专题18圆的有关性质（知识清单）（5大考点+12大题型+3大易错+5大方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单系统梳理了“圆的有关性质”专题，涵盖圆的定义、垂径定理、弧弦圆心角关系、圆周角定理、圆内接四边形5大核心考点，构建了从基础概念到定理应用再到综合题型的递进式复习架构。 清单通过思维导图呈现知识体系培养几何直观，12大题型分级设计（如垂径定理求值与应用）强化推理能力，3大易错点警示（如圆周角多解问题）培养批判性思维，5大方法技巧（如构造直角三角形）助力模型意识形成，24道测试题巩固核心素养，方便学生自主复习，为教师教学提供精准备考支持。

专题18圆的有关性质 （5大考点+12大题型+3大易错+5大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（5个核心考点） 考点01圆的有关定义 考点02垂径定理及其推论 考点03弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系 考点04圆周角定理及推论 考点05圆内接四边形 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01圆的基本性质 题型02利用垂径定理求值 题型03垂径定理的应用 题型04垂径定理与平行弦问题 题型05弧、弦、圆心角之间的关系 题型06圆周角定理 题型07圆周角定理的推论 题型08圆内接四边形 题型09圆有关性质的计算与证明 题型10圆的新定义问题 题型11圆与三角形、四边形综合问题 题型12圆与函数综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点） 易错点01不能正确理解圆周角而出错 易错点02用勾股定理解决平行弦问题 易错点03利用圆的对称性求最值 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧） 技巧01：构造直角三角形，利用垂径定理解决问题 技巧02：弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用 技巧03：圆周角的有关计算与证明综合问题 技巧04：利用圆内接四边形的性质进行计算或证明 技巧05：圆中求角、线段常用的辅助线 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解圆、弧、弦、直径、等圆、等弧的的概念.理解圆的对称性. 2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧，并能用垂径定理解决简单的实际问题 3.了解圆心角的定义，理解弧、弦、圆心角之间的关系 4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论. 5.了解圆内接四边形，理解圆内接四边形的性质 考点01圆的有关定义 1、 圆的定义： （1） 运动观点：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. （2） 集合观点：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形. 总结：确定圆的两个条件 ①圆心，它确定圆的位置. ②半径，它确定圆的大小. 2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. 3.直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍 注意： ①在一个圆上可以画无数条弦和直径. ②直径是弦，但弦不一定是直径，直径是最长的弦. 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 5.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 弧用符号“⌒” 表示， 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧 注意：半圆是弧,但弧不一定是半圆. 考点02垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 2.推论：（1）平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的 另一条弧. 3.圆的对称性： （1） 圆是轴对称图形：经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. （2） 圆是中心对称图形：将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 考点03弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.学-科网 考点04圆周角定理及推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3、推论: 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3：如果三角 形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 考点05圆内接四边形 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 题型01圆的基本性质 【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．三角形的内心是三条边中垂线的交点 D．直径是弦 【变式练习】 1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）下列命题中，正确的是（   ） A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 题型02利用垂径定理求值 【典例2】（25-26九年级上·福建龙岩·月考）如图，在 中，是直径，是弦，且于点 E，若，求的长． 【变式练习】 3．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2026·陕西·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为 ． 题型03垂径定理的应用 【典例3】（25-26九年级上·吉林·期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），赵州桥是我国古代石拱桥的代表．图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，，为半径，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 【变式练习】 6．（2025·四川南充·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 8．（2025·广东广州·二模）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为 ． 题型04垂径定理与平行弦问题 【典例4】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式练习】 9．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 10．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 11．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 题型05弧、弦、圆心角之间的关系 【典例5】（2026·陕西西安·一模）如图，AB，为的直径，点E为的中点，连接，若，则的度数为 ． 【变式练习】 12．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为 ． 题型06圆周角定理 【典例6】（25-26九年级上·重庆南川·期末）如图，是四边形的外接圆，对角线，交于点，且平分，若的半径为，则 ， ． 【变式练习】 15．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，点，，在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，内接于是的直径，若，则的度数是（） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·重庆潼南·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，若，则的长度为 ，的长度为 ． 题型07圆周角定理的推论 【典例7】（2026·浙江·一模）如图，四边形内接于，，连结，若与的面积相等，则的长为 ． 【变式练习】 18．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 20．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为 ． 21．（2025·四川绵阳·一模）如图．内接于，连，点D在上，连，交于，，过D作于F，交于G，若，，，则的长是 ． 题型08圆内接四边形 【典例8】（2026·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为 ． 【变式练习】 22．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 24．（2025·江苏连云港·二模）如图，点A，B，C都在上，若，，则的度数为 ° 题型09圆有关性质的计算与证明 【典例9】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于D，E两点，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 【变式练习】 25．（2026·安徽·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D为上一点，连接并延长到点E，弦交于点H，连接交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 26．（2025·四川德阳·模拟预测）如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 27．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）点B，C在以点O为圆心，为半径的上，连接，．      (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，D为弦下方上一点，连接，E是上一点，，过点E作交于点F，连接，求证； (3)如图③，在（2）的条件下，若为的直径，的面积为8，，求的半径． 题型10圆的新定义问题 【典例10】（2025·宁夏银川·模拟预测）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“平方点”． (1)如图2，已知在四边形中，平分于点，求证：点E是中边上的“平方点”； (2)如图3，是的内接三角形，点E是中边上的“平方点”，延长交于点D，若，求证：； (3)如图4．在中，，过点A作于点D，点E是边上的“平方点”，求线段的长． 【变式练习】 29．（2025·江苏南通·模拟预测）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． (1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为 ． (2)如图①，是的直径，点A、B、C在上，、相交于点求证：四边形是对余四边形． (3)如图②，在对余四边形中，，，，探究线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 30．（2026·陕西西安·一模）【定义新知】 婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． 【理解运用】 （）如图，四边形为的内接四边形，连接、、、、、，与交于点，已知．试说明：四边形是“婆氏四边形”； （）如图，在中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长； 【问题拓展】 （）如图，某公园欲规划一个圆形景观区，并在其内部设计一个四边形区域，作为花海，其中点、、、均在上，、为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形是“婆氏四边形”，且与的长度之和为米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由． 题型11圆与三角形、四边形综合问题 【典例11】 (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点D，交于点E，过点B作的垂线，垂足为F，交于点G，交于点H，连接，点M为上一点且，连接，延长交于点P，连接，若，求的长． 【变式练习】 31．（24-25九年级下·浙江·月考）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，经过圆心O，． ①求的值； ②若，求的半径． 32．（2025·浙江杭州·二模）如图，是的直径，C，D均为圆上的点（C在上方，D在下方），过点D作垂线，分别与，交于点E，F，且． (1)求证：； (2)若，且， ①求的值； ②求的长． 33．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T． (1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证． (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． (3)如图①，连结，若，，求的值． 题型12圆与函数综合问题 【典例12】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是内接三角形，连接． 12．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图1，直线l： 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点 以点A为圆心，AC长为半径作 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交 于点F.   (1)求直线l的函数表达式和的值； (2)如图2，连结CE，当 时，   ①求证：∽ ； ②求点E的坐标； 【变式练习】 34．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． (1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； (2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； (3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 35．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为，为弧的中点．点，关于点成中心对称． (1)求点的坐标； (2)点从点开始在折线段上运动：点从点开始在射线上运动，两点的运动速度均为个长度单位每秒，设运动时间为．的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在（）的条件下，若，求直线与相交所得的弦长． 36．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点． (1)若点，点，求的值； (2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 易错点01不能正确理解圆周角而出错 【错因】对于在求圆周角时，没有正确的讨论 【避错关键】在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题，一条非直径的弦所对的圆周角有两种情况：①顶点在优弧上的圆周角；②顶点在劣弧上的圆周角.由此在图形不确定的情况下，常忽略其中的一种情况而导致出现丢解的情况. 【典例】 1．已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆周角的度数等于 ． 2．直线与相切于点B，C是与线段的交点，D是上的动点（点D与B，C不重合），若，则的度数为 ． 3．在中，，，．以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的长为 ． 易错点02用勾股定理解决平行弦问题 【错因】对于图形不明确，没有进行分类讨论 【避错关键】对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论，避免只考虑一种情况，漏掉另一种情况，从而导致漏解. 【典例】 4．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 5．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么 AD = ． 易错点03利用圆的对称性求最值 【错因】不能将线段的最值转化为相应的模型 【避错关键】形如“圆上两动点 A,B，求 PA+PB 最值”（P 为定点） 若 P 在圆外，且A,B 在圆上满足某个约束（如 AB 为直径、或 AB 过圆心等），常利用圆的对称性将折线化为直线。 【典例】 6．如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是（   ） A． B．4 C．6 D． 7．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 8．如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 技巧01：构造直角三角形，利用垂径定理解决问题 《方法技巧》 涉及圆中的弦、圆心到弦的距离、半径、孤、中点等问题，通常连半径或作垂直于弦的直径，构造直角三角形，应用垂径定理解决问题，或者在半径、圆心到弦的垂线段和弦的一半所组成的直角三角形中，利用 勾股定理构造方程求出未知线段的长解决问题 【典例】 1．装有水的半圆柱体水槽放置在水平台面上，图1，图2是其横截面，是半圆的直径，为水面截线，为台面截线，且，直径． 【问题解决】 （1）在图1中，已知，作于点，求的长． 【操作探究】将图1中的半圆水槽沿向右滚动倾斜，使水流出一部分后，当时停止滚动，此时点与点重合，如图2，设半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． （2）则操作后水面高度下降了多少； （3）连接并延长交于点，求线段长度． 2．如图1，是的直径，弦于点E，G是上一点，，的延长线交于点F，作于点H． (1)求证：； (2)如图2，若，平分，则的值为 ； (3)猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论． 技巧02：弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用 《方法技巧》 弧在弦、弧、圆心角三者中的桥梁作用，孤在圆的证明和计算中往往起到一个桥梁的作用.在圆中，当遇到等孤时，常常先转化为等角或等弦，再进一步求解或证明， 【典例】 3．如图，的半径为，和是的两条弦，且． (1)若，的长度为，求的度数； (2)如图，若是的直径，是上一点，连接和，于点，若，，求的长． 4．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，，求． 技巧03：圆周角的有关计算与证明综合问题 《方法技巧》 见“直径”，找直角三角形：直径所对的圆周角是直角，是圆中重要的性质定理.在圆中遇到“直径”，常构造直角三角形，利用直角三角形的性质及勾股定理解决问题 【典例】 5．如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点． (1)求证：； (2)当时，求的半径； (3)若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明． 6．如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接． (1)求证：平分； (2)如图2，若点是的中点，求弦所对的圆周角的度数； (3)如图1，如果将的面积分别记为，如果，请证明点为线段的黄金分割点． 技巧04：利用圆内接四边形的性质进行计算或证明 《方法技巧》 1.判断是否为圆内接四边形——已知条件或者先证明四点共圆。 2.若需求线段长或乘积，考虑：相交弦定理（对角线与弦的交点分线段乘积相等） 托勒密定理（对角线乘积 = 对边乘积之和） 3.与相似三角形结合：利用同弧圆周角相等找相似三角形。 【典例】 7．如图，已知的半径为4，等边内接于，点P是圆周上一动点，从点A开始沿圆周逆时针方向运动一周再回到点A． (1)如图1，当点P在上运动时（不包含A，B两点），求证：平分； (2)在点P的运动过程中，当时，求的度数； (3)如图2，当点P在上运动时（不包含B，C两点），交弦于点E； ①求证：，是关于x的方程的两根； ②当的值最大时，求四边形的面积． 8．如图，等边三角形内接于，连接并延长交于点D．点E在上，连接并延长分别交与的延长线于点F，G，且．H为的中点，连接分别交，，于点M，P，N． (1)求证：； (2)求证：为的中位线； (3)求的值． 技巧05：圆中求角、线段常用的辅助线 《方法技巧》 遇到弦时，常添加弦心距 遇到直径时，常添加直径所对的圆周角 【典例】 9．如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是的中点，若，求的长． 10．如图，在中，，是边上的点，过点作，交于点，过点作，交于点，经过点、、的与、的另一个公共点分别为、，连接、、． (1)求证：； (2)若，， ①当时，求的长； ②若恰为的直径，则的长为 ． 11．如图，四边形内接于是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)以下与线段，线段，线段有关的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 12．如图，在中，，以为直径的分别交，于点E，F，是的切线，交于点M． (1)求证：； (2)过点B作，交于点D，连接，若，求的长． 13．如图，是的直径，点是上一点，连接，，． (1)如图①，已知，当时，求和的度数． (2)如图②，为切线，交于点G，已知，求的长． 14．如图1，四边形内接于，是的直径，且． (1)求证：． (2)如图2，过点D作，交的延长线于点E． ①求证：是的切线； ②若，，求的半径． 一、单选题 1．（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023·浙江杭州·二模）如图，是的直径，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·广东·二模）如图，是的弦，的半径为，为上一点，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3 D．6 5．（24-25九年级·安徽·月考）如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（　 ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，弦交于点，于点，若，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（    ）． A． B． C．点D为弦中点 D．点E为劣弧的中点 8．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，以原点为圆心的圆交轴于，两点，交轴正半轴于点，为第一象限内上的一点，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 9．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·四川绵阳·一模）如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是 ． 12．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为 ． 13．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为 ． 14．（2025·江西·模拟预测）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O 为圆心、为半径的圆弧，点N是的中点，，交于点 M．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当时，则l的值约为 ． 15．（2026·福建福州·一模）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接交于点，连接交于点，若，则的值是 ．    16．（2024·湖南·模拟预测）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 三、解答题 17．（2025·江苏·一模）请仅用无刻度直尺（即不使用刻度尺上的刻度功能）和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． 如图，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径． 18．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，过点作直线的平行线； (2)在图2中，过点作直线的垂线． 19．（2025·宁夏中卫·二模）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：； 20．（2025·河南周口·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，且为的直径，小明想知道四边形一组对角的平分线有怎样的位置关系，于是就作出的平分线交于点． (1)请你用尺规作图作出的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)探究：与的位置关系，并说明理由． 21．（2023·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的直径． 22．（2025·河北石家庄·三模）如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． (1)求的半径． (2)如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值． 23．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 24．（2025·云南·模拟预测）如图1，点，，都在上，且平分，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径； ②若于点，求证：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18圆的有关性质 （5大考点+12大题型+3大易错+5大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（5个核心考点） 考点01圆的有关定义 考点02垂径定理及其推论 考点03弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系 考点04圆周角定理及推论 考点05圆内接四边形 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01圆的基本性质 题型02利用垂径定理求值 题型03垂径定理的应用 题型04垂径定理与平行弦问题 题型05弧、弦、圆心角之间的关系 题型06圆周角定理 题型07圆周角定理的推论 题型08圆内接四边形 题型09圆有关性质的计算与证明 题型10圆的新定义问题 题型11圆与三角形、四边形综合问题 题型12圆与函数综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点） 易错点01不能正确理解圆周角而出错 易错点02用勾股定理解决平行弦问题 易错点03利用圆的对称性求最值 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧） 技巧01：构造直角三角形，利用垂径定理解决问题 技巧02：弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用 技巧03：圆周角的有关计算与证明综合问题 技巧04：利用圆内接四边形的性质进行计算或证明 技巧05：圆中求角、线段常用的辅助线 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解圆、弧、弦、直径、等圆、等弧的的概念.理解圆的对称性. 2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧，并能用垂径定理解决简单的实际问题 3.了解圆心角的定义，理解弧、弦、圆心角之间的关系 4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论. 5.了解圆内接四边形，理解圆内接四边形的性质 考点01圆的有关定义 1、 圆的定义： （1） 运动观点：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. （2） 集合观点：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形. 总结：确定圆的两个条件 ①圆心，它确定圆的位置. ②半径，它确定圆的大小. 2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. 3.直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍 注意： ①在一个圆上可以画无数条弦和直径. ②直径是弦，但弦不一定是直径，直径是最长的弦. 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 5.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 弧用符号“⌒” 表示， 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧 注意：半圆是弧,但弧不一定是半圆. 考点02垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 2.推论：（1）平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的 另一条弧. 3.圆的对称性： （1） 圆是轴对称图形：经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. （2） 圆是中心对称图形：将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性. 考点03弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.学-科网 考点04圆周角定理及推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3、推论: 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3：如果三角 形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 考点05圆内接四边形 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 题型01圆的基本性质 【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．三角形的内心是三条边中垂线的交点 D．直径是弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，三角形的内心，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误，不符合题意； C、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，原说法错误，不符合题意； D、直径是弦，原说法正确，符合题意； 故选D． 【变式练习】 1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】A 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、圆心角的关系和垂径定理推论，利用垂径定理、圆的有关定义、圆心角、弦、弧之间的关系、等弧的定义等知识分别判断后即可解答． 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，故A正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，原说法缺少前提条件，故B错误； C、相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，故C错误； D、平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直），故D错误． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）下列命题中，正确的是（   ） A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于圆的性质，根据圆的确定条件、弧与圆心角的关系、垂径定理的逆定理以及弦与弧的关系逐一判断各选项． 【详解】解：A选项：当三点共线时，不能确定一个圆，故A选项错误； B选项：等弧一定在同圆或等圆中，所以等弧所对的圆心角相等，故B选项正确； C选项：当被平分的弦是直径时，则平分弦的直径不一定垂直于这条弦，故C选项错误； D选项：在同圆或等圆中，同一条弦所对的弧有优弧和劣弧，这两段弧不一定相等，故D选项错误． 故选：B． 题型02利用垂径定理求值 【典例2】（25-26九年级上·福建龙岩·月考）如图，在 中，是直径，是弦，且于点 E，若，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接 ，因为是直径，是弦，且，由垂径定理得，在 中，用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接 ， ∵是直径，， ∴， ∵，， ∴， 在 中，． 【变式练习】 3．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先证，进而得出，，由垂径定理得，再用勾股定理解即可． 【详解】解：点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，连接，设的半径为r，设， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 故选：A． 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，解决此题的关键是合理的利用垂径定理；先根据垂径定理得到的长，根据勾股定理和线段的和差得到的长度，进而即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵为的直径， ， ∴， ∵弦于E， ∴， 在中，， ∴ 即 ∴， ∴， ∴的面积为； 故选：D． 5．（2026·陕西·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用垂径定理和勾股定理求出边的长度是解题的关键． 如图：连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，可求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出的长． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型03垂径定理的应用 【典例3】（25-26九年级上·吉林·期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），赵州桥是我国古代石拱桥的代表．图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，，为半径，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】这座石拱桥主桥拱的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 设这座石拱桥主桥拱的半径为，由垂径定理，结合已知可得，根据勾股定理，即可得这座石拱桥主桥拱的半径． 【详解】解：设这座石拱桥主桥拱的半径为， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． 【变式练习】 6．（2025·四川南充·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为1米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，连接，设该拱门的半径，根据垂径定理求出，将用含r的代数式表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设该拱门的半径， 根据题意得在的直径上，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∴， ∴该拱门的半径是， 故答案为：． 8．（2025·广东广州·二模）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．由题意画出图形，设出未知数，由勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意知，，，是半径，且， ， 设铅球的半径为，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 则铅球的直径为：， 故答案为：． 题型04垂径定理与平行弦问题 【典例4】．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论弦和与圆心的位置关系． 作于E，延长交于F，连接、，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出圆心到弦的距离，最后分两种情况 （两弦在圆心同侧和异侧）计算两弦之间的距离． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵， ， ， ∵的直径为， ∴的半径为， 在中，， ， 在中，， ， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，同理可得， 即和之间的距离为或． 故选：A. 【变式练习】 9．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则，   ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，   同理， ， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：C． 10．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 11．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【详解】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 题型05弧、弦、圆心角之间的关系 【典例5】．（2026·陕西西安·一模）如图，AB，为的直径，点E为的中点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，弧、弦和圆心角的关系，对顶角相等，三角形内角和定理等知识，连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式练习】 12．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 根据弧、弦、圆心角之间的关系，可得，从而得到，再根据等边对等角的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 故选：B． 13．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 14．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，由平角的定义可得，再根据弧与圆心角之间的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∵点、是的三等分点， ∴， 故答案为：． 题型06圆周角定理 【典例6】（25-26九年级上·重庆南川·期末）如图，是四边形的外接圆，对角线，交于点，且平分，若的半径为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先证明是等边三角形可得，，如图：作直径，连接，则，，再说明，运用勾股定理可求得；如图：作于F，易得，由含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平分，且， ∴． ∴． ∴是等边三角形， ∴，， 如图：作直径，连接，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 如图：作于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，11． 【变式练习】 15．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，点，，在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 16．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，内接于是的直径，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理（直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等），熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再结合同弧所对圆周角相等，通过直角三角形内角和求出角度． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， 在中， ∵， ∴， 故选：． 17．（25-26九年级上·重庆潼南·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，若，则的长度为 ，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，根据垂径定理可得，，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求出，进而可得的长度，求出，根据圆周角定理可得，结合，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 的直径垂直于弦， ，， 设的半径为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 是的中点， ， ， ， ， 故答案为: ，． 题型07圆周角定理的推论 【典例7】（2026·浙江·一模）如图，四边形内接于，，连结，若与的面积相等，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同弧或等弧对的圆周角相等，全等三角形的判定和性质．分别过A，C作，垂足分别为E，F，设交于点G，则，与的面积相等，可得，证明，可得，再证明，即可求解． 【详解】解：如图，分别过A，C作，垂足分别为E，F，设交于点G，则， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式练习】 18．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理， 由圆周角定理得到，，求出，即可得到的度数． 【详解】解：连接， 是圆的直径， ， ， ， ． 故选：C． 19．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆内角度的关系是解题关键． 同弧或等弧所对的圆周角相等，从同弧或等弧的角度去寻找相等的角即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 20．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵平分， ∴， 故答案为：. 21．（2025·四川绵阳·一模）如图．内接于，连，点D在上，连，交于，，过D作于F，交于G，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，圆周角与圆心角的关系，直角三角形的性质，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 连接，过点O作，先利用题目中给的角度关系进行转换，得到，再证明垂直平分，从而证得是等腰直角三角形，根据题意设，，用含有x的式子将的三边表示出来，并用勾股定理列方程，求解出的值，再分类讨论，即可求解． 【详解】解：连接，过点O作， 根据图形，可知， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，， ， ， 在中，， 解得或， ， ， 当时，，， ， ， ， 当时，，， ， ， 此情况不成立， 综上所述，． 故答案为：． 题型08圆内接四边形 【典例8】（2026·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．连接、，如图，先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据圆周角定理得到，接着根据切线的性质得到，然后利用四边形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：连接、，如图， 四边形内接于， ， ， ， 、为的切线， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式练习】 22．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图连接， 由圆内接四边形的性质可得：， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选A． 23．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 24．（2025·江苏连云港·二模）如图，点A，B，C都在上，若，，则的度数为 ° 【答案】75 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点D，连接，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用圆内接四边形的性质可得，从而可得，进而可得是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得，最后根据圆内接四边形的性质可得，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点D，连接， ∴ ∵， ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 题型09圆有关性质的计算与证明 【典例9】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于D，E两点，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理． （1）利用圆内接四边形的性质，求得，再利用平行线的性质求得，推出，得到； （2）连接．先求得．利用圆周角定理求得，利用勾股定理求得，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴． 如图，连接． ∵是的直径， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 【变式练习】 25．（2026·安徽·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D为上一点，连接并延长到点E，弦交于点H，连接交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理得出，根据直角三角形的性质以及等量代换求出，从而得出，即可得证； （2）根据垂径定理以及圆周角定理得出，证明，再根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴（负值舍去）． 26．（2025·四川德阳·模拟预测）如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质，圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）连接，根据圆周角定理求出，求出，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，求出即可； （2）求出，根据三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ， ， ． 27．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明； （2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴． 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）点B，C在以点O为圆心，为半径的上，连接，．      (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，D为弦下方上一点，连接，E是上一点，，过点E作交于点F，连接，求证； (3)如图③，在（2）的条件下，若为的直径，的面积为8，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明即可证明平分； （2）连接，交于点K，连接，证明四点共圆，得到，，再证明，等量代换证明即可结论． （3）先证明，得到，再根据的面积为8，得到，确定，继而得到，后利用勾股定理解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆的性质，四点共圆，正弦函数的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：连接，交于点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴，， 在和中， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负的舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径． 题型10圆的新定义问题 【典例10】（2025·宁夏银川·模拟预测）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“平方点”． (1)如图2，已知在四边形中，平分于点，求证：点E是中边上的“平方点”； (2)如图3，是的内接三角形，点E是中边上的“平方点”，延长交于点D，若，求证：； (3)如图4．在中，，过点A作于点D，点E是边上的“平方点”，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5或8 【分析】（1）先证，得，再由平分，得，即可得答案； （2）由点E是中边上的“平方点”得，再证，得，可得，即可得结论； （3）先求出，，的长，设，得，解答即可． 【详解】（1）证明：，， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点E是中边上的“平方点”； （2）证明：∵点E是中边上的“平方点”， ∴， ∵是的内接三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ， ， 设，由题意得：，， ， 解得：，， ∴的长为5或8． 【点睛】本题考查了几何新定义，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 【变式练习】 29．（2025·江苏南通·模拟预测）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． (1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为 ． (2)如图①，是的直径，点A、B、C在上，、相交于点求证：四边形是对余四边形． (3)如图②，在对余四边形中，，，，探究线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据新定义，分类讨论：①当和互余时，②当与互余时，逐个分析求解即可； （2）先推导出，则，即可解答； （3）将绕点B逆时针旋转得到连接则≌，，推导出是等边三角形，得到，继而证明，则，得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是对余四边形， 当和互余时， ， 当与互余时， ， 则， 故答案为：或； （2）解：连接OB， 是的直径，点A、B、C在上， ∴，， ， 即， 四边形是对余四边形． （3）解：猜想：线段、和之间的数量关系为 理由如下：， 将绕点B逆时针旋转得到连接，如图， 则≌，， ，，， 为等边三角形， ， ， 。 ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查新定义，互余，圆周角，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，掌握知识点是解题的关键． 30．（2026·陕西西安·一模）【定义新知】 婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． 【理解运用】 （）如图，四边形为的内接四边形，连接、、、、、，与交于点，已知．试说明：四边形是“婆氏四边形”； （）如图，在中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长； 【问题拓展】 （）如图，某公园欲规划一个圆形景观区，并在其内部设计一个四边形区域，作为花海，其中点、、、均在上，、为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形是“婆氏四边形”，且与的长度之和为米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）说明见解析 （） （）存在，，理由见解析 【分析】本题主要考查围绕“婆氏四边形”(对角线互相垂直的圆内接四边形)展开，核心考查圆的性质(圆内接四边形对角互补、圆周角定理、垂径定理)、特殊四边形判定(平行四边形、矩形、正方形的判定逻辑)、几何计算与最值(勾股定理、全等三角形判定与性质、二次函数最值)，并紧扣“婆氏四边形”定义串联各知识点，综合考查圆、四边形、三角形的性质与判定及几何最值问题的解决能力． （）根据圆周角定理即可得出，从而可得，继而证明结论． （）根据垂径定理和圆周角定理可得，，设，则，，在中解直角三角形即可； （）先作，由垂径定理得；再利用结合圆周角定理，推导得，进而证，得到； 设，则，进而得到，在中用勾股定理表示半径 ；最后化简表达式为，当时，的长取最小值，且最小值为，即可解答． 【详解】（）∵ ∴， ∴ 即， 又∵四边形是的内接四边形， ∴四边形是“婆氏四边形”； （）解∵， ∴，为直径， ∴， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理， ，即： 解得，即； （）存在，； 理由：过点作于点，于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的长取最小值，且最小值为， ∴半径的最小值为， ∴圆形景观区面积的最小值（平方米） 题型11圆与三角形、四边形综合问题 【典例11】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是内接三角形，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点D，交于点E，过点B作的垂线，垂足为F，交于点G，交于点H，连接，点M为上一点且，连接，延长交于点P，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，设，可得，从而得到，即可解答； （2）连接，，设，根据角平分线的定义可得，再结合，可得，从而得到，进而得到，即可解答； （3）连接，，在上取一点，使，连接．设，由（2）得：，从而得到，进而得到，再结合是直径，可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，再证明，可得，进而证得四边形为平行四边形，可得，，从而得到，从而得到，然后根据，可得，然后根据，可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ． 设． ． ． ． （2）证明：连接，， 设， ． 平分， ． ， ． ． ． ． （3）解：连接，，在上取一点，使，连接． ． 设， 由（2）得：， ． ， ． ． 是直径， ． ， ， ． ． ，， 垂直平分， ． ． ， ． ， ． ． ． ， ． ， ． ，． ． ，， ． 四边形为平行四边形． ，． ． ， ． ． ． ， ． ． ． ． ， ． ．即． ． ． ， ． ． ． ． ． ， ． ， ． ， ． 在中，， 在中，， ，即． ． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 【变式练习】 31．（24-25九年级下·浙江·月考）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，经过圆心O，． ①求的值； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）①连接，，由题意易得，，然后可得，，则有，进而根据相似三角形的性质及三角函数可进行求解； ②延长交于点F，由题意易得，，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：是的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵经过圆心O， ∴是的直径， ∴， ∴； ②如图3，延长交于点F， ∴， ∴，， ∵O为的中点， ∴， 由（2）①可得， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查垂径定理、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定，三角函数，熟练掌握垂径定理、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 32．（2025·浙江杭州·二模）如图，是的直径，C，D均为圆上的点（C在上方，D在下方），过点D作垂线，分别与，交于点E，F，且． (1)求证：； (2)若，且， ①求的值； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由于点E，是的直径，得，由，，得，由，，推导出，则； （2）①连接、，作于点H，则，，可证明，得，则，所以，由，，求得，，由，求得，则，所以； ②由，得，由，得，证明，则，求得． 【详解】（1）证明：∵于点E，是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①连接、，作于点H，则，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值是； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、同角的余角相等、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 33．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T． (1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证． (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． (3)如图①，连结，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据菱形的性质即可得证； （2）连接，，连接并延长交于H，根据，得到为=的直径，根据圆周角定理求出，设的半径为r，利用勾股定理即可解答； （3）连接，，过B作于K，设，证明，列出比例式，求出，，设，则，设，则，根据，代入数值，得到①，延长交的延长线于点G，②，由①得③，由②得④，求解即可． 【详解】（1）证明：菱形， ，， ． ， ． （2）解：如图①，连结，，连结并延长交于， ， 为的直径． ，， ， ，， ， ． 设的半径为，则， 解得：． （3）解：如图②，连结，，过B作于K，设， ，． ， ． 同理可得：， ． ， ． ， ， ． 同理． 为直径， ， 而． ， ，． 设，则，设，则． ， ，① 延长交的延长线于点，则， 在中，，，，则， 即，② 由①得：，③ 由②得：，④ 得：，代入③得：， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 题型12圆与函数综合问题 【典例12】（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图1，直线l： 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点 以点A为圆心，AC长为半径作 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交 于点F.   (1)求直线l的函数表达式和的值； (2)如图2，连结CE，当 时，   ①求证：∽ ； ②求点E的坐标； 【答案】(1) (2)①见解析，② 【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论； （2）①先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论； ②设出 ， ，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解： 直线l： 与x轴交于点 ，    ， ， 直线l的函数表达式 ， ， ， ， ∴在 中， ； （2）解：①如图2，连接DF， ，    ， ， ， ， 四边形CEFD是 的圆内接四边形， ， ， ， ∽ ， ②过点E作 于M， 由①知， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， 由 知， ∽ ， ， ， ， ， ， 舍 或 ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法、正弦的定义式、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、等弦对等弧的性质、一元二次方程的应用等是解题关键． 【变式练习】 34．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． (1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； (2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； (3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由条件得点，再根据中点坐标求出点的横坐标为，由点和点的横坐标相同得两个点在同一竖直方向上，则，点的纵坐标为； （2）线段与反比例函数有交点的临界状态为点在反比例函数图象上，设点，利用中点坐标表示出点，利用和勾股定理建立方程即可解出的取值范围，即的取值范围； （3）连接，为直径，则直径所对的圆周角，结合得垂直平分，，可判断点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆，则直线与相切；直线过定点，设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接，利用勾股定理得，再通过三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点，的半径为2； 当点刚好落在轴上时，点的横坐标为0， ∵点为线段中点， ∴点的横坐标为， 此时点和点在同一竖直方向，则点或， 故答案为：或． （2）当点在反比例函数图象上时，设点， 则点， ∵点在圆上， ∴，， 解得或， ∵， ∴或， ∴， 即交点横坐标的取值范围为． （3）如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆， 由条件得直线与该圆相切， ∵， ∴直线过定点， 设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的性质，中点坐标，勾股定理，切线的性质定理等，熟练掌握“到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆”以及数形结合的思想是解题的关键． 35．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为，为弧的中点．点，关于点成中心对称． (1)求点的坐标； (2)点从点开始在折线段上运动：点从点开始在射线上运动，两点的运动速度均为个长度单位每秒，设运动时间为．的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在（）的条件下，若，求直线与相交所得的弦长． 【答案】(1)； (2)； (3)弦长是或或． 【分析】（）过作于，于，连接，根据圆周角定理求出，，根据证，求出即可； （）分为三种情况：当在上时，在上，当在的延长线上时，当在的延长线上时，根据三角形面积公式求出即可； （）求出平行四边形的面积，根据已知得出三个方程，求出方程的解，注意看是否在范围内，再分三种情况分析作于，求出即可． 【详解】（1）解：过作于，于，连接， 由勾股定理得：， ∴，，，， ∵是直径， ∴， ∵为弧的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴的坐标是； （2）解：如图，连接交中点与G， 则是中位线， ∴，， ∵点坐标为， ∴， ∴，， ∴， 当在上时，在上，作交于H，则 （）； 当在上时，在上， 同法可求（）； 当在的延长线上时， （）； （3）解：， ， 解得：或 ， 解得：或（此时不在之间，舍去）， 过作于，连接， 当时，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴勾股定理得： ∴； ， 方程的解不在内； 过作于，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 过作于，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 综上可得：弦长是或或． 【点睛】本题考查了三角函数，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，垂径定理等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 36．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点． (1)若点，点，求的值； (2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的值是定值，为； (3)的坐标为或或或． 【分析】（1）设圆心点为，利用、的坐标求出圆的半径，然后根据勾股定理求出的长，求得点，然后利用轴的交点式代入点的坐标得到函数的解析式即可求解； （2）根据坐标系中交点的坐标，利用三角形相似的判定得到，再根据相似三角形的性质，结合一元二次方程根与系数的关系求出是一个定值； （3）根据题意，分为点在轴上或点在轴上两种情况，结合相似三角形的判定与性质可求点的坐标. 【详解】（1）解：设圆心为点， ，， ，的半径为， ， ， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ， ， ， ，， ； （2）的值是定值，为， 理由：点，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 令时，， ， ， ； （3）点是圆与抛物线的交点与、、不重合，， ，即：， 当点在轴上时，如图，设点的坐标为， ，，， ，，， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ， 或②， ， ， ， 当点在轴上时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，， ，， ，， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ∴ 或②， ， ， ∴ 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合问题，包括勾股定理，利用待定系数法确定函数解析式，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点进行分类讨论是解题关键． 易错点01不能正确理解圆周角而出错 【错因】对于在求圆周角时，没有正确的讨论 【避错关键】在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题，一条非直径的弦所对的圆周角有两种情况：①顶点在优弧上的圆周角；②顶点在劣弧上的圆周角.由此在图形不确定的情况下，常忽略其中的一种情况而导致出现丢解的情况. 【典例】 1．已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆周角的度数等于 ． 【答案】或 【分析】此题考查了求圆周角；直径所对圆周角是直角，勾股定理求出，证得为等腰直角三角形即可解得． 【详解】解：如图, 连接， 的直径 , 根据勾股定理得 ∴ 为等腰直角三角形 ， 弦所对的圆周角的度数等于或者． 故答案为：或者． 2．直线与相切于点B，C是与线段的交点，D是上的动点（点D与B，C不重合），若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理与圆内接四边形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题关键． 根据切线的性质，连接，得，结合，可求．分点D在优弧和劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ∵直线与相切于点B， ∴， ∵， ∴， 当点D在优弧上时，为圆周角，所对弧为，圆心角为，故； 当点D在劣弧上时，与优弧上的圆周角互补，即． 故答案为：或． 3．在中，，，．以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的长为 ． 【答案】或 【分析】如图，由，都为等腰直角三角形，证明四边形是正方形，连接，交于，连接，过作于，过作于，证明在以为圆心，为半径的圆上；四边形为正方形，证明，可得，求解，再进一步，，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，∵，都为等腰直角三角形， ∴，，， ∴四边形是正方形， 连接，交于，连接，过作于，过作于， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴在以为圆心，为半径的圆上； ∴，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 综上：的长为或； 故答案为：或. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键. 易错点02用勾股定理解决平行弦问题 【错因】对于图形不明确，没有进行分类讨论 【避错关键】对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论，避免只考虑一种情况，漏掉另一种情况，从而导致漏解. 【典例】 4．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，即弦和在圆心的同侧或异侧，分别求出圆心到两条弦的距离，再计算两条平行弦的距离．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理并分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接，． ，， ． ，，， ，． 在中，． 在中，． 当，在圆心的同侧时， ； 当，在圆心的异侧时， ． 故答案为：或． 5．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 易错点03利用圆的对称性求最值 【错因】不能将线段的最值转化为相应的模型 【避错关键】形如“圆上两动点 A,B，求 PA+PB 最值”（P 为定点） 若 P 在圆外，且A,B 在圆上满足某个约束（如 AB 为直径、或 AB 过圆心等），常利用圆的对称性将折线化为直线。 【典例】 6．如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、垂径定理、弧、圆心的关系及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，过点C作，并延长，交于点H，则有当点O与点P重合时，有最小值，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点C作，并延长，交于点H，如图所示： ∴， ∴点C与点H关于对称， ∴， ∴， ∴点E、O、H三点共线， 由轴对称的性质可知：的最小值为点O与点P重合时，如图，即最小值为， ∴， 即的最小值为6； 故选C． 7．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H． ∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F， ∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9， ∴，， ∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21， BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21， 在Rt△BCH中，根据勾股定理得：， 即PA＋PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键． 8．如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长. 连接, ， ∴， ∴弧的度数是， 则弧的度数是 ， 根据垂径定理得弧的度数是：， 则 又， 则 故答案为：． 技巧01：构造直角三角形，利用垂径定理解决问题 《方法技巧》 涉及圆中的弦、圆心到弦的距离、半径、孤、中点等问题，通常连半径或作垂直于弦的直径，构造直角三角形，应用垂径定理解决问题，或者在半径、圆心到弦的垂线段和弦的一半所组成的直角三角形中，利用 勾股定理构造方程求出未知线段的长解决问题 【典例】 1．装有水的半圆柱体水槽放置在水平台面上，图1，图2是其横截面，是半圆的直径，为水面截线，为台面截线，且，直径． 【问题解决】 （1）在图1中，已知，作于点，求的长． 【操作探究】将图1中的半圆水槽沿向右滚动倾斜，使水流出一部分后，当时停止滚动，此时点与点重合，如图2，设半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． （2）则操作后水面高度下降了多少； （3）连接并延长交于点，求线段长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（）连接，由垂径定理得，再利用勾股定理即可求解； （）由切线的性质得，进而由平行线的性质得，即得，再利用直角三角形的性质求出即可求解； （）由直角三角形的性质可得，由弧弦圆心角的关系可得，即得，进而即可求解． 【详解】（）解：连接，如图， ∵为圆心，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； 即的长为； （）解：∵与半圆的切点为， ∴， ∵， ∴于点， ∴， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为； （）解：∵，， ∴， ∵半圆的中点为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质，弧弦圆心角的关系，解直角三角形，弧长公式，掌握以上知识点是解题的关键． 2．如图1，是的直径，弦于点E，G是上一点，，的延长线交于点F，作于点H． (1)求证：； (2)如图2，若，平分，则的值为 ； (3)猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)．理由见解析 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义，可得，利用垂径定理可得，从而求得，等量代换即可求证； （2）根据角之间的相等关系，易求得，根据，求得，则，利用“”，易证，从而，即，易证，则相似比为，最后根据相似三角形的性质，即可求解； （3）在的延长线上截取，连接，利用“”，易证，得，从而得，利用等腰三角形的性质得，最后根据线段之间的关系，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ， ∴， ∵弦于点E，是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵平分， ∴， ∴， ， 在中，， ∵平分，， ∴， ∴，， ∴是圆的直径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则， 在和中， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：4； （3）解：线段之间的数量关系为．理由： 如图，在的延长线上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵弦于点E，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，直角三角形的角对应的直角边是斜边的一半等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 技巧02：弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用 《方法技巧》 弧在弦、弧、圆心角三者中的桥梁作用，孤在圆的证明和计算中往往起到一个桥梁的作用.在圆中，当遇到等孤时，常常先转化为等角或等弦，再进一步求解或证明， 【典例】 3．如图，的半径为，和是的两条弦，且． (1)若，的长度为，求的度数； (2)如图，若是的直径，是上一点，连接和，于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图中，连接，，设，交于，利用弧长公式求出，可得结论． （2）如图中，连接，，设交于，交于，连接，过点作于，交的延长线于，首先证明，设，，则，可得，，再证明，可得，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：如图中，连接，，设，交于． ∵的长， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴． （2）解：如图中，连接，，设交于，交于，连接，过点作于，交的延长线于． ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴，， ， ∴， ，，，四点共圆， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，弧长公式，角平分线的性质等知识，解题的关键是证明，属于中考压轴题． 4．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连结，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算求出，根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连结， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求正弦值，掌握垂径定理是解题的关键． 技巧03：圆周角的有关计算与证明综合问题 《方法技巧》 见“直径”，找直角三角形：直径所对的圆周角是直角，是圆中重要的性质定理.在圆中遇到“直径”，常构造直角三角形，利用直角三角形的性质及勾股定理解决问题 【典例】 5．如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点． (1)求证：； (2)当时，求的半径； (3)若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）根据弧中点得到，根据平行线夹弧得到，即可得证； （2）作于点M，连接， 则，根据，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即可； （3）作于点M，连接，设，则，根据，，得到，，得到，由勾股定理得到，得到，得到，得到，得到，根据，即得． 【详解】（1）证明：∵点F是弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点M，连接，如图， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径； （3）解：．理由如下： 同（2），作于点M，连接， 由（2）知，，，， ∴， 设，则 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握平行弦性质，垂径定理，勾股定理解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形性质，含30°的直角三角形性质，是解决问题的关键． 6．如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接． (1)求证：平分； (2)如图2，若点是的中点，求弦所对的圆周角的度数； (3)如图1，如果将的面积分别记为，如果，请证明点为线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、黄金分割的定义及三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定、圆周角定理的应用以及黄金分割的判定条件是解题的关键． （1）利用已知条件及，通过判定，从而得到对应角相等，证明角平分线． （2）根据是中点且，得出；结合（）的结论推出，再根据圆周角定理，分优弧和劣弧两种情况求出弦所对的圆周角． （3）通过作高将三角形面积用线段表示，代入面积等式，化简后得到，以此证明点为黄金分割点． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即平分； （2）解：∵是中点且， ∴， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， 当弦所对的圆周角在上时，， 当弦所对的圆周角在上时，， ∴弦对的圆周角为或； （3）证明：如图3，过点作于，于， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积分别为 ， ∵， ∴， ∴， ∴点为线段的黄金分割点． 技巧04：利用圆内接四边形的性质进行计算或证明 《方法技巧》 1.判断是否为圆内接四边形——已知条件或者先证明四点共圆。 2.若需求线段长或乘积，考虑：相交弦定理（对角线与弦的交点分线段乘积相等） 托勒密定理（对角线乘积 = 对边乘积之和） 3.与相似三角形结合：利用同弧圆周角相等找相似三角形。 【典例】 7．如图，已知的半径为4，等边内接于，点P是圆周上一动点，从点A开始沿圆周逆时针方向运动一周再回到点A． (1)如图1，当点P在上运动时（不包含A，B两点），求证：平分； (2)在点P的运动过程中，当时，求的度数； (3)如图2，当点P在上运动时（不包含B，C两点），交弦于点E； ①求证：，是关于x的方程的两根； ②当的值最大时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)①见解析② 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，垂径定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由圆周角定理得出，故可得结论； （2）连接、，证明，分点P在上和点P在上两种情况根据圆周角定理可得结论； （3）①分别证明、、，运用相似三角形的性质可求出， ，即可得出结论； ②根据的值最大确定P是的中点，是的直径，根据垂径定理得出，从而可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵和分别是和所对的圆周角， ∴， ∴平分； （2）解：∵半径为4， ∴直径为8， ∵是等边三角形， ∴ 连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 情况1：点P在上时，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 情况2：点P在上时， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 综上，或； （3）解：①证明：∵的圆周角是和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 在上取一点，使， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 同理可证， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据一元二次方程根与系数的关系得，方程的两根为、， ∵， ， ∴， ∴，是关于x的方程的两根； ②设，， ∴，， ∴，是方程的两根， ∴， ∴， ∴，当且仅当时取等号（此时）此时的值最大， 当时，P是的中点，是的直径， ∴，， 连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 8．如图，等边三角形内接于，连接并延长交于点D．点E在上，连接并延长分别交与的延长线于点F，G，且．H为的中点，连接分别交，，于点M，P，N． (1)求证：； (2)求证：为的中位线； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据圆内接三角形，可得点O在的垂直平分线上，再利用等边三角形的性质可得，进行角度转换得到，即可解答； （2）得到，从而推出，根据平行线分线段成比例即可解答； （3）连接，推出，，，设，，根据圆周角定理得到，，推出，得，即可得到，即可解答． 【详解】（1）证明： 等边三角形内接于， ，，点O在的垂直平分线上， ， 平分， 即， ，，， ， ； （2）解：为的中点， ， ． ， 垂直平分BD， ，． ， ， ， ． ， ，， 即M，N分别为，中点， 为的中位线； （3）解：如图，连接， ， ， 为等边三角形， ， ，，， ，，， 设，， ， ， ，， ，， ， ， ， 整理得， 解得， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，熟练利用相关性质是解题的关键． 技巧05：圆中求角、线段常用的辅助线 《方法技巧》 遇到弦时，常添加弦心距 遇到直径时，常添加直径所对的圆周角 【典例】 9．如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是的中点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 (3)． 【分析】（1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论； （2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数； （3）令交于点G，连接，作于点H，利用勾股定理求得，利用等积法求得，，证明，求得，，再证明，进而根据相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 即， ， 是线段的垂直平分线， ； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ， 是的一个外角， ； （3）解：令交于点G，连接，作于点H，如图所示： 由（2）知， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 10．如图，在中，，是边上的点，过点作，交于点，过点作，交于点，经过点、、的与、的另一个公共点分别为、，连接、、． (1)求证：； (2)若，， ①当时，求的长； ②若恰为的直径，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①的长为4；② 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质推导出，，进而根据相似三角形的判定可得结论； （2）①连接，证明得到，结合得到，进而求得；再证明∽得到，即，进而可求解； ②设与交于点，根据恰为的直径，设，则，可得，根据锐角三角函数即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵和是同弧所对圆周角， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解： ①如图，连接， ∵， ，， ∴， ， ， ∴， ∴， ，， 由（1）知：； ， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：的长为4； ②如图，设与交于点， ， ， ， ∴，又恰为的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 11．如图，四边形内接于是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)以下与线段，线段，线段有关的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)②正确，理由见解析 【分析】（1）结合圆周角定理以及三角形内角和性质，得，又因为，得，即可作答． （2）先由圆的性质得，即，，再由推出，进而得，即，即可得出结论； （3）证明，得到，，则，进而求解． 【详解】（1）解：是的直径， ． ， ， ， ． （2）证明：如图1，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （3）解：②正确，理由如下： 过点B作交延长线于点G，如图2， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 12．如图，在中，，以为直径的分别交，于点E，F，是的切线，交于点M． (1)求证：； (2)过点B作，交于点D，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2 【分析】（1）连接，根据等边对等角得到，，则，根据平行线的判定和性质得到，根据切线的性质定理得到，则，即； （2）连接，延长交于点，则四边形是矩形，得到，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，进而根据线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ； （2）解：连接，延长交于点， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， 的长为2． 【点睛】本题考查了等边对等角，平行线的判定和性质，切线的性质定理，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 13．如图，是的直径，点是上一点，连接，，． (1)如图①，已知，当时，求和的度数． (2)如图②，为切线，交于点G，已知，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用圆周角定理即可求出，由，得到，根据相等的弧所对的圆周角相等，求出， 即可求出； （2）过圆心作，交于点，根据垂直的定义，得到，证得四边形为矩形，从而可知，，由勾股定理可求得，根据垂径定理可知，即可求解的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过圆心作，交于点， ∴， ∵为切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的性质和判定等知识，掌握切线的性质、垂径定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． 14．如图1，四边形内接于，是的直径，且． (1)求证：． (2)如图2，过点D作，交的延长线于点E． ①求证：是的切线； ②若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）可证明，由等角对等边可证明结论； （2）①连接，可证明是的垂直平分线，得到；证明．可推出，则可证明，据此可证明结论；②过点O作于点F，则由垂径定理可得．证明四边形是矩形，得到，；设的半径为x，则，．由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ， ； （2）解：①如图，连接，则， 由（1）知，， 是的垂直平分线， ； 是的直径， ． ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； ②如图，过点O作于点F，则． 又，， 四边形是矩形， ，； 设的半径为x，则， ． 在中，，且， 在中，， ，即． 解得：，（负值，舍去）． 的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，切线的判定等，正确作出辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，据此可得答案． 【详解】解：∵圆的圆心一定在其直径上， ∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心， ∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次， 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，解题关键是掌握圆的基本概念． 根据圆的基本概念判断各说法的正确性：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径；等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合；半圆是弧的一种，但弧不一定是半圆． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦， ∴①正确； ∵弦是连接圆上任意两点的线段，不一定通过圆心， ∴②错误； ∵半径相等的两个半圆长度相等且形状相同，属于等弧， ∴③正确； ∵在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才叫等弧， ∴仅长度相等不一定是等弧， ∴④错误； ∵半圆是弧的一种，但弧包括优弧、劣弧和半圆， ∴⑤正确． ∴正确的说法有①、③、⑤，共3个， 故选：C． 3．（2023·浙江杭州·二模）如图，是的直径，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 由圆周角定理得到，据此即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴根据圆周角定理得，． 则的度数为， 故选：B． 4．（2024·广东·二模）如图，是的弦，的半径为，为上一点，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理的应用，熟练掌握圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）及勾股定理是解题的关键． 连接、，利用圆周角定理得出圆心角，再结合等腰直角三角形的性质计算弦的长． 【详解】解：连接、． ∵同弧所对的圆周角是圆心角的一半，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得 ， 故选：C． 5．（24-25九年级·安徽·月考）如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角的有关定理，解题的关键是找到同弧所对的圆周角． 根据是的直径，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，弦交于点，于点，若，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的性质、勾股定理的逆定理、在同一平面内，经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直等，熟练掌握各个性质是解题的关键． 先连接，根据条件得出直径，半径，再根据勾股定理的逆定理求出为直角三角形，最后根据在同一平面内，经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直得出点、点重合，再求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦交于点，，， ∴, ∴， ∴． ∵，，， 得：， ∴为直角三角形，． ∵，， ∴点、点重合， ∴． 故选：D． 7．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（    ）． A． B． C．点D为弦中点 D．点E为劣弧的中点 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 8．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，以原点为圆心的圆交轴于，两点，交轴正半轴于点，为第一象限内上的一点，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用．连接，根据等腰三角形性质求出，再求出，根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ∵， . 故选：B． 9．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 10．（2025·四川绵阳·一模）如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，连接，由等腰直角三角形的性质得出，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，再证明，得出即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，， ， ， ， ． 在中， ． 作关于对称的图形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 把代入中得， ． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题 11．（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是 ． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，根据的圆周角所对的弦是直径解答即可． 【详解】解：这种方法的数学依据是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 12．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角为直角”是解题的关键.由为的直径，根据圆周角定理的推论得到，再根据角的和差及圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补以及等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 通过连接，利用等腰三角形的性质得出，，从而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 14．（2025·江西·模拟预测）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O 为圆心、为半径的圆弧，点N是的中点，，交于点 M．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当时，则l的值约为 ． 【答案】8.8 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；连接．由垂径定理得，结合，得M，N，O三点共线，由勾股定理求得的长，从而求得的长，再代入弧长l的近似值计算公式即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵点N是的中点， ∴， 又∵， ∴M，N，O三点共线， ∵， ， ， ， ； 故答案为：8.8． 15．（2026·福建福州·一模）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接交于点，连接交于点，若，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，证明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出结论． 【详解】解：连接，如下图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（2024·湖南·模拟预测）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，根据同圆的半径相等可知：在上，且半径为，通过画图可知，当最大时，最大，而，，三点共线时，即当在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点为坐标平面内一点，， ∴在上，且半径为， 在轴上取，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，最大，而，，三点共线时，即当在的延长线上时，最大， ∵，， ∴， ∴，且， ∴，即的最大值为， ∵是的中点，则， 故答案为：． 三、解答题 17．（2025·江苏·一模）请仅用无刻度直尺（即不使用刻度尺上的刻度功能）和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． 如图，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，90度的圆周角所对的弦是直径，熟知相关性质是正确解答此题的关键．将直尺的一组邻边延长，与圆交于两点，连接这两点即为圆的直径． 【详解】解：将直尺的一组邻边延长，与圆交于M、N两点，连接即为圆的直径，即为求作； 理由：由题意，直尺的一个角为直角， ， 是圆的直径． 18．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，过点作直线的平行线； (2)在图2中，过点作直线的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，以及平行线的判定，垂直的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，则直线即为直线，由圆周角定理可得，即，而，则； （2）连接，并延长交于点，过点的直线即为直线，由圆周角定理可得，那么，则，而，则． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： 19．（2025·宁夏中卫·二模）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：； 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答． 本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（2025·河南周口·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，且为的直径，小明想知道四边形一组对角的平分线有怎样的位置关系，于是就作出的平分线交于点． (1)请你用尺规作图作出的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)探究：与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理，作图-基本作图． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）根据圆内接四边形的性质及直径所对应的圆周角为直角推出，再根据角平分线的定义推出，再由圆周角定理得，进而得，即，再得，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：，理由如下 ，为的直径， ， ． 平分，平分， ，， ， 连接，由为的直径，得， ， ，即， ， ． 21．（2023·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，结合，得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）证明是等边三角形，则有，即可求出的直径． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即的直径为6． 22．（2025·河北石家庄·三模）如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． (1)求的半径． (2)如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值． 【答案】(1)1.5m (2) 【分析】（1）连接交于点N，则，得，连接，设的半径为r ，则，根据勾股定理得，解方程即可解答． （2）连接，则，．过点O作于点H，由矩形的判定与性质得到，连接，，则，，再根据圆周角定理得到即可解答． 本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图（1），连接交于点N，则， ∴，， ∴ 连接，设的半径为r ，则． 由勾股定理，得， ∴，解得． 故的半径为． （2）如图（2），连接，则，． 过点O作于点H． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 连接，，则， ∴． 又∵， ∴， ∴． 23．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）作，推出，进而得平分，即可求证； （2）证得，，进而得，再证即可； 【详解】（1）证明：作， ， ， ∴平分， ， （2）证明：如图所示： ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 24．（2025·云南·模拟预测）如图1，点，，都在上，且平分，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径； ②若于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)①的半径为8；②证明见解析． 【分析】（1）利用角平分线的定义、圆周角定理和等腰三角形的判定定理解答即可； （2）①连接，设的半径为，则，，利用圆周角定理，角平分线的定义得到，利用勾股定理列出方程解答即可； ②过点作于点，利用矩形的判定与性质得到；再利用圆周角定理，全等三角形的判定与性质得到，再利用等量代换的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴是等腰三角形； （2）①解：如图2，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴（不合题意，舍去）或． ∴的半径为8； ②证明：如备用图，过点作于点， ∵， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∵，， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． ∵是的直径， ∴ ∴． ∵． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $