吉林省长春市第六中学2025-2026学年高二上学期第三学程考试数学试题

2025—2026学年度高二上学期期末考试 数学学科试题 时间120分钟 分数150分 一、单选题（每题5分，共计40分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（ ） A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线经过定点 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程只有 5. 已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 6. 将自然数按照如图排列，我们将称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（ ） A. 36 B. 58 C. 67 D. 78 7. 已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为双曲线（，）的两个焦点，过原点的直线交双曲线于P，Q两点，若，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题（每题6分，共计18分） 9. 已知圆与圆交于两点，则（ ） A. 两圆有2条公切线 B. 圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C. D. 四边形的面积为2 10. 已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 当或11时，取得最大值 11. 如图，在三棱锥中，平面，，、、、分别为、、 、的中点，是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 异面直线与所成角的正弦值为 C. 不存在点，使得 D. 的最小值为 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 已知直线的倾斜角为，则实数m的值为______. 13. 已知数列为等比数列，且，其前n项积为，且，若则的最小值为_______． 14. 已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． 17. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）记. （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的，，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，． （1）求证：平面平面； （2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）若二面角的大小为，求的长． 19. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若一条直线与椭圆恰有一个公共点，则定义该直线为椭圆的切线，这个公共点称为切点．以椭圆（，且）上为切点的切线方程是（，且）． （ⅰ）过椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为，．若点在定直线上运动，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，设为坐标原点，求面积的最大值． 2025—2026学年度高二上学期期末考试 数学学科试题 时间120分钟 分数150分 一、单选题（每题5分，共计40分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多选题（每题6分，共计18分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】CD 三、填空题（每题5分，共计15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1），. （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【18题答案】 【答案】（1）证明详见解析. （2）. （3）. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $