19.2二次根式的乘法与除法（第1课时 二次根式的乘法）课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第十九章 二次根式 19.2二次根式的乘法与除法 第一课时 二次根式的乘法 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.了解二次根式的乘法法则.（重点） 2.能运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.（难点） 类比整式、分式，我们学习了二次根式的概念，接下来也要学习二次根式的运算.根据算术平方根的意义，当a取某个非负实数时，也是一个实数，我们从这类实数的运算出发学习二次根式的运算. 先来研究二次根式的乘法. 探究 一般地，二次根式的乘法法则是： ·（a≥0，b≥0） (1)  (2)  (3)  计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ 2×3=6 =6 4×5=20 =20 6×7=42 =42 典例1计算： （1）； （2）； （3）. 【分析】利用二次根式的乘法法则（） 解： （1）； （2）； （3） 结果要化到最简 教材P6 例题 把 = (a≥0，b≥0)反过来，就得到 =· (a≥0，b≥0). 利用它可以进行二次根式的化简 方法技巧 特别提醒 1. 法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的. 2. 如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数. 3.公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式. 4.当a ＜ 0，b ＜ 0 时，＝＝· . 典例2 化简： (1) ； (2) . 解：(1)  = 4 × 9 = 36. (2)  =· . 被开方数4含有偶数次因数4(4=)和因式,它们是开得尽平方的因数和因式，被开方后可以移到根号外. 教材P7 例题 化简二次根式的一些策略 (1)当被开方数是几个因数(或因式)的积的形式时，把数(或因式)中能写成平方形式的写成平方形式，再开平方； (2)若积中的因数(或因式)不是非负数，应先将其化为非负数，再运用公式化简； (3)当被开方数是多项式时，要先把被开方数因式分解，再化简. 解：(1)  . (2)  . (3) . 例3 计算： (1) ；(2) ； (3) . 教材P7 例题 1.计算： (1)×； (2)·；(3)6×(－2)； (4)××. 解：(1)×＝＝＝14. (2)·＝＝. (3)6×(－2)＝6×(－2)×＝－12＝－12×9＝－108. (4)××＝＝. 根号外的因数，不要遗漏负号 被开方数有带分数时，要先把带分数化成假分数，再运用法则计算 变式训练 2.化简： (1)；(2)； (3)；(4). 解：(1)＝＝×＝3； (2)＝ ＝＝ ×＝2； (3)＝＝ ＝×＝7； (4)＝··＝··＝2·a·b＝2ab . 先去掉负号，再化简 将被开方数分解为完全平方数与非完全平方数的积 利用平方差公式分解因式 变式训练 教材P7 练习 课内练习 1. 计算： . 解：(1) . (2) = 6. (3) . (4) = 2. 2. 化简： . 解：(1) = 7×9 = 63. (2) . (3). 3. 一个长方形的长和宽分别是和，求这个长方形的面积. 解： . 答：这个长方形的面积为. 基础巩固题 知识点1 二次根式的乘法 1.【2025山西太原质检】已知是整数，是整数，则 的最小值为( ) A A.2 B.3 C.4 D.18 【解析】是整数，且是整数，的值为9或1， 的值为2或 18， 的最小值为2．故选A. 思路分析 先根据二次根式的乘法进行计算，再根据结果是整数且 是整数进行判断即可． 2.【2024安徽合肥期末】小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入 1 2 3 4 … 输出 3 … 那么当输入数据为8时，输出的数据是_____. 【解析】观察可得，，， ， , , 当输入数据为8时，输出的数据是 ， 故答案为 . 18 知识点2 积的算术平方根 3.下列计算正确的有( ) ① ； ② ； ③ ； ④ ． A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】①②根号下不能为负数，故①②错误； ，故③正确，④错误．故计 算正确的有1个．故选A． 19 4.【2024广西贺州期末】已知，，用含，的代数式表示 ，这 个代数式是_____. 【解析】，, .故答案为 . 5.【2024上海静安区校级期末】如果 ，那么等式成立的 条件是____________. 【解析】，, ， ，解得，故答案为 . 20 易错点 将根号外的因式移至根号内，未先判断因式正负而致错 6.【2025黑龙江哈尔滨期中】将 根号外的因式移到根号内为 _________. 【解析】有意义，，，，故答案为 . 易错警示 将根号外的因数或因式移到根号内时，应先判断根号外因数或因式的正负.若为正， 则直接移到根号内；若为负，则将根号外的负因数或因式移到根号内时，要在根 号外加“-”. 21 能力提升题 B (1)写一个有“穿墙”现象的数，并验证； (2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？并进行证明． 二次根式 二次根式的乘法 乘法法则：二次根式相乘,被开方数相乘，根指数不变 · = (a0，b0). 二次根式乘法法则的逆用 =· (a0，b0). 课堂小结 教科书第7页练习 第1,2,3题 布置作业 7.将a根号外的因式移到根号内，得(　　) A． B．－ C．－ D． 原式＝＝＝3a2. 8.计算： (1)2 ×× ； (2)×． 解：原式＝2× ＝ ＝ ××＝×6 ＝3 . 9.[2025咸阳期中]一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是Ek＝mv2，其中Ek表示动能(单位：焦耳)，m表示物体的质量(单位：千克)，v表示物体的运动速度(单位：米/秒)．若一个运动的物体的质量是10千克，动能是1 000焦耳，求该物体的运动速度． 解：∵Ek＝mv2，m＝10千克，Ek＝1 000焦耳， ∴v＝＝＝10 (米/秒)． 答：该物体的运动速度为10 米/秒． 解：＝n·(n为正整数，n≥2)． 证明：＝＝＝n. 10.[教材P21复习题T11变式]先来看一个有趣的现象：＝＝＝2，这里根号里的2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一现象的数还有许多，如：＝3，＝4等． 解：(答案不唯一)．验证：＝＝＝5. $