精品解析：吉林省长春市第五中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025—2026学年度高一年级上学期期末数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：苑立国 审核人：马爽 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确选项） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，求（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数图象过点，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 弧长 C. 扇形的周长为 D. 扇形的面积为 8. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 函数的单调递增区间是（） B. 函数图像对称中心的集合是 C. 对任意的实数a，直线与函数图象的两个相邻交点之间的距离是 D. 函数的对称轴是直线， 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数与的图象关于直线对称 C ，当时，恒有 D. 若幂函数单调递减，则 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则__________． 13. 若函数在上严格单调递减，则的取值范围是__________ 14. 已知集合.命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（五个大题，共77分.解答写出文字说明、证明或演算步骤） 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期以及单调递增区间； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围与的值． 18. 已知函数是上的偶函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求的取值范围. 19. 定义在上的函数满足成立，当时，. （1）证明函数是奇函数； （2）解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高一年级上学期期末数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：苑立国 审核人：马爽 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确选项） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用命题的否定定义判断即可. 【详解】因为命题的否定是只否定命题的结论，不否定命题的条件，但特称命题要变为全称命题， 所以命题“，”的否定是，， 故选：A. 【点睛】此题考命题的否定，要分清哪个是条件，哪个是结论，属于简单题. 2. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】引入中间量，借助指数函数、对数函数性质判断即可得. 【详解】，，， 故. 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件判断即可. 【详解】由得，； 因为是的真子集， 所以是的必要而不充分条件， 即“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 4. 已知集合，，求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数定义域得到，求出值域得到，利用交集概念求出答案. 【详解】令，解得，故， 又，， 故. 故选：C 5. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，所以函数零点所在的一个区间是. 故选：C 6. 若函数的图象过点，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用奇偶性及在的单调性判断即得. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 7. 小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 弧长 C. 扇形的周长为 D. 扇形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧度制与角度制的互化判断A；根据弧长公式判断B：根据扇形的周长和面积公式判断C和D. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：扇形的周长为，C正确； 对于D：扇形的面积为，D错误； 故选：D 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间是（） B. 函数图像对称中心的集合是 C. 对任意的实数a，直线与函数图象的两个相邻交点之间的距离是 D. 函数的对称轴是直线， 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的单调性、对称中心、周期、对称轴逐项计算判断即可. 【详解】对于A，函数，因为在每个单调区间是递增的， 所以在每个单调区间是递减的，故A错误； 对于B，令，得，所以函数的对称中心的集合是，故B错误； 对于C，函数的周期为，所以直线与函数图像的两个相邻交点之间的距离是，故C错误； 对于D，由于的对称轴是. 令，得，D正确. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数与的图象关于直线对称 C. ，当时，恒有 D. 若幂函数在单调递减，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由对数函数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于一次函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D. 【详解】对于A，函数恒过定点，故A错误； 对于B，函数与的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数， 所以时，恒有，故C错误； 对于D，由幂函数性质可知，幂函数在单调递减， 则，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系进行求解. 【详解】因为，左右同时平方得，， 由，得，故正确. 同时可知异号，且题中，所以可知，故错误. 对于选项，， 因为，，故， 所以，故正确. 对于选项，计算，需要联立，解得， 所以，故错误. 故选： 11. 已知实数a，b都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式及“1”的妙用求出最小值判断AC；利用二次函数求出最小值判断B；利用一元二次方程判别式求出最大值判断D. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得， 则，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，因， 则， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，令，则，而，于是， 由关于的一元二次方程有解，得， 解得，则， 即取得最大值，此时，D正确. 故选：AD 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出，进而求出. 【详解】当时，，则，解得，因此,当时,， 由函数是定义在R上的奇函数，得. 故答案为： 13. 若函数在上严格单调递减，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数、一次函数的单调性及端点处函数值大小关系求解即可. 【详解】由题意知，解得，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 已知集合.命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求出集合，再根据是的必要不充分条件，得出集合是集合的真子集，对集合是空集和非空集合讨论求解. 【详解】由得，解得， 所以， 因为命题，命题是的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集， 又， 当为空集时，，解得，满足题意； 当不是空集时，，解得， 经检验，当时，满足题意； 综上，的取值范围为或. 故答案为：或 四、解答题（五个大题，共77分.解答写出文字说明、证明或演算步骤） 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数的定义求出的值. （2）利用诱导公式化简表达式，方法一：利用的值求得结果；方法二：先根据三角函数的定义求出的值，进而利用诱导公式化简表达式求得结果. （3）将（2）中求出的的值代入表达式即可. 【小问1详解】 因为为角终边上一点， 由任意角三角函数的定义得，. 【小问2详解】 方法一：由（1）知. 由题意知角的终边在第一象限，所以， 所以. 方法二：由任意角三角函数的定义得， . 所以. 【小问3详解】 由（2）知，. 所以 . 16. 函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算整理得，再根据二次函数性质求最值即可； （2）令，将问题转化为对恒成立，进而分和，结合不等式的性质和基本不等式求解即可. 【小问1详解】 解：因为 所以 因为，， 所以当时，有最小值；当时，有最大值. 所以函数的值域为 【小问2详解】 解：令，由得， 所以对于恒成立等价于对恒成立， 当时，恒成立； 当时，恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为. 17 已知函数． （1）求函数的最小正周期以及单调递增区间； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围与的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）最小正周期为．令，解不等式即可得单调增区间； （2）令，将题目转化为与在内的图象有两个交点，结合图象可得，即，即可求得答案. 【小问1详解】 由可得函数的最小正周期为． 令，解得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以令，在内的图象如图所示． 令，可得，即， 若函数有两个零点， 则与在内的图象有两个交点， 结合图象可得，即， 所以实数的取值范围为． 18. 已知函数是上的偶函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求取值范围. 【答案】（1）； （2）单调递增，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据单调性可得，求解即可. 【小问1详解】 若函数是上的偶函数， 则，即， 解得，验证知符合题意. 【小问2详解】 函数在上单调递增.理由如下： 由（1）知. 设任意的，且， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增. 又是上的偶函数， 所以在上单调递减， 所以即， 解得，即的取值范围为. 19. 定义在上的函数满足成立，当时，. （1）证明函数是奇函数； （2）解不等式. 【答案】（1）证明见解析. （2） 答案见解析. 【解析】 【分析】（1）先令证明，再令，可得，所以函数是奇函数； （2）先证明在上是减函数, 因为，所以，再对a进行分类讨论求解二次不等式即可. 【小问1详解】 因为定义在上的函数满足成立； 所以令，得到，即， 令 ，得到，即； 所以函数是奇函数； 【小问2详解】 任取  ，则 ，由题设得  因为  ， 所以 ，即  在上是减函数, 因为，所以， 整理得到，即. 当时，不等式化为，解得； 当时，，不等式的解为； 当时，，不等式的解为或； 当 时，，不等式化为，解得； 当时，，不等式的解为或； 综上所述，不等式的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当 时，解集； 当时解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $