精品解析：吉林省长春市第六中学2025-2026学年高二上学期第三学程考试数学试题

2025—2026学年度高二上学期期末考试 数学学科试题 时间120分钟 分数150分 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的标准方程为，故其准线方程为． 故选：A 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得，再由即可求. 【详解】由， 若的公差为，则. 故选：B 3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（ ） A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定每天走的步数构成等比数列，根据数列的前7项和求解数列的首项，进而确定数列的第3项，即可得到此人第三天走的路程. 【详解】由题意得此人每天走的步数构成公比为的等比数列，且该数列的前7项和为378， 设该等比数列为， 则有， 解得， 则，即第三天走了48里. 故选：C. 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线经过定点 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，求出直线与坐标轴的交点坐标，即可求出三角形面积；对于B，判断两个点的中点是否在直线上以及求出连线斜率判断是否和直线垂直即可；对于C，令即可判断；对于D，举反例可得直线过原点的情况. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，， 所以围成的三角形面积为，故A正确； 对于B，点和的中点在直线上， 且连线的斜率为，可得与直线垂直， 所以点关于直线的对称点为，故B正确； 对于C，令，解得， 可得直线经过定点，故C正确； 对于D，若直线经过原点，满足题意，此时直线方程为，故D错误. 故选：D. 5. 已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆心到点的距离与圆半径的关系确定点与圆的位置关系，再分别确定过点的最短弦长和最长弦长，最后由等差中项的性质计算即可． 【详解】 的标准方程为，圆心为，半径， 又点到圆心的距离， 点在圆内， 过点的最短弦长是与过点的直径垂直的弦长，则， 过点的最长弦长为直径，， 又过点的条弦长组成一个等差数列， ，解得，故C正确． 故选：C． 6. 将自然数按照如图排列，我们将称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（ ） A. 36 B. 58 C. 67 D. 78 【答案】C 【解析】 【分析】总结数列的递推公式，利用累加法求数列的通项公式，再逐项验证即可. 【详解】设数列：， 则数列为：，是以2为首项，以1为公差的等差数列， 所以. 所以，，，…，. 以上各式相加可得：， 所以. 由，无整数解； 由，无整数解； 由或（舍去）； 由，无整数解， 所以只有是第11个“拐弯数”. 故选：C 7. 已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合椭圆上点的横坐标范围，利用距离公式求解最小值，根据新定义即可得解. 【详解】记，设椭圆上的点为，由椭圆的性质可知， 则 ， 当时，最小，，所以. 故选：B. 8. 已知，为双曲线（，）的两个焦点，过原点的直线交双曲线于P，Q两点，若，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性和已知条件得到四边形的性质，再由双曲线的定义和已知条件得到与的不等式，在中利用勾股定理求出离心率. 【详解】连接， 因为关于原点对称，且关于原点对称， 所以四边形是平行四边形， 又因为，则四边形为矩形， 则， 因为， 由双曲线的定义得， 则，， 在中，由勾股定理得，，即， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 二、多选题（每题6分，共计18分） 9. 已知圆与圆交于两点，则（ ） A. 两圆有2条公切线 B. 圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C. D. 四边形的面积为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出圆心距后可判断A的正误，两圆方程相减后可得公共弦方程，故可判断B的正误，利用弦长公式求出可判断C的正误，利用面积公式求出四边形的面积后可判断D的正误. 【详解】由题设可圆，故， 而，故. 对于A，, 而，故两圆相交，故两圆有2条公切线，故A正确； 对于B，两圆方程相减后可得公共弦方程为即，故B正确； 对于C，到直线的距离为， 故，故C错误； 对于D，因为， 故四边形的面积为，故D正确， 故选：ABD. 10. 已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 当或11时，取得最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列性质可得.对于A：分析可得，即可判断；对于B：分析可知，即可判断；对于C：整理可得，，即可判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为，则，即. 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：若，可知数列为递增数列，则， 所以，故B错误； 对于选项C：因为，， 若，即，则，即，故C正确； 对于选项D：例如，则， 因为的图象开口向上，对称轴为， 结合对称性可知当或11时，取得最小值，故D错误； 故选：AC. 11. 如图，在三棱锥中，平面，，、、、分别为、、 、的中点，是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 异面直线与所成角的正弦值为 C. 不存在点，使得 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法逐项计算判断得解. 【详解】由三棱锥中，平面，则，， 因为， 由，所以， 所以可以点为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，，，， A：，，， 假设存在，使得， 则，此方程组无解，故假设不成立，故A错误； B：，，设异面直线与所成角为， 则异面直线与所成角的余弦值为， 所以，故B错误； C：因是线段上的动点，可设，，则， 所以，， 当时，，解得，因， 所以不存在点，使得，故C正确. D：由，，则， 当，即时取到最小值，故D正确. 故选：CD. 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 已知直线的倾斜角为，则实数m的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合特殊角的正切值，利用斜率的定义列方程求得m的值. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得. 故答案为： 13. 已知数列为等比数列，且，其前n项积为，且，若则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合等比数列性质求出，进而求出，然后结合等比数列通项公式及指数即可求解. 【详解】设数列的公比为q，因为，所以，所以， 所以．则，，因为．所以，所以， 则，结合指数性质知道，当或时，取得最小值，． 故答案为：. 14. 已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱柱性质确定出内切球的半径和球心位置，再利用极化恒等式结合向量数量积的运算律计算可求出结果. 【详解】由正三棱柱的底面边长为， 设底面三角形内切圆半径为 则 若该三棱柱有内切球，则三棱柱的高刚好为底面内切圆的直径，即为， 设内切球球心为，如下图所示： 易知球心在正三棱柱的中心处，且半径为，即 所以， 又点是该正三棱柱表面上的动点，最小值为内切球半径，最大值为， 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用极化恒等式将数量积表达式化简可得，再由可得结果. 四、解答题 15. 已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列通项公式可得，，即可得结果； （2）根据等差、等比数列求和公式可得，，代入求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，， 解得，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得，， 若，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以m的值为15. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，由列出方程求解即可； （2）分类讨论，当直线斜率不存在和存在两种情况即可求解． 【小问1详解】 由题意可设圆心， 由，得，解得， 圆心，半径， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径， 所以当直线斜率不存在时，直线符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 到直线的距离为，解得， 所以直线方程为， 综上，直线的方程为或． 17. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）记. （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）应用计算化简得出等比数列进而得出通项公式； （2）（i）应用对数运算得出，再应用裂项相消计算求和；（ii）分和时结合作差法证明数列的单调性计算求参. 【小问1详解】 因为， 故当时，， 两式相减得：， 即， 当时，，解得：， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 （i）可知： . 所以 ； （ii）对任意的，， 即对任意的，， 等价于对任意的，， 当时，不等式显然成立； 当时，不等式等价于对任意的，， 设， 因为， 所以是单调递减数列，则，所以， 所以实数的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，． （1）求证：平面平面； （2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）若二面角的大小为，求的长． 【答案】（1）证明详见解析. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理与判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，根据向量的夹角公式求解； （3）首先求出两个半平面的法向量，再求得的坐标，进而可求模. 【小问1详解】 因为底面为直角梯形，，，为的中点， 所以，且，所以四边形为平行四边形. 又，所以四边形为矩形，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，所以. 因为，所以为等边三角形.又为的中点，所以. 所以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，,， 因为为棱的中点，所以. 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量为. 因为是棱上的点，所以可设， 所以. 又，设平面的法向量为， 则，即， 令，可得. 所以. 因为二面角的大小为， 所以，解得， 所以，所以. 19. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若一条直线与椭圆恰有一个公共点，则定义该直线为椭圆的切线，这个公共点称为切点．以椭圆（，且）上为切点的切线方程是（，且）． （ⅰ）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，．若点在定直线上运动，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，设为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出即可. （2）（ⅰ）设出点的坐标，写出切线方程，进而求出直线方程即可推理得证；（ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理列出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 （ⅰ）由点在直线上，设，切点， 依题意，切线，切线， 由切线都过点，得，点都在直线上， 因此直线的方程为，所以直线恒过定点. （ⅱ）由消去并整理得：， 则，，的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高二上学期期末考试 数学学科试题 时间120分钟 分数150分 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（ ） A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线经过定点 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 5. 已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 6. 将自然数按照如图排列，我们将称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（ ） A. 36 B. 58 C. 67 D. 78 7. 已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为双曲线（，）的两个焦点，过原点的直线交双曲线于P，Q两点，若，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题（每题6分，共计18分） 9. 已知圆与圆交于两点，则（ ） A. 两圆有2条公切线 B. 圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C. D. 四边形的面积为2 10. 已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 当或11时，取得最大值 11. 如图，在三棱锥中，平面，，、、、分别为、、 、的中点，是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 异面直线与所成角的正弦值为 C. 不存在点，使得 D. 的最小值为 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 已知直线的倾斜角为，则实数m的值为______. 13. 已知数列为等比数列，且，其前n项积为，且，若则的最小值为_______． 14. 已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． 17. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）记. （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的，，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，． （1）求证：平面平面； （2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）若二面角的大小为，求的长． 19. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若一条直线与椭圆恰有一个公共点，则定义该直线为椭圆的切线，这个公共点称为切点．以椭圆（，且）上为切点的切线方程是（，且）． （ⅰ）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，．若点在定直线上运动，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，设为坐标原点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $