10.4.2 三元一次方程组的应用 课件 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组的应用，通过复习定义、解法思路及解方程组练习导入，以学习支架形式衔接旧知与新知，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合二次函数待定系数、三位数、货物单价等实例，培养抽象能力与模型意识。通过“审设列解验答”步骤归纳，锻炼推理能力与运算能力，学生能规范解题，教师可提升教学效率。

第十章 二元一次方程组 10.4 三元一次方程组的解法 第2课时 三元一次方程组的应用 人教版 七年级 数学（下） 导入新课 问题1：什么是三元一次方程组？ 问题2：解三元一次方程组的一般思路是什么？ 问题3：求解三元一次方程组有哪些方法？步骤有哪些？ 复习 2 解下列三元一次方程组： (1) (2) 解： 解： 探究新知 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，c的值. 把 a，b，c 看作未知数 把已知 x、y 值代入原式 a-b+c=0 4a+2b+c=3 25a+5b+c=60 分析： 例 2 已知x和y的值，可以把哪些字母看作未知数？ 当把x，y的值代入等式中，会出现哪些方程？ 你能解这个三元一次方程组吗？是用代入法简便还是加减法简便？ 解：根据题意，列得三元一次方程组 ②-①，得 ③-①，得 a+b=1. ④ 4a+b=10. ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把a=2，b=-2代入①，得 因此a，b，c的值分别为3，-2，-5. c=-5. 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的. 如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99. 求这个三位数. 例 3 设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z. x+y+z=14 2x-y = z 100z+10y+x+99=100x+10y+z 分析： 三位数可以设几个未知数表示各数位上的数？ 若把这个三位数各位上的数字看成三个未知数，可得到几个方程？ 解: 设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z. 解这个方程组，得 因此这个三位数是473. 知识归纳 ①审 ②设 ③列 ④解 ⑤验 ⑥答 审题，找题目中的等量关系 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： 设未知数 根据等量关系，列出相应的方程组 用“代入消元法”或“加减消元法”解方程组 检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义 写出答案(包括单位名称) 例题与练习 例 1 在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时，y＝－7；x＝1时，y＝－9；x＝－1时，y＝－3，求a，b，c的值． 解：根据题意， 把c＝－7分别代入②，③得 解这个方程组，得 则a＝1，b＝－3，c＝－7. 列得三元一次方程组 例 2 为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C.双方约定：A＝2a－b，B＝2b，C＝b＋c，例如发出1，2，3，则收到0，4，5. (1)当发送方发出一组密码2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？ 解：根据题意， 得A＝2×2－3＝1，B＝2×3＝6，C＝3＋5＝8. 答：接收方收到的密码是1，6，8. (2)当接收方收到一组密码2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？ 解：根据题意， 解这个方程组，得 答：发送方发出的密码是3，4，7. 列得三元一次方程组 1. 甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的 等于丙数的 ，求这三个数. 解: 设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z. 根据题意，列得三元一次方程组 解得 因此，甲、乙、丙三个数分别为10，15，10. 2. 在等式 z=ax+by+c中，当x=1，y=2时，z=8；当x=2，y=1时，z=5；当x=-1，y=-1时，z=4；求a，b，c的值. 解：根据题意， 解这个方程组，得 因此，a、b、c的值分别为-1，2，5. 列得三元一次方程组 3．若方程组 中x是y的2倍，则z的值是( ) A．－9　　　　　　 B．8　　　　　　 C．－7　　　　　　 D．－6 D 4．某校组织课外活动小组一共50人，分A，B, C三组，B组人数是A，C两组人数和的，A组人数恰好是B，C两组人数之和，则A，B，C三组人数分别为_____________________． 25人，10人，15人 5. 有甲、乙、丙三种货物，用卖2个甲、1个乙的钱买13个丙，剩余100元；用卖3个甲、3个丙的钱买9个乙，钱正好用完；用卖6个乙、8个丙的钱买5个甲，还差600元钱，求甲、乙、丙三种货物的单价各是多少． 解：设甲的单价是x元，乙的单价是y元，丙的单价是z元． 根据题意，列得三元一次方程组 解这个方程组，得 答：甲、乙、丙三种货物的单价各是450元、175元、75元． 课堂小结 三元一次方程组的应用 构造三元一次方程组确定待定系数 列三元一次方程组解决实际问题 随堂检测 1. 在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y = -2；当x = -1时, y=20；当x= 与x= 时，y的值相等. 求a，b，c的值. 解：根据题意，得三元一次方程组 解得 因此a的值为6，b的值为-11，c的值为3. 2.一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11. 求这个三位数. 解: 设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z . 根据题意，列得三元一次方程组 解得 因此这个三位数是245. 甲 乙 3. 甲地到乙地全程是 3.3 km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成. 如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4km，下坡每小时走5 km，那从甲地到乙地需 51 min，从乙地到甲地需 53.4 min. 从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少? 全程是 3.3 km 3 km/h 4 km/h 5 km/h 51 min 53.4 min 解: 设从甲地到乙地时，上坡的路程是x km，平路的路程是y km，下坡的路程是 z km. 根据题意，列得三元一次方程组 解得 答:从甲地到乙地时，上坡的路程是1.2 km，平路的路程是0.6 km，下坡的路程是1.5 km. $