专题04菱形寒假预习核心讲义(知识梳理+常考题型精析+强化题型突破)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题04菱形寒假预习核心讲义 一、重点 1.菱形定义：平行四边形 + 一组邻边相等（两个条件缺一）。 2.核心性质：四条边相等；对角线互相垂直且平分一组对角。 3.判定方法：① 邻边相等的平行四边形；② 四条边都相等的四边形；③ 对角线垂直的平行四边形。 4.面积公式：底 × 高 或 ×对角线 1× 对角线 2（常用后者）。 二、难点 1.区分性质（已知菱形推结论）和判定（证四边形是菱形）的用法。 2.利用对角线垂直的性质，结合勾股定理计算边长、对角线长度。 3.不混淆菱形与平行四边形的性质（菱形特有：四边相等、对角线垂直）。 必备知识 点梳理 1.菱形的定义 2.菱形的性质(重点) 3.菱形的判定定理(重点+难点) 4.菱形的面积公式(高频考点) 5.核心易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.利用菱形的性质求角度问题 2.利用菱形的性质求线段长度 3.利用菱形的性质求面积问题 4.利用菱形的性质证明 5.补充条件使四边形是菱形 6.证明四边形是菱形 7.根据菱形的性质与判定求角度 8.根据菱形的性质与判定求线段长 9.根据菱形的性质与判定求面积 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.菱形的定义】 1.文字表述：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.核心条件（缺一不可） 前提：四边形是平行四边形； 附加：有一组邻边相等。 3.几何语言 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB = AD∴ 四边形 ABCD 是菱形 4.菱形与平行四边形的关系 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，同时拥有自身特有的性质。菱形⊂平行四边形 【知识点02.菱形的性质(重点)】 性质 类别 平行四边形共有性质 菱形特有性质 几何语言（以菱形 ABCD 为例，对角线交于 O） 边 对边平行且相等 四条边都相等 ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB=BC=CD=DA 角 对角相等；邻角互补 无 ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ ∠BAD=∠BCD，∠ABC+∠BAD=180° 对角线 互相平分 1. 互相垂直 2. 每条对角线平分一组对角 1.∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD 2.∵ 四边形ABCD是菱形∴ AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC 和∠ADC 对称性 中心对称图形（对称中心为对角线交点） 轴对称图形（2 条对称轴，即对角线所在直线） - 【知识点03.菱形的判定定理(重点+难点)】 判定菱形的方法分为基于平行四边形和基于任意四边形两类： 1.基于平行四边形（先证平行四边形，再补条件） 判定方法 1（定义法）：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=AD ∴ 四边形 ABCD 是菱形 判定方法 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD ∴ 四边形 ABCD 是菱形 2.基于任意四边形（直接判定） 判定方法 3：四条边都相等的四边形是菱形； 几何语言：∵ AB=BC=CD=DA ∴ 四边形 ABCD 是菱形 判定方法 4：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； 几何语言：∵ OA=OC，OB=OD，AC⊥BD ∴ 四边形 ABCD 是菱形 【知识点04.菱形的面积公式(高频考点)】 1.通用公式（同平行四边形） 面积 = 底 × 高 2.特殊公式（利用对角线，优先使用） 面积 = 对角线1对角线2 推导依据：菱形对角线互相垂直，将菱形分成 4 个全等的直角三角形，总面积为 4 个直角三角形面积之和。 【知识点05.核心易错点总结】 1.混淆判定条件：误将 “对角线互相垂直的四边形是菱形”，忽略前提 “平行四边形”； 2.面积计算失误：使用对角线公式时忘记乘以；. 3.对称性误区：误认为菱形有 4 条对称轴，实际只有 2 条（对角线所在直线）； 4.性质与判定混淆：性质是 “已知菱形，得结论”；判定是 “满足条件，证菱形”。 【题型1.利用菱形的性质求角度问题】 【典例】如图，在菱形中，若，则度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是关键，根据菱形的对角线相互垂直且每条对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 根据菱形的性质证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵菱形 ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质（对角线平分内角、各边相等）、直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理），解题的关键是通过构造将待求式转化为，再利用点M位于边上时取等号确定的最小值，进而求出的最小值． 由菱形性质得；过M作，在中，由角性质得，故；过A作，在中，由得，故，再用勾股定理算得；又（点M位于边上时取等号），因此，即的最小值为． 【详解】解：如图，过点A作于T，过点M作于H． ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又由知， ∴， ∴， （点M位于边上时取等号） ， ， ∴的最小值为， 故答案为． 【题型2.利用菱形的性质求线段长度】 【典例】如图，四边形是菱形，已知，则菱形的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的四条边相等解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长等于 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查在直角三角形中，斜边中线等于斜边一半，还综合利用了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和直角三角形性质是解题的关键．根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，为中点，从而求得的长． 【详解】解：∵菱形的周长等于24， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵H为边中点， ∴在中，为斜边上的中线， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练2】如图，在中，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的性质与菱形的性质，掌握这些性质是关键；由平移知，四边形为菱形，则，由即可求解． 【详解】解：由平移知， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 【题型3.利用菱形的性质求面积问题】 【典例】已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的面积计算，准确记住公式并正确计算是解题的关键．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．根据菱形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：菱形的面积． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得． 根据菱形的性质得为的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得的长度，最后由菱形的面积公式求得面积． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则 【答案】4.8 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质和勾股定理得出，进而利用菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】下列性质中，菱形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】C 【分析】此题重点考查菱形的性质，正确理解平行四边形的性质定理及菱形的性质定理是解题的关键．由菱形的性质可知，菱形的四边相等、对角线互相垂直、对角相等，但菱形的对角线不一定相等，即可得出答案． 【详解】解：根据菱形的性质可知，菱形的四边相等、对角线互相垂直、对角相等，但菱形的对角线不一定相等， 故A不符合题意，B不符合题意，D不符合题意，C符合题意， 故选：C． 【跟踪专练1】已知菱形中对角线、相交于点，添加条件 可使菱形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：； 故添加的条件为：或． 故答案为：（不唯一）． 【跟踪专练2】矩形、菱形都一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．邻边相等 C．对角线相等 D．四个角都是直角 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟知菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．根据菱形及矩形的性质解答即可． 【详解】解： A、菱形对角线互相平分，矩形的对角线互相平分，所以选项正确，符合题意； B、菱形的四条边都相等，矩形的四条边不一定相等，所以选项错误，不符合题意； C、菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线相等，所以选项错误，不符合题意； D、矩形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，所以选项错误，不符合题意； 故选：A． 【题型5.补充条件使四边形是菱形】 【典例】如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．先证明四边形是平行四边形，结合平分，可得，可得，从而可得结论. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当平分时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D符合题意； 而或或都不能得到四边形是菱形， 故选：D． 【跟踪专练2】已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】四边相等的四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．无法判定 【答案】B【分析】本题考查的是菱形的判定，根据菱形的判定方法可得答案. 【详解】解：四边相等的四边形一定是菱形. 故选：B 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，根据甲、乙的方法分别画出图形，再证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：根据甲的作法作出图形，如下图所示．   四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 故甲的作法正确． 根据乙的作法作出图形，如下图所示．     ， ，． 平分，平分 ，， ，， ， ， ，且， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． 故乙的作法正确． 故选：C． 【题型7.根据菱形的性质与判定求角度】 【典例】如图，在菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（    ）． A．20° B．25° C．65° D．75° 【答案】C 【分析】根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可． 【详解】解：在菱形中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是根据菱形的邻角互补进行解答． 【跟踪专练1】如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出为等边三角形，利用菱形性质得到即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与相等的角． 【详解】解：四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 ，，，， ， ， ，故①符合题意， ， ，故②符合题意， ， ， 又，， ， ， ∴， ，故③符合题意， 故选：D． 【题型8.根据菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，则重叠部分为平行四边形，由于高都是所以这个平行四边是菱形，进而计算其边长可得周长． 【详解】解：∵，， ∴四边形平行四边形， ∴， 过点A作于点E，作于点F， ∴， ∴，, ∴平行四边是菱形， ∴重合部分四边形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解决此题的关键是掌握对菱形的性质和判定． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 由矩形的性质可得，通过证明四边形是菱形，进行列式，可求解四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：8． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求解，角平分线的意义，等角对等边，根据菱形的性质与判定求线段长，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明四边形是菱形，根据菱形的性质可得出，，，再利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型9.根据菱形的性质与判定求面积】 【典例】如图，在平行四边形中，平分交于点O，则的面积是 ．    【答案】12 【分析】由平行四边形等对边平行得，由角平分线的性质得，即可知，从而得，由菱形的对角线互相垂直且平分得，进而解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形， 四边形是菱形，且、， ， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【详解】解：根据作图，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】.“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，根据蓝丝带宽为得，再根据等腰直角三角形勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 蓝丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：， 故答案为：． 1．如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则 ． 【答案】66 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是 把你认为正确的结论的序号都填上． 【答案】 【分析】此题考查轴对称以及菱形的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．根据轴对称的基本性质可知． 【详解】解：因为是四边形的对称轴，， 则，，， 则， ， ， 所以四边形是菱形． 根据菱形的性质，可以得出以下结论： ，故正确； ，故正确； ，故错误； ，故正确． 故正确的有：． 3．如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，． 在和中， ， ． ， ， ． ，， ， ． 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，关键是由直角三角形的性质求出，的长． 过作轴于，由点的坐标得到，由四边形是菱形，得到，，推出，得到，由勾股定理求出，即可得到的坐标． 【详解】解：过作轴于， ∵点的坐标是， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的坐标为． 故选：B． 5．如图，在面积为96的菱形中，对角线，点是线段上的动点，于，于．则（   ） A．9.6 B．4.8 C．19.2 D．5.6 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及面积公式．连接交于点，延长交于点，根据菱形面积公式可得，由菱形的性质结合勾股定理可得，根据菱形的对称性得，则，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，延长交于点， 在面积为96的菱形中，对角线， ， ， 由菱形的性质可知：，，， ， 根据菱形的对称性得：， ， 根据菱形的面积公式：， ， 解得：， 即． 故选：A． 6．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是 ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先判定出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 7．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 【答案】C 【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可． 【详解】解：由题意可得：平移过程中， ，，， ∴四边形是平行四边形， 刚开始平移时，， ∴如图，当平移至时，， ∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，， ∴平移距离为：， 即平移个单位长度后是矩形，    继续平移，当与共线时， 此时，即四边形是菱形， 此时的总平移距离为， 即再平移个单位长度后是菱形；      综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形， 故选C． 【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形，综合利用了特殊四边形的判定和性质，掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键． 8．如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，求的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，求出的长是解题的关键．由折叠的性质可得，，，可证四边形是菱形，在中，利用勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，连接，， 折叠矩形纸片，使点落在点处， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B 的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． （1） 如图2， 当点与点D 重合时， 四边形是 ． （2） 如图3， 当时， 与的数量关系是 ． 【答案】 菱形 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用直角三角形及勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明如下： 设与交于点，如图， 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形． （2）当时，始终有与对角线平行． 理由：四边形是矩形， ，， ， 设，则， 由折叠得：，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等，涉及知识点多，综合性强，难度较大，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 解答题 10．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接，过点A作，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请添加一个条件，使四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定及直角三角形斜边上的中线性质． （1）证明，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）添加，先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：添加， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． 11．如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若菱形的面积为48，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，求得，得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的面积公式得，根据菱形的性质得，，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形的面积为48， ∴，，， ∴， 矩形的面积． 12．如图，已知菱形的对角线交于点是对角线所在直线上的两点，且，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了菱形的判定和性质和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据菱形的性质可得，进而可得，即得四边形是菱形，再证明即可得解． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又， ， 菱形是正方形． 13．如图，菱形的对角线相交于点，于点，若该菱形的周长为，面积为，求，，，的长． 【答案】， ，， 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，根据菱形的四条边都相等可知，根据菱形的面积公式可以求出，利用勾股定理可以求出，从而可得：，利用勾股定理即可求出的长度，根据菱形的面积公式求出的长度，过点作，根据三角形的三条高线交于一点，可知经过点，根据菱形的性质可知，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的长度． 【详解】解：菱形的周长为， ， 菱形的面积是， ， ， ； ， ， ， ， ， ； 菱形的面积是， ， ， ； 如下图所示，过点作， 四边形是菱形， ，平分， 、是的两条高， 经过点 ， ， ， 又， ， ， ． 14．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）证明可得，即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而得到四边形是菱形，再由勾股定理求出，再由菱形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04菱形寒假预习核心讲义 一、重点 1.菱形定义：平行四边形 + 一组邻边相等（两个条件缺一）。 2.核心性质：四条边相等；对角线互相垂直且平分一组对角。 3.判定方法：① 邻边相等的平行四边形；② 四条边都相等的四边形；③ 对角线垂直的平行四边形。 4.面积公式：底 × 高 或 ×对角线 1× 对角线 2（常用后者）。 二、难点 1.区分性质（已知菱形推结论）和判定（证四边形是菱形）的用法。 2.利用对角线垂直的性质，结合勾股定理计算边长、对角线长度。 3.不混淆菱形与平行四边形的性质（菱形特有：四边相等、对角线垂直）。 必备知识 点梳理 1.菱形的定义 2.菱形的性质(重点) 3.菱形的判定定理(重点+难点) 4.菱形的面积公式(高频考点) 5.核心易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.利用菱形的性质求角度问题 2.利用菱形的性质求线段长度 3.利用菱形的性质求面积问题 4.利用菱形的性质证明 5.补充条件使四边形是菱形 6.证明四边形是菱形 7.根据菱形的性质与判定求角度 8.根据菱形的性质与判定求线段长 9.根据菱形的性质与判定求面积 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.菱形的定义】 1.文字表述：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.核心条件（缺一不可） 前提：四边形是平行四边形； 附加：有一组邻边相等。 3.几何语言 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB = AD∴ 四边形 ABCD 是菱形 4.菱形与平行四边形的关系 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，同时拥有自身特有的性质。菱形⊂平行四边形 【知识点02.菱形的性质(重点)】 性质 类别 平行四边形共有性质 菱形特有性质 几何语言（以菱形 ABCD 为例，对角线交于 O） 边 对边平行且相等 四条边都相等 ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ AB=BC=CD=DA 角 对角相等；邻角互补 无 ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ ∠BAD=∠BCD，∠ABC+∠BAD=180° 对角线 互相平分 1. 互相垂直 2. 每条对角线平分一组对角 1.∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD 2.∵ 四边形ABCD是菱形∴ AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC 和∠ADC 对称性 中心对称图形（对称中心为对角线交点） 轴对称图形（2 条对称轴，即对角线所在直线） - 【知识点03.菱形的判定定理(重点+难点)】 判定菱形的方法分为基于平行四边形和基于任意四边形两类： 1.基于平行四边形（先证平行四边形，再补条件） 判定方法 1（定义法）：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=AD ∴ 四边形 ABCD 是菱形 判定方法 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD ∴ 四边形 ABCD 是菱形 2.基于任意四边形（直接判定） 判定方法 3：四条边都相等的四边形是菱形； 几何语言：∵ AB=BC=CD=DA ∴ 四边形 ABCD 是菱形 判定方法 4：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； 几何语言：∵ OA=OC，OB=OD，AC⊥BD ∴ 四边形 ABCD 是菱形 【知识点04.菱形的面积公式(高频考点)】 1.通用公式（同平行四边形） 面积 = 底 × 高 2.特殊公式（利用对角线，优先使用） 面积 = 对角线1对角线2 推导依据：菱形对角线互相垂直，将菱形分成 4 个全等的直角三角形，总面积为 4 个直角三角形面积之和。 【知识点05.核心易错点总结】 1.混淆判定条件：误将 “对角线互相垂直的四边形是菱形”，忽略前提 “平行四边形”； 2.面积计算失误：使用对角线公式时忘记乘以；. 3.对称性误区：误认为菱形有 4 条对称轴，实际只有 2 条（对角线所在直线）； 4.性质与判定混淆：性质是 “已知菱形，得结论”；判定是 “满足条件，证菱形”。 【题型1.利用菱形的性质求角度问题】 【典例】如图，在菱形中，若，则度数为 ． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 【题型2.利用菱形的性质求线段长度】 【典例】如图，四边形是菱形，已知，则菱形的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【跟踪专练1】如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长等于 ． 【跟踪专练2】如图，在中，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型3.利用菱形的性质求面积问题】 【典例】已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】下列性质中，菱形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等 【跟踪专练1】已知菱形中对角线、相交于点，添加条件 可使菱形成为正方形． 【跟踪专练2】矩形、菱形都一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．邻边相等 C．对角线相等 D．四个角都是直角 【题型5.补充条件使四边形是菱形】 【典例】如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 【跟踪专练1】如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 【跟踪专练2】已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】四边相等的四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．无法判定 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 【跟踪专练2】如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【题型7.根据菱形的性质与判定求角度】 【典例】如图，在菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（    ）． A．20° B．25° C．65° D．75° 【跟踪专练1】如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【题型8.根据菱形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线相交于点O，，若，则四边形的周长是 ． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【题型9.根据菱形的性质与判定求面积】 【典例】如图，在平行四边形中，平分交于点O，则的面积是 ．    【跟踪专练1】如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 【跟踪专练2】.“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 1．如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则 ． 2．如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是 把你认为正确的结论的序号都填上． 3．如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在面积为96的菱形中，对角线，点是线段上的动点，于，于．则（   ） A．9.6 B．4.8 C．19.2 D．5.6 6．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是 ． 7．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 8．如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，求的长是 ． 9．如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B 的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F． （1） 如图2， 当点与点D 重合时， 四边形是 ． （2） 如图3， 当时， 与的数量关系是 ． 解答题 10．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接，过点A作，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请添加一个条件，使四边形为菱形． 11．如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若菱形的面积为48，求矩形的面积． 12．如图，已知菱形的对角线交于点是对角线所在直线上的两点，且，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 13．如图，菱形的对角线相交于点，于点，若该菱形的周长为，面积为，求，，，的长． 14．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 15．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $