精品解析：吉林省长春吉大附中实验学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

吉林省长春吉大附中实验学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书与的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的运算法则可得答案. 【详解】由题意得：. 故选：D 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解. 【详解】命题， 则的否定为. 故选：C 3. 如果函数满足，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】令，求出，再代入计算可得. 【详解】因为，令，则， 所以. 故选：A 4. “”是“”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知等价于，等价于，即可得结果. 【详解】若，等价于，即， 若，等价于， 可知等价于， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：A. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 所以函数的图像关于轴对称，排除BD； 又当时，，则，排除C，选项A符合要求 故选：A. 6. 已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的定义、单调性可得答案. 【详解】由幂函数的定义可知，，解得， 由幂函数在上单调递减可得，， 则，所以. 故选：A. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】整体思想，利用诱导公式和倍角公式可得. 【详解】， 故选：C 8. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则（ ） A. －7 B. －1 C. 1 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，所以，且的图象关于对称，由此可得. 【详解】由题可知.所以的图象关于对称，且关于原点中心对称. 所以，所以，即. 所以. 因当时，，所以. 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的命题是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 当时恒有 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据特殊角对应的三角函数值，以及诱导公式，可判断A错；根据二次函数的性质，可判断B正确；根据二倍角的余弦公式，可判断C正确；根据特殊值法，可判断D错. 【详解】A选项，，故A错； B选项，函数是开口向上，且对称轴为的二次函数，所以其在上单调递增；故B正确； C选项，，故C正确； D选项，当，时，满足，但此时，故D错. 故选：BC. 10. 已知分别为第一、第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先由，结合同角三角函数关系可得，，，，进而可判断AB，根据两角和与差的余弦公式可判断CD. 【详解】因，得， 又，得，即， 因为第一象限角，故，， 同理可得，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：AD 11. 已知函数，则（ ）． A. 的定义域为 B. 在区间单调递增 C. 的图象关于对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A由对数函数的定义域即可判断；选项B，由复函函数的单调性满足“同增异减”即可判断；选项C，由于，则可判断的正误；选项，结合选项的结论可得，则选项的正误可判断. 【详解】选项A：的定义域为，选项A正确； 选项B：当时，， 因为在区间单调递增， 根据复合函数单调性，所以在区间单调递增，选项B正确； 选项C：， 所以的图象关于点对称，选项C错误； 选项D：由C可知， 所以，即， 因为，所以， 当时，， 因为在为增函数且恒成立， 所以在区间单调递增， 所以， 即，选项D正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出圆心角，利用弧长公式得到方程，求出答案. 【详解】设圆心角为，则，解得. 故答案为： 13. 函数的值域是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由指数型复合函数的值域求解即可. 【详解】定义域为， 令， 当时，，值域为， 当时，，值域为， 所以函数的值域为. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数性质，及二次方程根的分布来求解即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则因为关于 x的方程有6个不同的实根， 所以方程在区间上有2个不同的实根， 设， 则，解得， 故实数a的取值范围是 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是第二象限角，且. （1）求的值； （2）先化简，再求值：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系和商数关系计算可得； （2）由诱导公式化简，再代入计算即可. 【小问1详解】 因为是第二象限角，所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 化简， 由（1）知， 所以，原式. 16. 设全集，已知，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，根据交集运算列式求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 对于，可得，等价于，解得， 所以； 又因为，可得； 若，则或，可得或， 所以实数的取值范围. 【小问2详解】 由（2）可知：集合，集合， 若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 定义在上的奇函数和偶函数满足. （1）求，的解析式； （2）若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设结合函数奇偶性得，两式相加和相减即可求解函数解析式. （2）由（1）结合题意且令得，恒成立，进而求出函数，，的最大值即可得解. 【小问1详解】 因为，且是奇函数，是偶函数， 所以，即， 结合，解得，. 【小问2详解】 由（1）得， 所以不等式可以化为， 即，即， 令，则，当且仅当时，取“”， 所以原不等式转化为对任意的，都有恒成立， 设，，易知为上的减函数， 所以的最大值为，所以. 18. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数． （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若，，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用整体代入思想即可得到对称轴方程. （2）先利用图形的变化“左加右减”得到的图象，进而求出函数的解析式，再求出值域；又由整体思想转化得到的值. 【小问1详解】 因为， 令，，解得，， 所以图象的对称轴方程是，． 【小问2详解】 由题知，， 于是 ． （ⅰ）因为，所以， 即的值域是． （ⅱ）若，即， 因为，所以， 所以，， 所以， 即． 19. 设函数在非空数集上的取值集合为.若，则称为上的“函数”. （1）判断是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若为上的“函数”，证明：； （3）若存在实数，使得为上的“函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）是，理由见解析过程 （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的单调性，结合题中定义进行判断求解即可； （2）运用对数型函数单调性的性质，结合题中定义、基本不等式、对数的运算性质进行运算证明即可； （3）根据二次函数单调性，结合题中定义分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 是上的“函数”，理由如下： 当时，，所以 因为， 所以是上的“函数”； 【小问2详解】 由， 因为是正实数集上的增函数，是实数集上的减函数， 所以函数是上的减函数，于是有，且， 因为为上的“函数”， 所以，则有 当且仅当时取等号，而，所以 【小问3详解】 二次函数对称轴为， 当时，则函数的值域为， 若为上的“函数”， 则有，即， 而，所以，即存在，使得为上“函数”， 当时，函数的最小值为， 最大值为中大的数，记为 于是有，即， 而，所以； 当时，则函数的值域为， 若为上的“函数”，则有 即， 而，所以，综上所述：实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是正确理解题中定义，之二是根据二次函数的对称轴与所给区间相对位置分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春吉大附中实验学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书与的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则的否定为（ ） A B. C. D. 3. 如果函数满足，那么等于（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ） A B. C. 2 D. 4 7. 若，则（ ） A B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则（ ） A. －7 B. －1 C. 1 D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的命题是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 当时恒有 10. 已知分别为第一、第三象限角，且，则（ ） A B. C. D. 11. 已知函数，则（ ）． A. 的定义域为 B. 在区间单调递增 C. 的图象关于对称 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______. 13. 函数的值域是_____________. 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是第二象限角，且. （1）求的值； （2）先化简，再求值：. 16. 设全集，已知，. （1）若，求实数取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 定义在上的奇函数和偶函数满足. （1）求，的解析式； （2）若恒成立，求实数a的取值范围. 18. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数． （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若，，求的值． 19. 设函数在非空数集上的取值集合为.若，则称为上的“函数”. （1）判断是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若为上的“函数”，证明：； （3）若存在实数，使得为上的“函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $