19.1 二次根式及其性质（第1课时二次根式的概念）课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦八年级二次根式概念及被开方数非负性，通过长方形围栏面积、自由落体时间等实际问题导入，衔接算术平方根知识，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以问题驱动结合典例变式，发展数学眼光（抽象能力）和思维（推理能力），如巧记口诀总结有意义条件，跨学科题联系物理电流公式。采用分类讨论与口诀记忆法，助学生构建知识体系提升应用意识，也为教师提供系统教学资源与分层练习设计。

八年级人教版数学下册 第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 第一课时 二次根式的概念 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.了解二次根式的概念,发展抽象能力.（重点） 2.理解二次根式中被开方数的非负性，会求使形如的式子有意义时字母的取值范围.（难点） 整式和分式都可以表示一些问题中的数量和数量关系.在学习了算术平方根的概念后，我们还可以用含有根号的式子表示数量和数量关系. 例如，本章引言中广播电视节目信号的传播半径r可以表示为2Rh. 再来看一些例子 思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征. (1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为_______m. (2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_________. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_____. 上面问题的结果分别是， 它们表示一些正数的算术平方根.一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式(quadraticradical).二次根式也是代数式. 在二次根式中, 为什么a不能是负数? 典例1 给出下列式子： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦. 其中一定是二次根式的是_________.（只填序号） ①④⑦ 1.下列各式： ①；②；③；④；⑤；⑥ 其中一定是二次根式的有____________ ①：可能为负数（如），被开方数可能为负 ②：可能为负数 ③：，故 ④：可能为负数 ⑤：因式分解为， ③⑤⑥ 变式训练 方法技巧 二次根式应满足两个条件： 1.含有二次根号“”； 2. 被开方数是正数或0. 特别地，形如b(a≥0)的式子也是二次根式，它表示b与的乘积；当b是带分数时，要写成假分数.例如2要写成. 典例2 当满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 【分析】 被开方数 有意义 被开方数 无意义 解：由，得 当时，在实数范围内有意义 教材P2 例题 当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)；(3)； (4)＋(a＋5)0；(5)－； (6). 解：(1)由a－1 ≥ 0，得a ≥ 1.当a ≥ 1 时，在实数范围内有意义. (2)≥ 0 且3－a ≠ 0，得3－a＞0，故a＜3.当a＜3时，在实数范围内有意义. (3)因为不论a为何值，(a＋1)2 ≥ 0 恒成立，所以a取任意实数，在实数范围内都有意义. (4)由得当a ≤ －3 且a ≠ －5 时，＋(a＋5)0在实数范围内有意义. (5)由得当2 ≤ a ≤ 5 时，－在实数范围内有意义. (6)由得当a ≥ －4 且a ≠ 2 时，在实数范围内有意义. 变式训练 巧记口诀 二次根式有意义，被开方数非负数； 二次根式无意义，被开方数是负数； 单个二次根式时，列出不等式求解； 复合形式的式子，列不等式组求解. 当x满足什么条件时， 在实数范围内有意义？呢？ 代数式 x满足的条件 x取任意实数 x取非负数 思考 教材P3 练习 课内练习 1. 要画一个面积为 18 cm2 的长方形，使它的长与宽之比为 3 ∶ 2，它的长、宽各应取多少？ 解：设长为 3x，宽为 2x. 3x × 2x = 18 6x2 = 18 x = 所以 3x = 3，2x = 2 2. 当 a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ；（2） ；（3） . 解：（1）因为 a－1 ≥ 0，所以 a ≥ 1. （2）因为 5－a ≥ 0，所以 a ≤ 5. （3）因为 2a + 1 ≥ 0，所以 a ≥ 3. 当 a = 5 时， 的值是______. 解 基础巩固题 知识点1 二次根式的定义 1.【2024海南陵水期末】若和 都是二次根式，则( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】由题意得，，,异号.由题意得 ， ，， ，故选C. 2.【2025重庆长寿区校级质检】下列式子中，是二次根式的有__________. （填序号即可） （1）；（2）；（3）；（4） ；（5）；（6） . 【解析】 （1） 是二次根式 （2） 不是二次根式 （3） 是二次根式 （4） 的根指数为3 不是二次根式 （5） 是二次根式 （6） ， 不是二次根式 技巧总结 判断一个式子是否为二次根式，要根据两点：一看它是否含有“ ”，二看被开方数是 否为非负数.另外一定要注意当被开方数中含有字母时，要考虑字母的取值范围. 17 知识点2 二次根式有无意义的条件 3.【2024云南昭通期中】当 为任意实数时，下列各式中无意义的是( ) B A. B. C. D. 【解析】选项A，不论为何值，，即 有意义，故本选项不符合 题意;选项B, 不论为何值，，，即 无意义， 故本选项符合题意;选项C，不论为何值，，即 有意义， 故本选项不符合题意;选项D，不论为何值， 都有意义，故本选项不符合题意. 故选B. 18 4.二次根式中，实数 满足的条件是_____________. 或 【解析】要使二次根式有意义，需或解得或. 易错警示 本题要保证被开方数是非负数，需分子、分母同号且分母不能等于0.解答时要注 意分类讨论，这类问题容易忽视被开方数的分母不能为0造成错解. 19 知识点3 列二次根式 5. 跨学科综合【2025山东德州期末】电流通过导体时会产生热量．电流 单位：、导线电阻单位：、通电时间单位：与产生的热量单位： 满足，则电流为_ ____．（结果用含，， 的二次根式表示） 【解析】，，故答案为 ． 20 6.【2025河南驻马店期中】如图，在一个长方形中无重叠地放入面积为和 的两 个正方形，则图中阴影部分的面积可表示为_____________.（用含， 的二次根 式表示） 【解析】由题意得阴影部分的长为，宽为， 阴影部分的面积为 ，故答案为 ． 21 知识点4 求二次根式的值 7.【2025浙江温州校级期中】当时，二次根式 的值是( ) B A.4 B.2 C. D. 【解析】当时， ，故选B. 22 能力提升题 D 2 10.[教材P5习题T3变式]有一个长、宽之比为5∶1的长方形过道，其面积为10 m2，求这个长方形过道的长和宽． 24 25 二次根式 二次根式的概念 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式. 形如的式子有意义的条件 被开方数为非负数 . 课堂小结 教科书第3页练习 第1，2，3题 布置作业 8.如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是(　　) A．x≥2 B．x≠2 C．x≤2 D．x>2 9.当x＝________时，式子＋2取最小值，这个最小值为________． 解：设这个长方形过道的长为5x m，则宽为x m， 由题意，得5x·x＝10，∴x＝±. ∵x>0，∴x＝.∴5x＝5 . 答：这个长方形过道的长和宽分别为5 m和 m. (2)已知b＝＋－a＋7，求a－b的值． 解：由题意得∴ab＝10，∴b＝－a＋7，∴a＋b＝7， ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝72－4×10＝9，∴a－b＝±3. 11.[2025唐山期中](1)若x，y为实数，且y＝＋－2，求的值； 解：由题意得∴x＝3， ∴y＝＋－2＝0＋0－2＝－2， ∴＝＝. $