第03讲 不等式及其基本性质与一元一次不等式（知识详解+9典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第03讲 不等式及其基本性质与一元一次不等式 （知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】不等式 1. 定义 用不等号( >， ≥， <， ≤ 或≠)表示不等关系的式子叫作不等式 . 2. 基本的表达形式 (1) 常见的不等号： 符号  名称  实际意义  读法  举例 ＜  小于号  小于、不足  小于  3+2 ＜ 6 ＞  大于号  大于、高出  大于  3+3 ＞ 5 ≤  小于或等于号  不大于、不超过、至多  小于或等于  x ≤ 8 ≥  大于或等于号  不小于、不低于、至少  大于或等于  x ≥ 5 ≠  不等于号  不相等  不等于  4 ≠ 5 (2) 常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为 a>0， a 是负数表示为 a<0； ② a 是非负数表示为 a ≥ 0， a 是非正数表示为 a ≤ 0； ③ a， b 同号表示为 ab>0， a， b 异号表示为 ab<0. 【知识点02】不等式的解与解集 1. 不等式的解  一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作这个不等式的解 .     判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立 . 若成立，则该数就是不等式的一个解；若不成立，则该数就不是不等式的解 . 2. 不等式的解集  所有不等式的解的全体称为这个不等式的解集 . 特别提醒： 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 【知识点03】不等式的解集的表示方法 在数轴上表 示不等式的解 集 不等式的解集表示的是未知数的取值范围， 所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来 .一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设 a>0)： 不等式的解集 x > a x ≥ a x < a x ≤ a 数轴表示 【知识点04】不等式的基本性质 1. 性质 1 不等式的两边都加上(或减去) 同一个数(或式子)，不等号的方向不变 . 即如果 a>b，那么 a ＋ c>b ＋ c，a － c>b － c. 2. 性质 2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 . 即如果 a>b， c>0，那么 ac>bc， . 3. 性质 3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 . 即如果 a>b， c<0，那么 ac<bc， 4. 性质 4 如果 a>b，那么 b<a. 5. 性质 5 如果 a>b， b>c，那么 a>c. 6. 不等式的基本性质与等式的基本性质的关系 不同点  相同点 不等式的基本性质 两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变 （1）两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2) 两边乘以(或除以)同一个正数，不等式和等式都仍成立 等式的基本性质 两边乘以(或除以)同一个负数，等式仍然成立 【知识点05】一元一次不等式 1. 定义 含有一个未知数，未知数的次数是 1且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式 . 一元一次不等式的“三要素”： (1)不等号的两边都是整式； (2)只含一个未知数； (3)未知数的次数是 1. 2. 一元一次不等式与一元一次方程的相同点与不同点 一元一次方程  一元一次不等式 相同点 未知数个数  1 1 未知数次数  1 1 式子特点  等号两边均为整式 不等号两边均为整式 不同点  表示关系  相等  不等 【知识点06】一元一次不等式的解法 1. 解不等式  求不等式的解集的过程叫作解不等式 . 2.解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为 x<a(x ≤ a)或 x>a( x ≥ a)的形式 . 解一元一次不等式的步骤如下： 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1. 3. 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 一元一次方程  一元一次不等式 解法步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 1.(解不等式时，去分母、系数化为 1 时，若两边同时乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变) 依据  等式的基本性质  不等式的基本性质 解的个数  只有一个解  有无数个解 解(集)的形式  x=a  x<a(x ≤ a) 或 x>a(x ≥ a) 【知识点07】一元一次不等式的实际应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解 . 列不等式解决实际问题的步骤 (1) 审： 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系； (2) 设： 设出适当的未知数； (3) 列： 根据题中的不等关系列出不等式； (4) 解： 解不等式，求出其解集； (5) 验： 检验所求出的不等式的解集是否符合题意； (6)答： 写出答案 . 【题型一】不等式的定义 例1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式，与之和可表示为：；与之和的平方可表示为；不大于可表示为：，由此可得出不等式． 【详解】解：根据题意得：与之和的平方不大于5，用不等式表示为， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）如图，a，b两个物体分别放置在天平左右两侧的托盘中，若天平向左侧倾斜，则 ．（填“>”或“<”） 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了不等式，正确理解题意是解题的关键．由天平向左侧倾斜，即可得出答案． 【详解】解：天平向左侧倾斜， ， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 【题型二】不等式的性质 例2．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由得：（不等式的两边同加上5，不等号的方向不变），则此项错误，不符合题意； B、由得：（不等式的两边同减去5，不等号的方向不变），则此项错误，不符合题意； C、由得：（不等式的两边同乘以5，不等号的方向不变），则此项错误，不符合题意； D、由得：（不等式的两边同除以，不等号的方向改变），则此项正确，符合题意； 故选：D． 例3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数x，y满足，，设，则t的取值范围为： ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、等式的性质1 【分析】本题主要考查了不等式的性质，等式的性质．根据，可得，从而得到，再由，可求出y的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为： 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知非负实数，，，且，则下列结论正确的是(    ) A． B． C．的最小值是 D． 【答案】B 【知识点】等式的性质1、不等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，不等式的性质，根据题意得，，两式相加即可判断A,根据非负数的性质可得得出，即可判断B选项，进而得出，结合，即可判断C选项，计算，结合，即可判断D选项． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴，故A错误； ∵ ∴ ∴ ∴，故B正确； ∵， ∴的最小值是，故C错误， ∵ ∴ 又∵ ∴，故D错误； 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）已知，，求的取值范围． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 变式3．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框（如图1），另一根折成正方形铁框（如图2）：设长方形铁框的长为a，宽为b（）． (1)用a，b表示正方形的面积； (2)小明同学认为“用上述同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大”，请你通过计算加以说明． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】不等式的性质、列代数式 【分析】本题主要考查代数式的运用，不等式的性质比较大小，理解题意，掌握代数式的表示，不等式的性质比较大小的方法是关键． （1）根据题意得到铁丝的长为，则正方形的边长为，根据正方形的面积的计算即可求解； （2）根据题意得到正方形，长方形的面积差，进行比较即可． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴铁丝的长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为：； （2）解：正方形的面积与长方形的面积之差为：， ∵， ∴同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大． 【题型三】一元一次不等式的定义 例4．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的判断，根据只含有1个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1的不等式，叫做一元一次不等式，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意； B、不含未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有2个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； D、含有2次项，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选A． 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，需满足三个条件：①含有一个未知数；②未知数的次数为1；③用不等号连接；逐一分析选项即可确定答案，熟练掌握一元一次不等式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、 只是一个代数式，不含不等号，不符合题意； B、 是方程，不是不等式，不符合题意； C、 含有两个未知数，不符合“一元”条件，不符合题意； D、 含有一个未知数，次数为1，且用“”连接，符合定义，符合题意； 故选：D． 变式2．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【题型四】求一元一次不等式的解集 例5．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了不等式的解集．根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：A． 例6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数，满足． (1)当时，则的取值范围为 ； (2)在(1)的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，理解题意并列得正确的不等式是解题的关键． （1）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可； （2）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）已知实数，满足， 当时， ， 解得：， 故答案为：； （2）在（）的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中， ， 解得：， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列结论正确的是（    ） A．若 ，则的解集为 B．若 ，则的解集为 C．若 ，则的解集为 D．若 ，则的解集为 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、不等式的性质 【分析】本题考查了根据不等式的性质解不等式，根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴的解集为， 故选：A． 变式2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x、y的二元一次方程组． （1）当时，则方程组的解为 ； （2）当时，则a的范围是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（代入消元法或加减消元法）以及一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握方程组的消元技巧，能根据已知条件代入求值或通过方程组变形建立关于参数的不等式． （1）当时，先将代入原方程组，得到关于、的具体二元一次方程组；再利用加减消元法（如给第一个方程乘3，与第二个方程相加消去）求出的值，然后将的值代入其中一个方程求出的值，得到方程组的解． （2）当时，先观察方程组中两个方程的系数特征，通过对两个方程进行适当变形（如给第一个方程乘2，与第二个方程相加），消去得到与的关系，或消去得到与的关系，进而求出关于的表达式；再根据建立一元一次不等式，求解不等式得到的范围． 【详解】解：（1）当时，原方程组变为， 化简第二个方程得， 将与相加，得， 解得， 将代入，得， 解得． 故答案为：； （2）， ①得， ②③得，解得， 将代入①，得， 解得， 即，则， ∵， ∴， 两边乘4得， 移项得， 解得． 故答案为：． 【题型五】求一元一次不等式的整数解 例7．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了不等式正整数解的知识，首先解不等式得到解集范围，再根据正整数解的情况确定参数a的上下限，即可获得答案． 【详解】解：解不等式，得， ∵该不等式的正整数解为1、2、3， ∴． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）不等式的最大整数解是 ． 【答案】4 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，结合不等式的性质求出不等式的解集，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 则这个不等式的最大整数解是4， 故答案为：4． 变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知代数式 的值大于代数式 的值，试求x的最大整数值． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查求不等式的整数解，根据题意，列出不等式，求出解集后，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴x的最大整数值为． 【题型六】在数轴上表示不等式的解集 例8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，这是一个一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，则此不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了确认一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”，是解题的关键． 由数轴知，，再确定其公共部分即可． 【详解】解：由数轴知： 其公共部分为：， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）解不等式，并在数轴上表示解集：． 【答案】，数轴上表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解． 【详解】解： 去分母得： 去括号得：，     移项合并同类项得：， 解得：， 把解集在数轴上的表示为： 变式2．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及解集在数轴上的表示，在数轴上表示解集注意空心与实心的区别是解题的关键．去分母解一元一次不等式，然后在已知数轴上进行表示即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． 【题型七】解|x|≥a型的不等式 例9．有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】解|x|≥a型的不等式 【分析】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴能使不等式成立的为①；④5． 故选：C． 变式1．已知（是整数），则的值是 ． 【答案】或或或0或1或2或3 【知识点】解|x|≥a型的不等式 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，解不等式可得，再根据x是整数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x是整数， ∴x的值是或或或0或1或2或3， 故答案为：或或或0或1或2或3． 变式2．观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【知识点】解|x|≥a型的不等式 【分析】本题考查求不等式的解集，熟练掌握题干中的求解方法，是解题的关键： （1）仿照题干，作答即可； （2）仿照题干，作答即可； （3）利用（2）中结论，得到①或②，进行求解即可． 【详解】（1）解：的解集是或； （2）当时，不等式的解集是或； （3）由（2）可知，不等式， 可化为①或②， 解①得，，解②得，． 故不等式的解集为：或． 【题型八】列一元一次不等式 例10．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）用不等式表示“减去5的差不大于0”正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列一元一次不等式，找准不等量关系是解题关键．根据减法、不大于列出不等式即可得． 【详解】解：用不等式表示“减去5的差不大于0”为， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）“x的与的和不大于4”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列不等式，涉及到对代数式和一元一次不等式的理解与应用；解决本题的关键是正确理解题目意思，能将文字语言正确翻译为数学符号语言，能正确列出代数式或不等式． 先将的与的和，用代数式表示出来，再用数学符号表示“不大于”，最后将它们与最后的数字连起来即可． 【详解】解：的与的和，用代数式可以表示为， “不大于”可以用符号“”表示， 因此原文可以表示为“”， 故选：D． 变式2．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）“x的2倍与y的差是非负数”用不等式表示为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】此题考查了列不等式．根据“x的2倍与y的差是非负数”描述的不等关系列出不等式即可． 【详解】解：“x的2倍与y的差是非负数”用不等式表示为， 故答案为： 【题型九】用一元一次不等式解决实际问题 例11．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）某次知识竞赛的试卷有20道题，评分方式是答对1道得5分，不答得0分，答错1道扣3分，小明有2道题没答，但成绩超过70分，则小明答对的题数至少是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；设小明答对的题数为x道，由题意可得不等式为，然后进行求解即可． 【详解】解：设小明答对的题数为x道，由题意得： ， 解得：， 故小明答对的题数至少是16道； 故选C． 例12．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）在日常生活中，“老人”是一个模糊的概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度，其中一个人的“老人系数”计算方法如下表： 人的年龄岁 该人的老人系数 按照这样的规定，当某人的“老人系数”不小于时，该人的年龄至少为 岁； 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，设此人年龄为x岁，由此人的“老人系数”不小于时，得，再解不等式即可得到答案. 【详解】解：设此人年龄为x岁， 由此人的“老人系数”不小于时，得， 解得. 故此人至少73岁. 故答案为： 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知“◯”“□”“△”分别表示三种不同物体，若用天平比较它们的质量大小时，得到了如图所示的两次不同情况，那么这三种物体中，质量最小的是（ ） A．△ B．○ C．□ D．不能确定 【答案】A 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用． 根据第一个图和第二张图即可判断． 【详解】解：由第一个图可知，，即； 由第二张图可知，即． 因此有． 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末） 综合与实践 背景 随着我国新能源汽车的快速发展，新能源车也越来越多的走进了千家万户，新能源车和燃油车相比较哪种车的使用费更低也是很多人关心的问题，为此，某校数学课外小组选择价格相近的两款国产汽车进行年使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素村1 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池容量：60千瓦时 油价： 元/升 综合电价：元/千瓦时 续航里程：m公里 续航里程：m公里 每公里行驶费用： 每公里行驶费用：__________ 素材2 燃油车的每公里行驶费用比新能源车多元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用(保养，维修，保险等)分别为4850元和6800元． 问题解决： 任务1：用含m的代数式表示新能源车的每公里行驶费用 (化为最简) 任务2：分别求出这两款车的每公里行驶费用． 任务3：每年行驶里程为多少公里时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用) 【答案】任务1： 任务2：燃油车的每公里行驶费用为元，新能源车的每公里每千米行驶费用为元 任务3：每年行驶里程超过为2500公里时，买新能源车的年费用更低 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 任务1：根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； 任务2：根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，列式计算即可； 任务3：根据燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4850元和6800元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务1：由表格可知，新能源车的每千米行驶费用为：， 故答案为：． 任务2：由表格可知，燃油车的每公里行驶费用为（元）， ∵燃油车的每公里行驶费用比新能源车多元． ∴新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 任务3：设每年行驶里程为x公里，根据题意，得： ， 解得：， 答：每年行驶里程超过为2500公里时，买新能源车的年费用更低． 一、单选题 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，需满足三个条件：①含有一个未知数；②未知数的次数为1；③用不等号连接；逐一分析选项即可确定答案，熟练掌握一元一次不等式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、 只是一个代数式，不含不等号，不符合题意； B、 是方程，不是不等式，不符合题意； C、 含有两个未知数，不符合“一元”条件，不符合题意； D、 含有一个未知数，次数为1，且用“”连接，符合定义，符合题意； 故选：D． 2．某天庄河的最高气温是，最低气温是，则当天庄河气温的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的定义，将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意可得：， 当天气温的变化范围是． 故选：D． 3．不等式的正整数解有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先分别求出不等式的解集，然后求其正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴正整数解为1，2，3，共3个， 故选：D． 4．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，根据数轴上的点确定式子的符号，不等式的性质，理解并掌握数轴的特点是解题的关键．根据数轴上点的特点得到，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， 故B不符合题意； ， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意； 故选：C． 5．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意v与30应满足的不等关系为， 故选：A． 6．在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，不等式的性质，根据新定义可得，进而根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 7．某品牌手机进价为每台元，标价为每台元店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最低可打（     ）折 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出一元一次不等式是解题的关键．设该品牌手机能打折，则根据利润率不低于，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案． 【详解】解：设该品牌手机能打折， 由题意得， 解得：，即最低可打折． 故选：B． 8．若实数，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查学生对利用不等式比较大小的方法的灵活使用情况，利用作差法分别比较即可． 【详解】解：∵， ， ， ，， 而， ， ， 故选：B． 9．某地推出“筑梦学子，共享未来”共享单车租赁服务计划，具体资费规则如下： 租赁类型 基础费用（元） 免费时长（分钟） 超时每分钟收费（元） 标准租赁 1.5 15 0.2 学生会员租赁 1.5 30 0.1 包日畅骑 10 不限时长 / 以上资费有以下补充说明： ①学生会员需缴纳月费5元，租赁时出示有效学生证即可享受优惠． ②包日畅骑仅限当日有效，不限使用次数． 出发前有8人请假，现只有32人参加此次活动，班级计划部分同学打车（每车36元，每辆车坐满4人），其余同学骑行包日畅骑．恰逢节假日，包日畅骑基础费用打4折．若总交通预算为200元，最多允许几个人打车（   ） A．8人 B．12人 C．16人 D．20人 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设最多允许x个人打车，则有人骑行包日畅骑，根据总交通预算为200元，列出不等式求解即可． 【详解】解：设允许x个人打车，则有人骑行包日畅骑， 根据题意：，为4的倍数且为正整数， 整理得：， 解得：， 则最多允许个人打车， 故选：B． 二、填空题 10．若，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，不等式的两边同时乘（除以）同一个负数，不等号发生改变，进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 11．一块长方形菜地，长比宽多2m，周长不超过20m，那么这块菜地的宽最多是多少？设菜地的宽为，根据题意，可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式．设菜地的宽为，则宽为，利用长方形周长公式，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设菜地的宽为，则宽为，根据题意： ， 故答案为：． 12．小明欲购买A，B两款糖果共，已知A款糖果的单价为12元/，B款糖果的单价为18元/．为保证最终购买的平均单价不高于15元/，小明至少购买A款糖果 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据总价与单价和数量的关系列出不等式，准确计算． 设购买A款糖果x千克，则购买B款糖果千克，根据最终购买的平均单价不高于15元/千克列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：设购买A款糖果x千克，则购买B款糖果千克， 根据题意得：， 解得：， ∴小明至少购买A款糖果25千克． 故答案为：25． 13．实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴判断字母的大小，不等式的性质．先求出a，b的大小，再不等式两边都除以即可． 【详解】由数轴可知，， 则， 两边都除以得，即． 故答案为：． 三、解答题 14．利用不等式的性质解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质解一元一次不等式，并在数轴上表示解集，先根据不等式的性质不等式两边同时减去计算即可，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， ， ， 在数轴上表示解集如下： 15．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． （1）先移项，把的系数化为即可求解； （2）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把的系数化为即可求解； 【详解】（1）解： 移项得： 系数化为1得： （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 16．解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 【答案】图示见详解，最小整数解为 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找出最小整数解即可． 【详解】由， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 把解集在数轴上表示出来为： 则这个不等式的最小整数解为． 17．某水果批发商要将一批车厘子和草莓运至甲地，该批发商找了8辆货车进行运输．为节约成本，每辆货车只能装同一种水果且装满，每辆货车可以装4吨车厘子或3吨草莓，水果批发商需要运出两种水果不少于30吨，那么运输车厘子的货车至少需要多少辆？ 【答案】运输车厘子的货车至少需要6辆 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设运输车厘子的货车需要x辆，则运输草莓的货车需要辆，根据水果批发商需要运出两种水果不少于30吨，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设运输车厘子的货车需要x辆，则运输草莓的货车需要辆， 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为6． 答：运输车厘子的货车至少需要6辆． 18．小明准备用50元钱买面包和酸奶，已知1个面包的价格为6元，1盒酸奶的价格为10元，他买了2盒酸奶和x个面包． (1)如果50元钱恰好用完，那么小明买了多少个面包？ (2)如果要留2元钱乘公交车，那么小明最多能买多少个面包？ 【答案】(1)小明买了5个面包； (2)小明最多能买4个面包． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）分别求出买酸奶和面包的费用，二者求和的结果为50，据此建立方程求解即可； （2）分别求出买酸奶和面包的费用，二者求和的结果小于等于，据此建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 答：小明买了5个面包； （2）解：由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为4， 答：小明最多能买4个面包 19．为提升学生身体素质，某校开展了“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球，所得总分不少于56分，问该班级在这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【答案】(1)该班级胜负场数分别是13场和2场 (2)该班级在这场比赛中至少投中了4个3分球 【分析】（1）设该班级胜了场，负了场，列方程组求解即可； （2）设该班级投中了个3分球，则投中了个分球，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设该班级胜了场，负了场，根据题意，得： 解这个方程组得： 答：该班级胜负场数分别是13场和2场． （2）解：设该班级投中了个3分球，则投中了个分球， 根据题意得：． 解这个不等式得：． 答：该班这场比赛中至少投中了个分球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 20．某学校计划暑假期间建设一间活动教室．需要采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买3张五人桌和5张两人桌需花费2050元；购买4张五人桌和2张两人桌需花费1800元． (1)求每张五人桌和两人桌的价格． (2)学校根据教室布局，计划采购16张活动课桌，要求预算不超过4500元，求至少采购几张两人桌？ (3)在（2）的条件下，活动教室至少要容纳50名学生，求所有满足条件的采购方案． 【答案】(1)每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元 (2)至少采购8张两人桌 (3)共有三种采购方案：采购两人桌8张，则采购五人桌为8个；采购两人桌9张，则采购五人桌为7张；采购两人桌10张，则采购五人桌为6张 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的求解，需由二元一次方程组的解法求出五人桌和两人桌的价格是解决本题的关键． （1）设出未知数，根据五人桌和两人桌花费情况列二元一次方程组，由二元一次方程组的求法求解即可． （2）设采购两人桌张，则可表示出采购五人桌的数量，再由第一问求出的单价，由预算不超过4500元列不等式求解即可． （3）由活动教室至少要容纳50名学生列不等式，结合第二问m的取值范围可得具体m的取值，再根据m的取值求采购方案即可． 【详解】（1）解：设每张五人桌的单价为元，两人桌的单价为元． 由题意可得：，解得 答：每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元． （2）解：设采购两人桌张，则采购五人桌为张， 计划采购16张活动课桌，要求预算不超过4500元， 解得， ∴至少采购8张两人桌． （3）解：设采购两人桌张，则采购五人桌为张， ∵活动教室至少要容纳50名学生， ∴， 解得：， ∴， ∵m取整数，∴或9或10， 当时，， 方案为：采购两人桌8张，则采购五人桌为8个； 当时，， 方案为：采购两人桌9张，则采购五人桌为7张； 当时，， 方案为：采购两人桌10张，则采购五人桌为6张． 21．在学习完综合与实践《低碳生活》之后，同学们的节能环保意识有了显著的提高．某小组同学利用课余时间开展了一项关于“新能源汽车充电桩现状”的调查活动，请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电桩的现状” 活动目的 运用所学知识探究新能源汽车充电桩问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 调查数据1 某月，“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图：    调查数据2 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个地上充电桩的占地，每个地下充电桩的占地．已知新建1个地下充电桩比新建1个地上充电桩多0.1万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要0.7万元． 问题一 统计图中“国家电网”的公共充电桩数量是________，市场份额是________； 问题二 求该小区新建1个地上充电桩和新建1个地下充电桩各需要多少万元．具体解题步骤如下： 问题三 若该小区计划用不超过16.32万元的资金新建60个充电桩，且地上充电桩的数量不超过20个，求共有哪几种建设方案． 具体解题步骤如下： 问题四 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在问题三的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围是________． 【答案】问题一：8万台，； 问题二：该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，新建1个地下充电桩需要0.3万元． 问题三：一共有4种方案，分别为 方案①新建17个地上充电桩，43个地下充电桩； 方案②新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案③新建19个地上充电桩，41个地下充电桩． 方案④新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 问题四： 【分析】本题考查条形统计图，二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，试题内容较多，读懂题意，找出等量关系和不等关系是解题的关键． 问题一：根据条形统计图的特征求解即可； 问题二：找出等量关系建立二元一次方程组求解； 问题三：根据超过16.32万元建立不等式求解即可； 问题四：先计算四种方案占地面积，再根据仅有两种方案可供选择得出a的取值范围． 【详解】问题一：该月投放公共充电桩的总的数量：（万台）， “国家电网”的公共充电桩数量是：（万台）， 它的市场份额是：， 故答案为：8万台，； 问题二：由题意，设新建1个地上充电桩需要x万元，地下充电桩需要y万元． ． ． 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，新建1个地下充电桩需要0.3万元． 问题三：设建造m个地上充电桩，则地下充电桩为个， 则 ， 又为整数，，整数m的值为17，18，19，20． 一共有4种方案，分别为 方案①新建17个地上充电桩，43个地下充电桩； 方案②新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案③新建19个地上充电桩，41个地下充电桩． 方案④新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 问题四： 方案①：（平方米）， 方案②：（平方米）， 方案③：（平方米）， 方案④：（平方米）， 若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围是：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 不等式及其基本性质与一元一次不等式 （知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】不等式 1. 定义 用不等号( >， ≥， <， ≤ 或≠)表示不等关系的式子叫作不等式 . 2. 基本的表达形式 (1) 常见的不等号： 符号  名称  实际意义  读法  举例 ＜  小于号  小于、不足  小于  3+2 ＜ 6 ＞  大于号  大于、高出  大于  3+3 ＞ 5 ≤  小于或等于号  不大于、不超过、至多  小于或等于  x ≤ 8 ≥  大于或等于号  不小于、不低于、至少  大于或等于  x ≥ 5 ≠  不等于号  不相等  不等于  4 ≠ 5 (2) 常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为 a>0， a 是负数表示为 a<0； ② a 是非负数表示为 a ≥ 0， a 是非正数表示为 a ≤ 0； ③ a， b 同号表示为 ab>0， a， b 异号表示为 ab<0. 【知识点02】不等式的解与解集 1. 不等式的解  一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作这个不等式的解 .     判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立 . 若成立，则该数就是不等式的一个解；若不成立，则该数就不是不等式的解 . 2. 不等式的解集  所有不等式的解的全体称为这个不等式的解集 . 特别提醒： 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中 【知识点03】不等式的解集的表示方法 在数轴上表 示不等式的解 集 不等式的解集表示的是未知数的取值范围， 所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来 .一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设 a>0)： 不等式的解集 x > a x ≥ a x < a x ≤ a 数轴表示 【知识点04】不等式的基本性质 1. 性质 1 不等式的两边都加上(或减去) 同一个数(或式子)，不等号的方向不变 . 即如果 a>b，那么 a ＋ c>b ＋ c，a － c>b － c. 2. 性质 2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 . 即如果 a>b， c>0，那么 ac>bc， . 3. 性质 3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 . 即如果 a>b， c<0，那么 ac<bc， 4. 性质 4 如果 a>b，那么 b<a. 5. 性质 5 如果 a>b， b>c，那么 a>c. 6. 不等式的基本性质与等式的基本性质的关系 不同点  相同点 不等式的基本性质 两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变 （1）两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2) 两边乘以(或除以)同一个正数，不等式和等式都仍成立 等式的基本性质 两边乘以(或除以)同一个负数，等式仍然成立 【知识点05】一元一次不等式 1. 定义 含有一个未知数，未知数的次数是 1且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式 . 一元一次不等式的“三要素”： (1)不等号的两边都是整式； (2)只含一个未知数； (3)未知数的次数是 1. 2. 一元一次不等式与一元一次方程的相同点与不同点 一元一次方程  一元一次不等式 相同点 未知数个数  1 1 未知数次数  1 1 式子特点  等号两边均为整式 不等号两边均为整式 不同点  表示关系  相等  不等 【知识点06】一元一次不等式的解法 1. 解不等式  求不等式的解集的过程叫作解不等式 . 2.解一元一次不等式，要根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为 x<a(x ≤ a)或 x>a( x ≥ a)的形式 . 解一元一次不等式的步骤如下： 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1. 3. 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系 一元一次方程  一元一次不等式 解法步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 1.(解不等式时，去分母、系数化为 1 时，若两边同时乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变) 依据  等式的基本性质  不等式的基本性质 解的个数  只有一个解  有无数个解 解(集)的形式  x=a  x<a(x ≤ a) 或 x>a(x ≥ a) 【知识点07】一元一次不等式的实际应用 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解 . 列不等式解决实际问题的步骤 (1) 审： 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系； (2) 设： 设出适当的未知数； (3) 列： 根据题中的不等关系列出不等式； (4) 解： 解不等式，求出其解集； (5) 验： 检验所求出的不等式的解集是否符合题意； (6)答： 写出答案 . 【题型一】不等式的定义 例1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）如图，a，b两个物体分别放置在天平左右两侧的托盘中，若天平向左侧倾斜，则 ．（填“>”或“<”） 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【题型二】不等式的性质 例2．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数x，y满足，，设，则t的取值范围为： ． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知非负实数，，，且，则下列结论正确的是(    ) A． B． C．的最小值是 D． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）已知，，求的取值范围． 变式3．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）有两根同样长度的铁丝，一根折成长方形铁框（如图1），另一根折成正方形铁框（如图2）：设长方形铁框的长为a，宽为b（）． (1)用a，b表示正方形的面积； (2)小明同学认为“用上述同样长度的铁丝围成的长方形和正方形，正方形面积一定比长方形面积大”，请你通过计算加以说明． 【题型三】一元一次不等式的定义 例4．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 变式2．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【题型四】求一元一次不等式的解集 例5．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数，满足． (1)当时，则的取值范围为 ； (2)在(1)的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中，则的取值范围为 ． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列结论正确的是（    ） A．若 ，则的解集为 B．若 ，则的解集为 C．若 ，则的解集为 D．若 ，则的解集为 变式2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x、y的二元一次方程组． （1）当时，则方程组的解为 ； （2）当时，则a的范围是 ． 【题型五】求一元一次不等式的整数解 例7．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）不等式的最大整数解是 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知代数式 的值大于代数式 的值，试求x的最大整数值． 【题型六】在数轴上表示不等式的解集 例8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，这是一个一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，则此不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）解不等式，并在数轴上表示解集：． 变式2．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【题型七】解|x|≥a型的不等式 例9．有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 变式1．已知（是整数），则的值是 ． 变式2．观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 【题型八】列一元一次不等式 例10．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）用不等式表示“减去5的差不大于0”正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）“x的与的和不大于4”可以表示为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）“x的2倍与y的差是非负数”用不等式表示为 ． 【题型九】用一元一次不等式解决实际问题 例11．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）某次知识竞赛的试卷有20道题，评分方式是答对1道得5分，不答得0分，答错1道扣3分，小明有2道题没答，但成绩超过70分，则小明答对的题数至少是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 例12．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）在日常生活中，“老人”是一个模糊的概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度，其中一个人的“老人系数”计算方法如下表： 人的年龄岁 该人的老人系数 按照这样的规定，当某人的“老人系数”不小于时，该人的年龄至少为 岁； 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知“◯”“□”“△”分别表示三种不同物体，若用天平比较它们的质量大小时，得到了如图所示的两次不同情况，那么这三种物体中，质量最小的是（ ） A．△ B．○ C．□ D．不能确定 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末） 综合与实践 背景 随着我国新能源汽车的快速发展，新能源车也越来越多的走进了千家万户，新能源车和燃油车相比较哪种车的使用费更低也是很多人关心的问题，为此，某校数学课外小组选择价格相近的两款国产汽车进行年使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素村1 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池容量：60千瓦时 油价： 元/升 综合电价：元/千瓦时 续航里程：m公里 续航里程：m公里 每公里行驶费用： 每公里行驶费用：__________ 素材2 燃油车的每公里行驶费用比新能源车多元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用(保养，维修，保险等)分别为4850元和6800元． 问题解决： 任务1：用含m的代数式表示新能源车的每公里行驶费用 (化为最简) 任务2：分别求出这两款车的每公里行驶费用． 任务3：每年行驶里程为多少公里时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用) 一、单选题 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．某天庄河的最高气温是，最低气温是，则当天庄河气温的变化范围是（   ） A． B． C． D． 3．不等式的正整数解有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 6．在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 7．某品牌手机进价为每台元，标价为每台元店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最低可打（     ）折 A．六 B．七 C．八 D．九 8．若实数，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．某地推出“筑梦学子，共享未来”共享单车租赁服务计划，具体资费规则如下： 租赁类型 基础费用（元） 免费时长（分钟） 超时每分钟收费（元） 标准租赁 1.5 15 0.2 学生会员租赁 1.5 30 0.1 包日畅骑 10 不限时长 / 以上资费有以下补充说明： ①学生会员需缴纳月费5元，租赁时出示有效学生证即可享受优惠． ②包日畅骑仅限当日有效，不限使用次数． 出发前有8人请假，现只有32人参加此次活动，班级计划部分同学打车（每车36元，每辆车坐满4人），其余同学骑行包日畅骑．恰逢节假日，包日畅骑基础费用打4折．若总交通预算为200元，最多允许几个人打车（   ） A．8人 B．12人 C．16人 D．20人 二、填空题 10．若，且，则a的取值范围是 ． 11．一块长方形菜地，长比宽多2m，周长不超过20m，那么这块菜地的宽最多是多少？设菜地的宽为，根据题意，可列不等式 ． 12．小明欲购买A，B两款糖果共，已知A款糖果的单价为12元/，B款糖果的单价为18元/．为保证最终购买的平均单价不高于15元/，小明至少购买A款糖果 ． 13．实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则 （填“”“”或“”）． 三、解答题 14．利用不等式的性质解不等式，并在数轴上表示解集． 15．解下列不等式： (1)； (2)． 16．解不等式，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解． 17．某水果批发商要将一批车厘子和草莓运至甲地，该批发商找了8辆货车进行运输．为节约成本，每辆货车只能装同一种水果且装满，每辆货车可以装4吨车厘子或3吨草莓，水果批发商需要运出两种水果不少于30吨，那么运输车厘子的货车至少需要多少辆？ 18．小明准备用50元钱买面包和酸奶，已知1个面包的价格为6元，1盒酸奶的价格为10元，他买了2盒酸奶和x个面包． (1)如果50元钱恰好用完，那么小明买了多少个面包？ (2)如果要留2元钱乘公交车，那么小明最多能买多少个面包？ 19．为提升学生身体素质，某校开展了“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球，所得总分不少于56分，问该班级在这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 20．某学校计划暑假期间建设一间活动教室．需要采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买3张五人桌和5张两人桌需花费2050元；购买4张五人桌和2张两人桌需花费1800元． (1)求每张五人桌和两人桌的价格． (2)学校根据教室布局，计划采购16张活动课桌，要求预算不超过4500元，求至少采购几张两人桌？ (3)在（2）的条件下，活动教室至少要容纳50名学生，求所有满足条件的采购方案． 21．在学习完综合与实践《低碳生活》之后，同学们的节能环保意识有了显著的提高．某小组同学利用课余时间开展了一项关于“新能源汽车充电桩现状”的调查活动，请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电桩的现状” 活动目的 运用所学知识探究新能源汽车充电桩问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 调查数据1 某月，“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图：    调查数据2 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个地上充电桩的占地，每个地下充电桩的占地．已知新建1个地下充电桩比新建1个地上充电桩多0.1万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要0.7万元． 问题一 统计图中“国家电网”的公共充电桩数量是________，市场份额是________； 问题二 求该小区新建1个地上充电桩和新建1个地下充电桩各需要多少万元．具体解题步骤如下： 问题三 若该小区计划用不超过16.32万元的资金新建60个充电桩，且地上充电桩的数量不超过20个，求共有哪几种建设方案． 具体解题步骤如下： 问题四 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在问题三的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围是________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $