第02讲 一元一次不等式组（知识详解+9典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第02讲 一元一次不等式组（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】：一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 【知识点02】：一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组（其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 【知识点03】：一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式组解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要． 【题型一】一元一次不等式组的定义 例1．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 变式1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 【题型二】求不等式组的解集 例2．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴表示的不等式解集求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组可以为， 故选：． 变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式组的解集是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 故答案为∶ 变式2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解是解题的关键；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 则不等式组的解集为：． 【题型三】求一元一次不等式组的整数解 例3．（24-25七年级下·上海闵行·月考）不等式组的所有整数解的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定对应的整数解，再把所有的整数解求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解有， ∴不等式组的所有整数解的和是， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海青浦·期末）不等式组的整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出正整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的正整数解为， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）求不等式组：的整数解． 【答案】；；； 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则求出不等式的解集后解答即可． 【详解】解：由①可得： ， 由②可得： ， ∴不等式的解集为：， ∴整数解为：；；；． 【题型四】由一元一次不等式组的解集求参数 例4．已知a，b为非零实数，下面四个不等式组中，解集有可能为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴与四个选项中的不等式组比较知，只有A选项的不等式组符合题意． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）不等式组有80个整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于m的不等式组． 求出不等式组的解集，然后根据不等式组有80个整数解，进而求得m的取值范围． 【详解】解：， 解得：， ∵不等式组有80个整数解， ∴， 解得：． 故答案为： 变式2．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 【题型五】由不等式组解集的情况求参数 例5．（24-25七年级下·上海·期末）关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】根据题意，得出关于的不等式，据此进行计算即可．本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据题意得出关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 因为此不等式组有个整数解， 所以， 解得． 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．先根据已知条件判断不等式组的解集，再根据不等式组有三个整数解，求出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组有个整数解， 不等式组的解集为：， 这三个整数解为，，， 的取值范围是， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元一次方程有非负整数解，求m的值． 【答案】或 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查根据不等式组的解集与一元一次方程的解求参数，熟练掌握不等式组的解集与一元一次方程的解是解题的关键． 根据不等式组无解得到，根据一元一次方程有非负整数解得到，且，，，，，…，综合即可解答． 【详解】解：不等式组可化为， ∵该不等式组无解， ∴， ∴． 由得， ∵该一元一次方程有非负整数解， ∴，且，，，，，…（即的倍数） ∴，且，，，，，… 综上，或． 【题型六】不等式组和方程组结合的问题 例6．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 变式1．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【题型七】列一元一次不等式组 例7．据气象台预报，2025年5月12日，郑州市最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了根据题意列不等式组，根据题目中给出的最高气温和最低气温，确定气温的变化范围，最高气温为，最低气温为，因此应介于这两个温度之间且包含端点，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可知，当天的气温既不能低于最低气温，也不能高于最高气温， 因此， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·上海·期中）“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 变式2．已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】根据题意可求出长方体容器的体积，根据水的高度可以求出容器里现有水的体积，再用总容积减去现有水的体积，即可求出还能注入水的体积． 【详解】解：由题意，得该长方体形状的容器的容积为． 又因为容器内原有的水的体积为， 所以容器内剩余未注水的体积为， 所以的取值范围为． 【点睛】本题主要主要考查了有理数乘法和有理数减法的计算，解决此题的关键是要读懂题意，列出式子． 【题型八】不等式组的经济问题 例8．某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得：， 由可得：， ∴； 故选：A． 变式1．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【知识点】不等式组的经济问题、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【题型九】一元一次不等式组的其他应用 例9．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍 间． 【答案】5或6 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组并正确求出整数解是解题关键． 设共有宿舍x间，根据如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，最后一间宿舍不空也不满，列出一元一次不等式组，求出解集，再由x为整数，即可解答． 【详解】解：设共有宿舍x间，依题意，得 解①得 ， 解②得 ， ∴原不等式的解集为， ∵x为整数， ∴x可以为5或6． 故答案为：5或6． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【答案】参加游戏的同学的组数为、人数为． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设参加游戏的同学的组数为，则人数为，根据若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设参加游戏的同学的组数为，则人数为， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ， ， 答：参加游戏的同学的组数为、人数为． 一、单选题 1．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法．根据题意，先解出分式方程，再根据其解是非正数，并考虑分母不为0即可． 【详解】解：方程两边同乘，得 解得 依题得 解得且． 故选：B． 2．关于的不等式组有且仅有2个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的含参问题，先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 解①式得 ， 解②式得 ， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有两个整数解，即整数解为：2，1． ∴m取值范围为． 故选：B． 3．已知，那么下列不等式组中无解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了．利用求不等式解集的方法判定即可． 【详解】解：A．根据“大小小大中间找”的原则，原不等式组的解集为，故有解，不符合题意； B．根据“大小小大中间找”的原则，原不等式组的解集为，故有解，不符合题意； C．根据“大大小小无解了”的原则，原不等式组无解，符合题意； D．根据“大小小大中间找”的原则，原不等式组的解集为．故有解，不符合题意； 故选：C． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； 则不等式组的解集为：， 数轴表示为：， 故选：B． 【点睛】此题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上的表示，如果带等号用实心表示，如果不带等号用空心表示，解题的关键是正确求得不等式组的解集． 5．不等式组的整数解共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解得知识点，首先确定不等式组的解集，然后在解集范围内找出符合条件的整数解有几个．注意各个不等式的解集的公式部分就是这个不等式组的解集，再找出在这范围内的整数． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 故不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，共3个， 故选：C． 6．已知关于x的分式方程的解为整数，且关于y的不等式，有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数m的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出m的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个整数解确定m的值即可解答． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵分式方程的解为整数 ∴为整数，且 ， ∴， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵有解且至多有2个整数解， ∴， ∴-9≤m<2 综上所述，符合条件的整数m的值为：-8，-6，-2，0 ∴-8-6-2+0=-16 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式的整数解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题 7．不等式组的整数解是 ． 【答案】0，1，2 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，由题意得不等式组的解集是：，据此即可求解. 【详解】解：由题意得：不等式组的解集是：， ∴整数解是0，1，2 故答案为：0，1，2 8．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 9．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 10．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 11．（跨生物学学科）七（1）班生物兴趣小组在恒温箱中培养甲、乙两种菌种．若甲种菌种的生长温度是，乙种菌种的生长温度是，则恒温箱的温度t的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用．根据题意求两种生长温度的公共部分，即不等式组的解集，即可解题． 【详解】解：甲种菌种的生长温度是，乙种菌种的生长温度是， 恒温箱的温度t的范围为； 故答案为：． 12．已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解∶ ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴，解得：， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13．已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将不等式组中的x，y用含有a的式子表示出来，根据题意解得的x、y都是负数，可知，解出参数即可． 【详解】解：解方程组得； ∵方程组的解x、y都是负数， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法和求一元一次不等式组的解集，解题的关键是根据运算可将x、y化为关于a的式子，然后计算出a的取值． 14．不等式组的最小整数解是 ． 【答案】2 【分析】先解不等式组，再利用其解集求最小整数解即可． 【详解】解：，解得：； ，解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的最小整数解是：2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了解不等式组及求整数解的知识，正确的解不等式是解决本题的关键． 15．若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 ． 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，根据题意，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：，解得：， ∵不等式的正整数解是1，2，3，4， ∴， ∴， ∴整数a的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解题的关键是正确求出一元一次不等式的解． 16．不等式组的非负整数解的和为 ． 【答案】21 【分析】本题考查求不等式组的整数解，求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而确定不等式组的非负整数解，再求和即可． 【详解】解：解，得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为：0，1，2，3，4，5，6 ∴； 故答案为：21 17．已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可． 【详解】解：由得， 关于x的方程的解为负数， ，即，解得，即且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键． 18．若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根据新定义转化条件的方法是解题的关键． 先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围． 【详解】解：解不等式组C：，得； 解不等式组D：，得． 不等式组C有解需满足， 解得； 不等式组D有解需满足， 解得， 但已涵盖． C的解集中点值为． 由中点包含，需满足D的解集，即． 解得； 解得． 结合， 故． 故答案为：． 三、解答题 19．解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”即可得出不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组的能力，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． 20．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 21．解不等式组，并写出该不等式组的整数解：． 【答案】，不等式组的整数解为： 【分析】先分别解出两个不等式，再在数轴上表示出不等式的解集，再利用数轴写出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 ∴不等式组的解集为： 在数轴上表示为： ∴不等式组的整数解为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，能正确解出各个不等式是解题的关键． 22．解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解． 【答案】，数轴见解析，整数解为：3，4，5，6，7 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：3，4，5，6，7 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 23．阅读材料：形如的不等式，我们称之为双连不等式，求解这类不等式的方法之一：转化为不等式组求解，如上面的不等式转化为再求解；方法二：利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去3，得，然后再同时除以2，得． (1)解决问题：请你将双连不等式转化为不等式组； (2)解决问题：利用不等式的性质解双连不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据把双连不等式化为不等式组的方法可得答案； （2）先在双连不等式中的左边，中间，右边都减去2，再在左边，中间，右边都除以，从而可得答案． 【详解】（1）解：双连不等式转化为不等式组为： （2）∵， ∴ 即 ∴左边，中间，右边都除以得： 【点睛】本题考查的是双连不等式的定义，双连不等式与一元一次不等式组之间的联系，利用不等式的性质解双连不等式，掌握解双连不等式的方法与步骤是解本题的关键． 24．近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元 (2)最多可以采购B种机器人20个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据题意列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴最大为20． 答：最多可以采购种机器人20个． 25．（1）先化简再求值： （－x－1）÷，x是不等式组的一个整数解． （2）设，求的值． （3）已知，求常数A、B的值． 【答案】（1），2；（2）；（3）． 【分析】（1）先求出不等式组的解集，然后再将分式化简代入合适的值求解即可； （2）先将分式化简，然后代入求值即可； （3）将分式化简得出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：x>-1， ∴不等式组的解集为：， ， 根据分式有意义的条件得：x≠1，x≠2， ∴取x=0， 原式=2； （2） ， 当时， 原式； （3）， ， ∴， 解得：． 【点睛】题目主要考查求不等式组的解集，分式的化简求值，解二元一次方程组等，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 26．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元 (2)要改造的小学有12所 (3)四种改造方案∶方案一∶改造2所中学，8所小学；方案二∶改造3所中学，7所小学；方案三∶改造4所中学，6所小学；方案四∶改造5所中学，5所小学 【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可； （2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可； （3）设改造中学a所，则改造小学所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得，解得， 答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元． （2）设要改造的小学有m所，根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，且在范围内，使为整数的值只有， ∴． 答∶要改造的小学有12所． （3）设改造中学a所，则改造小学所，根据题意， 得，解得． ∵a取整数， ∴a的值为2，3，4，5． ∴对应的值分别为8，7，6，5， ∴有以下四种改造方案∶ 方案一∶改造2所中学，8所小学； 方案二∶改造3所中学，7所小学； 方案三∶改造4所中学，6所小学； 方案四∶改造5所中学，5所小学． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键． 27．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一元一次不等式组（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】：一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 【知识点02】：一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组（其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 【知识点03】：一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式组解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要． 【题型一】一元一次不等式组的定义 例1．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 变式1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【题型二】求不等式组的解集 例2．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）不等式组的解集是 ． 变式2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）解不等式组： 【题型三】求一元一次不等式组的整数解 例3．（24-25七年级下·上海闵行·月考）不等式组的所有整数解的和是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海青浦·期末）不等式组的整数解是 ． 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）求不等式组：的整数解． 【题型四】由一元一次不等式组的解集求参数 例4．已知a，b为非零实数，下面四个不等式组中，解集有可能为的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）不等式组有80个整数解，则m的取值范围为 ． 变式2．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【题型五】由不等式组解集的情况求参数 例5．（24-25七年级下·上海·期末）关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是 ． 变式1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是 ． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元一次方程有非负整数解，求m的值． 【题型六】不等式组和方程组结合的问题 例6．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【题型七】列一元一次不等式组 例7．据气象台预报，2025年5月12日，郑州市最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海·期中）“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 变式2．已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【题型八】不等式组的经济问题 例8．某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 变式1．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 变式2．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【题型九】一元一次不等式组的其他应用 例9．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍 间． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 一、单选题 1．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 2．关于的不等式组有且仅有2个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，那么下列不等式组中无解的是（   ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5．不等式组的整数解共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知关于x的分式方程的解为整数，且关于y的不等式，有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数m的和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．不等式组的整数解是 ． 8．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 9．学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 10．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 11．（跨生物学学科）七（1）班生物兴趣小组在恒温箱中培养甲、乙两种菌种．若甲种菌种的生长温度是，乙种菌种的生长温度是，则恒温箱的温度t的范围为 ． 12．已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 ． 13．已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是 ． 14．不等式组的最小整数解是 ． 15．若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 ． 16．不等式组的非负整数解的和为 ． 17．已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 ． 18．若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为 ． 三、解答题 19．解不等式组： 20．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 21．解不等式组，并写出该不等式组的整数解：． 22．解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解． 23．阅读材料：形如的不等式，我们称之为双连不等式，求解这类不等式的方法之一：转化为不等式组求解，如上面的不等式转化为再求解；方法二：利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去3，得，然后再同时除以2，得． (1)解决问题：请你将双连不等式转化为不等式组； (2)解决问题：利用不等式的性质解双连不等式． 24．近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 25．（1）先化简再求值： （－x－1）÷，x是不等式组的一个整数解． （2）设，求的值． （3）已知，求常数A、B的值． 26．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 27．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $