10.2.1 代入消元法 课件 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“代入消元法解二元一次方程组”，通过老牛小马驮包裹、篮球比赛胜负场次等实际问题导入，承接上节课二元一次方程组概念，以“如何转化为一元一次方程”为驱动搭建学习支架。 其亮点在于用问题链引导探究，如“如何由方程组得一元一次方程”培养推理意识（数学思维），表格对比设元方式发展抽象能力（数学眼光），例题分层结合五步步骤归纳，助学生形成结构化认知。教师可直接用于互动教学，学生能提升模型意识（数学语言）和解决实际问题的能力。

第十章 二元一次方程组 10.2 消元——解二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 人教版 七年级 数学（下） 第1课时 用代入消元法解二元一次方程组 导入新课 上节课我们学习了老牛和小马各驮了多少包裹的问题，得出了二元一次方程组那么老牛和小马各驮了多少包裹呢？这就需要解这个二元一次方程组． 一元一次方程我们会解，那么二元一次方程组如何解呢？ 2 在篮球联赛中，某校七(1)班为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分，已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分，那么七(1)班应该胜、负各几场？如果设该班胜x场，负y场，可列出什么样的方程组？ 探究新知 解法一中的一元一次方程与解法二中的二元一次方程组有什么关系？ 设一个未知数 设两个未知数 大型采棉机 x x 小型采棉机 6 - x y 等量关系式 2x + (6 - x) = 8 x+y = 6， 2x+y = 8 y = 6-x 提出问题 (1)若引言中只设一个未知数，你能列出相应的方程吗？ (2)二元一次方程组 与一元一次方程2x＋(6－x)＝8有什么关系？ (4)什么叫作消元思想？ (5)什么叫作代入消元法？ (6)用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？ (3)如何求(2)中方程组的解？ 2x+ y = 8 y = 6 - x ， (6 - x ) 2x + (6 - x) = 8 ① ② 转化 等量代换 y = 6 - x ， 你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程组吗？ 解得 x = 2 代入①式 y = 4 所以方程组的解为 x = 2， y = 4. 把求出的未知数的值代入原方程组，可以检验所得是否正确. 如何判断所得方程组的解是否正确? 解二元一次方程组的基本思路“消元” 转化 一元一次方程 二元一次方程组 消元 消元的目的就是: 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想. 代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 2x + (6 - x) = 8 y= 6 - x 用代入法解方程组 例 1 …………………… 变形 …………代入 把③代入②，得 3(y + 3)-8y = 14. 解：由①，得 x = y + 3 . ③ 代入时此处要带括号. ……………………求解 …………………回代 ………………写解 所以这个方程组的解是 把 y = -1代入③，得 x = 2. 解这个方程，得 y = -1. 为什么要把y＝－1代入③，有什么优点？ 思考：把y=-1代入①或②可以吗？ 思考：把③代入 ①可以吗？ 解:由①，得 y=x-3. ③ 把③代入②，得 3x-8(x-3)=14. 解这个方程，得 x = 2. 把 x=2 代入③，得 y = -1. 所以这个方程组的解是 把第一步由①得x＝y＋3换成由①得y＝x－3，记为③，然后代入求解，结果一样吗？ 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 变形：用含有未知数的式子表示另一个未知数； 代入：把y=ax+b(或 x=ay+b)代入另一个没有变形的方程； 求解：解消元后的一元一次方程； 回代：把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中； 写解：把两个未知数的值用大括号联立起来. 知识归纳 1．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含_____________的式子表示出来，再代入_______方程，实现_____，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称________．这种将未知数的个数____________、逐一解决的思想，叫作_______思想． 另一个未知数 另一个 消元 代入法 由多化少 消元 2．用代入消元法解二元一次方程组的步骤： (1)从方程组中选取系数为1的方程，把其中的一个未知数用______________________表示出来； (2)把(1)中所得的式子代入另一个方程，消去一个未知数； (3)解所得到的方程，求得一个未知数的值； (4)把所求得的未知数的值代入(1)中的式子，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解． 含另一个未知数的式子 例题与练习 例1 用代入法解方程组 所以这个方程组的解是 把 x = 11代入③，得 y = 6. 把③代入①，得 3x-5(2x -16)=3 . 解：由②，得 y =2x - 16 . ③ 解这个方程，得 x = 11. 思考:怎么在二元一次方程组中选择合适的方程进行变形呢? 解:由______得_______________， 将③代入_______，消去______. 解:由______得_______________， 将③代入_______，消去______. 解:由______得_______________， 将③代入_______，消去______. 解:由______得_______________， 将③代入_______，消去______. ① x= ② x ① y= ② y ② x= ① x ② y=2x-16 ① y 用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧: ① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入； ② 当方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形； 例 2 用代入法解下列方程组： (1) 解：把①代入②，得 2x－x＋1＝3. 解这个方程，得x＝2. 把x＝2代入①，得y＝1. 所以这个方程组的解是 (2) 解：由(1)，得x＝2y＋2.③ 把③代入②，得3(2y＋2)＋5y＝28. 解这个方程，得y＝2. 把y＝2代入③，得x＝6. 所以这个方程组的解是 例 3 将一批重490 t的货物分配给甲、乙两船运输，现甲船已运走其任务的，乙船已运走其任务的. 在已运走的货物中，甲船比乙船多运30 t，则分配给甲、乙两船的任务各为多少吨？ 解：设分配给甲船的任务为x t，分配给乙船的任务为y t. 根据题意，得 由①，得y＝490－x. ③ 把③代入②，得x－(490－x)＝30. 解这个方程，得x＝210. 把x＝210代入③，得y＝280. 所以这个方程组的解是 答：分配给甲船的任务为210 t，分配给乙船的任务为280 t． 1.把下列方程改写成用含 x 的式子表示 y 的形式： （1）3x + y - 1= 0； （2）2x - y = 3. y = 1 - 3x y = 2x - 3 2. 用代入法解下列方程组： （1） ① ② 所以这个方程组的解是 把x=2代入③，得 y=-1. 解这个方程，得 x＝2. 把③代入②，得 3x＋4(2x-5)=2. 解：由①，得 y=2x-5. ③ （2） 把x=3代入③，得 y=2. 解这个方程，得 x＝3. 把③代入①，得 3x-2(8-2x)=5. 解：由②，得 y=8-2x . ③ ① ② 所以这个方程组的解是 （3） 把a=2代入③，得 b=1. 解这个方程，得 a＝2. 把③代入①，得 4a-3(5-2a)=5. 解：由②，得 b=5-2a . ③ 所以这个方程组的解是 ① ② 把 t=1代入③，得 s=1. 解这个方程，得 t＝1. 把③代入②，得 (3t-2)+5t =6. 解：由①，得 s=3t-2 ③ （4） 所以这个方程组的解是 ① ② 3．用代入法解方程组时，代入正确的是(　 　) 　A．x－2－x＝4 B．x－2－2x＝4 　C．x－2＋x＝4 D．x－2＋2x＝4 D 4．用代入法解下列方程组： (1)　　　　 解： (2)　　　　 解： 课堂小结 代入消元法 概念 基本思想 步骤 技巧 消元思想: 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想 ①变形； ②代入； ③求解； ④回代； ⑤写解. 最后记得检验结果的正确性. ①变形的技巧； ②代入的技巧. 随堂检测 1.把下列方程改写成用含 x 的式子表示 y 的形式: (1) x+2y= 1； (2) x+ y= 2； (3) 5x-3y= x+2y； (4) 2(3y-3) = 6x+4 . 解: y = x 解: y = x 解: y = x 解: y = ① ② 所以这个方程组的解是 把 x = - 代入①，得 y = . 解：把①代入②，得 7x + 5(x+3) = 9. 解这个方程，得 x = - . (1) 2.用代入法解下列方程组: 把 s = 代入③，得 t = . 把③代入②，得 5s + 2(3s - 5) = 15. 解：由①，得 t = 3s - 5. ③ 解这个方程，得 s = . (2) ① ② 所以这个方程组的解是 $ 人教版 七年级 数学（下） 第十章 二元一次方程组 10.2 消元——解二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 第2课时 代入法解稍复杂的二元一次方程组 导入新课 小明说乙商场的茶杯和可乐的单价比甲商场贵一些，小红说两个商场的茶杯和可乐的单价相同，你认为呢？ 甲商场： 乙商场： 2 什么叫作代入法？ 用代入法解下列方程组． (1) 解： (2) 解： 小强和小红购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小强买了20支中性笔和2盒笔芯，用了56元；小红买了2支中性笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x元，每盒笔芯y元，根据题意所列方程组 是________________． 你会解这个方程组吗？ 探究新知 提出问题 (1)这与上节课代入法解方程组有什么异同？ (2)能直接把①代入②中或把②代入①中吗？ 用代入法解方程组 (3)观察方程①②，选择哪一个方程将一个未知数用另一个未知数表示，为什么？ (4)在方程①中，怎样用含y的式子表示x. 用代入法解方程组 ① ② 方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②. 用代入法解方程组 例 3 所以这个方程组的解是 把 y = 3 代入③，得 x = 2. 把③代入②，得 9( y - )+7y = 39. 解：由①，得 x = y - . ③ 解这个方程，得 y = 3. 把 x = 2 代入③，得 y = 3. 把③代入②，得 9x + 7( x + ) = 39. 解：由①，得 y = x + . ③ 解这个方程，得 x = 2. 解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看. 所以这个方程组的解是 用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧: ① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入； ② 当方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形； ③ 当未知数的系数都不是1或-1时，一般选择未知数系数的绝对值较小的方程进行变形. 二元一次方程组 2x - 5y = -11 x = _______ 变形 ______ ______ 解得x 2x - 5y = -11 代入 _________________ 消去x 解得 y - x = 2 y = 3 9( y - ) + 7y = 39 知识归纳 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： (1)从方程组中选一个系数绝对值最小的方程，把其中的一个未知数用_____________________表示出来； (2)把(1)所得式子代入______________，消去一个未知数； 含另一个未知数的式子 另一个方程 (3)解所得到的___________方程； (4)将所得未知数的值代入(1)所得式子中，求出另一个__________的值得到方程组的______． 一元一次 未知数 解 例题与练习 例 1 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90件和 25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 分析: 送 120 件的报酬 + 揽 45 件的报酬 = 270， 送 90 件的报酬 + 揽 25 件的报酬 = 185. 例 1 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90件和 25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元. 120x+45y=270， 90x+25y=185. 由①，得 ① ② x= - y ③ 分析: 送 120 件的报酬 + 揽 45 件的报酬 = 270， 送 90 件的报酬 + 揽 25 件的报酬 = 185. 所以这个方程组的解是 答:这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元. 把③代入②，得 90( - y)+25y=185. 解这个方程，得 y = 2. 把 y=2 代入③，得 x = 1.5 . 思考：从实际问题抽象出二元一次方程组的一般步骤是什么？ (1)审题； (2)找出两个相等关系； (3)设未知数； (4)列出两个方程，组成方程组； (5)解方程组． 例 2 用代入法解下列方程组： (1) 解：由①，得x＋3＝3y，即x＝3y－3. ③ 由②，得2x－y＝4. ④ 把③代入④，得2(3y－3)－y＝4. 解这个方程，得y＝2. 把y＝2代入③，得x＝3. 所以这个方程组的解是 (2) 解：将原方程组整理， 得 由③，得3y＝2x－1. ⑤ 把⑤代入④，得4x－(2x－1)＝－5. 解这个方程，得x＝－3. 把x＝－3代入⑤，得y＝－. 所以这个方程组的解是 例 3 阅读材料： 善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5 ③. 把方程①代入③，得2×3＋y＝5，解得y＝－1. 把y＝－1代入①，得x＝4. 所以这个方程组的解是 请仿照上述方法解方程组 解：把方程②变形为3(3x－2y)＋2y＝19 ③. 把①代入③，得3×5＋2y＝19， 解这个方程，得y＝2. 把y＝2代入①，得x＝3. 所以这个方程组的解是 1.用代入法解下列方程组： （1） ① ② 所以这个方程组的解是 把 x = 1 代入③，得 y = 2. 把③代入②，得 5x + 4( x + ) = 13. 解：由①，得 y = x + . ③ 解这个方程，得 x = 1. ① ② 所以这个方程组的解是 把 m = 3 代入③，得 n = 4. 把③代入②，得 2m - 3(- m + ) +6=0. 解：由①，得 n =- m + . ③ 解这个方程，得 m = 3. （2） 2. 一种商品分装在大、小两种包装盒内，3 大盒，4 小盒共装 108 瓶，2 大盒，3 小盒共装 76 瓶. 大、小包装盒每盒各装多少瓶? 分析: 3 大盒装的瓶数+ 4 小盒装的瓶数=108， 2 大盒装的瓶数+ 3 小盒装的瓶数=76. 解：设大包装盒每盒装 x 瓶，小包装盒每盒装 y 瓶. 由②，得x=38- y ③ 分析: 3 大盒装的瓶数+ 4 小盒装的瓶数=108， 2 大盒装的瓶数+ 3 小盒装的瓶数=76. 把③代入①，得3(38- y)+4y=108. 解这个方程，得y = 12. 把 y=12 代入③，得x = 20 . 所以这个方程组得解是 答:大包装盒每盒装 20 瓶，小包装盒每盒装 12 瓶. 3．由－＝1，可以得到用x表示y的式子是( ) A．y＝ B．y＝－ C．y＝－2 D．y＝2－ C 4．若方程组 的解x与y的值相等，则k的值为_______． 1 5．用代入法解下列方程组： (1) (2) 解： 解： 课堂小结 实际问题 转化 代入 求解 回代 写解 检验 二元一次方程组 消元思想 代入消元法 随堂检测 1. 用代入法解下列方程组: ① ② 所以这个方程组的解是 把 y = -3 代入③，得 x = 2. 把③代入②，得 3(- y - )- 4y = 18. 解：由①，得x = - y - . ③ 解这个方程，得 y = -3. （1） 把③代入②，得 3(- )- 2t = 28. 由①，得s = - . ③ 解这个方程，得 t = 4. 解：令 s=x+y , t=x-y 则方程组可化为 （2） 把 y = 4 代入⑥，得 x= 8. 把⑥代入⑤，得 12-y-y =4. 由④，得 x=12-y. ⑥ 解这个方程，得 y = 4. 所以 所以这个方程组的解是 把 t = 4 代入③，得 s = 12. 2.某旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游.经统计，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的2倍少1. 到这两地旅游的人数各是多少? 解：设到花果岭旅游的人数是x，到云水洞旅游的人数是 y. 根据题意，列得方程组 答：到花果岭旅游的人数是133，到云水洞旅游的人数是67. 解这个方程组，得 $