第02讲 平行线（知识详解+16典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版七年级数学下册同步讲义与测试

第02讲 平行线（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的概念 名称 定义 表示法 图示 平行线 在同一平面内，当直线a，b 不相交时，我们说直线a 与b 互相平行没有公共点 前提条件 记作a ∥ b， 读作“a 平行于b” 注意 (1)在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行. (2)线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 【知识点02】平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线 步骤 具体方法 图示 一“落” 把三角尺的一边落在已知直线上 二“靠” 用直尺紧靠三角尺的另一边 三“移” 保持直尺不动，沿直尺推动三角尺 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线 【知识点03】平行线的基本事实及其推论 1. 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 特别提醒：平行线基本事实的前提是过直线外一点，若点在直线上，则不可能有已知直线的平行线. 2. 平行线基本事实的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行. 表达方式：如果a ∥ c，b ∥ c，那么a ∥ b. 【知识点04】平行线的判定 判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行前面我们讲的平行线的画法，应用的就是判定方法1 ∵∠ 1= ∠ 2，∴ ∥ 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行 ∵∠ 2= ∠ 3，∴∥ 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 ∵∠ 2+ ∠ 4=180°， ∴ ∥  除了上面三种判定方法外，还有以下三种利用位置关系判定两直线平行的方法： (1)平行线的定义； (2)平行线基本事实的推论(平行线的传递性)； (3)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 简记成：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【知识点05】平行线的性质 1. 平行线的性质 类别 文字语言 符号语言 图示 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等 ∵  ∥ ， ∴∠ 1= ∠ 2 性质2 两条平行直线被第三条直线所截， 内错角相等. 简单说成:两直线平行，内错角相等 ∵  ∥ ， ∴∠ 2= ∠ 3 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 ∵  ∥ ， ∴∠ 2+ ∠ 4=180° 2. 平行线的判定与性质的区别与联系 平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行). 图示如下： 【题型一】平面内两直线的位置关系 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 变式2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，哪些线段是互相平行的？请你用“”表示出来． 【题型二】用直尺、三角板画平行线 例2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 变式1．（24-25七年级下·四川广元·期末）用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有 ．（请填写序号） 变式2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【题型三】平行公理的应用 例3．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在平面内过点作已知直线的平行线，可作的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 变式1．（24-25七年级下·上海·期中）写出任意一条本学期学过的公理： ． 变式2．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）在同一平面内，直线l的同侧有A，B，C三点，如果，，那么A，B，C三点是否在同一条直线上？画图并说明理由． 【题型四】平行公理推论的应用 例4．（24-25七年级下·山西朔州·月考）若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 【题型五】同位角相等两直线平行 例5．（22-23七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，能判断直线的条件是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，．与平行吗？请说明理由． 【题型六】内错角相等两直线平行 例6．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，添加一个条件： ，使得． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【题型七】同旁内角互补两直线平行 例7．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）如图，，，，则点到的距离是 ． 变式2．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【题型八】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 例8．（24-25七年级下·河南焦作·期中）连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利，更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 【题型九】两直线平行同位角相等 例9．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，，若，则的度数为 ．    变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 【题型十】两直线平行内错角相等 例10．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，直线c与直线a，b都相交，．若，则（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）结合如图，用符号语言表达“两直线平行，内错角相等”的推理形式：， ． 变式2．（23-24七年级下·江西赣州·期末）完成下面的证明：如图，和相交于点O，，．求证． 证明：（已知） （①______）． （已知） （等量代换）． ②______（③______）． （等量代换）． 【题型十一】两直线平行同旁内角互补 例11．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，平行直线、被直线所截，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，已知，则 ． 变式2．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，在四边形中，，则等于多少度？和有怎样的大小关系？为什么？ 【题型十二】根据平行线的性质探究角的关系 例12．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·月考）如图，已知直线，则、、之间的关系是 ． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，．如果，那么．请将下面的说理过程补充完整． （已知）， ( )， ( )． （已知）， ( )． 【题型十三】根据平行线的性质求角的度数 例13．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 变式2．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【题型十四】平行线的性质在生活中的应用 例14．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 变式1．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是两条道路互相垂直的交叉路口，你能画出它的平面示意图（用两条平行线段表示一条道路）吗？你能用类似的方法，画出两条道路成角的交叉路口的平面示意图吗？ 【题型十五】根据平行线判定与性质求角度 例15．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图，与互补，，则的度数是 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，，，．求的度数． 【题型十六】根据平行线判定与性质证明 例16．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是 ． ①；②；③；④；⑤若，则． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点E在线段上，，．请判断与是否平行，并说明理由． 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．在同一平面内，不相交的两条直线必平行 B．相等的角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 2．在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 3．已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列图形中，，其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知直线被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线上），设，．下列各式：①；②；③；④，的度数可能是（  ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 10．在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a c． 11．若两个角的两边互相平行，其中一个角为，则另一个角的度数为 ． 12．如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 13．如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 14．如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 15．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 16．如图，于D，，，则与的位置关系是 ． 17．如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号） 三、解答题 18．如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 19．如图，，平分，请说明：． 20．如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 21．补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 22．如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 23．【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 24．在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 25．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平行线（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的概念 名称 定义 表示法 图示 平行线 在同一平面内，当直线a，b 不相交时，我们说直线a 与b 互相平行没有公共点 前提条件 记作a ∥ b， 读作“a 平行于b” 注意 (1)在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行. (2)线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 【知识点02】平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线 步骤 具体方法 图示 一“落” 把三角尺的一边落在已知直线上 二“靠” 用直尺紧靠三角尺的另一边 三“移” 保持直尺不动，沿直尺推动三角尺 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线 【知识点03】平行线的基本事实及其推论 1. 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 特别提醒：平行线基本事实的前提是过直线外一点，若点在直线上，则不可能有已知直线的平行线. 2. 平行线基本事实的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行. 表达方式：如果a ∥ c，b ∥ c，那么a ∥ b. 【知识点04】平行线的判定 判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行前面我们讲的平行线的画法，应用的就是判定方法1 ∵∠ 1= ∠ 2，∴ ∥ 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行 ∵∠ 2= ∠ 3，∴∥ 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 ∵∠ 2+ ∠ 4=180°， ∴ ∥  除了上面三种判定方法外，还有以下三种利用位置关系判定两直线平行的方法： (1)平行线的定义； (2)平行线基本事实的推论(平行线的传递性)； (3)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 简记成：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【知识点05】平行线的性质 1. 平行线的性质 类别 文字语言 符号语言 图示 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等 ∵  ∥ ， ∴∠ 1= ∠ 2 性质2 两条平行直线被第三条直线所截， 内错角相等. 简单说成:两直线平行，内错角相等 ∵  ∥ ， ∴∠ 2= ∠ 3 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 ∵  ∥ ， ∴∠ 2+ ∠ 4=180° 2. 平行线的判定与性质的区别与联系 平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行). 图示如下： 【题型一】平面内两直线的位置关系 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【详解】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【答案】 三 相交、平行、重合 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了同一平面内的两条直线的位置关系，根据同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合回答即可． 【详解】解：同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合， 故答案为：三；相交、平行、重合． 变式2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，哪些线段是互相平行的？请你用“”表示出来． 【答案】，， 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查网格中平行线的识别，熟记平行线的特征是解决问题的关键． 根据网格中各个线段的特征求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由于是矩形的对角线，则图中也是矩形对角线的是， 即； 由于是正方形的对角线，图中正方形的对角线的是， 即； 由于是矩形的对角线，图中矩形对角线的是， 即； 综上所述，互相平行的线段有，，． 【题型二】用直尺、三角板画平行线 例2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·四川广元·期末）用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有 ．（请填写序号） 【答案】①②③ 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 变式2．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【详解】解：如图所示，直线b即为所求． 【题型三】平行公理的应用 例3．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在平面内过点作已知直线的平行线，可作的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】A 【知识点】平行公理的应用 【分析】根据经过经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，解答即可． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据经过经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海·期中）写出任意一条本学期学过的公理： ． 【答案】平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了数学知识，写出学过的公理即可，熟练掌握所学过的公理是解此题的关键． 【详解】解：平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故答案为：平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 变式2．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）在同一平面内，直线l的同侧有A，B，C三点，如果，，那么A，B，C三点是否在同一条直线上？画图并说明理由． 【答案】在同一条直线上，见解析，理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】此题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解：A，B，C三点在同一条直线上，如图所示． 理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【题型四】平行公理推论的应用 例4．（24-25七年级下·山西朔州·月考）若互不重合的三条直线，，之间满足：，则与之间的位置关系为（   ） A．与平行 B．与垂直 C．与相交 D．以上都有可能 【答案】A 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】此题主要考查了平行公理的推论，根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可． 【详解】解：∵互不重合的三条直线，，之间满足：， ∴直线与平行， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 【答案】(1)见解析； (2)平行． 【知识点】用直尺、三角板画平行线、平行公理推论的应用 【分析】本题主要考查平行线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）分别过点作直线a的平行直线； （2）根据“如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作； （2）解：所作的直线的位置关系是平行，理由是：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 故答案为：平行． 【题型五】同位角相等两直线平行 例5．（22-23七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，能判断直线的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，据此根据平行线的判定定理逐一分析判断即可． 【详解】解：A、由不能判断直线，故此选项不符合题意； B、由不能判断直线，故此选项不符合题意； C、由不能判断直线，故此选项不符合题意； D、由和可得，则由同位角相等，两直线平行能判断直线，故此选项符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【详解】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，．与平行吗？请说明理由． 【答案】；理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行，是解题的关键．根据同位角相等，两直线平行，进行求解即可． 【详解】解：；理由如下： ∵． ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【题型六】内错角相等两直线平行 例6．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：A．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意 B．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； C．，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； D．∵， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型七】同旁内角互补两直线平行 例7．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）如图，，，，则点到的距离是 ． 【答案】 【知识点】同旁内角互补两直线平行、点到直线的距离 【分析】本题考查了平行线的判定以及平行线间距离的定义，先求出平行，再根据平行线间距离的定义即可得． 【详解】， 平行于， ， 点到的距离是， 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【详解】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【题型八】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 例8．（24-25七年级下·河南焦作·期中）连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利，更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时，工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 【答案】B 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握垂直于同一直线的两直线平行是关键． 根据垂直于同一直线的两直线平行判定即可． 【详解】解：工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是垂直于同一直线的两直线平行， 故选：B ． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【答案】B 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】由本题是平行线判定在实质中的应用，根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可作出判断． 【详解】解：亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和， 则都垂直于同一直线，则，这样做的道理是垂直于同一条直线的两条直线平行 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定；两直线垂直于同一直线，可根据同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行，进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【题型九】两直线平行同位角相等 例9．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线平行，同位角相等，进行解答便可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，，若，则的度数为 ．    【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，    ∵， ， ， ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等），解题关键是通过两组平行线，找到中间角作为桥梁，建立已知角和未知角的等量关系． 根据两直线平行线，同位角相等的性质，借助中间角构建与的数量关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． 【题型十】两直线平行内错角相等 例10．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，直线c与直线a，b都相交，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）结合如图，用符号语言表达“两直线平行，内错角相等”的推理形式：， ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】根据平行线的性质求解即可． 此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 【详解】解：用符号语言表达“两直线平行，内错角相等”的推理形式： ∵， ， 故答案为： 变式2．（23-24七年级下·江西赣州·期末）完成下面的证明：如图，和相交于点O，，．求证． 证明：（已知） （①______）． （已知） （等量代换）． ②______（③______）． （等量代换）． 【答案】两直线平行，内错角相等； ；对顶角相等 【知识点】两直线平行内错角相等、对顶角相等 【分析】本题考查平行线的性质，根据已知条件和图形，利用平行线的性质，可以将证明过程补充完整． 【详解】证明：（已知） （①两直线平行，内错角相等）． （已知） （等量代换）． ②（③对顶角相等）． （等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等； ；对顶角相等 【题型十一】两直线平行同旁内角互补 例11．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，平行直线、被直线所截，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟知三个性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求出，再根据对顶角相等的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ∴ 故选B． 变式1．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，已知，则 ． 【答案】/540度 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质．可过点，分别作，进而利用同旁内角互补得出结论． 【详解】解：如图，过点，分别作， ∵， ∴， 则，，， ∴ ． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，在四边形中，，则等于多少度？和有怎样的大小关系？为什么？ 【答案】，，理由见解析 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质可解答本题． 【详解】解：， ， ，理由如下： ， ， ． 【题型十二】根据平行线的性质探究角的关系 例12．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·全国·月考）如图，已知直线，则、、之间的关系是 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的应用，添加辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．过向左作射线，把分成和，然后根据平行线的性质即可得到解答． 【详解】解：过向左作射线， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，．如果，那么．请将下面的说理过程补充完整． （已知）， ( )， ( )． （已知）， ( )． 【答案】 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 等量代换 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由，根据平行线的性质，得，，再根据，等量代换即可使题目得证． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）．      故答案为：，两直线平行同位角相等，，两直线平行内错角相等，等量代换． 【题型十三】根据平行线的性质求角的度数 例13．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 变式1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 【答案】/130度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点B作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点B作， ∵，， ， ∴，， ∴， ∵与的夹角为， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型十四】平行线的性质在生活中的应用 例14．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 【答案】B 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】此题主要考查了平行线的性质，车辆两次拐弯后保持原方向平行，需满足两次拐弯形成的角为内错角且相等，或同旁内角互补．选项B满足内错角相等，两次拐弯后路径平行于原方向． 【详解】解：A：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反，但角度不等，无法形成内错角相等或同旁内角互补，方向改变． B：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反且角度相等，形成内错角相等，路径平行． C：两次左拐，总偏转角度为，方向与原方向相反，不平行． D：两次左拐，总偏转角度为，方向明显改变，不平行． 故选：B 变式1．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是两条道路互相垂直的交叉路口，你能画出它的平面示意图（用两条平行线段表示一条道路）吗？你能用类似的方法，画出两条道路成角的交叉路口的平面示意图吗？ 【答案】见解析；见解析 【知识点】画垂线、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了垂线的定义，主要涉及直角三角板与量角器的使用． 用直角三角板画出互相垂直的道路平面示意图；用量角器画出成角的交通路口的示意图即可． 【详解】解：如图，平面示意图如下图： 成角的交叉路口的平面示意图，如下图：      【题型十五】根据平行线判定与性质求角度 例15．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案． 【详解】解：如图，过C作直线， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图，与互补，，则的度数是 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质的应用；先根据同旁内角互补判断两直线平行，再根据平行线的性质即可求解； 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴； 故答案为：． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，，，．求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查的是平行线的判定及性质，熟记平行线的判定方法及性质是做题的关键．根据平行线的判定方法及性质进行解答即可． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：的度数为． 【题型十六】根据平行线判定与性质证明 例16．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可． 【详解】解：由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，故满足题意， 由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，结合可得，从而可得，故满足题意， ∴能得到的条件为②④， 故选：． 变式1．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，，，点、在上，平分，且平分，下列结论中正确的是 ． ①；②；③；④；⑤若，则． 【答案】①②⑤ 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． ①根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；②由，得到，得出．③平分，得出，从而计算出．④由，得出．⑤由，得到，再得到，从而计算出． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ，故①正确，符合题意； ， ， ， ，故②正确，符合题意； 平分， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ，故④错误，不符合题意； ， ， ， ， ，故⑤正确，符合题意． 故答案为：①②⑤． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点E在线段上，，．请判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 延长交于点，根据结合对顶角相等，可得，根据同旁内角互补，两直线平行可得，由平行线的性质可得，再根据等量代换得到，进而可得结论． 【详解】解：，理由如下： 如图，延长交于点． ，， ， ， ． ， ， ． 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．在同一平面内，不相交的两条直线必平行 B．相等的角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的判定、对顶角的定义、平行线的性质及点到直线的距离的定义．利用平行线的判定方法、对顶角的定义、平行线的性质及点到直线的距离的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：、在同一平面内，不相交的两条直线必平行，原说法正确，符合题意； 、相等的两个角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意； 、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误，不符合题意； 、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故原说法错误，不符合题意． 故选：A． 2．在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，熟练掌握垂直和平行线的判定是解题关键．根据垂直的定义、平行线的判定即可得． 【详解】解：在同一平面内，若，则； 在同一平面内，若与相交但不垂直，则与相交但不垂直； 在同一平面内，若，则； 综上，在同一平面内，与的关系可能平行，也可能相交，还可能垂直， 故选：D． 3．已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（    ） A．1条 B．0条 C．0条或1条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．过直线上的一点，不能做直线与已知直线平行（互相重合）． 【详解】解：如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条，如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线公理，注意点P的位置分两种情况表现． 4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角等于，邻补角的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．根据平行线的性质，平角等于对各小题进行验证即可得解． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴，，．故①②④正确： ∵三角板是直角三角板， ∴．故③正确； 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 5．下列图形中，，其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理，逐一判定即可． 【详解】A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，故该选项错误，不符合题意； B、∠1和∠2不是同位角也不是内错角也不是同旁内角，不能判定，故该选项错误，不符合题意； C、∠1和∠2不是同位角也不是内错角也不是同旁内角，不能判定，故该选项错误，不符合题意； D、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），符合题意． 故选：D． 6．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 7．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 8．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 9．如图，已知直线被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线上），设，．下列各式：①；②；③；④，的度数可能是（  ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．由题意根据点有种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，由，可得， ∵， ∴； 第二种情况：如图，过作平行线，则由， 可得， ∴； 第三种情况：如图，由，可得， ∵， ∴； 第四种情况：如图，由，可得， ∴； 第五、六种情况：当点在的下方时，同理可得或； 综上所述，的度数可能为，即①②③④． 故选：D． 二、填空题 10．在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a c． 【答案】/平行于 【分析】本题考查的是同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，由平行线的判定方法可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 11．若两个角的两边互相平行，其中一个角为，则另一个角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，分类讨论；分两种情况分别画出图形，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：已知，，交于点O．求的度数． ①如图1，∵， ∴； ∵， ∴； ②如图2，∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 综上，另一个角的度数为或， 故答案为：或． 12．如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行及平行的传递性是解题的关键． 本题先根据已知推出一组直线平行，再添加条件使这组直线与平行，利用平行的传递性得到． 【详解】解：添加条件（答案不唯一）． ∵， ∴． ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 14．如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，先由得出的度数，根据即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 16．如图，于D，，，则与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义等，掌握这些是解题的关键． 先根据“两直线平行，内错角相等”得出，再根据条件得出, 最后根据“两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线”得出与的位置关系为垂直． 【详解】解：， ， ， ， ， ， . 故答案为：垂直． 17．如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平行公理判断①；根据角平分线得到，根据平行线的性质和垂线的定义分别得到，，进一步推出，可判断②；结合，得到，根据两式相减可判断③；根据平行线的性质得到，得到，从而判断④． 【详解】解：，， ，故①正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 得，，故②正确； ， ， 平分， ， ， ， ， 得，，故③正确； ， ， ， ，故④错误． 故正确的结论有：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 三、解答题 18．如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【答案】(1)能画1条 (2)见解析；平行 【分析】（1）依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的基本事实，确定过点B画直线a平行线的条数； （2）先按同样方法过点C画直线a的平行线，再利用平行于同一条直线的两条直线互相平行的推论，判断两条线的关系． 【详解】（1）解：如图，直线b即为所求．能画1条． （2）解：如图，直线c即为所求．它与过点B且与直线a平行的直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的基本事实与推论，掌握过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行、平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 19．如图，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据邻补角求出，再由角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 20．如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行公理，平行线的性质，平角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，所以，由平行线的性质可知，即，由三角板的度数可求，则的度数可求． 【详解】解∶作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角板的度数可知，， ∵， ∴． 21．补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握好平行线的判定定理的解题关键． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定方法，由，即可得； （2）根据平行线的性质，由，得，结合已知条件，即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，即， 平分，， ， ， ， ， ， 特色小吃街与主路的夹角的度数为． 24．在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）．理由见解析 【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，，可求出的度数； （2）由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： 如图． 由（1）可知． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 25．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 【答案】(1)正面（答案不唯一） 上面（答案不唯一） 右面（答案不唯一） (2)    ，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行．能从复杂的图形中找出同向线段，就要求同学们练就一双慧眼，这与平时的努力是密不可分的，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （）正面、、、是平行的，、平行，、平行；上面相互平行，平行；右侧平行，平行；据此分别找出一组平行线即可； （）与都与平行，所以平行；′与′平行，′与垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直． （）根据平行线的定义作答即可． 【详解】（1）解：正面、、、是平行的，、平行； ∴正面：（答案不唯一）， 上面：上面相互平行，平行； ∴； 右侧：平行，平行 ∴； 故答案为：正面：；上面：；右侧：；（答案不唯一） （2）解：∵，，，， ∴，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3）解：图中所在的直线与所在的直线没有公共点，不能说明这两条直线平行，比如直线与直线也具有类似位置关系，这样的两条直线不在同一个平面内，由此可知在叙述平行线的概念时，应注意叙述平行线的概念时应注意“在同一平面内”这一限制条件，即在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $