第03讲解三角形讲义（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第03讲解三角形 知识清单 知识点01：正弦定理 知识点02：余弦定理 知识点03：三角形面积公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：正弦理解三角形 题型2：正弦定理边角互化的应用 题型3：三角形面积公式及其应用 题型4：正弦定理判定三角形解的个数 题型5：正弦定理求外接圆半径 题型6：余弦定理解三角形 题型7：余弦定理边角互化的应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01正弦定理 正弦定理：． 知识点02余弦定理 余弦定理：． 知识点03三角形面积公式 三角形面积公式： 题型1：正弦理解三角形 【例1-1】在三角形ABC中，，则B=（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，进而求得正确答案. 【详解】三角形ABC中，， 由正弦定理得， 因为，则B是锐角，所以 故选：A 【例1-2】（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为 . 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 【例1-3】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 【答案】(1)无解 (2)或 【分析】（1）由正弦定理进行求解； （2）由正弦定理进行求解． 【详解】（1）由正弦定理得，，得， 故无解． （2）由正弦定理得，，得， 因为，所以或． 【变式1-1】在中，角的对边分别为，若，则角 ． 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以为锐角，则， 所以， 故答案为：． 【变式1-2】在中，角，，的对边分别为，，，，求的值 【答案】或 【分析】由正弦定理解三角形. 【详解】在中，由， 利用正弦定理得，由于，所以或． ①当时，利用三角形内角和定理， ②当时，利用三角形内角和定理. 【变式1-3】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在△ABC中，点D是线段BC上一点，角A、B、C所对的边的边长分别是a、b、c．（其中a、b、c均为常数）若AD是∠BAC的平分线，利用正弦定理求的值； 【答案】 【分析】设，，则，由正弦定理可得，，由即可得解． 【详解】因为AD是∠BAC的平分线， 所以可设， 又设，则， 在△ABD中，，所以① 在△ACD中，，即， 所以②， 由得：． 题型2：正弦定理边角互化的应用 【例2-1】（24-25高一下·上海·单元测试）在△ABC中，现有以下两个命题：①；②；则判断正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【答案】A 【分析】由大边对大角判断①，由正弦定理判断②． 【详解】当时，由大边对大角，得， 当时，由大角对大边，得，所以①正确； 由正弦定理得，所以②正确， 故选：A. 【例2-2】（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于 . 【答案】/ 【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化为角，然后求解角的值. 【详解】已知，由正弦定理可得到，即 可得.因为是三角形内角，且为锐角,则 . 故答案为：. 【例2-3】（2024高一·上海·专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知，证明：； 【答案】证明见解析 【分析】 利用正弦定理将边化角，再结合两角和（差）的正弦公式得到，即可得证. 【详解】 因为正弦定理：， 所以对于，有， 又， 所以， 即， 整理得， 所以，因为A，，为的三个内角， 所以，即. 【变式2-1】（24-25高一·上海·随堂练习）在中，若，则角的大小关系为（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】由及正弦定理即可求解. 【详解】在中，由正弦定理得：， 因为， 所以, 所以，即. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 【答案】/ 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由可得， 故, 由于，故， 故答案为： 【变式2-3】（2024高一·上海·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且，求角. 【答案】 【分析】 利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解. 【详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， 所以， 即，又，所以， 所以，又，所以. 题型3：三角形面积公式及其应用 【例3-1】下列三角形面积公式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形面积公式直接判断. 【详解】由三角形面积公式可知A、B、C错误，D正确. 故选：D. 【例3-2】（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，已知.且的面积为，则边长 . 【答案】4 【分析】利用三角形面积公式求解. 【详解】由. 故答案为：4. 【例3-3】（24-25高一下·上海·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，的角平分线交BC于M，求线段AM的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简，再解析方程即得. （2）根据，结合面积公式列式求解. 【详解】（1）由，得， 又在中，， 则，整理得， 而，，解得，所以． （2）在中，由是的角平分线，得， 由，得， 即，所以. 【变式3-1】（24-25高一下·上海·月考）在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于 . 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以. 所以的面积等于. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理，得到，即可求解； （2）由（1）知，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由正弦定理得，所以. （2）解：由，可得，所以，且， 又由（1）知，所以， 因为，则， 所以的面积为. 【变式3-3】设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解； （2）由正弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，，故， 因为，所以由正弦定理可知， 由大边对大角可得，故， 所以. （2）时，由正弦定理可得，， 所以. 题型4：正弦定理判定三角形解的个数 【例4-1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知的外接圆半径为5， ，，则此三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用正弦定理即可判断此三角形解的情况． 【详解】根据正弦定理，得， 因为的外接圆半径为5，，，所以， 所以， 因为，所以为锐角， 又因为， 所以， 则或，故此三角形有两解． 故选：B. 【例4-2】（24-25高一下·上海·期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理，结合，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，，即， 若有两解，则，且，所以， 所以. 故答案为： 【例4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，已知，，，求角的正弦值． 【答案】或 【分析】根据条件，利用正弦定理得到，再利用平方关系得到，由正弦的和角公式，即可求出结果. 【详解】由， 得， 又，得或， 当时，， 当时，. 【变式4-1】张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形解的个数结合已知条件确定的取值范围，逐个选项判断即可. 【详解】由题意可知三角形只有一个解， 由上图可知： 若只有一解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有一个交点， 则或，即或， 所以的取值不可能为， 故选：B 【变式4-2】（24-25高一下·上海闵行·期末）如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由正弦定理结合到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-3】在中，已知，，分别根据下列条件求B： (1)①，②，③，④，⑤； (2)根据上述计算结果，讨论使B有一解、两解或无解时a的取值情况． 【答案】(1)答案见解析； (2)当时，无解；当或时，有一个解；当时，有两个解 【分析】（1）由条件利用正弦定理求得，再结合大边对大角，判断角的个数； （2）结合（1）的结果，讨论使有一解、两解、无解时的取值情况. 【详解】（1）根据正弦定理，得， ①当，时，，无解； ②当，时，， 而，所以； ③当，时，， 而，所以或； ④当，时，， 而，所以； ⑤当，时，， 而，由，得，. （2）由（1）得，， 当，即时，无解； 当或且，即或时，有唯一解； 当且，即时，有两解， 所以当时，无解；当或时，有唯一解；当时，有两解. 题型5：正弦定理求外接圆半径 【例5-1】在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理以及图形的几何关系求解. 【详解】设△的外接圆为,的外接圆半径为, 在△由正弦定理得,在中由正弦定理得, 又∵,∴， ∴, 故答案为：. 【例5-2】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，则，且. 由正弦定理得（为外接圆的半径），即， 即，， 因为，所以， 因此，； （2）因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. 【例5-3】在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且a=6，b=14，. （1）求sinA的值和△ABC外接圆半径； （2）求△ABC的面积. 【答案】（1），；（2）. 【分析】直接利用正弦定理即可求得sinA的值和△ABC外接圆半径； （2）利用三角形内角得关系及两角和得正弦公式求得，再利用三角形得面积公式即可得解. 【详解】解：（1）在△ABC中，a=6，b=14，. 根据正弦定理， 所以， 所以△ABC外接圆半径为； （2）由（1）得， 则， 所以. 【变式5-1】中，且，则外接圆的半径是 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理的推论，可直接求得答案. 【详解】设外接圆的半径为， 则 ，即 ， 故 ， 故答案为： 【变式5-2】中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求边、的长度； (2)求的面积及其外接圆半径. 【答案】(1) (2)；4 【分析】(1)根据三角形内角和定理得出，然后利用正弦定理即可求解； (2)利用三角形面积公式和正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，， 由正弦定理得：，也即， 所以； （2）由三角形的面积公式可得：的面积， 由正弦定理可得：外接圆半径. 【变式5-3】在中，a，b，c分别是角A，B，C，. (1)若，求的外接圆的半径； (2)若，且，求; (3)若，求的周长. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由正弦定理求解即可； （2）由求出，然后由向量的数量积求解即可； （3）由求出，，分类讨论求出，然后由正弦定理求出各边长求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径为. （2）因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以，由于， 所以，即，所以，. （3）因为，所以， 又，所以， 即，， 所以，所以， 若为钝角，则，， 所以， 由正弦定理得， 所以，， 故的周长为； 若为锐角，则，， 所以， 由正弦定理得， 所以，， 故的周长为； 故的周长为或. 题型6：余弦定理解三角形 【例6-1】的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理的推论求得，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 故选：B 【例6-2】（24-25高一下·上海·期末）在中，，，点满足，，则 【答案】2 【分析】根据余弦定理进行求解即可. 【详解】设，则， 在中，由余弦定理可知：， 在中，由余弦定理可知：， 因为， 所以， 舍去， 故答案为：2 【例6-3】已知的周长为，且. (1)求边长的值； (2)若，求角的余弦值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边建立方程，求解参数即可. （2）利用三角形面积公式求出关键参数值，结合余弦定理并利用配方法可求余弦值. 【详解】（1）由正弦定理角化边得： 由题意得， 所以解得，. （2）由面积公式得， 由余弦定理得. 【变式6-1】（24-25高一下·上海青浦·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理化简题中等式，可得，然后利用二倍角公式并结和为三角形的内角，计算出角的大小 【详解】根据余弦定理，可得，结合， 可知，即， 当时，等式成立，结合,可得; 当时，等式可化为,结合,可得或， 综上所述，，或. 故选：B 【变式6-2】（25-26高一上·上海黄浦·月考）如图，在中；，、、分别是、、上的点，若，则 ． 【答案】4 【分析】通过四边形 是平行四边形，确定，设，在，中分别应用余弦定理即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 又，所以四边形 是平行四边形， 所以, 又 ，所以 ， 即 均为等腰三角形。 设，则， 又， 所以， 因为， 所以， 在中由余弦定理： ， 代入， 解得： ， 在中， 由余弦定理得： 代入数据可得： 解得：， 所以​ 故答案为：4 【变式6-3】（24-25高一下·上海·期末）在中，，. (1)若，求的长； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，再利用余弦定理，即可求得的值； （2）利用同角三角函数关系求出，再应用两角和正弦求出，最后三角形面积公式计算求解. 【详解】（1）由余弦定理得 ， 所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以， 由正弦定理得，所以， 所以， 所以的面积为 题型7：余弦定理边角互化的应用 【例7-1】某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【分析】设的边上的高分别为,由此可令，，由余弦定理即可判断三角形形状. 【详解】设的内角的对边分别是， 且边上的高分别为, 则,令，则， 故，故A为钝角， 又，A为三角形最大角，故该三角形为钝角三角形， 故选：C 【例7-2】在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 【例7-3】在中，，求的值． 【答案】 【分析】利用余弦定理进行角化边即可求得. 【详解】由余弦定理，得 . 【变式7-1】（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，余弦定理得，进一步可将目标式子转换为的二次函数即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以，则的最大值为． 故选：B． 【变式7-2】（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【答案】 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 【变式7-3】在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c (1)若，求∠B； (2)若，试判断△ABC的形状． 【答案】(1) (2)△ABC是等腰三角形 【分析】（1）由二倍角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而确定其大小； （2）由余弦边角关系可得，整理化简即可确定形状. 【详解】（1）由，而，故， 又，故. （2），故，即， 所以△ABC是等腰三角形. 一、填空题 1．（2024高一·上海·专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据求解即可得答案. 【详解】因为这个三角形有两解，故满足， 即，解得. 故答案为： 2．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 【答案】/ 【分析】由正弦定理化角为边，得，再由余弦定理化边为角即可求解. 【详解】由结合正弦定理得，则， 即，由余弦定理有， 而，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知有一内角与其半角不为同一象限角，且，，则边长的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得内角为钝角或直角，则（或）为钝角或直角，结合三角形的性质及余弦定理求解. 【详解】中，，，， 则，即， 因为有一内角与其半角不为同一象限角， 所以内角为钝角或直角，则（或）为钝角或直角， 则或， 由余弦定理得（其中）或（其中）， 即（其中）或（其中）， 解得或，又， 则或，即边长的取值范围为. 故答案为：. 4．在中，若，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理求得，再根据余弦定理可得求解即可. 【详解】由余弦定理可得，即. 由正弦定理，故. 又，故，即. 又，故， 故. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期中）为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数、、满足：，，，则 . 【答案】 【分析】结合余弦定理，将、、作为三角形的边，可得在内部，且，且，，，亦可知的三边，结合勾股定理及三角形面积公式可得解. 【详解】 设，，， 由，且， 则，，即，， 同理可得，，，， 则，即， 所以， 又， 则， 故答案为：. 6.（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知圆的内接四边形的边长依次为、、、，则圆的面积为 . 【答案】 【分析】在和中分别利用余弦定理，再由，则，从而可求出的长，由正弦定理得出圆的半径即可. 【详解】因为四边形为圆内接四边形，所以， 所以， 因为、、、， 所以在中，由余弦定理得 , 在中，由余弦定理得 ， 所以，解得， 所以，， 因为，所以， 由正弦定理可知，所以圆的面积， 故答案为： 8．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】切化弦后化简，利用正弦定理得出，再由余弦定理及三角形面积公式转化为关于的二次函数求最值. 【详解】，， 则， ， 所以的面积 ， ，即时，的面积的最大值为 故答案为： 9．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 10．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，由正弦定理结合，得到，然后由二倍角公式求解. 【详解】由正弦定理，，又， ， . 故答案为：. 11．为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则 . 【答案】 【分析】设的角的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值. 【详解】设的角的对边分别为、、， 在内取点，使得， 设，，， 由余弦定理得，， ，∴， ，∴， 则，即角B为直角，则， 由， 得， 即，所以. 故答案为：. 12．在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 【答案】①③④ 【分析】由题设可得到上的高为，根据各项三角形解的个数及三角形性质判断的范围，应用正弦定理求外接圆半径. 【详解】 由，即到上的距离为， 若有两解，则，即，①对； 若有唯一解，则或，即，②错； 若无解，则，即，③对； 当时，△ABC外接圆半径，④对. 故答案为：①③④ 二、单选题 13．（24-25高一下·上海青浦·月考）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】应用正弦边角关系及差角正弦公式可得，即可得. 【详解】由题设及正弦边角关系有，即， 由，故，即三角形为等腰三角形. 故选：A 14．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个钝角三角形 D．能作出无数个钝角三角形 【答案】C 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】设边上的高分别为，则， 所以最大角的余弦值满足，， 所以能作出一个钝角三角形. 故选：C. 15．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角余弦公式和正弦边角互化，结合三角形内角性质可得，即可判断形状. 【详解】由，可得，， 所以， ，故， 因为，所以，， 即是直角三角形. 故选：B. 16．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 三、解答题 17．（24-25高一下·上海·期末）在中，角，，的对边分别为，，． (1)若，求的大小； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，即可求解； （2）解法1：首先根据正弦定理求角，再求角，最后代入面积公式，即可求解；解法2：首先根据余弦定理求，再代入面积公式，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， ，，或； （2）解法1：由正弦定理可得，，或 当时，，故， 当时，，故. 解法2：由余弦定理可得：，即，或. 当时，，， 当时， . 18．在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)4. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正余弦公式计算即得. （2）由（1）的信息，利用和差角的余弦公式、二倍角的余弦公式化简即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即 则，而， 因此，， 则，所以. （2）由（1）知，， . 19．在中， 内角所对的边分别为， 已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系及已知可得，化简整理得，结合角的范围确定大小； （2）由三角形面积公式列方程求得，再由余弦定理得，即可得. 【详解】（1）由正弦边角关系，， 所以， 所以，，可得. （2）由（1）知，又, 则，，则， 由余弦定理， 所以的周长为. 20．（24-25高一下·上海松江·月考）如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且． (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积． 【答案】(1)2海里； (2)18平方海里. 【分析】（1）根据题意得出各边长和，利用余弦定理可解出的长； （2）利用余弦定理求出的长，再利用三角形面积公式求出两个三角形的面积，相加即为所求四边形面积. 【详解】（1）由题意，，且为钝角， 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故，小岛A与小岛D之间的距离为2海里. （2）由题意，. 在中，由余弦定理，， 得，解得或（舍去）. 故. 所以 所以，四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里. 21．（2024高一下·上海·专题练习）用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径. (1)，求的长； (2)在中，若是钝角，求证：； (3)给定三个正实数，其中，问满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理求解； （2）利用余弦定理，结合角为钝角证明有关结论； （3）先确定边长大于外接圆直径时，无解；再分别讨论最长边小于或等于外接圆直径时，三角形的解及解的个数. 【详解】（1）由正弦定理得 所以 所以或（舍去）. 所以的长为：. （2）因为，是钝角， 所以. 因此. （3）当时， 不存在， 当时，不存在， 当时，存在一个， 此时 当时，存在一个， 此时， 当时，存在两个， 当A为锐角时， 当A为钝角时， 【点睛】本题综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据，两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲解三角形 知识清单 知识点01：正弦定理 知识点02：余弦定理 知识点03：三角形面积公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：正弦理解三角形 题型2：正弦定理边角互化的应用 题型3：三角形面积公式及其应用 题型4：正弦定理判定三角形解的个数 题型5：正弦定理求外接圆半径 题型6：余弦定理解三角形 题型7：余弦定理边角互化的应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01正弦定理 正弦定理：． 知识点02余弦定理 余弦定理：． 知识点03三角形面积公式 三角形面积公式： 题型1：正弦理解三角形 【例1-1】在三角形ABC中，，则B=（　　） A． B． C．或 D．或 【例1-2】（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为 . 【例1-3】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 【变式1-1】在中，角的对边分别为，若，则角 ． 【变式1-2】在中，角，，的对边分别为，，，，求的值 【变式1-3】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在△ABC中，点D是线段BC上一点，角A、B、C所对的边的边长分别是a、b、c．（其中a、b、c均为常数）若AD是∠BAC的平分线，利用正弦定理求的值； 题型2：正弦定理边角互化的应用 【例2-1】（24-25高一下·上海·单元测试）在△ABC中，现有以下两个命题：①；②；则判断正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【例2-2】（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于 . 【例2-3】（2024高一·上海·专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知，证明：； 【变式2-1】（24-25高一·上海·随堂练习）在中，若，则角的大小关系为（    ）． A． B． C． D．无法确定 【变式2-2】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 【变式2-3】（2024高一·上海·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且，求角. 题型3：三角形面积公式及其应用 【例3-1】下列三角形面积公式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，已知.且的面积为，则边长 . 【例3-3】（24-25高一下·上海·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，的角平分线交BC于M，求线段AM的长． 【变式3-1】（24-25高一下·上海·月考）在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于 . 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 【变式3-3】设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 题型4：正弦定理判定三角形解的个数 【例4-1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知的外接圆半径为5， ，，则此三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不能确定 【例4-2】（24-25高一下·上海·期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ． 【例4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，已知，，，求角的正弦值． 【变式4-1】张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·上海闵行·期末）如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 【变式4-3】在中，已知，，分别根据下列条件求B： (1)①，②，③，④，⑤； (2)根据上述计算结果，讨论使B有一解、两解或无解时a的取值情况． 题型5：正弦定理求外接圆半径 【例5-1】在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为 . 【例5-2】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 【例5-3】在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且a=6，b=14，. （1）求sinA的值和△ABC外接圆半径； （2）求△ABC的面积. 【变式5-1】中，且，则外接圆的半径是 ． 【变式5-2】中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求边、的长度； (2)求的面积及其外接圆半径. 【变式5-3】在中，a，b，c分别是角A，B，C，. (1)若，求的外接圆的半径； (2)若，且，求; (3)若，求的周长. 题型6：余弦定理解三角形 【例6-1】的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高一下·上海·期末）在中，，，点满足，，则 【例6-3】已知的周长为，且. (1)求边长的值； (2)若，求角的余弦值. 【变式6-1】（24-25高一下·上海青浦·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·上海黄浦·月考）如图，在中；，、、分别是、、上的点，若，则 ． 【变式6-3】（24-25高一下·上海·期末）在中，，. (1)若，求的长； (2)若，求的面积. 题型7：余弦定理边角互化的应用 【例7-1】某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【例7-2】在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【例7-3】在中，，求的值． 【变式7-1】（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【变式7-3】在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c (1)若，求∠B； (2)若，试判断△ABC的形状． 一、填空题 1．（2024高一·上海·专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是 2．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 3．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知有一内角与其半角不为同一象限角，且，，则边长的取值范围为 . 4．在中，若，，且，则 . 5．（24-25高一下·上海·期中）为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数、、满足：，，，则 . 6.（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 7．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知圆的内接四边形的边长依次为、、、，则圆的面积为 . 8．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 9．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 ． 10．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，则 ． 11．为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则 . 12．在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 二、单选题 13．（24-25高一下·上海青浦·月考）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．无法判断 14．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个钝角三角形 D．能作出无数个钝角三角形 15．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 16．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高一下·上海·期末）在中，角，，的对边分别为，，． (1)若，求的大小； (2)若，，，求的面积． 18．在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 19．在中， 内角所对的边分别为， 已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 20．（24-25高一下·上海松江·月考）如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且． (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积． 21．（2024高一下·上海·专题练习）用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径. (1)，求的长； (2)在中，若是钝角，求证：； (3)给定三个正实数，其中，问满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 1 学科网（北京）股份有限公司 $