第03讲 定义、命题、定理与平移（知识详解+14典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版七年级数学下册同步讲义与测试

第03讲 定义、命题、定理与平移（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】定义 1. 我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义 . 2. 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断 .例如：根据方程的解的定义，可以判断x=是方程2x=3 的解 【知识点02】命题 内容 举例 注意 定义 可以判断为正确( 或真) 或错误( 或假) 的陈述语句，叫作命题 对顶角相等易错：一个词语、疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题 命题通常是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子 组成 命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 “对顶角相等”中的题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等” 表达形式 通常写成“如果……那么……”的形式“. 如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论 “对顶角相等”可改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 有些题设和结论不明显的命题，在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意 分类 真命题 被判断为正确(或真)的命题叫作真命题 对顶角相等 说明一个命题是真命题，需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确的结论 假命题 被判断为错误( 或假) 的命题叫作假命题 相等的角是对顶角 说明一个命题是假命题，只要举出一个例子( 反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了 【知识点03】定理与证明 1. 定理：经过推理证实得到的真命题叫作定理，定理也可以作为继续推理的依据. 2. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理 3. 证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； (2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 【知识点04】平移的概念 定义 一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移 把三角形ABC 沿直线PQ 平移， 得到三角形A′B′C′. 两要素 平移的方向 原图形上某一点到它对应点的方向 平移的距离 任意一组对应点所连线段的长度 对应 元素 对应点 如图，点A 与点A′，点B 与点B′， 点C 与点C′  对应线段 如图，AB 与A′B′，AC 与A′C′， BC 与B′C′  对应角 如图，∠ BAC 与∠ B′A′C′，∠ ABC 与∠ A′B′C′，∠ ACB 与∠ A′C′B′  【知识点05】平移的性质 性质 符号语言 图示 平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同 连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上) 且相等 如右图①，AA ′∥ BB ′，AA ′∥ CC ′， AA′=BB′=CC′，BB′ 与CC′在同一条直线上； 如右图②，AA′∥ BB′∥ CC′，AA′=BB′=CC′  平移前后两个图形中的对应线段平行(或在同一条直线上) 且相等,对应角相等 如右图①，AB ∥ A′B′， AC∥A′C′，BC与B′C′ 在同一条直线上， AB=A′B′， AC=A′C′，BC=B′C′， ∠ BAC= ∠ B ′A ′C′， ∠ ABC= ∠ A ′B ′C′， ∠ ACB= ∠ A′C′B′ 如右图②，AB ∥ A′B′， AC ∥ A ′C ′，BC ∥ B ′C ′，AB=A ′B ′， AC=A′C′，BC=B′C′， ∠ BAC= ∠ B ′A ′C′， ∠ ABC= ∠ A ′B ′C′， ∠ ACB= ∠ A′C′B′ 【知识点06】平移作图 平移作图的步骤 (1)定：确定平移方向和平移距离； (2)找：找到构成原图形的关键点； (3)移：将找到的关键点，按照已确定的平移方向和平移距离进行平移，确定对应点； (4)连：仿照原图形，连接对应点，得到平移后的图形； (5)写：写出结论 . 【题型一】判断是否是命题 例1．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 变式1．（23-24七年级下·全国·课后作业）有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是 （填序号）． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）举出一些学过的定义的例子． 【题型二】写出命题的题设与结论 例2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【题型三】判断命题真假 例3．（24-25七年级下·广东中山·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角； B．若两个角的和为，则这两个角互为邻补角； C．同位角相等； D．在同一平面内，若，则 变式1．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如果，则是 命题． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）说明“与一个偶数前后相邻的两个偶数之和，一定是4的倍数”是一个真命题． 【题型四】举例说明假（真）命题 例4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（   ） A． B． C．0 D．1 变式1．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 【题型五】定理与证明 例5．（23-24七年级下·湖北黄石·月考）“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 变式1．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【题型六】举反例 例6．已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（   ） A．16 B．15 C．24 D．42 变式1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为 ． 变式2．举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题． 【题型七】以几何为背景的推理与论证 例7．（24-25七年级下·四川成都·月考）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【题型八】以代数为背景的推理与论证 例8．（24-25七年级下·全国·课后作业）当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 变式1．（24-25七年级下·四川成都·月考）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，则的最大值等于 ． 变式2．（24-25七年级下·四川成都·月考）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【题型九】逻辑推理与论证 例9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（　　） A．22人 B．23人 C．44人 D．45人 变式1．（24-25七年级下·四川成都·月考）有16位选手参加象棋晋级赛．每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．如果和棋，每人各积分．比赛全部结束后，积分不少于10分者可以晋级．则本次比赛最多有 名晋级者． 变式2．（24-25七年级下·四川成都·月考）将2，3，…，n（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同），使得，求n的最小值． 【题型十】生活中的平移现象 例10．（25-26七年级下·全国·期末）如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 变式1．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹，这一现象说明了 的数学事实． 变式2．（25-26七年级下·全国·单元测试）邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    【题型十一】图形的平移 例11．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移 格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，如果把网格图中的三个涂了色的小正方形看作一个图形，把它在网格中进行多次平移，能不能将所有方格填满？如果填不满，怎样平移可使剩余的方格最少？最少剩余几个方格？ 【题型十二】利用平移的性质求解 例12．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，将沿方向平移得到，已知的周长为，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直角三角形是由直角三角形经过平移得到的，请写出它们的对应点、对应线段和对应角． 【题型十三】利用平移解决实际问题 例13．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·月考）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一块弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为 ． 变式2．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．求这块草地（阴影部分）的面积． 【题型十四】平移(作图) 例14．（22-23七年级下·广东珠海·期末）下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   变式1．（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，网格图中每一格的边长均为1个单位长度．把图形A向左平移2个单位长度，把图形B向左平移5个单位长度．请画出平移后的图形． 一、单选题 1．下列命题中，假命题是（  ） A．的绝对值是2 B．对顶角相等 C．在同一平面内，如果直线，，那么直线 D．1.01001000100001…是有理数 2．如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，，，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．54 3．如图，把三角形纸板进行平移（点在边上），点的对应点分别是点，，若点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，则点平移的路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行 B．直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．在下列汽车标志的图案中，能用图形的平移来分析其形成过程的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A．有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 8．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A．， B．， C．， D．， 9．如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交点G，连结，则与的周长和为（　　） A． B． C． D． 10．将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（    ） A．16 B．24 C．30 D．40 二、填空题 11．用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 12．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的值可以是 ． 13．在平面内，把一个图形沿某一方向移动一定的距离，会得到一个新图形． 图形的这种移动叫做平移变换，简称 ． 平移的性质： （1）新图形与原图形形状和大小 ，位置 ． （2）对应点的连线 ． 14．如图，在中，，将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，连接，，交于点O，有下列结论： ①，；②；③四边形的周长是22； ④．其中正确的结论有 个． 15．素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为 时，不是一个素数． 16．如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区，长，宽，为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为．小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 ． 三、解答题 17．判断下列命题是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例． (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行； (2)如果，那么． 18．如图，的顶点都在方格纸的格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．请在图中画出平移后的，并作出边上的高，再写出图中与线段平行的线段．    19．如图，的边长为．将平移得到，且，求阴影部分的面积．    20．（1）如图1，，使点A移动到点，请在网格纸上画出平移后的； （2）如图2，将四边形沿方向平移，平移距离为线段的长度，作出平移后的图形． 21．“九宫格”源于我国古代的“洛书”，九宫格的上面三格称为“上三宫”，下面三格称为“下三宫”，中间一小格称为“中宫”，左右两格称为“左宫”和“右宫”．如图，九宫格中分别对应着从九个数字，并且无论纵向、横向、斜向三条线上的三个数字之和皆相等．设“九宫”中九个数字分别为． (1)证明：九宫格中“中宫”的数字一定是5． (2)判断“左宫”和“右宫”的位置上能否是偶数，并说明理由． 22．（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 定义、命题、定理与平移（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】定义 1. 我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义 . 2. 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断 .例如：根据方程的解的定义，可以判断x=是方程2x=3 的解 【知识点02】命题 内容 举例 注意 定义 可以判断为正确( 或真) 或错误( 或假) 的陈述语句，叫作命题 对顶角相等易错：一个词语、疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题 命题通常是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子 组成 命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 “对顶角相等”中的题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等” 表达形式 通常写成“如果……那么……”的形式“. 如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论 “对顶角相等”可改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 有些题设和结论不明显的命题，在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意 分类 真命题 被判断为正确(或真)的命题叫作真命题 对顶角相等 说明一个命题是真命题，需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确的结论 假命题 被判断为错误( 或假) 的命题叫作假命题 相等的角是对顶角 说明一个命题是假命题，只要举出一个例子( 反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了 【知识点03】定理与证明 1. 定理：经过推理证实得到的真命题叫作定理，定理也可以作为继续推理的依据. 2. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理 3. 证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； (2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 【知识点04】平移的概念 定义 一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移 把三角形ABC 沿直线PQ 平移， 得到三角形A′B′C′. 两要素 平移的方向 原图形上某一点到它对应点的方向 平移的距离 任意一组对应点所连线段的长度 对应 元素 对应点 如图，点A 与点A′，点B 与点B′， 点C 与点C′  对应线段 如图，AB 与A′B′，AC 与A′C′， BC 与B′C′  对应角 如图，∠ BAC 与∠ B′A′C′，∠ ABC 与∠ A′B′C′，∠ ACB 与∠ A′C′B′  【知识点05】平移的性质 性质 符号语言 图示 平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同 连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上) 且相等 如右图①，AA ′∥ BB ′，AA ′∥ CC ′， AA′=BB′=CC′，BB′ 与CC′在同一条直线上； 如右图②，AA′∥ BB′∥ CC′，AA′=BB′=CC′  平移前后两个图形中的对应线段平行(或在同一条直线上) 且相等,对应角相等 如右图①，AB ∥ A′B′， AC∥A′C′，BC与B′C′ 在同一条直线上， AB=A′B′， AC=A′C′，BC=B′C′， ∠ BAC= ∠ B ′A ′C′， ∠ ABC= ∠ A ′B ′C′， ∠ ACB= ∠ A′C′B′ 如右图②，AB ∥ A′B′， AC ∥ A ′C ′，BC ∥ B ′C ′，AB=A ′B ′， AC=A′C′，BC=B′C′， ∠ BAC= ∠ B ′A ′C′， ∠ ABC= ∠ A ′B ′C′， ∠ ACB= ∠ A′C′B′ 【知识点06】平移作图 平移作图的步骤 (1)定：确定平移方向和平移距离； (2)找：找到构成原图形的关键点； (3)移：将找到的关键点，按照已确定的平移方向和平移距离进行平移，确定对应点； (4)连：仿照原图形，连接对应点，得到平移后的图形； (5)写：写出结论 . 【题型一】判断是否是命题 例1．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项． 【详解】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题； ∵ B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题； ∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴ C、D不是命题． 故选：A． 变式1．（23-24七年级下·全国·课后作业）有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对某一事件作出判断的语句叫做命题，逐一进行判断即可． 【详解】解：植物生长都需要水，是命题，故①符合题意； 负数大于正数，是命题，故②符合题意； 零既不是正数，也不是负数，是命题，故③符合题意； 画直角三角形，不是命题，故④不符合题意； 因为，所以，是命题，故⑤符合题意； 故答案为：①②③⑤． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）举出一些学过的定义的例子． 【答案】见解析 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查的是定义的含义．分别举出已经学习过的角的定义，三角形的定义即可． 【详解】解：角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫角； 三角形的定义：三条线段首尾顺次相连组成的图形叫三角形． 【题型二】写出命题的题设与结论 例2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 【答案】如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】将原命题分解为题设和结论，题设是“三个角是三角形的内角”，结论是“它们的和等于”，然后套用“如果……那么……”的形式. 【详解】解：命题“三角形的内角和等于”中，“三角形的内角”是题设，“和等于”是结论，因此改写成“如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于”. 故答案为：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 【题型三】判断命题真假 例3．（24-25七年级下·广东中山·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角； B．若两个角的和为，则这两个角互为邻补角； C．同位角相等； D．在同一平面内，若，则 【答案】D 【知识点】判断命题真假 【分析】本题主要考查了真假命题， 根据真假命题的定义逐项判断即可. 【详解】解：因为相等的角不一定是对顶角，该命题是假命题，所以A不符合题意； 因为若两个角的和为，则这两个角互为补角，该命题是假命题，所以B不符合题意； 因为同位角不一定相等，该命题是假命题，所以C不符合题意； 因为在同一平面内，若，则，该命题是真命题，所以D符合题意. 故选：D. 变式1．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如果，则是 命题． 【答案】假 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查判断命题真假，通过举反例说明命题的真假即可得出结论． 【详解】解：当，时，则且， ∴如果，则是假命题． 故答案为：假． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）说明“与一个偶数前后相邻的两个偶数之和，一定是4的倍数”是一个真命题． 【答案】见解析 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可； 根据题意，先设出这个偶数为， 则这个偶数的前一个偶数为，后一个偶数为， 求出其和，从而可证明． 【详解】解：设一个偶数为（为整数）， 则这个偶数的前一个偶数为，后一个偶数为， 故有， 因为为整数， 所以（为整数）一定是4的倍数， 所以原命题是真命题． 【题型四】举例说明假（真）命题 例4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ． 【答案】0 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的大小比较、实数的平方、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 【答案】(1)例如，两个的角相等，但它们不是直角． (2)例如，，，则，但，． (3)例如，，，则，但不是钝角． 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查举反例证明假命题的方法．对于每个命题，需要找出一个实例满足条件但不满足结论，从而说明命题不成立．反例需基于初中数学知识，如角的概念、有理数运算等． （1）根据原命题举出反例即可求解； （2）根据原命题举出反例即可求解； （3）根据原命题举出反例即可求解． 【详解】（1）解：两个角相等时，不一定都是直角， 例如，两个的角，它们相等，但都是锐角，不是直角． ∴命题“相等的角是直角”是假命题． （2）解：∵如果，和可能互为相反数， 例如，，，此时，但，． ∴命题“如果，那么，”是假命题． （3）解：如果，可能不是钝角， 例如，（锐角），，则，但是锐角，不是钝角． ∴命题“如果，那么是钝角”是假命题． 【题型五】定理与证明 例5．（23-24七年级下·湖北黄石·月考）“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 【答案】A 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查的是命题和定理，根据公理的概念判断即可． 【详解】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 【题型六】举反例 例6．已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（   ） A．16 B．15 C．24 D．42 【答案】D 【知识点】举反例 【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可． 【详解】解：A、16是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意； B、15不是偶数，也不是8的倍数，既不满足命题的题设，也不满足结论，故不能作为反例，不符合题意； C、24是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意； D、42是偶数，但42不是8的倍数，满足命题的题设，但不满足命题的结论，故能作为反例，符合题意． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·福建厦门·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为 ． 【答案】 【知识点】举反例 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题． 【答案】证明见解析 【知识点】举反例 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【详解】证明：两个不相等的角互为补角， 这两个角一个角大于，一个角小于， 即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题. 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【题型七】以几何为背景的推理与论证 例7．（24-25七年级下·四川成都·月考）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ． 【答案】 【知识点】以几何为背景的推理与论证 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见解析 【知识点】以几何为背景的推理与论证 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【题型八】以代数为背景的推理与论证 例8．（24-25七年级下·全国·课后作业）当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果． 【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 故选A． 变式1．（24-25七年级下·四川成都·月考）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，则的最大值等于 ． 【答案】 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】此题考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，根据此性质，找到符合题意的的数值，即可求出其乘积的最大值．已知，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证，8时均无解，当时，，，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解． 【详解】解：首先，和一定时，差越小积越大，所以越大，乘积越大， 验证，8时均无解， 当时，，，此时符合题意且积最大， 此时积为， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·四川成都·月考）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 【题型九】逻辑推理与论证 例9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（　　） A．22人 B．23人 C．44人 D．45人 【答案】D 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】题目要求确定在45名学生中，“潜力之星”的最大可能人数．根据定义，若某学生不亚于其他44人（即其语文或英语至少有一门高于对方），则该学生为“潜力之星”．通过构造两组学生，分别以语文和英语成绩为主导，确保每组学生在各自优势科目上高于另一组，且组内学生互相满足不亚于的条件，即可实现所有学生均为“潜力之星”． 【详解】1. 分组构造：将学生分为语文组和英语组， - 语文组：每个学生的语文成绩均高于英语组所有学生的语文成绩，且组内语文成绩递减，英语成绩递增， - 英语组：每个学生的英语成绩均高于语文组所有学生的英语成绩，且组内英语成绩递减，语文成绩递增； 2. 组间关系：    - 语文组学生在语文科目上高于所有英语组学生，因此语文组学生不亚于英语组学生，    - 英语组学生在英语科目上高于所有语文组学生，因此英语组学生不亚于语文组学生； 3. 组内关系：    - 语文组内，学生甲的语文成绩高于学生乙，则甲不亚于乙；乙的英语成绩高于甲，则乙也不亚于甲，    - 英语组内同理，学生间通过语文或英语成绩互相不亚于对方； 4. 结论：通过合理分配语文组和英语组人数（如22人和23人），所有45名学生均可满足“不亚于其他44人”的条件，因此“潜力之星”最多可能有45人． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·四川成都·月考）有16位选手参加象棋晋级赛．每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．如果和棋，每人各积分．比赛全部结束后，积分不少于10分者可以晋级．则本次比赛最多有 名晋级者． 【答案】 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题是一道推理填空题，考查了逻辑推理能力，解答此题的关键是利用假设推理的方法确定比赛晋级最多的选手．16名参赛选手所有的比赛一共有场，而且不论胜败，每场比赛总分为1分，所以比赛总分为120分，最理想的结果是人晋级，即有12人，每人10分，其余4人每人0分，但这种情况不可能出现那怕排名最后的2人相互之间的比赛也会有得分那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手，高手之间的比赛全平，每人得分，高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得10分，正好全部晋级． 【详解】解：16名参赛选手所有的比赛一共有场， 而且不论胜败，每场比赛总分为1分， 所以比赛总分为分， 最理想的结果是人晋级，即有12人，每人10分，其余4人每人0分， 但这种情况不可能出现那怕排名最后的2人相互之间的比赛也会有得分， 那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手， 高手之间的比赛全平，每人得分， 高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得10分，正好全部晋级． 综上所述：最多11人晋级； 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·四川成都·月考）将2，3，…，n（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同），使得，求n的最小值． 【答案】n的最小值为 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用，解题时通过列举法表示符合条件的数据，也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值．可假设将这些数分成两组A，B，由于，，所以A组不存在数a，b，c，使得，这样可设2在A组，这样可得出在A组，在B组，这样8放在A，B中任意一个，都有，这便说明这样的n的最小值为． 【详解】解：当时，把2，3，…，n分成如下两个数组：和…，， 在A组…，中，由于，， 所以其中不存在数a，b，c，使得， 在B组…，中，由于， 所以其中不存在数a，b，c，使得， 所以，， 下面证明当时，满足题设条件． 不妨设2在A组，若也在A组，则结论已经成立． 故不妨设在B组． 同理可设在A组，在B组． 此时考虑数，如果8在A组，我们取，，，此时； 如果8在B组，我们取，，，此时， 综上，满足题设条件． 所以，n的最小值为 ． 【题型十】生活中的平移现象 例10．（25-26七年级下·全国·期末）如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键．根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故选：C ． 变式1．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹，这一现象说明了 的数学事实． 【答案】线动成面 【知识点】生活中的平移现象 【分析】此题主要考查了点、线、面、体．从运动的观点来看，线动成面，进而得出答案． 【详解】解：“汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹”这一现象说明了线动成面的数学事实． 故答案为：线动成面． 变式2．（25-26七年级下·全国·单元测试）邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    【答案】种植蔬菜的面积为 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的知识，把横竖各两条道路平移到正方形的边上，求剩余空白部分的面积即可． 【详解】解：如图，    由平移，可把种植蔬菜的面积看成是边长为和的长方形的面积． 所以种植蔬菜的面积为． 答：种植蔬菜的面积为． 【题型十一】图形的平移 例11．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了平移的概念与性质，根据平移的概念即可判断． 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移 格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”． 【答案】2 【知识点】图形的平移 【分析】本题主要考查了平移的性质．先画出平移后得到的“W”，然后再根据平移的性质即可解答． 【详解】解：将字母“V”向左平移2格会得到字母“W”，平移后画出图形如下： 故答案为：2． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，如果把网格图中的三个涂了色的小正方形看作一个图形，把它在网格中进行多次平移，能不能将所有方格填满？如果填不满，怎样平移可使剩余的方格最少？最少剩余几个方格？ 【答案】不能，最少剩余2个方格，平移方式见解析 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查图形的平移，根据平移不改变图形的形状和大小，可知只能沿水平方向（向左或向右）或垂直方向（向上或向下）移动，由于图形的形状和网格的边界限制，可知不能将所有方格填满． 【详解】解：不能将所有方格填满．最少剩余2个方格， 平移方式为：向右平移到底，向上移一格，然后向左平移到底，再向上移一格，然后向右平移到底，再向上移一格，然后向左平移到底，最后只剩下左上角和右上角2个小格无法填充．如图： 【题型十二】利用平移的性质求解 例12．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，将沿方向平移得到，已知的周长为，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】此题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出是解题关键．根据平移的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：是由沿方向平移得到的，的周长为， ，，则四边形的周长为．     故选：A． 变式1．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质得到，，进而计算即可． 【详解】解：∵在中，，将沿射线平移后得到， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直角三角形是由直角三角形经过平移得到的，请写出它们的对应点、对应线段和对应角． 【答案】对应点：C与F，B与E，A与D；对应线段：与，与，与；对应角：与，与，与 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质，结合图形可直接求解． 【详解】解：对应点：C与F，B与E，A与D； 对应线段：与，与，与； 对应角：与，与，与． 【题型十三】利用平移解决实际问题 例13．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移在实际问题中的应用，解题的关键是理解台阶上铺地毯的长度与台阶水平方向总长度和垂直方向总长度的关系． 明确台阶的水平部分总长度等于底边的长度，垂直部分总长度等于高的长度；地毯的长度为水平部分总长度与垂直部分总长度之和，代入数值计算即可． 【详解】由题意可知，台阶的水平底边即所有台阶水平部分的总长度为台阶高即所有台阶垂直部分的总长度为． 在台阶上铺地毯，地毯的长度至少需要覆盖所有水平部分和垂直部分，因此地毯长度水平部分总长度垂直部分总长度． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·全国·月考）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一块弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为 ． 【答案】 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移得到长方形，再利用长方形的面积公式得出是解题关键．根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是，根据平移的性质，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：小路的左边线向右平移就是它的右边线， 将小路左半部分的草地向右平移，与小路的右半部分对接， 可以得到一个长为，宽为的长方形， 因此这块草地的绿地面积是， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·广东江门·月考）如图，在一块长为7米，宽为4米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线．求这块草地（阴影部分）的面积． 【答案】这块草地的面积为24平方米． 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为6米，宽为4米的长方形面积，据此计算求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为4米的长方形面积，即平方米， 答：这块草地的面积为24平方米． 【题型十四】平移(作图) 例14．（22-23七年级下·广东珠海·期末）下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】平移(作图) 【分析】根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； B．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； C．可以由一个“基本图形”平移得到，故此选项符合题意； D．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查利用平移设计图案，仔细观察各选项图形是解题的关键． 变式1．（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【答案】4或5或6 【知识点】平移(作图) 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，网格图中每一格的边长均为1个单位长度．把图形A向左平移2个单位长度，把图形B向左平移5个单位长度．请画出平移后的图形． 【答案】见解析 【知识点】平移(作图) 【分析】本题考查平移作图，确定平移后关键点的位置（三角形的顶点、圆的圆心、线段的端点等），即可求解． 【详解】解：如图，即为所求． 一、单选题 1．下列命题中，假命题是（  ） A．的绝对值是2 B．对顶角相等 C．在同一平面内，如果直线，，那么直线 D．1.01001000100001…是有理数 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．由绝对值的意义，对顶角的性质，平行公理的推论，无理数，即可判断． 【详解】解：A、的绝对值是2，原命题正确，不符合题意； B、对顶角相等，原命题正确，不符合题意； C、在同一平面内，如果直线，，那么直线，原命题正确，不符合题意； D、1.01001000100001…是无理数，原命题错误，符合题意； 故选：D． 2．如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，，，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．54 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质及三角形的面积公式，根据平移的性质得出，是解题的关键．根据平移的性质得出，，则，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：由平移的性质知，，，， ，， 的面积． 故选：A 3．如图，把三角形纸板进行平移（点在边上），点的对应点分别是点，，若点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，则点平移的路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的不变性是解题的关键． 根据平移的性质即可求解． 【详解】解：点平移至点的距离为：， ∴根据平移的性质可得， ∴点平移的路程为5， 故选：D． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行 B．直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】根据平行线的判定，平行公理、垂线的性质、点到直线的距离进行判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故为假命题，不合题意； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是这一点到这条直线的距离，故为假命题，不合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故为真命题，符合题意； D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 5．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正解对命题进行判断是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意； ④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意； 故选：A． 6．在下列汽车标志的图案中，能用图形的平移来分析其形成过程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一个方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案． 【详解】解：根据平移的概念，可知图案可以用图形的平移来分析其形成过程． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一个方向移动，学生混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选． 7．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A．有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 【答案】B 【分析】根据两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形可得出答案． 【详解】解：（1）当两斜边重合时可组成一个长方形，此时，，；    （2）当两直角边重合时有两种情况： ①短边重合，此时，，； ②长边重合，此时，，．    综上可得或8． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的知识，有一定难度，关键是利用两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形进行解答． 8．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方法则、有理数的大小比较法则即可解答． 【详解】解：A选项，，则，满足“若，则”，不是反例； B选项，，且，满足“若，则”，不是反例； C选项，，且，不满足“若，则”，是反例； D选项，，且，满足不满足“”，不是反例； 故选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题的时候可以举出反例，难度不大． 9．如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交点G，连结，则与的周长和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平移后，，与的周长相加即可转换为的周长，即可解题． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 与的周长和为（）， 故选：C． 10．将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（    ） A．16 B．24 C．30 D．40 【答案】D 【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案． 【详解】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x， 由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16， 解得：x+y=4， 如图， ∵图2中长方形的周长为48， ∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24， ∴AB=24-3x-4y， 根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长， ∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40， 故选：D． 【点睛】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 二、填空题 11．用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 12．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题．本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 【详解】解：当时，符合条件， 但， ∴命题“如果，那么”是假命题． 同样当时，也可以判断命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（也可以是等，答案不唯一）． 13．在平面内，把一个图形沿某一方向移动一定的距离，会得到一个新图形． 图形的这种移动叫做平移变换，简称 ． 平移的性质： （1）新图形与原图形形状和大小 ，位置 ． （2）对应点的连线 ． 【答案】 平移 完全相同 不同 平行且相等 【解析】略 14．如图，在中，，将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，连接，，交于点O，有下列结论： ①，；②；③四边形的周长是22； ④．其中正确的结论有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平移的距离以及图形的面积．根据平移的性质逐一判定即可． 【详解】解：∵将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，， ∴，，，，，， ∴，四边形的周长．， ∴， ∴， 即结论正确的有4个． 故答案为：． 15．素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为 时，不是一个素数． 【答案】 【分析】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被和它自身整除的自然数）是解题的关键．通过代入不同的自然数（）到中，计算结果并判断是否为素数，找到反例． 【详解】解：当时，，是素数； 当时，，，不是素数． 故答案为： 16．如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区，长，宽，为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为．小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 ． 【答案】196 【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．利用平移法可得横向距离等于的长，纵向距离等于，由此即可得． 【详解】解：由平移法得：小明所走的路线长为 ， 故答案为：196． 三、解答题 17．判断下列命题是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例． (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行； (2)如果，那么． 【答案】(1)是真命题 (2)是假命题，反例见解析 【分析】本题考查了平行公理推论，绝对值的性质，判断命题的真假，举反例． （1）根据平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行即可求解； （2）根据绝对值的定义即可求解． 【详解】（1）解：是真命题． 理由：根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得“平行于同一条直线的两条直线互相平行”是真命题． （2）解：是假命题． 理由：当，时，，， 满足，但是， 故“如果，那么”是假命题． 18．如图，的顶点都在方格纸的格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．请在图中画出平移后的，并作出边上的高，再写出图中与线段平行的线段．    【答案】图见解析； 【分析】利用平移的概念作出平移后的图形，再写出图中与线段平行的线段即可． 【详解】如图，为所作，为所作，．    【点睛】本题考查平移的性质和作出平移后的图形，本题的关键是熟练掌握以上性质和方法和运用数形结合思想． 19．如图，的边长为．将平移得到，且，求阴影部分的面积．    【答案】 【分析】根据平移特点得出，得出阴影部分的面积长方形的面积． 【详解】解：∵将平移得到， ∴， ∵， ∴四边形是长方形，， ∴阴影部分的面积长方形的面积． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是根据题意得出阴影部分的面积长方形的面积． 20．（1）如图1，，使点A移动到点，请在网格纸上画出平移后的； （2）如图2，将四边形沿方向平移，平移距离为线段的长度，作出平移后的图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了图形的平移作图，解题的关键是掌握平移的性质：平移前后对应点连线平行（或在同一直线上）且相等，根据已知点的平移确定图形各顶点平移后的位置． （1）先根据已知的点与点的对应关系，观察其平移的方向和距离，再将关键点都依此规律作出对应点，按照原图中的顺序连结起来即可． （2）根据方向和长度，将四边形各顶点按此方向平移相同距离，再连接各对应点． 【详解】解：（1）如图1所示，即为所求； （2）如图2所示． 21．“九宫格”源于我国古代的“洛书”，九宫格的上面三格称为“上三宫”，下面三格称为“下三宫”，中间一小格称为“中宫”，左右两格称为“左宫”和“右宫”．如图，九宫格中分别对应着从九个数字，并且无论纵向、横向、斜向三条线上的三个数字之和皆相等．设“九宫”中九个数字分别为． (1)证明：九宫格中“中宫”的数字一定是5． (2)判断“左宫”和“右宫”的位置上能否是偶数，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不能是偶数，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，逻辑推理： （1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为，根据题意，分别对应中的一个数字，得到9个数之和为，根据纵向、横向、斜向3个数字之和相同，得到，进而得到，求解即可； （2）假设“左宫”数字为偶数，则“右宫”数字也为偶数，推出与中4个偶数5个奇数相矛盾，即可． 【详解】（1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为． 因为， 所以 所以， 又因为， 所以， 所以， 即“中宫”的数字一定是5． （2）假设“左宫”数字为偶数， 因为纵向、横向、斜向3个数字之和均为，中宫数字是5，为奇数； 则“右宫”数字也为偶数， 则数字必为一奇一偶， 不妨设为奇数，为偶数， 则必为偶数，为奇数， 这与中4个偶数5个奇数相矛盾， 所以“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数． 根据九宫格的对称性知为偶数，为奇数，也会产生矛盾． 奇 偶 偶 偶 5奇 偶 偶 偶 奇 故“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数． 22．（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（）；（）点在内部时，，则；是真命题；证明见解析；（），理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题真假，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后利用角度和差即可求证； （）过作，证明即可； （）设交于，过作，则有，所以，，，，然后利用角度和差即可求解． 【详解】解：（）过作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （）（）中命题的题设和结论互换后的命题是：点在内部时，，则； 互换后的命题是真命题，理由如下： 过作，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （），理由如下： 设交于，过作，如图： ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $