10.2.2 加减消元法 课件 2025-2026学年人教版七年级数学下册

这个视频中我来给你讲讲第二种消元的方法，加减消元法。先来看个例子，X加Y等于10，X减Y等于6，这个方程组该怎么解呢？不难看出在这两个方程中，X的系数恰好相等都是一，那只要把一二两个方程做差，等式两边分别相减，X就消掉了，剩下Y减负Y等于10减6，去掉括号得2Y等于四把2除过去Y就等于二了，两式相减可以消元，那两式相加是不是也可以呢？不难看出，两方程中Y的系数是正负一，恰好是一对相反数，那只要一二相加，等式两边分别求和就可以消去Y剩下的X加X等于16，也就是2X等于16，把2除过去X就等于八了，所以这个方程组的解就是X等于8，Y等于2。从这个例子可以看出，如果方程组的两个方程中某一个未知数的系数相等或相反，那只要把这两个方程相减或相加，就能够消去这个未知数，得到1元1次方程，这种解法就叫做加减消元法。不过有的时候方程组会复杂一点，比如2X加3，Y等于10，X加Y等于5，这个方程组很明显，X的系数是二合一，Y的系数是三合一，没有相等或相反的那就没法直接相加减来消元了，难道这种方程组就不能用这种方法了吗？错，当然能用，只不过在用之前，你得把方程稍微变个形。比如说你要想消去X那就得把这两个系数变相同一和2就统1乘2，那把方程二整体乘2即可，左边乘二得2X加2Y右边乘二得二五一十标为三。现在三合一中X的系数相同，那就可以做差抵消了。你拿1减3，左边3Y减2Y是Y右边十减10是0，所以Y等于0。Y搞定了再来求X把Y等于零带入二中，X加零等于5，那X就等于五了。所以这个方程组的解就是X等于5，Y等于0。刚才这个例子只需要给一个方程括背，但有时候需要给两个方程都变形才可以。比如这个方程组，2X减3Y等于13，X减2Y等于12。如果还是要消掉X由于它的系数是二和32，阔别到三太麻烦。那要想进行加减校园，就得把2和3同时扩大到6才行，变成62需要乘3，三需要乘2。因此一整体乘3得到6X减9Y等于32，整体乘2得到6X减4Y等于24，然后再用3减4就可以消失了。好了，就讲这么多，总结一下，如果方程组中有未知数的系数相等或相反，那就可以利用加减消元法直接进行消元。如果方程组中未知数的系数都不同，那就统一其中一个的系数再进行加减消元。怎么样？听懂了吗？赶快动手试试。 第十章 二元一次方程组 10.2 消元——解二元一次方程组 10.2.2 加减消元法 人教版 七年级 数学（下） 第1课时 用加减法解二元一次方程组 导入新课 上节课我们学习了用代入法解二元一次方程组，那么如何解方程组 呢？ (1)用代入法(消x)解方程组； (2)解完后思考：用“整体代换”的思想把2x作为一个整体代入消元求解； 2 (3)还有没有更简单的解法？ 方法一：由x的系数相等，是否可以考虑①－②，从而消去x求解？ 方法二：由y的系数相反，是否可以考虑①＋②，从而消去y求解？ 探究新知 前面我们用代入法求出方程组 的解. 这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ 前面我们用代入法求出方程组 的解. 这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ ②－① 分析: (2x+y)-(x+y) = 8-6， ②左边-①左边 = ②右边-①右边 2x+y-x-y = 8-6， x = 2 . ①－②也能消去未知数y，求得x吗? y 的系数相同. 若想先消去方程组中的x，应怎么办？ 联系前面的探索过程，想一想怎样解方程组： 未知数的系数有什么关系? y的系数互为相反数 如何消元呢? ①+②可以消去未知数y. 两式相加的依据是什么? 等式的性质. 解：将 ① + ② 得 18x=10.8， x=0.6. 把 x＝0.6 代入 ①，得3×0.6 + 10y＝2.8. 解得 y＝0.1. 所以这个方程组的解是 这两个方程组是如何消元的? 两方程相加或相减 两个方程相加或相减的依据是什么? 等式的性质 两个方程加减后能够实现消元的前提条件是什么? 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等. 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解. 这种方法叫作加减消元法，简称加减法. 什么叫作加减消元法？加减消元法的步骤是什么？ 对于加减消元法，应该如何确定使用加法还是减法进行消元？ 观察同一个未知数的系数，系数相同的采用减法，互为相反数则使用加法. 使用加减消元法时有哪些需要注意事项？ ① 对 x 和 y 中系数绝对值较小的使用加减消元法能够减小计算量. ② 需要注意计算时的符号，必要时可以使用添括号法则. 所以这个方程组的解是 把 x = 3 代入①，得3×3+ = 0 x=3 . 解：①+②，得 5x= 15. ③ ① ② 解得，y = -18. 思考：把x=3代入②，可以解得y吗? 用加减法解方程组 例 5 ①＋②的目的是什么？ 消去未知数y. 知识归纳 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数_______或_______时，把这两个方程的两边分别_______或_______，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程进而求得二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称________． 相反 相等 相加 相减 加减法 例题与练习 例1 用加减法解下列方程组： (1) 解：①－②，得5y＝－10. y＝－2. 把y＝－2代入①，得4x－6＝6. x＝3. 所以这个方程组的解是　　 (2) 解：①＋②，得3x＝9. x＝3. 把x＝3代入①，得3－y＝2. y＝1. 所以这个方程组的解是 例 2 已知方程组 和 有相同的解，求3a－2b的值． 解：由题意，联立 解得 所以3a－2b＝3×1－2×2＝3－4＝－1. 把 代入 得 解得 1.用加减法解下列方程组： （1） 把 x = 2 代入①，得 x=2 . 解： ①+②，得 4x= 8. ① ② 2+ 2y= 9, 所以这个方程组的解是 y = 所以这个方程组的解是 把 a = 3 代入①，得 a = 3 . 解： ②-①，得 5a = 15. （2） ① ② b =5 2×3- 3b= -9， 把 y = 1 代入①，得 y = 1 . 解： ①-②，得 6y = 6. x = 5. 5x+ 2×1= 27, （3） ① ② 所以这个方程组的解是 把 x = -21 代入②，得 x = -21 . 解： ①+②，得 = -28. y =-4. -21+ 5y= -41, （4） 所以这个方程组的解是 ① ② 2．在二元一次方程4x－3y＝14中，若x，y互为相反数，则x＝_____，y＝_____. 2 －2 3．用加减法解下列方程组： （1） 解：①＋②，得3x＝6. x＝2. 把x＝2代入①，得2＋y＝1. y＝－1. 所以这个方程组的解是　　　 （2） 解：②－①，得y＝1. 把y＝1代入①，得x＋2＝4. x＝2. 所以这个方程组的解是 课堂小结 解二元一次方程 加减消元法 基本思想 步骤 消元 ①变形； ②加减； ③求解； ④回代； ⑤写解. 最后记得检验结果的正确性. 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解. 这种方法叫作加减消元法，简称加减法. 随堂检测 ① ② 所以这个方程组的解是 把 u = 2 代入①，得3×2+2t = 7，t = . 解：①+②，得 9u = 18，u=2. 1. 用加减法解下列方程组: （1） ① ② 把 a = 1代入①，得 2×1 + b = 3，b=1. 解：②-①，得 a = 1. （2） 所以这个方程组的解是 2.一条船顺流航行，每小时行驶20km；逆流航行，每小时行驶16km.船在静水中的速度与水流速度分别是多少? 解:设船在静水中的速度为 x km/h, 水流速度为 y km/h. 根据题意，列得方程组 答: 船在静水中的速度是 18 km/h，水流速度是 2 km/h. 解这个方程组，得 $ 人教版 七年级 数学（下） 第十章 二元一次方程组 10.2 消元——解二元一次方程组 10.2.2 加减消元法 第2课时 用加减法解稍复杂的二元一次方程组 导入新课 赵老师昨天在水果批发市场买了2 kg苹果和4 kg梨，共花了14元，李老师以同样的价格买了3 kg苹果和2 kg梨，共花了13元，梨每千克的售价是多少？ 设苹果每千克的售价为x元，梨每千克的售价为y元. 如何解这个方程呢？ 2 探究新知 解方程组 方程①②有没有系数的绝对值相等的未知数？ 观察未知数的系数，你发现了什么？ 如何消去x求解？ 如果利用等式的基本性质，方程①②都变形，这种消去y的方法可行吗？ 怎样将方程变形，再利用加减消元更为简单？ 统一系数 最小公倍数 2和4的最小公倍数是4 能否使两个方程中x(或y)的系数相等(或互为相反数)呢? ③－②，得－13y＝－65. y＝5. 解：①×2，得4x－10y＝－42. ③ 所以这个方程组的解是 把y＝5代入①，得2x－25＝－21. x＝2. ② + ③，得 解：①×2，得 y = 1. 把 x = 2 代入①，得 6x - 4y = 8. ③ 13x = 26， x = 2. 3×2-2y = 4， 所以这个方程组的解是 ………………变形 ………………加减 ………………求解 ……………回代 ……………写解 用加减法解方程组 例 6 解这个方程组时，可以先消去x吗? 如果可以，结果一样吗? ④ - ③，得 解：①×7，得 x = 2. 将 y = 1 代入①，得 21x - 14y = 28. ③ 26y = 26， y = 1. 3x-2×1 = 4， ②×3，得 21x +12y = 54. ④ 所以这个方程组的解是 与消去y相比，哪个计算更简便? 解方程组 当二元一次方程组中未知数的系数是分数或小数时，怎么办？ 你能用去括号、去分母将方程组化为形式简单的方程组吗？ 解：①×6，得3(x＋y)＋2(x－y)＝36. ③ ②＋③，得6(x＋y)＝60. x＋y＝10. ④ ③－②，得4(x－y)＝12. x－y＝3. ⑤ 所以这个方程组的解是 ④＋⑤，得2x＝13. x ＝ . ④－⑤，得2y＝7. y ＝ . 加减法求二元一次方程技巧：同一未知数 系数相等 (或互为相反数) 否 找最小公倍数，系数变得相同或互为相反数 是 两式相减(或加) 知识归纳 用加减法解二元一次方程组的一般步骤： (1)利用等式的性质，把方程组中同一个未知数的系数化为______________或________； (2)把两个方程的两边分别相加或相减，得到一个_________方程； (3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； (4)将求出的未知数的值代入方程组中的任意一个方程, 求出另外一个未知数的值, 就能得到方程组的解． 互为相反数 相等 一元一次 注意：用代入法和加减法解二元一次方程组时，它们都是通过______使方程组转化为_____________，只是______的方法不同．我们应该根据方程组的具体情况选择合适的解法． 消元 一元一次方程 消元 例题与练习 例 1 用加减法解下列方程组： (1) 解：①×2，得4x＋2y＝10. ③ ③－②，得3x＝6. x＝2. 把x＝2代入①，得4＋y＝5. y＝1. 所以这个方程组的解是 (2) 解：②×6，得3x－2y＝6. ③ 所以这个方程组的解是 把y＝1代入①，得3x－5＝3. x＝. ③－①，得3y＝3，y＝1. 例 2 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题: 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两. 问牛、羊各直金几何? 意思是:假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5 只羊，共值金8两. 那么每头牛、每只羊分别值金多少两? 分析： 5头牛的钱数+2只羊的钱数=10 2头牛的钱数+5只羊的钱数=8 解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两. 5x+2y=10， 2x+5y= 8 . 解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两. ④ - ③ ，得 ①×2，得 10x+4y=20. ③ 21y =20， y = . ②×5，得 10x+25y= 40. ④ 将 y = 代入①，得 5x+2×=10 ， 所以这个方程组的解是 x = . 答：每头牛和每只羊分别值金两和两. 提出问题 (1)解方程组的基本思想是什么？ (2)消元的目的是什么？ (3)你会根据方程组的具体情况，灵活选择消元方法吗？ (1) 怎样解下面的方程? 代入法 解得 加减法 解得 (2) 选择你认为简便的方法解决下面的问题. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何.”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗?试找出问题的解. 解：设笼中有鸡x只，兔子y只. 依题意，得 答：笼中有鸡23只，兔子12只. 解得 例 3 先阅读，再解方程组． 解方程组：时， 设a＝x＋y，b＝x－y， 则原方程组可变为 整理，得 解得 即 解得 所以原方程组的解是 请用这种方法解方程组： 解：设m＝x＋y，n＝x－y， 则原方程组可变为 解得 即 解得 所以原方程组的解是 1. 用加减法解下列方程组： （1） ③ + ④，得 解: ①×3，得 y = -0.5. 将 x = 6 代入①，得 9x + 12y = 48. ③ 19x = 114， x = 6. 3×6+4y = 16， 所以这个方程组的解是 ② ① ②×2，得 10x - 12y = 66. ④ ③ - ④，得 解: ①×3，得 6x + 9y = -. ③ 5y = -， y = -. ②×2，得 6x + 4y = -. ④ （2） ② ① 将 y = - 代入①，得 2x+3×(-) = - ， x = -. 所以这个方程组的解是 2. 周末，王芳到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子，已知鲈鱼每千克 35 元，茄子每千克 6 元. 王芳买的茄子比鲈鱼多 0.5 kg，共花费 44 元. 她买了鲈鱼和茄子各多少千克? 分析: 茄子的重量-鲈鱼的重量 = 0.5， 茄子的总价+鲈鱼的总价 = 44. 解：设她买了茄子和鲈鱼各x千克 、y千克. 由①，得 把③代入②，得 x=y+0.5 ③ 6(y+0.5)+35y=44. 解这个方程，得 y = 1. 把 y=1 代入③，得 x = 1.5 . 所以这个方程组得解是 答:她买了茄子1.5千克，鲈鱼1千克. ① ② 30 3．用加减法解方程组下列解法不正确的是(　　 ) A．①×3－②×2，消去x B．①×2－②×3，消去y C．①×(－3)＋②×2，消去x D．①×2－②×(－3)，消去y D 4．用加减法解下列方程组： (1) 解：②×2，得2x＋4y＝－4. ③ ③－①，得7y＝－7. y＝－1. 把y＝－1代入②，得x＝0. 所以这个方程组的解是 (2) 解：①×2，得x＋6y＝. ③ ③－②，得y＝，y＝. 把y＝代入①，得x＋＝. x＝－2. 所以这个方程组的解是 课堂小结 实际问题 二元一次方程组 消元思想 代入消元法 加减消元法 变形 随堂检测 把 x=5 代入①，得 y = 7. 解：将原方程组整理，得 把①代入②，得3x+20=5(3x-8). 解这个方程，得 x=5. 所以这个方程组的解是 1. 解下列方程组：（1） 35 把 v=2 代入①，得 8u +9×2 = 6，u = -. 解：将原方程组整理， 得 ①×3，得24u+27v =18. ③ 解这个方程，得 x=5. 所以这个方程组的解是 ③-②，得2v=4，v=2. （2） 36 2.《孙子算经》中有这样一道题:“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何. ”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头, 木头剩余1尺, 问木头长多少尺. 请你解决这个问题. 解：设木头长 x 尺，绳子长 y 尺. 根据题意，列得方程组 答：木头长6.5尺. 解这个方程组，得 3. 某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过3km，超过3 km的部分按一定标准另外收取里程费. 张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为7km，起步价和里程费共计17.2元；第二次乘车行驶的路程为13km，起步价和里程费共计28元，你能由此计算出出租车的起步价和超过3km后的里程费收费标准吗？ 解：设出租车的起步价为 x 元，超过 3 km 后的里程费收费标准为 y 元/km. 根据题意，列得方程组 答：出租车的起步价为 10元，超过 3 km 后的里程费收费标准为 1.8元/km. 解这个方程组，得 4.为举办“我和我的祖国”文艺会演，学校为七年级(1)班表演诗朗诵的5名男生和3名女生租用演出服的总费用是190元；为七年级(2)班表演小合唱的11名男生和12名女生租用演出服的总费用是580元. 如果每套男、女生演出服的租用费分别相同, 每套男、女生演出服的租用费各是多少钱？ 解：设每套男、女生演出服的租用费各是 x 元、y 元. 根据题意，列得方程组 答：每套男、女生演出服的租用费各是 20元、30 元 解这个方程组，得 5. 两台大型收割机和 5 台小型收割机同时工作 2 h 共收割小麦 3.6 hm2，3 台大型收割机和 2 台小型收割机同时工作 5 h 共收割小麦 8 hm2.1 台大型收割机和 1 台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷? 解：设 1 台大型收割机每小时收割小麦 x hm2，1 台小型收割机每小时收割小麦 y hm2. 根据题意，列得方程组 答：1 台大型收割机每小时收割小麦 0.4 hm2，1 台小型收割机每小时收割小麦 0.2 hm2. 解这个方程组，得 $