专题03矩形寒假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化题型突破)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题03矩形寒假预习讲义 预习重点（必掌握基础） 定义：矩形是有一个角是直角的平行四边形，核心要素为 “平行四边形 + 一个直角”。 特有性质：四个角都是直角；对角线相等且互相平分；既是轴对称图形（2 条对称轴）又是中心对称图形。 判定定理：① 平行四边形 + 一个直角→矩形；② 平行四边形 + 对角线相等→矩形；③ 四边形 + 三个直角→矩形。 预习难点（理解应用易错点） 逻辑区分：分清 “性质”（知矩形推特征）与 “判定”（知条件证矩形）的逻辑关系，避免解题时混淆定理选用。 从属关系：理清矩形与平行四边形的包含关系，不可将矩形 “对角线相等” 的特有性质套用在普通平行四边形上。 知识衔接：解决矩形对角线相关计算、证明题时，需结合勾股定理、直角三角形斜边中线定理，易因知识衔接不熟练卡壳。 必备知识 点梳理 1.矩形的定义 2.矩形的性质 . 3.矩形的判定方法 4.易错点警示(重点规避) 常考题型 精讲精炼 1.矩形性质的深度理解与辨析 2.利用矩形的性质求角度问题 3.根据矩形的性质求线段长度 4.根据矩形的性质求面积问题 5.矩形性质在几何证明中的应用 6.矩形与折叠问题 7.矩形的判定定理理解 8.补充条件判定矩形 9.证明四边形是矩形 10.矩形性质与判定:线段计算 强化巩固 题型通关 (16题) 【知识点01.矩形的定义】 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有属性。 【知识点02.矩形的性质】 1.通用性质（继承自平行四边形）： 对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形，对称中心为对角线交点。 2.特有性质（矩形区别于普通平行四边形的核心）： 角：四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）。 对角线：对角线相等（AC=BD）。 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 2 条对称轴（对边中点的连线所在直线）。 【知识点03.矩形的判定方法】 判定类型 具体条件 定义判定 平行四边形 + 有一个角是直角 对角线判定 平行四边形 + 对角线相等 角判定 任意四边形 + 有三个角是直角 知识衔接（寒假预习需提前回顾） 矩形对角线相关计算常结合勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。 矩形对角线将矩形分成四个等腰三角形，可结合直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）解题。 【知识点04.易错点警示(寒假预习重点规避)】 1.混淆 “性质” 与 “判定”：性质是已知矩形，推导特征；判定是已知条件，证明是矩形。 2.错误套用性质：“对角线相等” 是矩形特有性质，不可直接用于普通平行四边形。 3.判定定理使用误区：“对角线相等的四边形是矩形” 说法错误，必须强调 “平行四边形” 这个前提。 【题型1.矩形性质的深度理解与辨析】 【典例】已知矩形的两邻边长分别为3和4，则矩形的周长 ，面积 ，对角线长 ． 【答案】 14 12 5 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的周长等于长与宽和的2倍，面积等于长与宽的积，对角线利用勾股定理求解即可 【详解】解：矩形周长，矩形面积，矩形对角线长， 故答案为：14；12；5． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断． 【详解】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，与交于点，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．连接，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是能够熟练运用以上知识点． 先利用矩形性质证明是等边三角形，得到，，再根据作图得到是等腰直角三角形，从而得到，，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径作弧，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2.利用矩形的性质求角度问题】 【典例】如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点在边上，若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】根据矩形性质得，，进而得，再根据得，然后再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在△中，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用矩形的性质求角度，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线、相交于点O，垂直平分于点，则的大小为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握所学的知识，得到是等边三角形．由矩形的性质得，然后得到是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中对角线、相于点O， ∴， ∵垂直平分于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 故选：C． 【题型3.根据矩形的性质求线段长度】 【典例】矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据题意求出矩形的另一条边长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意画出示意图，假设， 矩形的面积为， 矩形的另一条边长为， ， 矩形的对角线， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线与相交于点．已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接可知，的面积等于与的面积和，分别表示出和的面积，再列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 【题型4.根据矩形的性质求面积问题】 【典例】如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等转化阴影部分面积，结合矩形对角线分面积的性质求解． 利用矩形对角线互相平分及对边平行可证，则，于是将阴影部分面积转化为的面积；矩形对角线分矩形为四个等积三角形，面积为矩形的，而阴影面积等于面积，故得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（对角线互相平分且相等），． ∴． ∴ ∴． ∴阴影部分面积 ∵矩形对角线互相平分，将矩形分为四个面积相等的三角形，则， ∴阴影面积是矩形面积的． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C．. D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算，由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故选：B． 【题型5.矩形性质在几何证明中的应用】 【典例】已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴，， ∴； 故B、D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选：C 【跟踪专练1】如图，在矩形中，为对角线的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，根据矩形的性质可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：． 【详解】解：四边形是矩形， ， 点是的中点， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，E，F分别为，上的点，，连结，，过点D作，交的延长线于点G，连结．若要知道矩形的面积，则只需要知道下列哪个图形的面积？该图形是（    ） A． B． C．四边形 D．四边形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由三角形的面积公式可求，通过证明四边形AFCE是平行四边形，可得，可得，由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【题型6.矩形与折叠问题】 【典例】如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，那么的周长是 cm． 【答案】 【分析】根据翻转变换的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由翻转变换的性质可知，， 则的周长 ， 故答案为． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【跟踪专练1】如图，将矩形纸片沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用矩形和折叠的性质可得，即得，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，将一个边长分别为4，8的矩形纸片折叠，使点与点重合（，），则折痕的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理的应用是解题的关键． 先利用折叠性质得到线段相等关系，再通过勾股定理求出、的长度，接着证明（），最后再次利用勾股定理求出折痕的长度． 【详解】解：连接，交于点． ∵ 折叠使点与点重合， ∴ 垂直平分，． 设，则． 在中，，即， 解得． ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ （）， ∴ ， ∵在中，， ∴ 故答案为：． 【题型7.矩形的判定定理理解】 【典例】如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键．根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架的对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 【跟踪专练2】课堂上，某同学制作了一个四边形门框模型，就如何判断门框模型是否是矩形？老师提出了以下四个判定方法，方法一：测量四个角是否相等；方法二：测量四条边是否相等；方法三：测量两条对角线是否相等；方法四：验证是否是轴对称图形其中能判定这个四边形门框模型是矩形的是（   ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定、轴对称的性质等知识点，掌握矩形的判定定理成为解题的关键． 根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：①四边形的四个角相等．四边形内角和为360°，若四个角相等，则每个角为90°，即为矩形．符合矩形定义，故①不符合题意； ②四条边相等．四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形（需额外有直角），故②不符合题意； ③对角线相等．仅对角线相等无法判定矩形（如等腰梯形对角线相等但不是矩形），需结合平行四边形条件，故③不符合题意； ④轴对称图形．轴对称图形不唯一（如菱形、等腰梯形均轴对称），无法确定是矩形，故④不符合题意． 故选A． 【题型8.补充添加判定矩形】 【典例】如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在中，点在边上，，，当 时，四边形是矩形． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，结合矩形的判定，可得． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形． 故答案是：． 【跟踪专练2】已知的对角线，相交于点，若从下列选项中再添加一个条件，能使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定． 根据证明平行四边形是矩形的条件作答即可． 【详解】A：是平行四边形固有性质，不能判定为矩形； B：是平行四边形固有性质，不能判定为矩形； C：不是矩形固有性质，不能判定为矩形； D：，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形； 故选：D． 【题型9.证明四边形是矩形】 【典例】如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C ． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是 ．（填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记平行四边形的判定与性质、矩形的判定是解决问题的关键．先由平行四边形性质，结合题意得到，，进而判定四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个内角是的平行四边形是矩形；分别考虑添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则，， ， ， 在四边形中，，，则四边形是平行四边形， ①当时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或者，均可使四边形是矩形； ②当或或或时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或或或，均可使四边形是矩形； 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，在中，，下列四个判断不正确的是（　　）    A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果平分，那么四边形是菱形 D．如果且，那么四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定与性质，根据特殊四边形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形， 故A选项正确，不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 故B选项正确，不符合题意； C、∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形， ∵且， ∴， 同理可得：四边形是菱形， 故D选项错误，符合题意． 故选：D 【题型10.矩形性质与判定:线段计算】 【典例】如图，点A、B在直线m上，点C、D在直线n上，，则等于 ． 【答案】6 【分析】由已知证明四边形为矩形，从而得出对边相等． 【详解】∵ ∴ ∴四边形为矩形 ∴， 故答案为：6. 【点睛】本题考查矩形的性质和判定，掌握矩形的判定方法是关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为边上（不与、重合）的动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 连接，先利用勾股定理可得，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∴此时有， ∴， 即线段的最小值是， 故答案为：． 1．下列命题的逆命题为真命题的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．平行四边形是中心对称图形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假．先得到原命题的逆命题，再根据相关知识判断即可． 【详解】解：选项A：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”．当，时，但，故逆命题为假命题． 选项B：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”．当且时，，故逆命题为假命题． 选项C：原命题“平行四边形是中心对称图形”的逆命题为“中心对称图形是平行四边形”．圆是中心对称图形但不是平行四边形，故逆命题为假命题． 选项D：原命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的逆命题为“矩形的对角线相等”．根据矩形性质，对角线相等成立，故逆命题为真命题． 故选：D 2．在中，与相交于点O，要使是矩形，需添加的条件是 （填序号） ①；②；③；④ 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 利用矩形的定义和判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解： ①根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，当时，不能判定是矩形，该选项错误，不符合题意； ②根据对角线相等的平行四边形为矩形，当时，根据平行四边形的性质得，, ∴是矩形，该选项正确，符合题意； ③同②，该选项正确，符合题意； ④根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，当时，为直角， ∴是矩形，该选项正确，符合题意； 综上，符合题意的选项有②③④， 故答案为：②③④． 3．如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角；连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点，   四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴． 故选：C． 4．如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 5．若矩形四边中点围成图形的面积是，则该矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解答的关键．先画图，根据矩形的判定与性质得到，，，，，根据三角形的面积和矩形的面积求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵G、E分别为、的中点， ∴，， ∴，又，， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理，，， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴， 则矩形的面积为， 故答案为：． 6．如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查了矩形及平行四边形的性质，审清题意、找出面积之间的关系是解答本题的关键． 根据矩形和平行四边形的性质得到平行四边形的面积，据此即可求解． 【详解】解：如图，分别交于，连接， ∵矩形， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵矩形的宽和平行四边形的底相等，平行四边形的高为， ∴平行四边形的面积， 同理：∵，，平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 平行四边形的面积是平行四边形的的面积的一半， ∴平行四边形的面积， 以此类推，可得的面积为 ， 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，根据题意求出点A和点C的坐标，进而求出的中点的坐标，由平移方式可得平移后的直线解析式，根据矩形的性质可得平移后的直线一定经过的中点，据此求解即可． 【详解】解：∵，且点A在x轴的正半轴上， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴的中点坐标为， ∵将直线l向上平移m个单位， ∴平移后的直线解析式为， ∵四边形是矩形， ∴点是矩形的中心， ∵平移后的直线平分矩形的面积， ∴平移后的直线一定经过点， ∴， ∴， 故答案为：10． 8．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 F 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是， 故选：A． 9．将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据矩形的性质和勾股定理求出，证明，得到，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 故选：D． 10．如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是 （只写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据矩形的性质证明，得③正确；证明得出①正确；得出，④正确，过点B作于H，由三角形的面积公式可得，故②错误；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，③正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 过点B作于H， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 故答案为：①③④． 解答题 11．如图，四边形是平行四边形，是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)要使四边形是矩形，需添加______（一个条件），理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)（不唯一）；对角线相等的平行四边形是矩形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接对角线交对角线于点，由，，即可得出结论； （）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接对角线交对角线于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，是对角线上的点，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：要使四边形是矩形，需添加（不唯一），理由如下： 由（）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 故答案为：（不唯一），对角线相等的平行四边形是矩形． 12．在平行四边形中，，，．求证： (1)求四边形的面积； (2)． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，熟练掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形的判定方法是本题解题的关键． （1）通过已知条件得到在中满足勾股定理逆定理，得到，根据有一个角为直角的平行四边形是矩形从而证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求出矩形面积． （2）通过第一小问证出四边形是矩形，通过矩形的性质得到矩形的对角线相等即可得到． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 它的面积是． （2）由（1）可知平行四边形是矩形， ∴． 13．在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，、、都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，保留作图痕迹． (1)在图1中，以为对角线画一个面积为6的平行四边形； (2)在图2中，过点作，垂足为，以、为邻边作矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了用无刻度的直尺在给定网格中作图，涉及平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，熟知相关定理是正确解答此题的关键． （1）根据平行四边形的判定及题目要求作图即可； （2）根据垂直的定义及矩形的判定作图即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； ，， 四边形是平行四边形， 的高为3， ； （2）解：如图，取格点G、M、N，连接，交于，连接，，交于点， ，矩形即为所求； 理由：取格点H，K， ， ， ， ， ， ， ； 同理可证明，，， 四边形是矩形． 14．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等．图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②．在矩形中，，，．求的度数． 【答案】 【分析】先利用矩形的直角性质，结合已知角求出三角形的内角；再通过平行线的关系判定平行四边形，利用平行四边形的角相等传递角的关系，最终得到的度数 【详解】解：如图，设交于点，交于点，交于点，交于点． 四边形是矩形， ， ，． ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质与平行四边形的判定及性质，掌握矩形的直角性质、利用三角形内角和求角，及平行四边形的角相等传递角的关系是解题的关键． 15．如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）先求得，推出四边形是平行四边形，利用有一个是直角的平行四边形是矩形即可判断结论成立； （2）先证明四边形是平行四边形，利用直角三角形斜边中线的性质及角直角三角形的性质证明，推出，再证明，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：，点是的中点， ，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：如图，连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ∴， ，， 四边形是矩形， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 16．如图（1），矩形纸片，以点为坐标原点，分别以矩形的边、为轴、轴建立如图所示的直角坐标系，折叠纸片，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若顶点的坐标为， （1）直接写出点_____、_____、_____的坐标． 如图（2），在矩形中，点在上，，，垂足为点． （2）求证：； （3）若，且，求． 【答案】（1）、、；（2）见解析；（3） 【分析】（1）过点作于点，根据点的坐标可求出，，设，则， 在中利用勾股定理可求出、的长，从而可得点坐标，同理在 中利用勾股定理可求出、的长，从而可得点坐标，过点作于点，在中，根据等面积法列式可求得的长，在中利用勾股定理可求出的长，从而可得点坐标； （2）根据矩形的性质证明， 即可得出结论； （3）根据角的数量关系可得， 再由含角直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 顶点的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ，， 点的坐标为， 由折叠可知，，，， 设，则， 在中，， 即，解得， 即， ， 点的坐标为． 过点作于点， ，即， ， ， 在中，， 点的坐标为． 故答案为：、、． （2）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03矩形寒假预习讲义 预习重点（必掌握基础） 定义：矩形是有一个角是直角的平行四边形，核心要素为 “平行四边形 + 一个直角”。 特有性质：四个角都是直角；对角线相等且互相平分；既是轴对称图形（2 条对称轴）又是中心对称图形。 判定定理：① 平行四边形 + 一个直角→矩形；② 平行四边形 + 对角线相等→矩形；③ 四边形 + 三个直角→矩形。 预习难点（理解应用易错点） 逻辑区分：分清 “性质”（知矩形推特征）与 “判定”（知条件证矩形）的逻辑关系，避免解题时混淆定理选用。 从属关系：理清矩形与平行四边形的包含关系，不可将矩形 “对角线相等” 的特有性质套用在普通平行四边形上。 知识衔接：解决矩形对角线相关计算、证明题时，需结合勾股定理、直角三角形斜边中线定理，易因知识衔接不熟练卡壳。 必备知识 点梳理 1.矩形的定义 2.矩形的性质 . 3.矩形的判定方法 4.易错点警示(重点规避) 常考题型 精讲精炼 1.矩形性质的深度理解与辨析 2.利用矩形的性质求角度问题 3.根据矩形的性质求线段长度 4.根据矩形的性质求面积问题 5.矩形性质在几何证明中的应用 6.矩形与折叠问题 7.矩形的判定定理理解 8.补充条件判定矩形 9.证明四边形是矩形 10.矩形性质与判定:线段计算 强化巩固 题型通关 (16题) 【知识点01.矩形的定义】 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有属性。 【知识点02.矩形的性质】 1.通用性质（继承自平行四边形）： 对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形，对称中心为对角线交点。 2.特有性质（矩形区别于普通平行四边形的核心）： 角：四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）。 对角线：对角线相等（AC=BD）。 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 2 条对称轴（对边中点的连线所在直线）。 【知识点03.矩形的判定方法】 判定类型 具体条件 定义判定 平行四边形 + 有一个角是直角 对角线判定 平行四边形 + 对角线相等 角判定 任意四边形 + 有三个角是直角 知识衔接（寒假预习需提前回顾） 矩形对角线相关计算常结合勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。 矩形对角线将矩形分成四个等腰三角形，可结合直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）解题。 【知识点04.易错点警示(寒假预习重点规避)】 1.混淆 “性质” 与 “判定”：性质是已知矩形，推导特征；判定是已知条件，证明是矩形。 2.错误套用性质：“对角线相等” 是矩形特有性质，不可直接用于普通平行四边形。 3.判定定理使用误区：“对角线相等的四边形是矩形” 说法错误，必须强调 “平行四边形” 这个前提。 【题型1.矩形性质的深度理解与辨析】 【典例】已知矩形的两邻边长分别为3和4，则矩形的周长 ，面积 ，对角线长 ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【跟踪专练2】如图，在矩形中，与交于点，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．连接，，则的度数为 ． 【题型2.利用矩形的性质求角度问题】 【典例】如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，点在边上，若，，则 ． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线、相交于点O，垂直平分于点，则的大小为 A． B． C． D． 【题型3.根据矩形的性质求线段长度】 【典例】矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为 ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线与相交于点．已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 【题型4.根据矩形的性质求面积问题】 【典例】如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的 ．    【跟踪专练2】如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C．. D． 【题型5.矩形性质在几何证明中的应用】 【典例】已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，为对角线的中点，若，则 ． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，E，F分别为，上的点，，连结，，过点D作，交的延长线于点G，连结．若要知道矩形的面积，则只需要知道下列哪个图形的面积？该图形是（    ） A． B． C．四边形 D．四边形 【题型6.矩形与折叠问题】 【典例】如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，那么的周长是 cm． 【跟踪专练1】如图，将矩形纸片沿折叠，使点D恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．8 D． 【跟踪专练2】如图，将一个边长分别为4，8的矩形纸片折叠，使点与点重合（，），则折痕的长度为 ． 【题型7.矩形的判定定理理解】 【典例】如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【跟踪专练1】如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    【跟踪专练2】课堂上，某同学制作了一个四边形门框模型，就如何判断门框模型是否是矩形？老师提出了以下四个判定方法，方法一：测量四个角是否相等；方法二：测量四条边是否相等；方法三：测量两条对角线是否相等；方法四：验证是否是轴对称图形其中能判定这个四边形门框模型是矩形的是（   ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 【题型8.补充添加判定矩形】 【典例】如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，点在边上，，，当 时，四边形是矩形． 【跟踪专练2】已知的对角线，相交于点，若从下列选项中再添加一个条件，能使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【题型9.证明四边形是矩形】 【典例】如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 【跟踪专练1】如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是 ．（填一个条件即可） 【跟踪专练2】如图，在中，，下列四个判断不正确的是（　　）    A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果平分，那么四边形是菱形 D．如果且，那么四边形是正方形 【题型10.矩形性质与判定:线段计算】 【典例】如图，点A、B在直线m上，点C、D在直线n上，，则等于 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】如图，在中，，，，为边上（不与、重合）的动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是 ． 1．下列命题的逆命题为真命题的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．平行四边形是中心对称图形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2．在中，与相交于点O，要使是矩形，需添加的条件是 （填序号） ①；②；③；④ 3．如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 4．如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为 ． 5．若矩形四边中点围成图形的面积是，则该矩形的面积为 ． 6．如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为 ． 8．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 9．将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 10．如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是 （只写序号）． 解答题 11．如图，四边形是平行四边形，是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)要使四边形是矩形，需添加______（一个条件），理由是______． 12．在平行四边形中，，，．求证： (1)求四边形的面积； (2)． 13．在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，、、都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，保留作图痕迹． (1)在图1中，以为对角线画一个面积为6的平行四边形； (2)在图2中，过点作，垂足为，以、为邻边作矩形． 14．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等．图①是翻花绳的一种图案，可以抽象成图②．在矩形中，，，．求的度数． 15．如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 16．如图（1），矩形纸片，以点为坐标原点，分别以矩形的边、为轴、轴建立如图所示的直角坐标系，折叠纸片，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若顶点的坐标为， （1）直接写出点_____、_____、_____的坐标． 如图（2），在矩形中，点在上，，，垂足为点． （2）求证：； （3）若，且，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $