专题08几何图形初步（知识清单）（6大考点+12大题型+4大易错+5大方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单系统梳理了“几何图形初步”专题，涵盖6大核心考点、12大重难题型、4大易混易错点及5大方法技巧，构建从基础概念到题型突破再到方法提炼的递进式复习架构。 清单通过思维导图呈现知识体系，标注易错点如“几何体展开图相对面判断”，提炼“线段分点计算”“平行线模型”等技巧，培养几何直观与推理意识。配套20道实战演练题，助力学生自主夯实基础，为教师教学提供精准复习支持。

专题08几何图形初步 （6大考点+12大题型+4大易错+5大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（6个核心考点） 考点01 考点01几何图形 考点02直线、射线、线段 考点03角、角的度量、角平分线 考点04余角与补角 考点05相交线 考点06平行线的性质与判定 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01题型01点、线、面、体 题型02几何体的展开图 题型03直线、线段的基本事实 题型04线段的计算 题型05角的度量与计算 题型06余角和补角 题型07对顶角与邻补角 题型08平行线 题型09平行及平行公理 题型10平行线的判定 题型11平行线的性质 题型12平行线性质的应用 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点） 易错点01几何体的展开图 易错点02角的大小比较与计算 易错点03线段和角的计算 易错点04平行线的判定条件 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（5大方法技巧） 技巧01：线段的分点计算 技巧02：线段的动点与计算 技巧03：角、平行线中的翻折问题 技巧04：角n等分型的计算 技巧05：平行线的性质与判定有关基本模型 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（20题） 1.通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线 和点等概念。 2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；掌握基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短；理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 3.理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量 单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差。 4.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同 角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等的性质；理解垂线、垂线段等概念；理解点到直线的距离的意义； 识别同位角、内错角、同旁内角 5.理解平行线的概念，理解平行公理及其推论；探索并证明平行线的判定定理，掌握平行线的性质定理 考点01几何图形 1认识立体图形 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2点、线、面、体 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． 3几何体的表面积 （1）几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式   ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ③正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长） 4几何体的展开图 （1） 多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （2） 正方体的展开图 5展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 6截一个几何体 （1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 考点02直线、射线、线段 1.直线、射线、线段的认识 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 2.直线与线段的性质 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．           简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． （3）线段性质 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 3.线段的比较与计算： （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． （4）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 考点03角、角的度量、角平分线 1..角的概念： （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． （5）角的单位的换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 2..角的比较与计算： （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC． （3）角的和差倍分计算： ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． 考点04余角与补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 考点05相交线 1. 对顶角与邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．对顶角的性质：对顶角相等． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． 2.垂线及其性质： （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （4）垂线段的性质：垂线段最短． 3.同位角、内错角、同旁内角 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 考点06平行线的性质与判定 1.平行线的判定： （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．  （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．  （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 2.平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 3.平行线的性质与判定综合题解题方法： （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 题型01点、线、面、体 【典例】（2024·黑龙江大庆·三模）如图，一张矩形纸片旋转一周后，，两部分所成立体图形的体积比是 ．    【答案】： 【分析】本题考查了面动成体，圆柱和圆锥的体积公式的关系，根据旋转一周后，，两部分组成的立体图形是一个圆柱，而部分转一周后得到的立体图形是与这个圆柱等底等高的圆锥，据此可得答案． 【详解】解：一张矩形纸片旋转一周后，得到一个圆柱，部分转一周后得到的立体图形是与这个圆柱等底等高的圆锥，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的 ，两部分所成立体图形的体积比是：． 故答案为：：． 【变式练习】 1．（2025·陕西·模拟预测）下列几何体中，不能由平面图形绕某直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点、线、面、体，理解“点动成线”“线动成面”“面动成体”是正确判断的前提． 根据“面动成体”逐项进行判断即可． 【详解】解：A．正方体不能由平面图形绕某直线旋转一周得到，因此选项A符合题意； B．球体可以看作圆绕着直径所在的直线，旋转一周所形成的几何体，因此选项B不符合题意； C．圆锥体可以看作一个直角三角形，绕着一条直角边所在的直线，旋转一周所形成的几何体，因此选项C不符合题意； D．圆台可以看作一个直角梯形，绕着直角腰所在的直线，旋转一周所形成的几何体，因此选项D不符合题意； 选：A． 2．（2025·广西钦州·二模）下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，如果一个图形是由几个不同的面围成的，那么这个图形是立体图形；如果一个图形可以放在一个平面内，那么这个图形是平面图形，据此判断即可求解，掌握平面图形和立体图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是平面图形，符合题意； 故选：． 3．（2024·广东佛山·一模）如图所示为正方体的三个顶点，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】根据正方体各面对角线相等，得到，根据等边三角形的性质与判定，即可求解；本题考查了正方体的性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵为正方体的三个顶点， ∴、、是正方体一个面的对角线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 题型02几何体的展开图 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，B、C、D、E四个点中，距顶点A最远的点是 ． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的展开图是解题的关键．将正方体的展开图重新折叠成正方体，观察图形即可得出答案． 【详解】解：把展开图折叠成正方体如图所示： 观察图形可知，距顶点A最远的点是C． 故答案为：C． 【变式练习】 4．（2025·四川雅安·二模）如图，是一个正方体的展开图，把这个展开图折叠成正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是（    ） A．中 B．梦 C．复 D．兴 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，即可解题． 【详解】解：由正方体的展开图可知，“中”字相对面上的字是“梦”，“国”字相对面上的字是“兴”， “复”字相对面上的字是“梦”． 故选：D． 5．（2025·陕西·模拟预测）下面的平面图形能折叠成三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三棱柱的侧面展开图，熟练掌握三棱柱的侧面展开图是解题的关键． 根据三棱柱的侧面展开图即可得到答案． 【详解】解：A.该选项图形可以折叠成圆锥，不符合题意； B. 该选项图形折叠时，无法折叠三棱柱，不符合题意； C. 该选项图形可以折叠成三棱柱，符合题意； D. 该选项图形有四边形面，无法折叠三棱柱，不符合题意； 故选：C． 6．（2025·重庆·模拟预测）如图，在的小正方形网格中，已有5个阴影小正方形，任意再涂1个小正方形，使得6个阴影小正方形是正方体展开图的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，正方体的表面展开图，熟知正方体的表面展开图是解题的关键．由正方体表面展开图的形状可知，可在图中下方四块相连的空白正方形中选一块，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，剩下7个小正方形． 由正方体的表面展开图的形状可知，在这7个小正方形中任取一个涂上阴影，可在图中下方4块相连的空白正方形中任意取一个，能构成这个正方体的表面展开图， ∴从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是． 故答案为：． 题型03直线、线段的基本事实 【典例】（2025·吉林·模拟预测）如图所示，小明到小颖家有三条路，小明想尽快到小颖家，请你帮他选线路 ，用数学知识解释为 ． 【答案】 ② 两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据“两点之间线段最短”可得答案． 【详解】解：选择走第②条路，其中的道理是两点之间线段最短． 故答案为：②，两点之间线段最短． 【变式练习】 7．（2025·吉林·三模）下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短；两点确定一条直线，两点之间；线段最短，先判断每个选项的现象是分别依据哪些原理，再结合题意，即可作答． 【详解】解：A、测量跳远成绩可以用“垂线段最短”来解释，故本选项符合题意； B、木板上弹墨线可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； C、两钉子固定木条可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； D、弯曲河道改直可以用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项不符合题意， 故选：A． 8．（2025·吉林长春·二模）一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，根据两点之间，线段最短即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间，线段最短可知，剩下参叶的周长比原参叶的周长小， 故选：D． 9．（2024·贵州黔南·一模）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，判断是点P到直线l的距离即可． 【详解】解：直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，，垂足为A，， 点P到直线l的距离是， 故答案为：4． 题型04线段的计算 【典例】（2025·北京·模拟预测）如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，一元一次方程的应用，设，则，，即得，再根据可求得，即得到，，，，，再根据线段中点的定义求出的长度，最后根据线段的和差关系解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，，， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴，， ∴． 【变式练习】 10．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】本题考查了有关线段中点的计算．熟练掌握线段中点的定义，线段的和差，分情况讨论，是解题的关键． 分两种情况讨论，①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，根据线段中点定义及和差关系即可求解． 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． 综上所述，线段的长度是8． 故选：A． 11．（2025·贵州遵义·模拟预测）线段上有，两点，，，，那么的长是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差的相关计算，在未画图类问题中，正确画图很重要． 本题渗透了分类讨论思想，点可确定，但点不能确定，需分点在点左侧和右侧两种情况考虑． 【详解】如图1，当点在点右侧时， ，，， ． 如图2，当点在点左侧时， ，， ， ， ， 即长为或． 故选：． 12．（2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，中点定义，一元一次方程的应用，是解题的关键． （1）A、B两点表示的数相加即得； （2）根据，写出．根据P是的中点，得，解方程即得． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 当点P是的中点时，， ∴， 解得． 题型05角的度量与计算 【典例】（2024·广东·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键．先将分相减，再把所得结果转化为度． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式练习】 13．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的换算，将角度的小数部分转换为分，使用进行换算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故， 故选：B． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，直线与相交于点是上方一条射线，若，，则的度数用度、分、秒表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求角度，先由对顶角相等得到，再数形结合，表示出，数形结合表示出要求的角度是解决问题的关键． 【详解】解：直线与相交于点是上方一条射线，， ， ， ， 故选：C． 15．（2025·内蒙古·模拟预测）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，三角形的外角，掌握相关的性质是解题的关键，根据平行线的性质，得到，三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：由题意和图可知：，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型06余角和补角 【典例】（2025·云南·一模）已知，则它的余角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了互余角的数量关系．互余的两个角的和等于．根据余角定义直接解答． 【详解】解：， 的余角为． 故选：A． 【变式练习】 16．（2025·陕西·一模）若的度数为，则的补角的度数为（   ） A．1 B．1 C．6 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，熟练掌握补角的定义，是解题的关键．根据补角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角的度数，即可求出补角． 【详解】解：∵， ∴的补角． 故选：A． 17．（2024·河北·模拟预测）如图，将直角三角板的直角边放在直线上，射线在内部(不与 重合)，则与的关系是（   ） A．相等 B．互为余角 C．互为补角 D．互为邻补角 【答案】B 【分析】本题考查了互余的概念，掌握互余的概念是关键，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：将直角三角板的直角边放在直线上， ∴， ∴， ∴与的关系是互为余角， 故选：B ． 18．（2025·江苏南京·一模）一个角比它的余角大，则这个角的补角等于 ． 【答案】130 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握相关定义是解题的关键． 设这个角为，则这个角的补角为，余角为，根据题意列等式求解即可． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，余角为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴这个角的补角 故答案为：130． 19．（2025·四川广安·二模）两个角，它们的比是，其差为，则这两个角的关系是 ． 【答案】互补 【分析】本题考查角的计算，根据有两个角，它们的度数比是，其度数差为，可以求得这两个角的度数，从而可以求得它们的关系．解题的关键是根据题目设两个角的度数，然后列出等量关系． 【详解】解：有两个角，它们的度数比是，其度数差为， 设这两个角分别为、， ， 解得， ，， ． 即这两个角的关系是互补． 故答案为：互补． 题型07对顶角与邻补角 【典例】（2025·广东广州·中考真题）如图，直线，相交于点O．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角互补，根据是互为邻补角，得，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵直线，相交于点O，且， ∴， 故答案为： 【变式练习】 20．（2025·湖北·模拟预测）将一个含角的三角板和一把直尺按如图所示的方式放置，若，则图中等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形的外角性质．根据题意，，，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图所示，， 根据题意，， ∴， 故选：B． 21．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，直线相交于点O，平分，于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的计算，角的和差计算，垂直的定义，邻补角等知识点． 先由垂直，则，再由角平分线得到，最后根据邻补角求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 22．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °． 【答案】35 【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵与为对顶角，， ∴． 故答案为：35． 23．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某工厂加工一批八角螺帽，其轮廓是一个正八边形，如图所示，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了正多边形的内角性质，解题的关键是利用正多边形内角和公式求出内角，再结合邻补角关系计算锐角． 先根据正八边形内角和公式求出每个内角的度数，再通过内角与相邻外角的互补关系得到的度数． 【详解】解：正八边形的内角和为， 每个内角的度数为． 是相邻两边所在直线形成的锐角，与正八边形的内角互补， 故的度数为． 故答案为：． 24．（2025·河北廊坊·一模）学校有一块四边形试验田，分割成，两块，由图可知， ． 【答案】0 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，掌握其计算方法是关键． 根据平角的性质得到，根据四边形内角和为即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， 故答案为：0 ． 题型08平行线 【典例】（2023·云南昆明·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 【变式练习】 25．（2024·河北·模拟预测）如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）；解题的关键是利用平行公理，分析出过点的条直线中最多有条与直线平行，进而确定相交直线的最少数量． 【详解】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 过点的条直线中最多有条与直线平行，至少有条与直线相交． 故选C． 26．（2024·河北唐山·二模）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题考查了同一平面内两条直线的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 将直线m，n分别延长之后，会交于一点，即可判断． 【详解】解：由图可得：同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是相交， 故选：A． 题型09平行及平行公理 【典例】（2025·河北邢台·三模）如图，在直线中，可能与直线平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行的概念．根据图形进行判断即可． 【详解】解：直线都与直线相交，直线可能与直线平行， 故选：D． 【变式练习】 27．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在数学课上，老师先画一条直线a，再画一条直线b与直线a平行，又画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选：A． 题型10平行线的判定 【典例】（2026·浙江·模拟预测）如图，已知直线被直线所截，则下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行线的判定，逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据图形可知， A、和是邻补角，相等不能得到两直线平行，故选项A错误，不符合题目要求； B、和是内错角，内错角相等，两直线平行，选项B正确，符合题目要求； C、和是同旁内角，相等不能得到两直线平行，故选项C错误，不符合题目要求； D、，，，而和是同旁内角，相等不能得到两直线平行，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：B． 【变式练习】 28．（2024·广东·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键． 依次分析每个选项中能否判定． 【详解】解：选项A，∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定． 选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等， ∴ （同位角相等，两直线平行）． 选项C，，不能判定． 选项D，，不能判定． 故选：B． 29．（2025·吉林长春·三模）如图，画直线的操作过程，依据的数学基本事实，下列说法正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的作法和判定．根据平行线作法判断平行线的判定方法即可． 【详解】解：画直线的操作过程，依据的数学基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 30．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在探索直线平行的条件时，将木条a，c固定，使，转动木条b，当 时，木条a与木条b平行． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意可知时，木条a与木条b平行．即可得出答案． 【详解】解：如图，木条转动到时．木条a与木条b平行． 当时，． 即时，木条a与b平行． 故答案为：． 题型11平行线的性质 【典例】（2025·云南·模拟预测）如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，同理求出的度数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C 【变式练习】 31．（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 32．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质与三角形外角的性质，涉及的知识点是 “两直线平行，同位角相等” 及 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”．解题方法是利用直尺的对边平行，得到同位角相等，再结合三角形外角性质建立角度关系；解题关键是准确识别平行线对应的同位角，以及三角形外角与内角的关系．易错点是混淆三角形内角与外角的关系，或错误识别平行线的同位角．解题思路为：先根据直尺对边平行，得出与 相等的同位角，再利用三角形外角性质，用该同位角减去，得到 的度数． 【详解】解：如图， ， ， 又， ． 故选：C． 33．（2025·江苏扬州·三模）如图所示，正五边形，过顶点和顶点分别作直线， ． 【答案】/72度 【分析】本题考查正多边形的内角和定理，平行线的性质，首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据平行线的性质即可求解．掌握并能灵活运用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 题型12平行线性质的应用 【典例】（2025·贵州遵义·一模）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角定义得，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式练习】 34．（2026·湖北·模拟预测）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得，可求出，由可得，进而求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 35．（2025·陕西西安·模拟预测）汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由反射后的光线均平行于地面，可得，由三角形外角的性质可得，结合即可求解． 【详解】解：如图， 反射后的光线均平行于地面， ， ，， ． 故选C． 36．（2025·江西新余·模拟预测）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 【答案】/49度 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据某一时刻在阳光照射下的光线互相平行，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴的大小为． 故答案为：． 37．（2025·湖北孝感·二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质．由平行线的性质推出，，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 易错点01几何体的展开图 【错因】不能正确识别展开图的相对面情况而出错 【避错关键】面对一道展开图题目，按以下逻辑思考： 1. 确定几何体类型 观察展开图的轮廓和组成部分，判断它可能是什么几何体的展开图。 2. 找准“基准面”，构建空间关系 这是最关键的一步。 观察与这个基准面有公共边的相邻面，它们会沿着公共边向哪个方向折叠。 逐步将相邻的面“立起来”，在脑海中构建相邻面的位置关系。 特别注意“相对面”和“相邻面” 【典例】 1．小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“6”对面的数字是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了立体图形的展开图，准确分析判断是解题的关键．通过分析正方体骰子投掷时各面的相邻关系，来确定相对面的数字即可． 【详解】解：由题意可知：的相邻面有，，，；的相邻面有，，，， 的对面是；的对面是， 对面的数字是． 故答案为：． 2．一个正方体六个面上分别写着A，B，C，D，E，F，如图为这个正方体三种不同的摆法，则字母F对面的字母是 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字；观察三个正方体，与C相邻的字母有A、B、D、E，从而确定出C对面的字母是F，即可得出结果. 【详解】解：由图可知，与C相邻的字母有A、B、D、E， ∴C对面的字母是F，即字母F对面的字母是C. 故答案为：C. 3．如图是直三棱柱的表面展开图，其中的长为整数，则 ， ． 【答案】 8 4 【分析】本题考查直三棱柱的展开图、三角形的三边关系，由题意得，，，再根据三角形的三边关系得，求得，进而可求得． 【详解】解：∵图是直三棱柱的表面展开图， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴， 故答案为： 8，4． 易错点02角的大小比较与计算 【错因】没有注意单位的统而出错 【避错关键】在进行角的计算时，要注意计算时单位统一（都化成度或度分秒） 【典例】 4．若，，， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的大小比较，先将进行单位换算，再进行比较即可求解，掌握角度的单位换算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴， 故选：． 5． ． 【答案】 【分析】本题主要考查角度的运算，熟练掌握角度的单位换算，是解题的关键． 将转换为，然后进行角度减法，即可完成计算． 【详解】解：． 故答案为． 6．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题考查了角度制，角的大小比较．将转换为度，再与比较大小，即可作答． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：>． 易错点03线段和角的计算 【错因】在进行线段和角的计算时没有分类讨论 【避错关键】根据题目所给的条件和线段、角的位置关系画出正确的图形，不要遗漏 【典例】 7．线段，点C在直线上，且，点M为线段的中点，则 ． 【答案】 1或5 【分析】本题考查了线段计算与分类讨论，分两种情况：点C在线段上和在延长线上两种情况讨论． 【详解】解：当点C在线段上时，，点M为中点，故，则； 当点C在线段延长线上时，，点M为中点，故，则． 故答案为：1或5． 8．已知线段，点是射线上一点，且，则的长等于 ． 【答案】16或 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，线段的和与差，两点间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 点C在射线上，可能位于线段上或的延长线上，根据，分两种情况讨论． 【详解】解：设，则， 当点C在线段上时，， 即，解得：， 所以； 当点C在的延长线上时，， 即，解得：， 所以， 综上所述，的长为16或， 故答案为：16或． 9．已知，等于，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 的位置有两种：一种是在内，一种是在外． ①当在内时，； ②当在外时，． 故答案为：或． 10．已知 ，以O为顶点作射线，，若，，且、在直线同侧，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，分情况讨论：当、在直线上方时；当、在直线下方时，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：当、在直线上方时，如图， ， ， ， ， ， ； 当、在直线下方时，如图， ， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 易错点04平行线的判定条件 【错因】对于平行线的判定时没有找到正确的同位角、内错角、同旁内角 【避错关键】正确掌握平行线的判定条件：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，在三线八角中找到相对应的角. 【典例】 11．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 12．如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故C选项正确； 而，，均不能判断， 故选：C． 13．如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不能判定，不符合题意； ④∵，∴，符合题意； 所以，可以判定的有①②④， 故答案为：①②④． 技巧01：线段的分点计算 《方法技巧》 线段的中点只有一个，而线段的三等分点有两个；如果题目中没有现成的图形，那么可以先画图.数 形结合是数学学习中的一种重要方法，应特别注意对线段中点的灵活运用 【典例】 1．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是两点间的距离，首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段上时和当点C在线段的延长线上时． 【详解】解：如图， 当点C在线段上时，则； 当点C在线段的延长线上时，则． 综合上述情况，线段的长度是． 故选：B． 2．如图，点、把线段分成：：三部分，若点为的中点，，则的长是 ． 【答案】 【分析】设，，，根据已知分别用x表示出，从而得出的长． 【详解】解：设，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的计算，理解中点和比的意义，用含x的式子表示出各线段的长并求出x是解题的关键． 3．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 【答案】C 【分析】根据题意作图，由线段之间的关系即可求解． 【详解】如图，∵点C是线段AB的中点， ∴AC=BC=AB=6cm 当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm ∴BD=BC+CD=6+2=8cm； 当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm ∴BD=BC+CD=6+4=10cm； 故选C． 【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系． 技巧02：线段的动点与计算 《方法技巧》 线段的动点问题通常是研究一个点（或多个点）在线段上运动时，注意动点的位置、到某点的距离、满足某些等式条件等，借助方程思想和分类讨论来解答 【典例】 4．在数轴上有两点A，B，并且A，B表示的数a，b分别是﹣6，18．现在P，Q都从A点出发往B点停止，已知P点速度是4个单位长度/秒，Q点速度6个单位长度/秒，已知P出发1秒后，Q才出发． （1）若M点与Q点同时从A点出发，且M点速度是8个单位长度/秒，M出发追上P后再返回与Q相遇就停止，它一共走了多远？ （2）在整个过程中，P，Q两点在Q点出发后多久相距一个单位长度？ 【答案】（1）个单位长度；（2）秒或秒或时 【分析】（1）先计算出M与P相遇的时间，再计算M返回与Q相遇的时间，根据路程＝速度×时间即可求出M的路程． （2）根据PQ相距1个单位，设Q出发的时间为t，分情况讨论，P点在Q点的左面和右面和Q到达B时，列出相对的关于t的方程即可求得相对的时间． 【详解】（1）M出发追上P的时间为4×1÷（8﹣4）＝1（秒），此时，Q点走的路程为6×1=6；M点走的路程为8×1=8；M追上P后再返回与Q相遇时间为（8﹣6）÷（8+6）＝ M一共走了， 答：M出发追上P后再返回与Q相遇就停止，它一共走了个单位长度； （2）设Q点出发t秒后，与P点相距1个单位，则P点运动的时间为t+1秒， ①P在Q点的右边时，AP﹣AQ＝1， 4×（t+1）﹣6t＝1， 解得t＝， ②P在Q点的左边时，AQ﹣AP＝1， 6t﹣4（t+1）＝1， 解得t＝． ③当Q到达B时，t＝， 此时P距B点24-4×(4+1)=4， 再走3个单位长度时，PQ相距1个单位， t＝4+ ∴当Q点出发秒或秒或时，PQ相距1个单位． 【点睛】本题主要考查的数轴上点的运动，掌握路程＝速度×时间是基本要求，关键在于能用时间t的代数表示出两点间的距离，构建方程模型解决问题． 5．已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2． (1)求线段AC，CB的长； (2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm． ①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm； (2)①当点P在线段AC上时，PC=（9-m）cm，MC=（9-m）cm；当点P在线段BC上时，PC=（m-9）cm，MC=（9-m）cm； ②m的值为6或12． 【分析】（1）由线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2，可得答案； （2）①分当点P在线段AC上时和当点P在线段BC上两种情况分别计算即可； ②分情况列方程可得m的值． 【详解】（1）解：∵线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2， ∴AC=15×=9cm，CB=15×=6cm； （2）解：①当点P在线段AC上时， PC=AC-AP=（9-m）cm， MC=AC-AM=AC-AP=（9-m）cm； 当点P在线段BC上时， PC=AP-AC=（m-9）cm， MC=AC-AM=（9-m）cm； ②当点P在线段AC上时， 则MP=PC， ∴m＝9−m， 解得：m=6， 当点P在线段BC上时， 则MC=PC， ∴9−m＝m−9， 解得：m=12， 综上：m的值为6或12． 【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． 技巧03：角、平行线中的翻折问题 《方法技巧》 翻折的本质是将一个图形的一部分沿某直线（对称轴）折到另一侧，在题目中常出现将一个三角形或矩形的一部分折叠，翻折前后对应边相等、对应角相等 【典例】 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将长方形纸条折叠，若，则    【答案】 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．设，则，然后根据折叠的性质可得：，再利用平角定义可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：    设， ， ， 由折叠得：， ， ， 解得；， ， 故答案为： 7．将一张纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数是 ．（用表示） 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质（折叠前后对应角相等）与平角的定义，涉及知识点：折叠的全等性、平角为．解题方法是利用折叠得角相等，结合平角关系推导；解题关键是识别折叠后的对应角，易错点是忽略平角的限制条件．解题思路：由折叠得、，结合，利用平角关系求． 【详解】由折叠性质，，． ∵， ∴． 又，， ∴． ∴． 故答案为． 技巧04：角n等分型的计算 《方法技巧》 角n等分进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表示方式.另外，要注意与角度有关的隐含条件的应用. 【典例】 8．如图所示，平分，平分，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由∠MON−∠BOC求出∠CON＋∠BOM的度数，根据OM，ON分别为角平分线，得到两对角相等，进而确定出∠COD＋∠AOB度数，根据∠COD＋∠BOC＋∠AOB即可求出∠AOD的度数． 【详解】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD， ∴∠CON＝∠DON，∠BOM＝∠AOM， ∵∠CON＋∠BOM＝∠MON−∠BOC＝（m−n）°， ∴∠COD＋∠AOB＝2（∠CON＋∠BOM）＝2（m−n）°， 则∠AOD＝∠COD＋∠AOB＋∠BOC＝（2m−2n＋n）°＝（2m−n）°． 故选C． 【点睛】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键． 9．将两个形状，大小完全相同的含有，的三角板与如图放置，，，三点在同一直线上．现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度，如图，若平分，平分，则的度数是 ．    【答案】 【分析】根据三角板的各个角的度数，以及角平分线的意义，利用平角以及角的和与差求出答案． 【详解】解：设三角板绕点P沿顺时针方向旋转的角度为， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 故答案为：15． 【点睛】考查角平分线的意义，平角以及三角板的各个特殊锐角的关系等知识，把握各个角之间的关系是得出答案的前提． 10．探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）①当t为9或12或18时，射线是的“巧分线”；②当t为或4或6时，射线是的“巧分线” 【分析】本题考查了角之间的数量关系，巧分线定义，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 （2）解：∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （3）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示： ， 解得； 当时，如图所示： ， 解得； 当时，如图所示： ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示： ， 解得； ②当时，如图所示： ， 解得； ③当时，如图所示： ， 解得． ∴当射线是的“巧分线”时的值为或或． 11．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 技巧05：平行线的性质与判定有关基本模型 《方法技巧》 平行线与子弹模型 结论：∠B+∠D=∠E↔AB∥CD 【典例】 12．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 13．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 14．如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 2．（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆柱，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是球体，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 故选：C． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体，面动成体，根据题意作出图形，即可进行判断． 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥， 故选：A． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键． 由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可． 【详解】解：点在直线上，， ， ， ， ． 故选B． 5．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图上的图案的相对位置，理解把展开图折叠后，各个面上图案的相对位置，是解题的关键．由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，进一步分析各选项即可得到答案． 【详解】解：由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，三个被分成两个小长方形的面为相邻的面，且中间的分割线互相平行，有对角线的一面与三个分成两个小长方形的面相邻， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B 7．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 8．（2025·贵州·一模）如图，在水平地面上放一个平面镜，且，在边上有一点，从点处射出一束光线经平面镜反射后，反射光线恰好与平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，由，则，，然后通过物理知识可得反射角等于入射角，即有，从而求出度数，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 由物理知识可得反射角等于入射角， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．（2025·甘肃临夏·二模）物理课上，小琪同学发现一个有趣的现象．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点，小琪同学测得，她利用所学的数学知识很快计算出了入射光线与折射光线的夹角的度数．聪明的你也一定知道的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质等知识．根据平行线的性质求得，再根据三角形的外角性质求得，然后利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵光线平行于主光轴， ∴，， ∴， 故选：C． 10．（2025·福建厦门·模拟预测）把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式折叠．若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：A．∵，∴，（两直线平行，内错角相等），∵纸条按如图所示的方式折叠，∴，故A选项不符合题意； B．∵，故B选项不符合题意； C．∵（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等），故C选项符合题意； D．∵纸条按如图所示的方式折叠，∴，故D选项不符合题意； 故选：D． 二、填空题 11．（2025·江苏淮安·二模）如图，，平分．若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先求出，然后根据角平分线的定义，得到，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（2025·江西·模拟预测）如图是两块平面镜，由点 发射出的光线经平面镜 反射后恰好经过点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角定理，关键是利用 “反射角等于入射角” 这一条件得到，进而在中利用内角和定理，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作 的垂线，过点作的垂线，两线交于点 由题意可得 (提示∶反射角等于入射角)， 故答案为：． 13．（2025·广东韶关·三模）已知，则的余角等于 °． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．利用减去即可直接求解． 【详解】解：的余角为：． 故答案为：． 14．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体表面积，圆的面积公式，根据弧长公式求出弧长，然后利用求出表面面积即可，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：塑料膜的面积 ， 故答案为：． 15．（2025·湖南长沙·模拟预测）直角三角形的两直角边长分别为，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆锥的侧面积等知识点，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式． 先利用勾股定理求出斜边长，再利用圆锥的侧面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为， ∴由勾股定理得斜边长为， 以边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周， ∴侧面积为． 故答案为：． 16．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，，，，则的度数为 . 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（平行于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等），结合角的和差关系求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ，且 ． ，， ． ，， ． 由图可知， 将、代入， 可得， 故答案为：． 【点睛】本题关键在于通过作辅助线，利用平行线的传递性和内错角相等的性质，将已知角与所求角建立联系，进而通过角的和差计算得出结果． 三、解答题 17．（2025·江苏南京·中考真题）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同位角相等，两直线平行作出图形即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． 作，利用同位角相等，两直线平行可知． 18．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知、、三点在同一直线上，，且和互为余角． (1)与互余吗？ (2)和有什么关系，为什么？ (3)的补角是___________． 【答案】(1)互余 (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和为，则这两个角互为余角；如果两个角的和为，则这两个角互为补角． （1）由和互为余角可知，根据点，，三点在同一条直线上可知，于是可得，根据余角的定义即可得出结论； （2）根据，结合，，由等角的余角相等可得结论； （3）由（2）可知，由于的补角是，利用等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又，，三点在同一条直线上， ， ， 答：和互余； （2）解：和相等，理由如下： 和互为余角， ， 又，， ∴； （3）解：由（2）可知：， 又， ， ∴的补角是． 故答案为：． 20．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，． (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据题意得到，再由同位角相等，两直线平行即可求解； （2）根据，可得，从而得到，再结合角平分线的定义可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵扶手与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08几何图形初步 （6大考点+12大题型+4大易错+5大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（6个核心考点） 考点01 考点01几何图形 考点02直线、射线、线段 考点03角、角的度量、角平分线 考点04余角与补角 考点05相交线 考点06平行线的性质与判定 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01题型01点、线、面、体 题型02几何体的展开图 题型03直线、线段的基本事实 题型04线段的计算 题型05角的度量与计算 题型06余角和补角 题型07对顶角与邻补角 题型08平行线 题型09平行及平行公理 题型10平行线的判定 题型11平行线的性质 题型12平行线性质的应用 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点） 易错点01几何体的展开图 易错点02角的大小比较与计算 易错点03线段和角的计算 易错点04平行线的判定条件 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（5大方法技巧） 技巧01：线段的分点计算 技巧02：线段的动点与计算 技巧03：角、平行线中的翻折问题 技巧04：角n等分型的计算 技巧05：平行线的性质与判定有关基本模型 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（20题） 1.通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线 和点等概念。 2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；掌握基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短；理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 3.理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量 单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差。 4.理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同 角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等的性质；理解垂线、垂线段等概念；理解点到直线的距离的意义； 识别同位角、内错角、同旁内角 5.理解平行线的概念，理解平行公理及其推论；探索并证明平行线的判定定理，掌握平行线的性质定理 考点01几何图形 1认识立体图形 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2点、线、面、体 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． 3几何体的表面积 （1）几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式   ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ③正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长） 4几何体的展开图 （1） 多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （2） 正方体的展开图 5展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 6截一个几何体 （1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 考点02直线、射线、线段 1.直线、射线、线段的认识 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 2.直线与线段的性质 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．           简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． （3）线段性质 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 3.线段的比较与计算： （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． （4）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 考点03角、角的度量、角平分线 1..角的概念： （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． （5）角的单位的换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 2..角的比较与计算： （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC． （3）角的和差倍分计算： ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． 考点04余角与补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 考点05相交线 1. 对顶角与邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．对顶角的性质：对顶角相等． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． 2.垂线及其性质： （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （4）垂线段的性质：垂线段最短． 3.同位角、内错角、同旁内角 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 考点06平行线的性质与判定 1.平行线的判定： （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．  （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．  （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 2.平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 3.平行线的性质与判定综合题解题方法： （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 题型01点、线、面、体 【变式练习】 【典例】（2024·黑龙江大庆·三模）如图，一张矩形纸片旋转一周后，，两部分所成立体图形的体积比是 ．    1．（2025·陕西·模拟预测）下列几何体中，不能由平面图形绕某直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西钦州·二模）下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东佛山·一模）如图所示为正方体的三个顶点，则的度数为 ． 题型02几何体的展开图 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，B、C、D、E四个点中，距顶点A最远的点是 ． 【变式练习】 4．（2025·四川雅安·二模）如图，是一个正方体的展开图，把这个展开图折叠成正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是（    ） A．中 B．梦 C．复 D．兴 5．（2025·陕西·模拟预测）下面的平面图形能折叠成三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆·模拟预测）如图，在的小正方形网格中，已有5个阴影小正方形，任意再涂1个小正方形，使得6个阴影小正方形是正方体展开图的概率为 ． 题型03直线、线段的基本事实 【典例】（2025·吉林·模拟预测）如图所示，小明到小颖家有三条路，小明想尽快到小颖家，请你帮他选线路 ，用数学知识解释为 ． 【变式练习】 7．（2025·吉林·三模）下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直 8．（2025·吉林长春·二模）一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 9．（2024·贵州黔南·一模）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．    题型04线段的计算 【典例】（2025·北京·模拟预测）如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长． 【变式练习】 10．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 11．（2025·贵州遵义·模拟预测）线段上有，两点，，，，那么的长是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．（2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 题型05角的度量与计算 【典例】（2024·广东·模拟预测）计算： ． 【变式练习】 13．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，直线与相交于点是上方一条射线，若，，则的度数用度、分、秒表示为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·内蒙古·模拟预测）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型06余角和补角 【典例】（2025·云南·一模）已知，则它的余角为（ ） A． B． C． D． 【变式练习】 16．（2025·陕西·一模）若的度数为，则的补角的度数为（   ） A．1 B．1 C．6 D．6 17．（2024·河北·模拟预测）如图，将直角三角板的直角边放在直线上，射线在内部(不与 重合)，则与的关系是（   ） A．相等 B．互为余角 C．互为补角 D．互为邻补角 18．（2025·江苏南京·一模）一个角比它的余角大，则这个角的补角等于 ． 题型07对顶角与邻补角 【典例】（2025·广东广州·中考真题）如图，直线，相交于点O．若，则的度数为 ． 【变式练习】 19．（2025·四川广安·二模）两个角，它们的比是，其差为，则这两个角的关系是 ． 20．（2025·湖北·模拟预测）将一个含角的三角板和一把直尺按如图所示的方式放置，若，则图中等于（    ） A． B． C． D． 21．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，直线相交于点O，平分，于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °． 23．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某工厂加工一批八角螺帽，其轮廓是一个正八边形，如图所示，则的度数是 ． 24．（2025·河北廊坊·一模）学校有一块四边形试验田，分割成，两块，由图可知， ． 题型08平行线 【典例】（2023·云南昆明·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 25．（2024·河北·模拟预测）如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 26．（2024·河北唐山·二模）如图，同一平面内，直线 m和直线n 的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 题型09平行及平行公理 【典例】（2025·河北邢台·三模）如图，在直线中，可能与直线平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式练习】 27．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在数学课上，老师先画一条直线a，再画一条直线b与直线a平行，又画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 题型10平行线的判定 【典例】（2026·浙江·模拟预测）如图，已知直线被直线所截，则下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式练习】 28．（2024·广东·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 29．（2025·吉林长春·三模）如图，画直线的操作过程，依据的数学基本事实，下列说法正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 30．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在探索直线平行的条件时，将木条a，c固定，使，转动木条b，当 时，木条a与木条b平行． 题型11平行线的性质 【典例】（2025·云南·模拟预测）如图，已知点C在上，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 31．（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 33．（2025·江苏扬州·三模）如图所示，正五边形，过顶点和顶点分别作直线， ． 题型12平行线性质的应用 【典例】（2025·贵州遵义·一模）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式练习】 34．（2026·湖北·模拟预测）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 35．（2025·陕西西安·模拟预测）汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 36．（2025·江西新余·模拟预测）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 37．（2025·湖北孝感·二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则 度． 易错点01几何体的展开图 【错因】不能正确识别展开图的相对面情况而出错 【避错关键】面对一道展开图题目，按以下逻辑思考： 1. 确定几何体类型 观察展开图的轮廓和组成部分，判断它可能是什么几何体的展开图。 2. 找准“基准面”，构建空间关系 这是最关键的一步。 观察与这个基准面有公共边的相邻面，它们会沿着公共边向哪个方向折叠。 逐步将相邻的面“立起来”，在脑海中构建相邻面的位置关系。 特别注意“相对面”和“相邻面” 【典例】 1．小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图1），该“骰子”的六个面分别写着1，2，3，4，5，6，小明用自己做的正方体“骰子”进行了3次投掷，他看到的情形如图2所示，那么“6”对面的数字是 ． 2．一个正方体六个面上分别写着A，B，C，D，E，F，如图为这个正方体三种不同的摆法，则字母F对面的字母是 3．如图是直三棱柱的表面展开图，其中的长为整数，则 ， ． 易错点02角的大小比较与计算 【错因】没有注意单位的统而出错 【避错关键】在进行角的计算时，要注意计算时单位统一（都化成度或度分秒） 【典例】 4．若，，， 则（    ） A． B． C． D． 5． ． 6．比较大小： （填“>”“<”或“=”）． 易错点03线段和角的计算 【错因】在进行线段和角的计算时没有分类讨论 【避错关键】根据题目所给的条件和线段、角的位置关系画出正确的图形，不要遗漏 【典例】 7．线段，点C在直线上，且，点M为线段的中点，则 ． 8．已知线段，点是射线上一点，且，则的长等于 ． 9．已知，等于，则的度数为 ． 10．已知 ，以O为顶点作射线，，若，，且、在直线同侧，则的度数为 ． 易错点04平行线的判定条件 【错因】对于平行线的判定时没有找到正确的同位角、内错角、同旁内角 【避错关键】正确掌握平行线的判定条件：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，在三线八角中找到相对应的角. 【典例】 11．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，点在的延长线上，，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 13．如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 技巧01：线段的分点计算 《方法技巧》 线段的中点只有一个，而线段的三等分点有两个；如果题目中没有现成的图形，那么可以先画图.数 形结合是数学学习中的一种重要方法，应特别注意对线段中点的灵活运用 【典例】 1．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（　　） A． B． C． D．或 2．如图，点、把线段分成：：三部分，若点为的中点，，则的长是 ． 3．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 技巧02：线段的动点与计算 《方法技巧》 线段的动点问题通常是研究一个点（或多个点）在线段上运动时，注意动点的位置、到某点的距离、满足某些等式条件等，借助方程思想和分类讨论来解答 【典例】 4．在数轴上有两点A，B，并且A，B表示的数a，b分别是﹣6，18．现在P，Q都从A点出发往B点停止，已知P点速度是4个单位长度/秒，Q点速度6个单位长度/秒，已知P出发1秒后，Q才出发． （1）若M点与Q点同时从A点出发，且M点速度是8个单位长度/秒，M出发追上P后再返回与Q相遇就停止，它一共走了多远？ （2）在整个过程中，P，Q两点在Q点出发后多久相距一个单位长度？ 5．已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2． (1)求线段AC，CB的长； (2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm． ①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 技巧03：角、平行线中的翻折问题 《方法技巧》 翻折的本质是将一个图形的一部分沿某直线（对称轴）折到另一侧，在题目中常出现将一个三角形或矩形的一部分折叠，翻折前后对应边相等、对应角相等 【典例】 6．如图，将长方形纸条折叠，若，则    7．将一张纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数是 ．（用表示） 技巧04：角n等分型的计算 《方法技巧》 角n等分进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表示方式.另外，要注意与角度有关的隐含条件的应用. 【典例】 8．如图所示，平分，平分，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．将两个形状，大小完全相同的含有，的三角板与如图放置，，，三点在同一直线上．现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度，如图，若平分，平分，则的度数是 ．    10．探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 技巧05：平行线的性质与判定有关基本模型 《方法技巧》 平行线与子弹模型 结论：∠B+∠D=∠E↔AB∥CD 【典例】 11．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 12．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 13．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，已知，，，则 ． 一、单选题 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·贵州·一模）如图，在水平地面上放一个平面镜，且，在边上有一点，从点处射出一束光线经平面镜反射后，反射光线恰好与平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·甘肃临夏·二模）物理课上，小琪同学发现一个有趣的现象．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点，小琪同学测得，她利用所学的数学知识很快计算出了入射光线与折射光线的夹角的度数．聪明的你也一定知道的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·福建厦门·模拟预测）把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式折叠．若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·江苏淮安·二模）如图，，平分．若，则的度数为 ． 12．（2025·江西·模拟预测）如图是两块平面镜，由点 发射出的光线经平面镜 反射后恰好经过点．若，则的度数为 ． 13．（2025·广东韶关·三模）已知，则的余角等于 °． 14．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 ． 15．（2025·湖南长沙·模拟预测）直角三角形的两直角边长分别为，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是 ． 16．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，，，，则的度数为 . 三、解答题 17．（2025·江苏南京·中考真题）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 18．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知、、三点在同一直线上，，且和互为余角． (1)与互余吗？ (2)和有什么关系，为什么？ (3)的补角是___________． 20．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，． (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $