专题05正方形寒假预习核心讲义(知识梳理+常考题型精析+强化题型突破)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题05正方形寒假预习核心讲义 核心重点 1.定义本质：正方形是邻边相等的矩形，也是有一个角为直角的菱形，明确它与平行四边形、矩形、菱形的从属关系。 2.性质综合：正方形兼具矩形（四角直角、对角线相等）和菱形（四边相等、对角线垂直平分对角）的所有性质，尤其注意对角线与边的夹角为45∘、4 条对称轴这两个特殊点。 3.判定逻辑：判定的关键是 “先证矩形再证邻边相等” 或 “先证菱形再证一个直角”，必须有平行四边形作为基础前提（或直接证既是矩形又是菱形）。 易错难点 1.误区：认为 “对角线垂直且相等的四边形是正方形”，纠正：需先判定为平行四边形，再补充对角线垂直且相等。 2.易混点：正方形和菱形的区别 —— 正方形对角线相等，菱形对角线不相等；正方形和矩形的区别 —— 正方形四边相等，矩形邻边不一定相等。 3.应用难点：利用正方形对角线的性质（垂直、平分、相等、分角45∘）结合勾股定理进行线段长度计算。 常考题型 精讲精炼 1.正方形性质的深度理解 2.正方形性质应用:角度计算 3.正方形性质应用:线段长度计算 4.正方形性质应用:面积计算 5.正方形折叠问题的解题策略 6.正方形性质证明类应用 7.正方形的判定定理的深度理解 8.四边形为正方形的证明方法 9.正方形性质与判定综合:线段计算 10.正方形性质与判定综合:证明应用 11.特殊平行四边形的动点问题解析 12.四边形中线段最值问题探究 13.四边形综合拓展问题 强化巩固 题型通关 (17题) 【知识点01.正方形的定义】 有一组邻边相等 且 有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 补充理解： 1.定义可拆解为三个递进条件： 基础图形：平行四边形 附加条件 1：一组邻边相等（满足菱形的核心特征） 附加条件 2：一个角是直角（满足矩形的核心特征） 2.其他等价定义： 有一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形。 【知识点02.正方形的性质】 正方形同时拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，可分为边、角、对角线、对称性四类。 1.边的性质 对边平行且相等； 四条边都相等； 邻边互相垂直。 2.角的性质 四个角都是直角（90∘）； 内角和为 360∘。 3.对角线的性质（核心考点） 对角线互相平分（平行四边形性质）； 对角线相等（矩形性质）； 对角线互相垂直（菱形性质）； 每条对角线平分一组对角（菱形性质），即对角线把正方形分成 4 个全等的等腰直角三角形； 对角线长度公式：若正方形边长为 a，则对角线长为 a 4.对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点； 是轴对称图形，有4 条对称轴（两条对角线所在直线 + 两组对边中点连线所在直线）。 【知识点03.正方形的判定】 判定正方形需满足 “平行四边形 + 矩形特征 + 菱形特征” 的组合条件，常用判定方法有三种： 判定方法 具体条件 定义法 先证是平行四边形，再证一组邻边相等且一个角是直角 矩形法 先证是矩形，再证一组邻边相等（或对角线互相垂直） 菱形法 先证是菱形，再证一个角是直角（或对角线相等） 注意：直接判定一个四边形是正方形时，不能跳过平行四边形 / 矩形 / 菱形的步骤，需分步证明。 【知识点04.正方形的周长与面积公式】 周长公式：若边长为 a，周长 C=4a。 面积公式 基本公式：S=a2（a 为边长）； 对角线公式：S=d2（d 为对角线长）。 【知识点05.常见考点与易错点】 核心考点 利用对角线性质求边长、角度、面积； 正方形与等腰直角三角形的结合（对角线分割出的三角形）； 正方形的判定定理的综合应用（与矩形、菱形判定的区分）； 正方形的对称性相关作图题。 易错点 1.混淆 “矩形、菱形、正方形” 的判定条件，例如：误认为 “对角线垂直且相等的四边形是正方形”（需先证是平行四边形）； 2.忽略正方形的对称轴数量，误记为 2 条（实际是 4 条）； 3.计算对角线长度时，忘记边长与对角线的比例关系 :1。 【题型1.正方形性质的深度理解】 【典例】在学习了“中心对称图形——平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为 ．    【答案】正方形 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质解答即可． 【详解】解：由题意可知，④是平行四边形，①和③分别是矩形和菱形，②是正方形． 故答案为：正方形． 【点睛】本题考查四边形与特殊平行四边形之间的关系，掌握它们的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】菱形、矩形、正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．一条对角线平分一组内角 【答案】C 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意； D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 【题型2.正方形性质应用:角度计算】 【典例】如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用正方形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 【跟踪专练1】如图，四边形是正方形，延长到点，使，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由正方形的性质可得，进而由等腰三角形的性质得，再根据角的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 【题型3.正方形性质应用:线段长度计算】 【典例】在正方形中，，则正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，根据正方形四边都相等得到正方形的周长即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ∴正方形的周长为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为（　　） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先由勾股定理求出，证明四边形是矩形，根据是等腰直角三角形得，，由此即可得出的值． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若正方形的面积为6，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质,掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 由题意可证明，即可得出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由全等三角形的性质得：， ∵， ∴， 在和中， ，. ∴， ∴， ∵四边形是正方形，且面积为6， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4.正方形性质应用:面积计算】 【典例】正方形一条对角线为2，则正方形的面积为 ． 【答案】2 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：正方形的一条对角线的长为2， 这个正方形的面积． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．66 B．16 C．32 D．23 【答案】A 【分析】本题考查了勾股树，正方形的面积公式． 根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为， ，， 于是， 即可得． 故选：A． 【跟踪专练2】七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成，如图，这是一个由正方形纸板制作的七巧板，其中平行四边形图中⑥的面积，则原正方形纸板的面积是 【答案】16 【分析】可根据七巧板各板块面积与原正方形面积的关系来求解． 本题考查正方形的性质，七巧板，平行四边形的性质，解题的关键是理清图之间的关系和掌握相关知识的运用． 【详解】解：七巧板中，平行四边形图中⑥的面积占原正方形面积的 已知平行四边形面积是， 设原正方形纸板面积为S，则， 解得 所以，原正方形纸板的面积是 故答案为： 【题型5.正方形折叠问题的解题策略】 【典例】如图，先将一张正方形纸向上对折、再向左对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是 ． 【答案】菱形 【分析】此题考查了剪纸问题以及正方形的性质，利用对称设计图案以及菱形的判定，关键是根据对折实际上就是轴对称性质的运用进行解答． 【详解】解：由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分， 故将①展开后得到的平面图形是菱形． 故答案为：菱形． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠至处，延长交于点，连接，，有下列结论：；；；．其中正确结论的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证，从而判定；在直角中，根据勾股定理可证，从而判断；求出，然后通过折叠性质即可判断；求得，从而得出，从而判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将沿折叠至处， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴，故正确； ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，故错误， 综上正确，共个， 故答案为：． 【题型6.正方形性质证明类应用】 【典例】已知正方形，点E是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点G，当最小时， ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了正方形中的计算，解题关键是构造全等三角形． 作等边三角形，连接，由正方形，等边三角形，得，得，故当时最小，此时，即可得． 【详解】解：作等边三角形，连接， ∵正方形，等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 故当时最小，此时， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 【跟踪专练2】如图，在边长为3的正方形中，点E为延长线上一点，，过E作交的延长线于点F，作的垂线交于点G，交于点P，垂足为H，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质．过点G作于点M，证明，可得，从而得到，再由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于点M， ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为：5． 【题型7.正方形判定定理的深度理解】 【典例】下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，根据正方形的判定和性质逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意； B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，说法正确，不符合题意； D. 正方形的对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 时，这个菱形就是正方形． 【答案】1 【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质，有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴， ∴当时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 【跟踪专练2】如图，已知四边形是平行四边形，要使它成为正方形，那么需要添加的条件可以是（   ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，根据平行四边形的性质结合正方形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， A. 则四边形是菱形， 再加上条件，四边形仍是菱形，故该选项不符合题意；     B. 则四边形是矩形 再加上条件，四边形仍是矩形，故该选项不符合题意； C. ，四边形是菱形，故该选项不符合题意；     D. 则四边形是菱形， 加上条件则四边形是正方形， 故选：D． 【题型8.四边形为正方形的证明方法】 【典例】下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定定理，平行四边形的性质，熟练掌握正方形的定义是解题的关键． 根据正方形的判定定理得出答案． 【详解】正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此可知选． 故选：． 【跟踪专练1】四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是 ． 【答案】正方形 【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质与判定，根据题意作图，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明四边形为正方形． 【详解】解：如图所示，， ∴四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是正方形， 故答案为：正方形．    【跟踪专练2】如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定等知识点，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵， ∴平行四边形是矩形，A正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），B正确，不符合题意； ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴平行四边形是正方形，C正确，不符合题意； ∵或，四边形是平行四边形， ∴都只能证明平行四边形是菱形，D错误，符合题意． 故选：D． 【题型9.正方形的性质与判定综合:线段计算】 【典例】如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .    【答案】 【分析】判定四边形是正方形，即可得到，再根据，即可利用勾股定理求得的长． 【详解】解：如图所示，连接，    由折叠可得，， 又， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，， 又， ， 由折叠可得，， 中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【跟踪专练1】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，三点在同一条直线上时，的长度为 ； （2）若点落在线段上时，的长度为 ． 【答案】 或 【分析】（）由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，求出，在中由勾股定理可求解；（）过点作于，过点作于，证明四边形是矩形，所以，，，由“”可证，可得，可证四边形是平行四边形，可得，可证四边形是平行四边形，可得，当与点重合时，，则，即可求解． 【详解】解：（）如图， ∵，， ∴，， ∵以为轴将进行翻折，得到， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， 故答案为：； （）如图，过点作于，过点作于， ∵以为轴将进行翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图，当与点重合时， 同理可得：四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型10.正方形的性质与判定综合:证明应用】 【典例】如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝ ． 【答案】5 【分析】连接OE，根据正方形的性质可得BO=OC=5，再由S△BOE+S△COE=S△BOC即可求得EG＋EF的值． 【详解】如图，连接OE， ∵四边形ABCD是正方形，AC=10， ∴AC⊥BD，BO=OC=5， ∵EG⊥OB，EF⊥OC，S△BOE+S△COE=S△BOC， ∴•BO•EG+•OC•EF=•OB•OC， ∴×5×EG+×5×EF=×5×5， ∴EG+EF=5． 故答案为：5 【点睛】本题考查正方形的性质，利用面积法是解决问题的关键，熟练运用等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高这一结论可以使运算过程简单． 【跟踪专练1】如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，据此可判断A、B、D，根据矩形的判定方法可判断C． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形不一定是矩形， ∴不一定成立， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有 ． 【答案】①③ 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 【题型11.特殊平行四边形的动点问题】 【典例】如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】动点问题,找到对称轴作对称点,相连即可算出答案,连接CE即为AP+PE的最小值． 【详解】   连接CE, 因为A、C关于BD对称． CE即为AP+PE的最小值． ∵正方形边长为4,E是AB中点, ∴BC=4,BE=2． 故答案为: . 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）    A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则， 设运动时间为， 当时，，， ∴， ， ∴(舍去)； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：(舍去)； 综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形． 故选:B． 【跟踪专练2】如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为 ．      （1）                   （2） 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 【题型12.四边形中线段最值问题探究】 【典例】如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ． 【答案】2 【分析】当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形PBQO是平行四边形， ∴PH=HQ，OH=HB， 当PQ⊥OA时，PQ最短， ∵∠AOB=30°，OB=4， ∴OH=2， ∴PH=1, ∴PQ=2PH=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答． 【跟踪专练1】如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键． 作点的对称点，作点关于的对称点，连接，，，过点作的垂线，交的延长线于点，推得当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长，根据矩形的性质可得，求得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长． 过点作的垂线，交的延长线于点， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 【题型13.四边形综合拓展问题】 【典例】我们在学习多边形时，先认识一般多边形，再认识正多边形；在学习特殊四边形时，先认识平行四边形，再认识特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形……这种研究方法主要体现的数学思想为（    ） A．一般到特殊 B．数形结合思想 C．模型思想 D．分类讨论思想 【答案】A 【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，依据探究过程并结合选项可作出判断． 【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或 【分析】利用点E是中点求出BE和CE，分当Q运动到E和C之间、当Q运动到E和B之间两种情况分析； 【详解】∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝BC＝×12＝6， ①当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，CQ＝2t，EQ＝CE﹣CQ＝6﹣2t， ∴4﹣t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，CQ＝2t，EQ＝CQ﹣CE＝2t﹣6， ∴4﹣t＝2t﹣6， 解得：t＝， ∴当运动时间t为2或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或． 【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，矩形的面积为288，分别是边的三等分点，若，则阴影四边形的周长为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．40 【答案】A 【分析】证明四边形是菱形，根据矩形的面积为288，得出，根据，设，则，得出，求出，负值舍去，得出，，根据勾股定理得出，得出，求出菱形的周长即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵矩形， ∴ ∵分别是边的三等分点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∴， 同理可证：， ∴四边形是平行四边形 ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ，即， 同理可证， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵矩形的面积为288， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 即阴影部分的周长为20． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形和特殊平行四边形的判定和性质的应用，菱形的周长，熟练掌握平行四边形的特殊平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 1．如图，在不添加辅助线的条件下，请给矩形添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质和正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．根据正方形的判定添加条件即可． 【详解】解：四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 2．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 3．如图，点E是正方形对角线的中点，，则正方形的周长为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质和勾股定理，求出边长是解题的关键． 利用正方形的性质和勾股定理求出边长即可解决问题． 【详解】解：∵点E是正方形对角线的中点，， ∴， ∴， ∵在正方形中， ∴， ∴正方形的周长为：， 故选：B． 4．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 请用含的式子写出你猜想的规律． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探索，中点四边形，解题的关键是总结规律． 根据图形变化引起的面积变化，总结规律即可． 【详解】解： ∵第个矩形的面积为， 第个矩形的面积为， 第个矩形的面积为 …… 第个矩形的面积为， 故答案为：． 5．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 6．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为 ． 【答案】0.5 【分析】连接，交于点，由，可知四边形是平行四边形，进而推断出四边形是正方形，然后利用正方形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点． ，， 四边形是平行四边形． 在正方形中，，， ， 四边形是正方形， ，． ， ， ， 即点到边的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，掌握正方形的性质与判定是解决本题的关键． 7．如图，在矩形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．若，则阴影部分矩形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解决问题的关键． 设正方形边长为，正方形边长为，则，根据正方形和矩形的性质得，则阴影部分矩形的面积为：，由此即可得出答案． 【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴阴影部分矩形的面积为：， ， ， ， ∴阴影部分矩形的面积为16． 故选：B． 8．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值． 【详解】解：连接，，如图， 在中，， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 四边形是边长为9的正方形，， ，，， ， 解得． 故选：B． 9．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） . A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10．如图1，在正方形中，M是正方形内部一点，连接，，动点P从点A出发，沿匀速运动，到达点B后停止．设点P运动的路程为x，，若y与x的函数图象如图2所示，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 由题意可知，，当时，证明，可知M在对角线上，即，作交于N，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，当时，P在段上，可知 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即M在对角线上， 如图，当时，P在段上，可知 ， 如图，作交于N， ∵M在对角线上， ∴， 即， ∵， ∴ ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， 故选：D 11．如图，在中，，，，以其三边为边向形外分别作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，使点，，，，恰好在长方形的边上，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，延长、分别交正方形两边于、，利用勾股定理求出，利用等面积求出，利用勾股定理求出、，证明得到，证明，得到，，即可解答． 【详解】解： 如图，过点作于，延长、分别交正方形两边于、， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形为长方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形、为矩形， ∴，，， ，，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 解答题 12．如图，已知，对角线相交于点O，． (1)求证：是矩形； (2)请添加一个条件使矩形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的性质，等角对等边，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对角线互相平分可得，再证明，得到，则由对角线相等的平行四边形是矩形可证明结论； （2）根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为矩形； （2）解：添加条件，理由如下： ∵四边形是矩形，且， ∴矩形是正方形． 13．综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 【答案】①四边形是平行四边形，理由见详解② 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质． 探究：①证明，由，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形是平行四边形； ②设运动时间为，由题意得，列出方程，据此求解即可； 【详解】解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②设运动时间为，四边形为平行四边形， ∴，，， 由题意得， ∴， 得． 14．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 15.．正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． (1)在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． (2)在这段时间内，求与的函数关系式． (3)当，求的值． 【答案】(1)4，0 (2) (3)或 【分析】本题考查平移性质、分段函数，正方形的性质，分类讨论及数形结合是解答的关键． （1）利用平移性质，结合分别求解即可； （2）先求得临界点，再分三情况讨论，利用正方形或矩形面积公式即可求解； （3）由（2）中关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 当秒时，，此时点D与点E重合，则； 当秒时，，此时点E与点A重合，则， 故答案为：4，0； （2）解：当时，，此时点F与点A重合； 分三种情况讨论： 在这段时间内，如图，， ∴； 当时，小正方形在大正方形内部， ； 在这段时间内，如图： 则，则， ∴； 综上，； （3）当时，由或解得：或， 故t的值为或． 16．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 _________ （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最大值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1）13；（2）5；（3） 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可； （3）如图所示，，，，， ，则，，，故的面积即为所求，由此求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为13， 故答案为：13； （2）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5； （3）如图所示，，，，， ， ∴，，， ∴的面积即为所求， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质与判定，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． 17．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，四边形内角和定理，勾股定理． （1）证明，可得，则矩形是正方形； （2）由已知得，则，再根据得； （3）分两种情况讨论：当与的夹角为时，点F在边上，，由四边形内角和定理得：；②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，可得． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： ①当与的夹角为时，点F在边上，， ∴， 在四边形中，由四边形内角和定理得： ； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴． 综上所述，的度数为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05正方形寒假预习核心讲义 核心重点 1.定义本质：正方形是邻边相等的矩形，也是有一个角为直角的菱形，明确它与平行四边形、矩形、菱形的从属关系。 2.性质综合：正方形兼具矩形（四角直角、对角线相等）和菱形（四边相等、对角线垂直平分对角）的所有性质，尤其注意对角线与边的夹角为45∘、4 条对称轴这两个特殊点。 3.判定逻辑：判定的关键是 “先证矩形再证邻边相等” 或 “先证菱形再证一个直角”，必须有平行四边形作为基础前提（或直接证既是矩形又是菱形）。 易错难点 1.误区：认为 “对角线垂直且相等的四边形是正方形”，纠正：需先判定为平行四边形，再补充对角线垂直且相等。 2.易混点：正方形和菱形的区别 —— 正方形对角线相等，菱形对角线不相等；正方形和矩形的区别 —— 正方形四边相等，矩形邻边不一定相等。 3.应用难点：利用正方形对角线的性质（垂直、平分、相等、分角45∘）结合勾股定理进行线段长度计算。 常考题型 精讲精炼 1.正方形性质的深度理解 2.正方形性质应用:角度计算 3.正方形性质应用:线段长度计算 4.正方形性质应用:面积计算 5.正方形折叠问题的解题策略 6.正方形性质证明类应用 7.正方形的判定定理的深度理解 8.四边形为正方形的证明方法 9.正方形性质与判定综合:线段计算 10.正方形性质与判定综合:证明应用 11.特殊平行四边形的动点问题解析 12.四边形中线段最值问题探究 13.四边形综合拓展问题 强化巩固 题型通关 (17题) 【知识点01.正方形的定义】 有一组邻边相等 且 有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 补充理解： 1.定义可拆解为三个递进条件： 基础图形：平行四边形 附加条件 1：一组邻边相等（满足菱形的核心特征） 附加条件 2：一个角是直角（满足矩形的核心特征） 2.其他等价定义： 有一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形。 【知识点02.正方形的性质】 正方形同时拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，可分为边、角、对角线、对称性四类。 1.边的性质 对边平行且相等； 四条边都相等； 邻边互相垂直。 2.角的性质 四个角都是直角（90∘）； 内角和为 360∘。 3.对角线的性质（核心考点） 对角线互相平分（平行四边形性质）； 对角线相等（矩形性质）； 对角线互相垂直（菱形性质）； 每条对角线平分一组对角（菱形性质），即对角线把正方形分成 4 个全等的等腰直角三角形； 对角线长度公式：若正方形边长为 a，则对角线长为 a 4.对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点； 是轴对称图形，有4 条对称轴（两条对角线所在直线 + 两组对边中点连线所在直线）。 【知识点03.正方形的判定】 判定正方形需满足 “平行四边形 + 矩形特征 + 菱形特征” 的组合条件，常用判定方法有三种： 判定方法 具体条件 定义法 先证是平行四边形，再证一组邻边相等且一个角是直角 矩形法 先证是矩形，再证一组邻边相等（或对角线互相垂直） 菱形法 先证是菱形，再证一个角是直角（或对角线相等） 注意：直接判定一个四边形是正方形时，不能跳过平行四边形 / 矩形 / 菱形的步骤，需分步证明。 【知识点04.正方形的周长与面积公式】 周长公式：若边长为 a，周长 C=4a。 面积公式 基本公式：S=a2（a 为边长）； 对角线公式：S=d2（d 为对角线长）。 【知识点05.常见考点与易错点】 核心考点 利用对角线性质求边长、角度、面积； 正方形与等腰直角三角形的结合（对角线分割出的三角形）； 正方形的判定定理的综合应用（与矩形、菱形判定的区分）； 正方形的对称性相关作图题。 易错点 1.混淆 “矩形、菱形、正方形” 的判定条件，例如：误认为 “对角线垂直且相等的四边形是正方形”（需先证是平行四边形）； 2.忽略正方形的对称轴数量，误记为 2 条（实际是 4 条）； 3.计算对角线长度时，忘记边长与对角线的比例关系 :1。 【题型1.正方形性质的深度理解】 【典例】在学习了“中心对称图形——平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为 ．    【跟踪专练1】菱形、矩形、正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．一条对角线平分一组内角 【跟踪专练2】如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为 ． 【题型2.正方形性质应用:角度计算】 【典例】如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形是正方形，延长到点，使，则 ． 【跟踪专练2】如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3.正方形性质应用:线段长度计算】 【典例】在正方形中，，则正方形的周长为 ． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为（　　） A．4 B． C． D．2 【跟踪专练2】如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若正方形的面积为6，，则的长为 ． 【题型4.正方形性质应用:面积计算】 【典例】正方形一条对角线为2，则正方形的面积为 ． 【跟踪专练1】如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（　　） A．66 B．16 C．32 D．23 【跟踪专练2】七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成，如图，这是一个由正方形纸板制作的七巧板，其中平行四边形图中⑥的面积，则原正方形纸板的面积是 【题型5.正方形折叠问题的解题策略】 【典例】如图，先将一张正方形纸向上对折、再向左对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是 ． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠至处，延长交于点，连接，，有下列结论：；；；．其中正确结论的个数是 ． 【题型6.正方形性质证明类应用】 【典例】已知正方形，点E是边上的动点，以为边作等边三角形，连接，交边于点G，当最小时， ． 【跟踪专练1】如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在边长为3的正方形中，点E为延长线上一点，，过E作交的延长线于点F，作的垂线交于点G，交于点P，垂足为H，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型7.正方形判定定理的深度理解】 【典例】下列说法不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角 【跟踪专练1】将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 时，这个菱形就是正方形． 【跟踪专练2】如图，已知四边形是平行四边形，要使它成为正方形，那么需要添加的条件可以是（   ） A．且 B．且 C． D．且 【题型8.四边形为正方形的证明方法】 【典例】下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D．以上都对 【跟踪专练1】四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是 ． 【跟踪专练2】如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【题型9.正方形的性质与判定综合:线段计算】 【典例】如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .    【跟踪专练1】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，三点在同一条直线上时，的长度为 ； （2）若点落在线段上时，的长度为 ． 【题型10.正方形的性质与判定综合:证明应用】 【典例】如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝ ． 【跟踪专练1】如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有 ． 【题型11.特殊平行四边形的动点问题】 【典例】如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．    【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　）    A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为 ．      （1）                   （2） 【题型12.四边形中线段最值问题探究】 【典例】如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ． 【跟踪专练1】如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 【题型13.四边形综合拓展问题】 【典例】我们在学习多边形时，先认识一般多边形，再认识正多边形；在学习特殊四边形时，先认识平行四边形，再认识特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形……这种研究方法主要体现的数学思想为（    ） A．一般到特殊 B．数形结合思想 C．模型思想 D．分类讨论思想 【跟踪专练1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，矩形的面积为288，分别是边的三等分点，若，则阴影四边形的周长为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．40 1．如图，在不添加辅助线的条件下，请给矩形添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为 ． 2．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 3．如图，点E是正方形对角线的中点，，则正方形的周长为（   ） A． B．8 C． D． 4．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 请用含的式子写出你猜想的规律． 5．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则 ． 6．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为 ． 7．如图，在矩形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．若，则阴影部分矩形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 8．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 9．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） . A． B． C．4 D．9 10．如图1，在正方形中，M是正方形内部一点，连接，，动点P从点A出发，沿匀速运动，到达点B后停止．设点P运动的路程为x，，若y与x的函数图象如图2所示，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，以其三边为边向形外分别作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，使点，，，，恰好在长方形的边上，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 解答题 12．如图，已知，对角线相交于点O，． (1)求证：是矩形； (2)请添加一个条件使矩形为正方形． 13．综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 14．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 15.．正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． (1)在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． (2)在这段时间内，求与的函数关系式． (3)当，求的值． 16．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 _________ （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最大值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 17．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $