2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷

2025学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学试卷 2026.1 (时间100分钟测分150分) 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题：答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上 作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效： 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出 证明或计算的主要步骤： 3.填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效， 一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁， 其中互为相似形的是 甲 乙 丙 (A)甲和乙： (B)甲和丙； (C)甲和丁： (D)丙和丁. 解析：甲和丙相似： 故选：B. 2.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AB=5,BC=3,那么∠B的余切值为 (D) 3 解析：如图所示：因为∠C=90°，AB=5,BC=3,所以AC=4 所以cotB= BC 3 AC4 故选：C 3.已知ā=3C,b=-2元，且c是非零向量.那么下列说法中不正确的是 ()b11: (B)a//B; o同=5 (D)a=36. 解析：a=3记，6=-22→6=-2a→a=-36 3 故选：D. 4.已知点A(-2,m)、B(2,m)、C(4,m+1)在同一个函数的图像上，这个函数图像 可能是 (A) (B) (C) (D) 解析：当x=2时，y=m,当x=4,y=m+1; 故选：B. 5.已知抛物线y=ar2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，那么下列各式中成立的是 (A)a>0: (B)c<0: (C)b<0: (①)a+b+c=0. 解析：由图可知：a<0,c<0,- >0三b>0 2a 当x=1时，a+b+c=0 故选：D. 6.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，DF⊥DE,DE与 对角线AC交于点L,EF与对角线AC交于点G,与边DC交于点H.则下列结论不 一定成立的是 (A)△DFH~△GAE: (B)△ADE~△DCA: (C)△DAI~△GEI; (D)△DFH~△GCH. (第5题图) (第6题图) 解析：不一定成立的是△ADE~△DCA: 故选：B. 二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 1.如果号子那么2的值为人 3a-b 架折：因为号号 所以a=3k,b=2k 所以、2a 2×3k6 3a-b3×3k-2k=7 8.计算：sin45°.tan60°= 解析：sin45an60=5x5-6 2 2 9.如果两个相似三角形对应角平分线的比是1：4，那么它们的周长之比是 解析：两个相似三角形对应角平分线的比是1：4，那么它们的周长之比是1：4： 10.将抛物线y=x2向右平移3个单位，向下平移1个单位，平移后的抛物线的表 达式是▲一 解析：由题知：y=(x-3)2-1 11.已知A(-l,y)、B(4,y2)是抛物线y=x2-2x+c上的两点，那么片一▲y2 (填“>”、“=”或“<”) 解析：对称轴为：x=1 开口向上，横坐标离对称轴越远，函数值越大； 所以y<y2 2.如图，线段4D5BC相胶于点0，已知9=已知80=2，当0C○ ▲时，AB/ICD. 解折：当8是-时，B/c0: BC=4→BC=8→0C=6 21 13.如图，R1△ABC中，∠CAB=90°，AC=3,AB=4,AD为斜边BC上的中线，则 coS∠CAD的值为_一▲一· 解析：因为∠CAB=90°，AC=3,AB=4,AD为斜边BC上的中线 所以HD=CD=80-号 所以∠CAD=∠C 所以cOS∠CAD 3-5 14.如图，顾客站在某商场内的自动扶梯上从一楼移动15.6米到二楼，已知商场第 一层楼的高度大约为6米，那么此自动扶梯斜坡的坡比是▲ “楼 吴 一楼 第12题图 第13题图 第14题图 解析：V15.6-6=7 5 6 55 所以1=元=6×7元 =1:2.4 5 15.如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米) 的函数解析式为y=- x2+bx+c,如果小明铅球出手的高度为1.5米，成绩为6米， 那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为 米 解析：由题知：y=-。x2+bx+c过(0,1.5)，(6,0) 8 1.5=c b= 带入得： 2 1 0=- ×62+6b+c 8 C= 2 ,13 所以y=-。x+X+2 8 2 当x=2时，y=2 所以铅球在运行中的高度最高大约为2米： 16.某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'处释 放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为B的地方OA”.在某次秋千释放的过程中， 已知cos tan=,且两侧位置的高度差W为0.6米，根据信息可求出秋干 4 OA的长度为 米。 O OA'--“M -OA” 0> 地面 第15题图 第16题图 解析：由题知：OA=OA=OA” 3-4 因为tanB 所以oA-号 =OA'cosa=OA,ON =O4'cos -fo 所oN-0M=号04-01=06=0A=2 17,我们将宽和长之比为5-（约为0.618）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过 2 折纸获得.如图1所示，将长方形纸片第一次沿MC折叠，使点N和点B重合，展 开后再将纸片沿AG对折叠，使点M和点B重合：如图2所示，展开后联结AB, 再将纸片第三次沿AF折叠，使得AB落在长方形纸片的边上且点B落在点D处， 再次展开，过点D作MB的垂线，垂足为点E.请在阅读理解的基础上写出图中的 “黄金矩形”：一▲一· 解析：矩形BCDE,矩形MNDE 18如图，在△1BC中，MB=AC=5 C-号将△MBC绕点A逆时针能转得到 △ADE,点B、C分别与点D、E对应，边AD、DE分别与原三角形底边BC交 于点F、G.当△DFG是等腰三角形时，FG的长为▲ M (第17题图1) (第17题图2) (第18题图) 解析：因为AB=AC=5,cosC= 5 所以BC=8 1°当DF=GF时： B F G D 由题知：AB‖DE,AE‖BC 所以AF=BF 所以cosB= BH 4 2 4 B3BF5→BF= 25 8 所以AF=25一DF=5→FG=5 8 8 8 2°当DF=GD时： 由题知：∠B=∠C=∠D=∠E 因为∠BFA=∠DFG 所以△BFA~△DFG 因为DF=GD 所以BF=AB=5 设FG=x,则CG=3-x 所以HC=3-x→AH=2+x 易知：△AEH~△HCG,△ABF兰△EAH,△FDG=△GCH 所以AF=2+x 所以4=4→，5=2+x HC HG3-x x 解得：x=√10-2 3°当FG=GD时，不符： 综上：FG=5或0-2 8 三.（本大题共7题，满分78分） 19.(本题满分10分，第(1)小题6分，第(2)小题4分) (第19题图) 如图，△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上的点，已知BD=2CD, 且四边形AEDF是平行四边形.设BA=a,BC=b, (1)用向量d、乃分别表示下列向量：BD=一：AC=_；EF=: (2)联结BE交DF于点G,在图中求作BG分别在a、b方向上的分向量 (不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量) 解析：(1)因为BD=2CD,BA=a,BC= 所以BD=26,AC=AB+BC=-+6 因为四边形AEDF是平行四边形 所以F=厨+不=号+兮丽=引-列+-动=6 (2)如图所示： BM,BH为所求： 20.(本题满分10分，第(1)题3分，第(2)题6分，第(3)题1分) 已知二次函数y=x2+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所 示 -4 -3 2 -1 0 1 2 0 m 4.5 2.5 (1)求m的值和二次函数的解析式： (2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原 点，请直接写出三种平移的方式： (3)选择(2)中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的. 解析：（①）由表可知：对称轴x=4+2=-1,顶点(-1,45) 22025学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 初三数学试卷 2026.1 (时间100分钟湖分150分) 考生注庶： 1,本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位贸上作答， 在草筋纸、本试卷上答题一绅无效1 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位？上写出证明或计 碎的主要步嘛； 3.填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效 一。选择题（本大题共6题，年题4分，满分24分) 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴彤部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为 相似形的是 甲 丙 丁 (A)甲和乙 (B)甲和丙； (C)甲和丁； (D)丙和丁. 2.在RtAABC中，已知∠C=909AB=5,BC-3,那么∠B的余切值为 N含 (B) (D) 3.已知a=3c,b=一2元，且：是非琴向量.那么下列说法中不正确的是 (A)Blet (B)a∥b; (c): (D)a=26. 2 4.已知点4（一2，m)、B(2,m)、C(4,m+1)在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是 (A) (B) (C) (D) 5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，那么下列各式中成立的是 (A)a>0; (B)c<0: (C)b<0: (D)a+b+c=0. 6如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，DF⊥DE,DE与对角线 AC交于点I,EF与对角线AC交于点G,与边DC交于点H.则下列结论不一定成立的是 徐汇区初三数学 本卷共6页第1页 (A)△DFHN△GAE, (B)△ADE~△DCA: (C)△DAM~△GE; (D)△DFH~△GCH. (第$期图) (第6题图) 二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分) 7如果号=那么 2a 的值为▲一 3a-b1 8.计算：sin45°tan60°=▲. 9.如果两个相似三角形对应角平分线的比是1：4，那么它们的周长之比是▲一 10.将抛物线y=x2向右平移3个单位，向下平移1个单位，平移后的抛物线的表达式是▲ 11.已知A(-1,)、B(4,2)是抛物线y=x2-2x+c上的两点，那么片▲y2(填“>”、“=” 或“<”). 12.如图，线段AD与BC相交于点O,己知A0=,已知B0=2,当OC=▲时，AB∥CD. AD 4 13.如图，RtA ABC中，∠CAB=90%,AC=3,AB-4,AD为斜边BC上的中线，则cos∠CAD 的值为▲一， 14.如图，顾客站在某商场内的自动扶梯上从一楼移动15.6米到二楼，已知商场第一层楼的 高度大约为6米，那么此自动扶梯斜坡的坡比是▲ 二投 0 6米 D 第12题图 (第13恩图) 第14题图 15.如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式 为y=-。x2+bx+c,如果小明铅球出手的高度为15米，成缵为6米，那么可以推断铅球在 P 运行中的高度最高大约为▲米 徐汇区初三数学本卷共6页第2页 16某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与悠此力向火为a的位显O处释放，秋千物动 到另一侧与竖直方向夹角为B的地方O”.在莱次秋千释放的过程中，已知cosa二立' 3 且两侧位罡的在度效MN为0.6米，根据俏心可求秋千OA的长度为▲米， 米) 地面 第15题 CX(米) 16题图) 17我们将宽和长之比为5-」 （约为0.618)的炬形称为“费金矩形”，它可以通过折纸获得. 如图1所示、将长方形纸片第一次沿MC折叠，使点N和点B重合，展开后再将纸片沿AG 对折叠，使点M和点B里合：如图2所示，展开后联结AB,再将纸片第三次沿F折叠，使 得AB落在长方形纸片的边上且点B落在点D处，再次展开，过点D作MB的垂线，垂足为 点E.请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：▲· 18.如图，在△MBC中，MB=AC5,cosC-亏将△MBC绕点A边时针旋转得到△MDE,点A, C分别与点D、E对应，边AD、DE分别与原三角形底边BC交于点F、G.当△DFG是等腰 三角形时，FG的长为▲， (第17题图1) (第17题图2) (第18题图) 三。 (本大题共7题，满分78分) 19。 (本题满分10分，第(1)小题6分，第(2)小题4分) 如图，△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上的点，已知BD-2CD,且四边形 y AEDF是平行四边形.设BA=a,BC=b. (1)用向量a、b分别表示下列向量： BD= AC= EF= 第19题图) (2)联结BE交DF于点G,在图中求作BG分别在a、方向上的分向量 (不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量) 徐汇区初三数学本卷共6页第3页 20.(本题满分10分，第（1)题3分，第（2)题6分，第(3)题1分) 已知二次函数y=ax2+bx+c（a中0)中，函数y与自变趾x的都分对应似1下表所示， 水…-4-3-2-1012… …0n44.542.50… (1)求m的攸和二次函数的解析式： (2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，1果衔抛物线经过原点， 请直按写出三种平移的方式， (3)进择(2)中一种平移方式说明你是如何狄得解题思路的. 21、(本题满分10分，第（1)题满分5分，第（2)题湖分5分) 如图，在梯形ABCD中，ABCD,∠ADC-90°，对角线AC与BD相交于点O.已知AB=2, AD-8,BC=10. B (1)求△AOB与△COD的面积之比： (2)求∠DBC的正弦值 D 22.（本题满分10分，第（1)题满分4分，第(2)题满分6分) (第21题图) 某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1）， 遮阳橱AB长为39m,其与墙面的夹角为a(cosx=,靠墙端离地面商MD为5m 5 (1)求出遮阳糊前端B到墙面AD的距离： (2)到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量为了加强遮阳效果，要在遮阳棚 前端加装一块挡板BC,示意图如图2所示.已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面 夹角)为70°，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度DF至少要2.6m.根据以 上信息，请你计算档板BC至少要多长才能确保遮阳效果！ (结果精确到0.01m,参考数据：sin70-0.940,c0s700.342,an702.747.) H B B a 太阳光线 0 D E F D (第22题图1) (第22题图2) 徐汇区初三数学 本卷共6页第4页 23.(本题满分12分，第(1)题5分，第(2)题7分) 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，CD⊥BD,BD2=AD·BC,点H在边BD上， 且∠DBC=∠C+∠BWH、 (1)求证：A=AD: (2)过点B作射线BE交边CD于点P交AD的延长线于点E.若∠DBE=∠ABD, 求证：BD.DE=F.CD (第23题图) 24.(本题满分12分，第(1)题3分，第(2)题5分，第（3)题4分) 如图，抛物线y=x+bx+c与x轴交于小、B两点，与y轴交于点C.已知4-2,0)、 2 D(4,可 (1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标： (2)将抛物线向上平移，设点D的对应点为点E,射线BE交线段AD于点E ①如果AD恰好平分∠CAE,求平移之后的抛物线的表达式； ②如果△DEF与△ABD相似，求平移的距离 (第24题图) 徐汇区初三数学， 本卷共6页第5页 25.(本题满分14分，第(1)题4分，第(2)M9分，第(3)题5分) 如图，在△MBC中，AC=4N反，BC6,∠C4的°，点E在边AB上且2BB,点D是 边BC上的动点，以D为直角；DB为搬在其右侧作妙腰座布三角形DF,射线EP与边 AC交于点P (1)当EFBC时，求△DF的而积1 (2)当点F落在△ABC内部（不含边界）时，求BD的取值范阴： (3)联纯CF,如果△DC是直角三角形，锵接写出DP的长， A D (第25题图) (备用图) A E B C (备用图) 徐汇区 %本卷共6页第6页