1.2 第3课时矩形的性质与判定的综合应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 江西专版）

是△ABC的中位线，，EF∥BC.,K是BD的中点.，KF是△BCD的中位线，∴F 参考答案 D的中点：(2)连接AC交BD于O,延长AE交BC于G,连接(G)并延长交AD于 2AB,∴∠MCA=∠A,∠MCB=∠B.'∠A=6G,∴∠MA=50.∠MCB=∠B H,连接CH交BD于M,如图②所示，四边形AECM即为所求：理由：，OA=OC, =90-50=40°..∠EMC=∠MCB+∠B=40°+40°=80..∠ACE=30°. HAOG00/AOH=/CAAOHA0(ASAOH=00A= ∠MEC=∠A+∠ACE=0°+30'=80'，∴.∠MEC=∠EMC,.CE=CM:(2),AB 第一章特殊平行四边形 C,.四边形AGCH是平行四边形，∴.AE∥CM,∠MCA一∠EAC:E,M在菱形 =4,∴CE=CM=号AB=2 EFLAC,∠ACE=30,∴EF=CE=1.在R△CEF 1菱形的性质与判定 ABCD对角线上，EM垂直平分AC,,AE=CE,AM=CM,.∠EAC=∠ECA, ,∠MCA=∠ECA.,"∠EOC=90°=∠MC,OC=OC,.△EOC≌△MOC(ASA), 中，由勾股定理，得FC=√C一EF■2一卫=】 第1课时 菱形的性质 .CE=CM,AE=(CE=CM=AM,.四边形ACM是菱形. 思维拓展 基础过关 13.解：(1)：四边形BCAD是矩形.∴.AD∥BC,∠DAC=90'.,∠F=∠CBF,∠EAF 1.D2.43.104.(/，0)5.解：(1)四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD= AD,∠B=∠D.,AE⊥BC,AF⊥CCD..∠AEB=∠AFD=90.在△ABE和△ADF =90.点G是EF的中点，∴AG-EF=FG.∴∠F=∠GAF.EF=2AB,AB ∠AEB=∠AFD, =AG,∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF,∴.∠ABC=∠AG+ 中，∠B=∠D .△ABE2△ADF(AAS):(2)设菱形ABCD的边长为x,则 ∠CBF=2∠CBF+∠CBF=3∠CBF,∴.射线BF是∠ABC的一条三等分线：(2)30 图①D AB-AD. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 第2课时矩形的判定 AB=CD=x,CF=2,.DF=x-2.△ABE≌△ADF,.BE=DF=x-2.在 基础过关 RL△ABE中，根据勾股定理，得AE+BE=AB,即42+（￥一2）=2，解得x=5, 基础过关 1.A2∠A=90(答案不唯一)3.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AF∥ 菱形ABCD的边长是5.6.C7.解：(1)60°120(2)四边形ABCD是菱形. LB2.A3解：四边形ABCD为菱形，AC⊥BD,OB=7BD=15cm,AC EC,AD=BC.DF=BE,·AD一DF=BC-BE,即AF=C,.四边形AECF是平 AB=DC,ACLBD,.OD=BD=2×6=3,AC=2C在R△CD中，∠ACD 行四边形：(2)由(1)，得四边形AEF是平行四边形..当∠AEC=90时，四边形 2A2在R△O4B中，由勾服定星，得AO=/ABOB=/17-5=8(m),∴.AG AECF是矩形.：AB=6,BC=10,AC⊥AB,∴.AC=BC-AF=/T0-6=8. 弥=30'，∴.DC=20D-6,∴0C=/C-0D=6-3=33.AB=DC=6.AC= =2×8=16(cm),SEam=号AC·BD=X16×30=240(em).4.①②8④ 20C=65.8.45或25 ∠AEC-90',∴S△=2 ABXAC-=2 BCXAE,即号X6×8=-X10AE,·AE 能力提升 5.2②T6解：(1)，∠ABD=0°，E是AD的中点，.BE=DE=AE.:AD=2BC =4.8.4.C5.证明：AB=CD.AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形，AC 9.C10.D11.3012.解：(1)如图①，连接AC,BD交于点O,连接D0并延长，交 ∴.C=DE.AD∥BC,.四边形BCDE为平行四边形.：BE=DE,.四边形BCDE 2OABD-2OD.,OA-OD,.AC=BD,.四边形ABCD是矩形.6.D7.证明： CD于点F,则线段EF即为所求.理由：四边形ABCD为菱形，.点O为AC的中 为菱形：(2)连接CE.易得AE=BC.,“AD∥BC,.四边形ABCE为平行四边形.，AG :AE⊥BE,AD⊥BD,∠E=∠D=90.BD,BE分别平分∠ABC与∠ABP 点，点E为AB的中点，∴.E)为△AC的中位线，∴，E)∥BC,即EF∥BC:(2)如图 ⊥BE.四边形ABCE为菱形，.AB=EC=2.AD=2BC=4.:∠ABD=90..BD ②，连接CEBD于点P,连接AP,则点P即为所求 =√/A厅一AB乎=一正=23.7，解：不正确，菱形的面积等于对角线乘积的一 ·∠ABD=号∠ABC.∠ABE=3∠ABP.'∠ABXC+∠ABP=18O,∠ABD于 半，.S克形= 7×6×8=24 ∠ABE=2(∠ABC+∠ABP)=2×180'=90,即∠EBD=90,·∠E=∠EBD= 能力提升 ∠D=0°，∴.四边形AEBD是矩形. 8C9.B10.511.解：(1)D.E分别是AB.AC的中点，∴.DE是△ABC的中位 能力提升 图① 图 线..DE∥BC,且BC=2DEBE=2DE,EF=BE.,EF=BC.又，EF∥BC.,,四 8.D9,B10.1211.证明：(1)，AF∥BC,∴.∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠DE.又 思维拓展 边形CFE是平行四边形.又BE=FE,四边形BCFE是菱形，(2)四边形议FE :E为AD的中点，AE-DE,△AEF≌△DEC(AAS),.FA=CD.又：D为B I3.解：(1)四边形ABCD是菱形，.AB=AD.,点E,F分别是边AD,AB的中点， 的中点，.BD=CD..FA=BD:(2)FA=BD,AF∥BD,四边形ADBF是平行四 AR=AD. 是菱形.∴∠BEF=∠BCF=120∠BCE=∠BEC=2X×120'=60.∴△EBC是等 边形.，AB=AC,D为C的中点，∴，ADL BC,.∠ADB=gO°，∴.四边形ADBF是 ·AE=zAD,AF=zAB.AE=AE在△ABE和△ADF中，∠A=∠A.△ABE 矩形 AE-AF. 边三角形，BE=BC=CE=4,过点E作BG⊥BC于点G,BG=号BC=2E= 思维拓展 2△ADF(SAS):(2)连接BD.易得∠A=∠C=60',AB=AD,,∴.△ABD是等边三角 B-F=/4-2=2/3，∴.SE=BC·EG=4X23=83 12.解：(1)BD (2)作图： D猜想是真命题：证明：连接AC.在四边形 形.E是AD的中点，.BE⊥AD.·∠AEB=90',∠ABE-30.设AE-Z,则AD 思维拓展 =AB=2x.在R△ABE中，由股定理，得AE十BE=A,即x+(3)?=(2x)”, 12.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD,AD∥BCAE,CF分 解得n=1,=-1(舍去).AD=2x=2,.Sw型m=AD·BE=25. 别是∠BAD,∠BCD的平分线.·∠BAE=∠DAE=7∠BAD,∠BCF=∠DCF ABCD中，已知AB=CD,∠B=∠D=90.,R1△ACD≌R1△CAB(HI).∴，AD=BC, 第2课时菱形的判定 ∴.四边形ABCD是平行四边形.”∠B=∠D=90°，.四边形ABCD是矩形. 基础过关 Z∠BCD∠DAE=∠BCF.'AD∥BC.∴∠DAE-∠AEB.∠CF=∠AEB. 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 .B2.B3证明：：四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,又：EF∥AB,四 ∴.AE∥FC,四边形AECF是平行四边形.，AE=AF,∴四边形AECF是菱形 基础过关 边形ABFE是平行四边形，'BE平分∠ABC..∠ABE=∠EBF.'AD∥BC, (2)连接AC由(1)知∠DAE=∠AEB,∠BAE=∠DAE,,∴∠BAE=∠AEB,.AB 1. 2.C 3.C4.A5.30°6.47.解：(1)如图.线段AD即为所求： .∠AEB=,∠EBF,∴.∠ABE=∠AEB.∴.AB=AE,,四边形ABFE是菱形.4D EB.:∠ABC=60,∴.△ABE是等边三角形，∴.∠BAE=∠AEB=∠ABE=60,由 (2)如图，延长AD到点E,使ED=AD,连接EB,ECCD=BD, 线 5.证明：在ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,AO=AC △ABE的面积等于43，易得AB=4原，：AB=4(负值已舍去)，即AB=AE=EB 3,B0=寸BD-4.AB=5,且3+-宁，AO+B)-AB,△AOB是直角三 =4.由(1)知四边形AEF是菱形，.AE=CE=4,.∠EAC=∠ECA.,∠FAC十 角形，且∠AOB=90,∴.AC⊥BD,.四边形ABCD是菱形.6.B7.证明：AB= ∠ECA-∠AEB-60°，·∠EAC=∠CA=30,,.∠BAC=∠BAE+∠EAC=60°+ AD=ED,.四边形ABEC为平行四边形.：∠CAB=90,.四边形ABEC为矩形 AC,AD是BC边上的中线，∴.AD垂直平分BC.∴.EB=EC,FB=FC,BD=CD.CF 0°=90°，即AC⊥AB.在R1△ABC中，由勾股定理，得AC=/B以C一AF= AE=BC.'AE=2AD,..BC=2AD.8.3 ∥BE..∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.又BD=CD,,△EBD≌△FCD /(4+4)一4=4√5，即平行线AB与DC间的距离是45. 能力提升 (AAS),.BE=FC∴.EB=BF=F=C,∴.四边形BECF是菱形. 8.C 2矩形的性质与判定 ∠ABO=∠DO. 能力提升 第1课时矩形的性质 9.A【变式】21.证明：(1)在△AOB和△DC中，OB=C, ,△AOB2 9,B10,号11.证明：(1)连接BD,交AC于点O.四边形ABCD是平行四边形， 基础过关 ∠AOB=∠DC, .OB=OD.BM∥DN,.∠MO=∠NDO.又：∠BOM=∠DON,∴.△BaM≌ 1C2.20°3解：(1)四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,.∠F=∠BCE.,E是 △D0CASA).AO=D0点E,F分别是AO.DO的中点，∴OE=OA,OF- △DON(ASA),∴BM=DN,.四边形BMDN是平行四边形，.BN∥DM,∠DMN AB的中点，·AE=BE.又∠AEF=∠BEC,·△AEF☑△BEC(AAS):(2)四边 =∠BNM:(2):四边形ACD是平行四边形，，.C∥AD,.∠BCA=∠DAC 形ABCD是矩形，∠D=90.CD=4,∠F=30,∴.CF=2CD=2×4=84.C 2ODOE=OF:(2)OB=0C,OE=OF,四边形BEC下是平行四边形.C= ∠BAC-∠DAC,∠BAC-=∠BCA,AB=BC,四边形ABCD是菱形，ACL 5.4【变式】A6证明：：圆边形ACD是矩形，∴.AC=BD,AD∥BC又BE BD,∴.MN⊥BD.又由(1)知四边形BMDN是平行四边形..四边形BMDN是菱形 AC,,四边形AEBC是平行四边形，.BE=AC,.BE=BD.7.B8.A【变式J24 2OB,EF=2OE∠A=30.∴.OB=。OA=OE,∴.BC=EF,.四边形BCF是 思维拓展 9.D 矩形.1L.解：(1)四边形ABDE是平行四边形，，BD∥AE,BD=AE.,D为BC 12.解：(1)连接AC,BD交于K,连接EK并延长交CD于F,如图①所示，点F即为所 能力提升 的中点，BD=DC,DC=AE,,四边形ADCE是平行四边形.：AB=AC,D为BC 求：理由：四边形ACD是菱形，.K是AC,BD的中点，E是AB的中点，EK 10.C11.C12.解：(1)，∠ACB=90,点M为边AB的中点，，MC=MA=MB= 的中点，·AD⊥BC,即∠ADC=90°，.四边形AXCE是矩形：(2)，四边形ADCE是 第1页（共48页） 第2页（共48页） 第3页（共48页） 矩形..AO=CO=DOEO,DC=AE.∠AOE■0°，AE■4，∴.△AOE是等边三角 思维拓展 (2)四边形BDCF是菱形.理由如下：，△ADE≌△FCE,,.AD=FC.,∠ACB=90, 形，.AO=E0=AE=4,∴.AC=8,,∠ADC=90,∴.AD=AC-DC=45 10.解：(1)如图，过点E作EP⊥CD于点P,Q⊥BC于点Q,则∠QP 点D是AB的中点，.AD=BD=CD=亏AB..BD=FC,又AB∥CF.四边形 思维拓展 =∠EPD=90°.四边形AD为正方形，.∠BCD=90°，∠DCA 12.鲜：(1)1a-/13+6-2+(c-3)2=0,a-13≥0，/-2≥0，(c-3)2≥ ∠CA,·∠QEP=9O,EQ=EP.又，四边形DEFG为矩形，∴.∠DEF BDCF是平行四边形.又：BD=CD,∴.四边形BDCF是菱形.5.C6.47.证明 0,a-√/13=0，b-2=0,-3=0,.a=/13,6=2,c=3.:+2=2+3=13= =9O,∴.∠QEP=∠DEF,.∠QEP-∠FEP=∠DEF-∠FEP,即 ∠QEF=∠PED. (1)ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD,.∠ABC=∠ECB,:CE=DC a,.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，，PM⊥AB,PN⊥AC,,.∠AMP= ∠QEF=∠PED.在△EQF和△EPD中，EQ=EP, '.△EQFA△EPD ∠ABF=∠ECF, ∠ANP=90,.∠BAC=∠AMP=∠ANP=90,.四边形AMPN是矩形，(2)存在 ∠EQF=∠EPD. ,CE=AB,在△ABF和△ECF中，∠AFB=∠EFC,∴△ABF≌△ECF(AAS) 连接AP.:四边形AMPN是矩形，∴.MN=AP.易得当AP⊥BC时，AP最短.此时 (ASA),.EF=ED,,矩形DEFG是正方形：(2)在R1△ABC中，由勾服定理.得AC AB-EC. 5点=AB·AC=号BC·AP,∴2X3=AP,AP=6即MN的长度最 =AB+B=√EAB=22.又CE=E,.AE=CE=2,即E是AC的中点 (2),四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC.AB∥CE,AB=CE,,.四边形ABEC 3 DE⊥AC,点F与点C重合，此时△DG是等腰直角三角形，.四边形DG是正 是平行四边形.：AD=AE,.BC=AE,,四边形ABEC是矩形.8.C9.410.D 小值为 方形，.CG=CE/2,(3)分两种情况进行讨论：①当DE与AD的夹角为30时 11.8512.解：(1)在正方形ABCD中，∠ADC=90°，，GE⊥CD,.∠GC=90, ∴.∠ADC=∠(GEC,.AD∥GE,∴.∠DAG=∠EGH:(2)AH⊥EF,理由如下：连接G 3正方形的性质与判定 ∠EFC=120+②当DE与C的夹角为30时，∠EFC=30°.棕上所述，∠EF℃=120 或30 交EF于点(O.BD为正方形ABCD的对角线..∠ADG=∠CDG=45,又，DG 第1课时正方形的性质 小专题·与正方形有关的常考题型 DG,AD=CD,∴.△AI☑△CDG(SAS),∴.∠DAG=∠G.在正方形ABCD中 基础过关 L解：AE=BF且AE⊥BF.星由如下：四边形ABCD是正方形，，AB-BC,∠AB距 ∠ECF=90°，又，'GE⊥CD,GF⊥BC,.∠GEC=∠GFC=0',,四边形FCEG为矩 1.D2.D3.904.B5.A6.D7.B【变式160°8.29.解：(1)四边形 =∠C=90.又BE=CF,∴.△ABE≌△BF(SAS),'.∠BAE=∠CBF,AE=BF.又 形，∴.OE=(C,∴.∠(OC=∠DCG,.∠DAG=∠C.由(1)得∠DAG=∠GH, ABD,AGFE是正方形，，AB=AD,AE=AG,∠DAB=∠EAG,∠DAB+∠FEAD= ∠BAE+∠AEB=90,∴.∠CBF+∠AEB=90..∠BE=90,.AE⊥BF, .∠EGH=∠OEC,·∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°，∴.∠GHE AE=AG. 【变式】AE=DFDE=CF2.解：(1)四边形ABCD和四边形A:BCO是正方形 =180°-（∠FGH+∠GEH)=180-90'=90°，∴.AH⊥EF ∠EG+∠EAD.即∠EAB-∠GAD.在△EAB和△GAD中.∠EAB=∠GAD,∴△EAB .A0=0),∠AOB=∠A0C1=90°，∠(0AB=∠OC=45.∴.∠A(OE+∠EB=90. 常考题型演练 AB-AD. ∠BOF+∠EOB=90°.∠AOE=∠BOF..△AOE2△BOF(ASA):(2)两个正方形 ≌△GADSAS):(2),△EAB2△GAD,,EB=GD.四边形ABCD是正方形，AB 1.A2.B3D4.A5.46.27.2.58解：(1)如图 (2)AE 重叠部分的面积等于子d,理由如下：”△AOE2△OF,·S5%ME=SmF =3V2..BD⊥AC.AC=BD=√2AB=6,∠DOG=90,OA=OD=5BD=3.AG ∴S=Sa形十+Sa=S2十SE=Sa=SE带=子.【变式1D =3,.(G=0A十AG=6,'.GD=√OD+=3+6=35,.E=35. 能力提升 【变式2】53.解：：四边形ABCD是正方形，.BA=C,∠ADB=∠ABE=∠CBE CF.证明如下：四边形ABCD是矩形，.AD∥BC..∠EAO=∠F(O,∠AEO= 10.B11.A12.解：(1)BM=DN.证明如下：：四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD 5.又BE=BE,△ABE≌△CBE(SAS),∴∠BEA=∠BEC.∠BEA-∠ADE ∠CFO.,EF是AC的垂直平分线，.AO=(CO,.△AOE2△CF(AAS),.AE ∠BCD=∠DCN=90.又'CM=CN,.△BCM≌△DCN(SAS),.BM=DN: 十∠DAF=45+15=∞°，，∠BEC=60.4.证明：在AB上截取BM=BE,连接 CF. 9.解：(1)四边形ABCD是矩形，∴.AB∥CD,.∠DF=∠BE),:点O是对 (2)△BCM≌△DCV,∠BC=6防，.∠DNC=∠BMMC=65.∠DCN=90°，CM ME,四边形ACD是正方形.·∠B=∠DCB=O',AB=BC,·∠BME=∠BE DFO/BE0. =CN,∴∠CNM=45.∠MND=∠DNC-∠CNM=2o. =45,·∠AME=180一∠BME=180°-45=135.：CF是正方形外角∠DCG的平 角线BD的中点..(D=OB在△DXF和△E中，∠DF=∠BOE,.△D)≌ 思维拓展 分线，·∠DCF=45,.∠CF=∠CD+∠DCF=90°+45=135，"∠AEF=90°. OD=OB. 13.解：(1)PE+PF的值是定值.四边形ABCD为正方形，·AO=BO,AC⊥BD, ,.∠AEB+∠CEF=90.又∠AEB+∠AMAE=90,.∠MAE=∠CEF.AB △BOE(AAS,.DF=BE.DF∥BE,四边形BEDF是平行四边形.又DE= BC,BM=BE,.AB-BM=BC-BE,即AM=EC.∴.△AME≌△ECF(ASA),∴.AE ∴∠AOB=90C.∴在等腰直角三角形AOB中，易得AO-BO号a.?PF⊥BD,PE1 DF,.四边形DEBF是菱形：(2)由(I)得四边形DEBF是菱形，∴.(OE=OF,EF⊥BD =EF.【变式】135”5.解：(1)，四边形ABCD是正方形，.BC=CD,∠B=∠CDF =90.又BE=DF,.△CBE≌△CDF(SAS),.CE=CF:(2)GE=BE+GD成立 "OB=OD=2BD=4,.OE=√E一OB=√分一4=3，.EF=2OE=6,∴.菱形 AC,∴.∠PFO=∠PEO=90°，.∠EOF=∠PF)=∠PEO=0',.四边形PFOE为 理由如下：由(1)，得△CBEQ△CDF,,∠BCE■∠DCF,∴，∠BCE+∠ECD=∠DCF 矩形，∴.PE=OF,又：∠PBF=45,易得△PBF是等腰直角三角形，.PF=BF, +∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°.又∠GCE=45,∴.∠GCF=∠ECF-∠GCE DEBF的面积为号BD×EF=之×8X6=24.10.解：1)：四边形ACCD为矩形，点 PE+PF=OF+BF=OB=号a:(2):∠EOF=∠PEO=∠PFO=90.四边形 0°-45'=45，∴.∠GCF=∠GCE,又'CE=CF,GC=GC,.△ECG2△FCGOSAS), D的坐标为(10,8)，'.AD=OC=10,D=AO=8,'矩形A(D沿AE折叠，使点D ..GE-GF.YGF-DF+DG...GE-BE+GD. PFOE为矩形，，PE=OF.又，∠PBF=∠ABO=45,易得△PBF是等腰直角三角 落在边OC上的点F处，AD=AF=1O,DE=EF,在R1△AOF中，由勾股定理，得 小专题二特殊平行四边形中的折叠问题 形，∴PF=那，PE-PF=O-BF=OB=号。 OF=/AF-A予=/10-8=6，..FC=OC-OF=10一6=4.设CE=x,则DE= 1.B2.A3.解：四边形ABCD是正方形，.∠B=0.由折叠的性质，得NE= EF=8一x,在R△CEF中，由每股定理，得EF=C十FC,即(8一x)=x十4，解 AE,设NE=AE=x,则BE=AB一AE=12一x,在R△EBN中，由勾股定理，得BN 第2课时正方形的判定 得x=3,即CE的长为3：(2)CE的长为3，点E的坐标为(10,3). 基础过关 +BE=NE,即+12-=，解得=婴AE=婴S=之AE·BN 第二章一元二次方程 1.A2.AC⊥BD3.A4.证明：四边形ABCD是正方形..AB=BC=CD=DA, 455.解：(1)由折叠的性质，得△BD≌△BDE,∴.∠DBC 1认识一元二次方程 ∠A=∠B=∠C=∠D=90.又AA'=BB=CC=D,∴DA=A'B=BC=CD 易得△AA'D'≌△BBA'≌△CCB'≌△DD'C‘(SAS)..DA'=A'B'=BC=CD', =∠DBE四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,.∠DBC=∠FDB,·∠DBF 第1课时 一元二次方程 ,四边形A'B'C'D是菱形.由全等知∠ADA'=∠BA'B'.又：∠ADA'十∠AA'D= ∠FIDB,∴.DF=BF,∴.△BDF是等腰三角形：(2)①四边形BFDG是菱形.理由如下 基础过关 90°，.∠AAD+∠BA'B=90.∴.∠DAB'=180°-（∠AA'D'+∠BA'B)=90, ,四边形ABCD是矩形，∴.FD∥BG.又：DG∥BE,,四边形BFDG是平行四边形. 1.B2.D3.A4.一2y一3=05.解：(1)由原方程得到2r一r-1=0,二次项系 四边形ABCD'是正方形，5.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AO=(OC, DF=BF,.四边形BFDG是菱形：②在R:△ABD中，由勾股定理，得BD= 数为2，一次项系数为一1，常数项为一1：(2)由原方程得到x2一2x十3=0，二次项系数 即点O是AC的中点.，△ACE是等边三角形，.EOAC,即BD⊥AC,∴.四边形 /AB+AD■/6+8=10.四边形BFDG是菱形，.GF⊥BD.FG=2FO,OB 为1，一次项系数为一2，常数项为3.6.B7.301(1+x)尸=5008.解：根据题意列方 ABCD是菱形.，'△ACE是等边三角形，.∠EAC=60,,∠AEO=30°.，∠AED- 2BD=友设DF=BF=x,期AF=AD-DF=8一工在R△ABF中，由勾股定理，得 程，得x(x十4)=60，化成一般形式为x十4z一60=0.9.B 2∠EAD,.∠EAD=15°，.∠DAO=∠EAO-∠EAD=45.四边形ABCD是菱 能力提升 形，∠BAD=2∠DAO=90,.四边形ABCD是正方形.6.C A+AF-BF产，即6+(8-x)-2,解得x-要BF-克在R△F0B中，由勾 10.C1L,B2.(x一2)2+(x一4)产=x213.解：小南同学的解题过程有错.正确的 能力提升 胶定理，得0-BPO丽-√()--5∴FG-2P0-号 解题过程如下：根据题意，得 0十气2解得：或一·云m3甲加的 7.D8.2反9.解：(1)四边形BPCO为平行四边形.理由如下：四边形ABCD为平 m-1≠0， 21 行四边形0C=0M=zAC,OB=OD-空BD.以点B.C为圆心，空AC,亨BD长 第一章整合与提升 值为-3.14.(x-D号r(-1)-1)=28-x=28子-x-56 为半径画弧，两弧交于点P,OB=CP,BP=(OC,.四边形BP)为平行四边形： 高频考点突破 =01=1.56 (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO为正方形.：四边形BP)是正方形， 1.B2.A3.(33)4.解：(1)C℉∥AB,∠CFE-∠DAE.,E为CD的中点， 思维拓展 ,.以O=CO,∠BC-90”,即AC⊥BD.,四边形ABCD是平行四边形，，，AC=2CO, DA=下F. 15.解：(1)(90-2.r)(70一2x)(90-2.x)70一2x)=1700(2)用到了数形结合的 BD=2B),,AC=BD,.当□ABCD的对角线满足AC⊥BD,AC=BD时，四边形 :DE=CE.在△ADE和△FCE中，∠AED=∠FEC,△ADE≌△FCE(AAS): 数学思想：(3)化为一般形式为x2一80r十1150■0：是一元二次方程：二次项系数为1， BP()为正方形 DE=CE. 一次项系数为一80，常数项为1150， 第4页（共48页） 第5页（共48页） 第6页（共48页）第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 ②基础过关逐点击破 7.如图，已知在△ABC中，∠CAB=90° (1)请在图中作出BC边上的中线AD;(尺 知识点矩形的性质与判定的综合应用 规作图，保留作图痕迹，不写作法)》 1.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的 (2)求证：BC=2AD. 性质是 ( A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 2.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四 边形EFGH,要使四边形EFGH成为矩形， 应添加的条件是 A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB-DC (第2题图) (第3题图) 3.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点 O,若△ABO的面积为2，则矩形ABCD的 ?易错点动点问题中未能准确求出最值 面积为 ) 而致错 A.4 B.6 C.8 D.10 8.(2023·四川雅安)如图，在 4.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点 △ABC中，∠C=90°，AC=BC=6, O,且OA=OD,∠OAD=55°，则∠OCD的度数 P为边AB上一动点，作PD 为 ( BC于点D,PE⊥AC于点E,则 A.35° B.40° C.45° D.509 DE的最小值为 可能力提升。整合运用 9.如图，在矩形ABCD中，AC交BD于点O, ∠AOD=60°，OE⊥AC.若AD=√3，则OE (第4题图) (第5题图) 的长为 5.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E,且 A.1 B.2 C.3 D.4 ∠ADE:∠EDC=2:1,则∠BDE的度数 是 6.如图，在矩形ABCD中， BC=20cm,点P和点Q (第9题图) (变式题图) 分别从点B和点D出发，B 【变式】如图，在矩形ABCD中，AC与BD相 按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P 交于点O,∠AOB=60°，E是AD边上一点， 和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s,则 且∠AOE:∠DOE=3:1.若DE=1cm,则 最快s后，四边形ABPQ成为矩形 AE- cm. 11名师测控·数学九年级上册配BSD版 10.(2023·新疆)如图，AD和BC相交于点 思维拓展。学科素养 O,∠ABO=∠DCO=90°，OB=OC,点E, 12.已知△ABC的三边BC=a,AC=b,AB= F分别是AO,DO的中点. (1)求证：OE=OF; c,且满足|a-√13十√b-2+(c-3)2=0. (2)当∠A=30°时，求证：四边形BECF是 如图，P为BC边上一动点，PM⊥AB于点 矩形. M,PN⊥AC于点N. (1)求证：四边形AMPN是矩形； (2)在点P的运动过程中，MN的长度是否 存在最小值？若存在，请求出最小值： 若不存在，请说明理由 11.(2023·九江修水县期中)如图，在△ABC 中，AB=AC,D为BC的中点，四边形 ABDE是平行四边形，AC,DE相交于 点O. (1)求证：四边形ADCE是矩形： (2)若∠AOE=60°，AE=4,求AD的长 第一章特殊平行四边形12