2．一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 变式3．光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 【答案】米 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，用光的传播速度乘以每一年的秒数，再乘以即可得到答案． 【详解】解： ． 答：比邻星与地球之间的距离大约是米． 一、单选题 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．先利用乘方变为同底数幂的乘法，再计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 直接运用同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选A． 3．若（，为正整数），则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题关键是理解并掌握相关运算法则．根据同底数幂乘法的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 4．若，，则的值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据题意可得，，则可得到，，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 5．下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 故A合题意． ∵， ∴B不合题意． ∵， ∴C不合题意． ∵， ∴D不合题意． 故选：A． 6．我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．① 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴， ①，故正确； ②，故错误； ③，故正确； 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除法公式，本题属于中等题型． 7．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后再从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂乘法，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．根据题意易得，，将其整理后易得，，将代入中解得的值，继而求得的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得：，， 则，， 那么， 因此， 整理得：， 则， 那么， 则， ， 故选：． 8．下列算式中结果等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则求解即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】 解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法的性质．此题难度不大，注意掌握符号的变化是解此题的关键． 9．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，由得，进而由同底数幂的乘法即可求解，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 10．已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将等式化简为，得到且，列举所有可能的自然数组合，计算的值，判断选项中不可能的结果． 【详解】解：原式可化为：， ， ， ，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 时，为负数，不符合自然数条件， 可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1． 故选：C． 二、填空题 11．已知：是正整数，且，，那么满足条件的整数一共有 个． 【答案】9 【分析】分别判断出当时，超出范围，不符合要求，不符合要求，即可得到满足条件的整数的个数． 【详解】解：∵当时，，是正整数，且， ∴当时，超出范围，不符合要求； 又∵当时，，是正整数，且， ∴不符合要求， ∴且n为整数， ∴满足条件的整数一共有9个， 故答案为：9． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、科学记数法的应用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键 12．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查同底数幂的乘法，代数式求值，根据可得，进而可得，再将的值代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 13．计算，，则 ． 【答案】10 【分析】此题考查同底数幂乘法的逆运算，根据同底数幂乘法逆运算得到代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为10． 14．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂相乘及其逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法法则，将和相乘得到，计算其值并化为以为底的幂，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．一质点从距原点个单位的点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，则第次跳动后，该质点到原点的距离为 个单位． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，能根据质点的跳动方式得出每跳一次，质点与原点的距离是上一次距原点距离的一半是解题的关键． 分别每次跳动后质点与原点的距离，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，点M所对应的数到原点的距离是16个单位， 根据质点的跳动方式， 则第一次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第二次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第三次跳动后，该质点到原点的距离是：； … 所以第2024次跳动后，该质点到原点的距离是：． 故答案为：． 16．规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 【答案】 125 1 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及运用： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴, 故答案为：125； （2）∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， 故答案为：1 三、解答题 17．若，求m． 【答案】 【分析】等式的右边进行同底数幂的乘法，根据指数相等列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ 2m＋7＝6＋4m， 解得． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、解一元一次方程等知识，熟练掌握同底数幂乘法法则是解题的关键． 18．计算： (1) (2) (3)(是正整数)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将或看作整体，利用同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）将或看作整体，利用同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法运算法则，准确计算． 20．已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键； （1）由可代入进行求解即可； （2）由可代入进行求解即可； （3）由可代入进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 21．计算： (1)； (2)（n为大于1的整数）； (3)（n为正整数） (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）变成同底数，用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． （2）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． （3）变成同底数，用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． （4）变成同底数，用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟悉同底数幂的运算法则． 22．记＝﹣2，＝（﹣2）×（﹣2），＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n个－2相乘，其中n为正整数）． (1)计算：； (2)求的值； (3)说明与互为相反数． 【答案】(1)32； (2)0； (3)说明见解析 【分析】（1）根据题意列出算式，结合有理数的乘方法则计算即可； （2）根据题意列出算式，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）列式求出，即可得到与互为相反数． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴与互为相反数． 【点睛】本题考查了新运算，有理数的乘方，同底数幂的乘法，相反数，灵活运用同底数幂的乘法法则变形是解题的关键． 23．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：　　，　　，　　，　　； (2)观察（1）中的数量关系，猜想一般性的结论：　 　（），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想． 【答案】(1)2；4；6；6 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案； （2）根据同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】（1）∵， ∴； ∵， ∴； ∴， ∵， ∴． 故答案为：2；4；6；6． （2）． 证明：设，，则，， 故可得， 根据对数的定义：， 即． 【点睛】本题考查整式的混合运算、同底数幂的乘法等知识，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 24．阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 【答案】①；②；③；④；（1）；；；（2）的值为625． 【分析】①利用乘方的意义，即可解答； ②利用乘方的意义，即可解答； ③利用乘方的意义，即可解答； ④从数字找规律，即可解答； （1）利用发现的规律，进行计算即可解答； （2）利用发现的规律，进行计算即可解答． 【详解】解：①； ②； ③（m，n是正整数）； ④一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有：； 故答案为：①；②；③；④； （1）；；； 故答案为：；；； （2），， ， ， 的值为625． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的乘法法则逆用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 25．阅读材料： 求的值． 解：令①． 将等式①两边同时乘2，得 ②． ②①，得，即， 所以 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：． (2)已知数列：，9，，，，…． ①它的第100个数是_____； ②求该数列中前100个数的和． 【答案】(1) (2) 该数列中前个数的和是 【分析】（1）根据阅读材料即可解决问题； （2）①观察数列的特征，发现后一个数是前一个数的-9倍，即可解决问题； ②表示出前100个数的和，再依据规律即可解题． 【详解】（1）解：由题知：令 将等式①两边同时乘3，得： 得：， 即 ． （2）解：①观察所给数列的特征可知，后一个数是前一个数的倍，且第一个数是.所以第个数是； ②前100个数的和为： 令 两边同时乘以，得 两式相减去，得： ，即， 所以这列数中前个数的和为． 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给计算方式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $