第七章相交线与平行线01相交线预习讲义2025-2026学年人教版数学七年级下学期（5大知识点+10题型解读+18强化提升）

2025-2026学年七年级数学下册第七章相交线与平行线 01相交线预习讲义 （5大知识点+10题型解读+18强化提升） 01思维导图 02知识速记 知识点01相交线 1. 相交线 两条直线相交，有且只有一个交点。（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。） 2. 对顶角 定义：两个角有一个公共顶点，且它们的两边互为反向延长线。 特征：它们相对而立。 性质：对顶角相等。 数量：两条直线相交形成 2 对 对顶角。 3. 邻补角 定义：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线。 特征：它们相邻且互补。 性质：邻补角的和为 180°。 数量：两条直线相交形成 4 对 邻补角。 知识点02垂线 4.垂线：同一平面内，两条直线相交，所成的夹角均为90° 时，称这两条直线互相垂直。 垂直是两直线相交的特殊情况。注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a。 垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。垂直时，一定要用直角符号表示出来。 性质：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）垂线段最短 ----点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。 知识点03判断对顶角和邻补角的条件 （1）判断对顶角的 3 个条件： 要判断两个角是否为对顶角，必须同时满足以下三个条件，缺一不可： a. 有公共顶点：两个角的顶点是同一个点（即两条直线的交点）。 b. 无公共边：这两个角没有共用的边。 c. 边互为反向延长线：一个角的两条边，刚好是另一个角两条边的延长线（方向相反）。 (2)判断邻补角的 3 个条件 要判断两个角是否互为邻补角，必须同时满足以下三个条件： a. 有公共顶点：两个角的顶点是同一个点。 b. 有一条公共边：两个角共用一条边。 c. 另一边互为反向延长线：除去公共边外，两个角的另一条边在同一条直线上， 且方向相反. 知识点04补充注释 同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等； 等角的对顶角相等；上述结论反过来也成立。 知识点05易错点提醒 · 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角（例如两个全等三角形的对应角相等，但它们不是对顶角） · 对顶角必须成对出现，且必须是由两条直线相交产生的 03题型解读 题型解读1对顶角定义 例1．下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 变式2．如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 题型解读2对顶角相等 例2．如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 变式2．如图，已知直线相交于点O，，，求的度数．    题型解读3邻补角的定义理解 例3．下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 变式2．如图，直线相交于点O，把分成两部分． (1)直接写出图中的对顶角的为______，的邻补角为______； (2)若平分，．求的度数． 题型解读4找邻补角 例4．如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 变式1．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 变式2．已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由。 题型解读5利用邻补角互补求角度 例5．镇安城区主要道路“迎宾路”与“永安路”相交，形成的四个角中其中一个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，点B，O，D在同一直线上，点A，C分别在直线两侧，若，，则 ． 变式2．如图，点、、在一条直线上，平分，，求的度数． 题型解读6垂线的定义理解 例6．如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 变式1．如图，直线相交于点O，．若 ． 变式2．如图，直线、相交于点O，，作射线，平分，且在的内部． 求证：平分． 证明：∵平分，（ ） （ ） （ ） 即 （ ） = （ ） 平分（ ）． 题型解读7画垂线 例7．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 变式1．如图，过点A作的垂线段，垂足坐标是 ． 变式2．如图，已知点C是射线上一点． (1)过点C画的垂线，垂足为D； (2)过点D画的平行线（点C，E在的同侧）． 题型解读8垂线段最短 例8．下列说法中，错误的是（   ） A．两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为邻补角 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 变式1．如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 变式2．利用网格画图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点到直线____的距离； (4)连接、，在线段、、中，线段______最短，理由：______． 题型解读9点到直线的距离 例9．跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 变式2．如图，平面上有三个点A，B，C． (1)选择恰当的工具按要求画图． ①画直线； ②画射线； ③连接； ④过点A画的垂线，与的延长线交于点D． (2)点A到射线的距离是线段_____________的长． 题型解读10同位角、内存角、同旁内角 例10．下列各选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高． （1）的同位角是 ． （2）的内错角是 ． （3）点B到直线的距离是线段 的长度． （4）点D到直线的距离是线段 的长度． 变式2.．如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 04强化提升 一、单选题 1．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．把两根笔直的筷子交叉放在一起，如图，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 二、填空题 7．如图，直线、相交于点，，垂足为，若，则 ． 8．如图直线相交于点，是的邻补角是 ，的对顶角是 ，若，则 度， 度． 9．如图，直线，，两两相交，，，则的大小为 ． 10．如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 11．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 12．点的位置如图所示，点是轴上的一个动点，当线段的长最小时，点的坐标是 13．如图，直线，相交于点O，于点O，．则的度数为 ． 14．如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 三、解答题 16．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 17．如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 18．如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级数学下册第七章相交线与平行线 01相交线预习讲义 （5大知识点+10题型解读+18强化提升 ） 01思维导图 02知识速记 知识点01相交线 1. 相交线 两条直线相交，有且只有一个交点。（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。） 2. 对顶角 定义：两个角有一个公共顶点，且它们的两边互为反向延长线。 特征：它们相对而立。 性质：对顶角相等。 数量：两条直线相交形成 2 对 对顶角。 3. 邻补角 定义：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线。 特征：它们相邻且互补。 性质：邻补角的和为 180°。 数量：两条直线相交形成 4 对 邻补角。 知识点02垂线 4.垂线：同一平面内，两条直线相交，所成的夹角均为90° 时，称这两条直线互相垂直。 垂直是两直线相交的特殊情况。注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a。 垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。垂直时，一定要用直角符号表示出来。 性质：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）垂线段最短 ----点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。 知识点03判断对顶角和邻补角的条件 （1）判断对顶角的 3 个条件： 要判断两个角是否为对顶角，必须同时满足以下三个条件，缺一不可： a. 有公共顶点：两个角的顶点是同一个点（即两条直线的交点）。 b. 无公共边：这两个角没有共用的边。 c. 边互为反向延长线：一个角的两条边，刚好是另一个角两条边的延长线（方向相反）。 (2)判断邻补角的 3 个条件 要判断两个角是否互为邻补角，必须同时满足以下三个条件： a. 有公共顶点：两个角的顶点是同一个点。 b. 有一条公共边：两个角共用一条边。 c. 另一边互为反向延长线：除去公共边外，两个角的另一条边在同一条直线上， 且方向相反. 知识点04补充注释 同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等； 等角的对顶角相等；上述结论反过来也成立。 知识点05易错点提醒 · 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角（例如两个全等三角形的对应角相等，但它们不是对顶角） · 对顶角必须成对出现，且必须是由两条直线相交产生的 03题型解读 题型解读1对顶角定义 例1．下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的知识，掌握对顶角的定义是解题关键．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据此定义进行判断即可. 【详解】解：A、和是对顶角，故本选项符合题意； B、和不是对顶角，故本选项不符合题意； C、和不是对顶角，故本选项不符合题意； D、和不是对顶角，故本选项不符合题意； 故选：A． 变式1．如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 【答案】12 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义找出规律，再判断对顶角的对数． 【详解】解：两条直线相交于一点，形成对对顶角， 三条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 四条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 故答案为：12． 变式2．如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【答案】6对，分别是与；与；与；与；与；与 【分析】此题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义找出对顶角即可． 【详解】解：图中对顶角有：与；与；与；与；与；与； 共6对． 题型解读2对顶角相等 例2．如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 变式1．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线、对顶角的定义，根据对顶角的定义可得，结合平分，即可求解． 【详解】解：直线、相交于点，， ， 平分， ， 故答案为：． 变式2．如图，已知直线相交于点O，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了角度的计算，以及对顶角相等这一性质，正确进行角度的计算是解题的关键． 根据，即可求得的度数，然后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型解读3邻补角的定义理解 例3．下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 变式1．如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差；由角平分线的定义得 ，由补角的定义得 ，能表示出比例式中的两个角是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ； 故答案：． 变式2．如图，直线相交于点O，把分成两部分． (1)直接写出图中的对顶角的为______，的邻补角为______； (2)若平分，．求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了几何图形中角的运算以及对顶角、邻补角，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据对顶角的定义（如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角），以及邻补角的定义（两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角），分别进行作答； （2）因为，所以设，结合角平分线的定义，得出，列式，计算得出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，的对顶角的为，的邻补角为； （2）解：设 则， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 题型解读4找邻补角 例4．如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解； 【详解】解：是平角， 的邻补角是； 是平角， 的邻补角是； 综上所述：的邻补角是和； 故选：A 变式1．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 变式2．已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)3，4 (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，邻补角的定义等． （1）根据邻补角和互补的定义求解即可； （2）由互补可得，由角平分线的定义可得，再结合即可求解； （3）① 由，得，进而可得，最后根据互补的定义求解；②设，， 则，再用含m和n的式子表示出，即可求解． 【详解】（1）解：邻补角有：与，与，与，共3对； 互补的角有：与，与，与，与，共4对； 故答案为：3，4； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：设，， 由①得， ， ∴， ∴， 即． 题型解读5利用邻补角互补求角度 例5．镇安城区主要道路“迎宾路”与“永安路”相交，形成的四个角中其中一个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用邻补角互补求角度．根据互为邻补角的两个角的和为．已知一个角为，则其邻补角，即可作答． 【详解】解：依题意，邻补角， 故选：C． 变式1．如图，点B，O，D在同一直线上，点A，C分别在直线两侧，若，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了邻补角的定义和角的计算；弄清各个角之间的关系是关键．由邻补角关系求出的度数，先求出即可． 【详解】解：点，，在同一直线上，， ， 又， ， 故答案为：． 变式2．如图，点、、在一条直线上，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角，以及角平分线的定义，根据图形找出角度之间的数量关系是解题关键．根据邻补角可得，再结合角平分线的定义，得到，再利用邻补角求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 题型解读6垂线的定义理解 例6．如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】解：因为，，所以与重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 变式1．如图，直线相交于点O，．若 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，由垂线的定义可得，再由对顶角相等可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，直线、相交于点O，，作射线，平分，且在的内部． 求证：平分． 证明：∵平分，（ ） （ ） （ ） 即 （ ） = （ ） 平分（ ）． 【答案】已知；角平分线的定义；；垂直的定义；对顶角相等；；等量代换；角平分线的定义． 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差，对顶角相等，掌握知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义，角的和差，对顶角相等等知识，逐个分析求解即可． 【详解】证明：平分（已知）． （角平分线的定义）． ，（已知）． （垂直的定义）， （等式的基本性质）． 即（角的和差的定义 ）． （对顶角相等）， （等量代换）， 平分（角平分线的定义）． 故答案为：已知；角平分线的定义；；垂直的定义；对顶角相等；；等量代换；角平分线的定义． 题型解读7画垂线 例7．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 变式1．如图，过点A作的垂线段，垂足坐标是 ． 【答案】 【分析】根据垂线的定义作图，然后求解即可． 【详解】如图所示，过点A作的垂线段，垂足为D， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂线段的概念，坐标系中点的坐标，解题的关键是正确找到垂足． 变式2．如图，已知点C是射线上一点． (1)过点C画的垂线，垂足为D； (2)过点D画的平行线（点C，E在的同侧）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的问题，掌握垂线的性质、平行线的性质是解题的关键． （1）利用直尺和三角板过点C作的垂线，垂足为D； （2）利用直尺和三角板过点D作的平行线即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求， （2）解：如图所示，为所求． 题型解读8垂线段最短 例8．下列说法中，错误的是（   ） A．两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为邻补角 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查垂线、邻补角等概念，熟练掌握相关概念是解题的关键；因此此题可根据垂线、邻补角等概念进行排除选项即可． 【详解】解：A、两条直线相交有一个角为直角时，其余角也为直角，则这两直线垂直，故原说法正确； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，故原说法正确； C、两个角的和是180度时，它们互为补角，但邻补角必须相邻（即共享一条边），例如，两个不相邻的角和为180度是补角但不是邻补角，故原说法错误； D、垂线段最短是几何基本性质，故原说法正确； 故选C． 变式1．如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 变式2．利用网格画图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点到直线____的距离； (4)连接、，在线段、、中，线段______最短，理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图和据垂线段最短，解题的关键是熟练掌握网格的特点． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点作出即可； （2）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （3）根据点到直线的距离概念回答； （4）根据垂线段最短直接回答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的平行线； （2）解：如图，即为所求作的垂线； （3）解：线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （4）解：连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 题型解读9点到直线的距离 例9．跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点到直线的距离，根据跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离求解即可． 【详解】解：∵跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离， ∴过沙坑中留下最近着地点A向起跳线作垂线，则的长就是跳远成绩， 由图可得， ∴他的成绩是． 故选：A 变式1．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查的是邻补角的含义，点到直线的距离，根据邻补角与点到直线的距离的含义可得答案． 【详解】解：直线、相交于点，，则直线、的夹角是： ， ∵于点， ∴线段的长度表示点到直线的距离． 故答案为：， 变式2．如图，平面上有三个点A，B，C． (1)选择恰当的工具按要求画图． ①画直线； ②画射线； ③连接； ④过点A画的垂线，与的延长线交于点D． (2)点A到射线的距离是线段_____________的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）根据题目按要求作图即可； （2）点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【详解】（1）解：作如图， （2）由题意可得，点A到射线的距离是线段的长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图—画直线、射线和垂线段，正确的画出图形是解决本题的关键． 题型解读10同位角、内存角、同旁内角 例1．下列各选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角．同位角是两直线被第三条直线所截形成的，具有特殊位置关系的两个角，解决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项符合题意； B、和是内错角，故此选项不符合题意； C、和是同旁内角，故此选项不符合题意； D、和是两条直线被第三条直线所截形成的，但是在截线的左侧，在截线的右侧，不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 变式1．如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高． （1）的同位角是 ． （2）的内错角是 ． （3）点B到直线的距离是线段 的长度． （4）点D到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了同位角、内错角、点到直线的距离，熟练掌握基础概念是解题的关键． 根据同位角、内错角的概念，点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可得答案． 【详解】解：的同位角是， 的内错角是， 点B到直线的距离是线段 的长度， 点D到直线的距离是线段 的长度， 故答案为：； ； ；． 变式2.．如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据对顶角相等和角平分线的定义即可求解； （2）根据同位角的定义即可求解； （3） 的同旁内角是， 的内错角有，，根据对顶角相等，角平分线的定义，以及角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：因为 ， 所以 ， 因为 平分 ， 所以 ； （2）解：与互为同位角的角是； （3）解： 的同旁内角是， 的内错角有，， 因为， 所以， 因为平分 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的所有内错角，同旁内角的度数之和为． 04强化提升 一、单选题 1．下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．把两根笔直的筷子交叉放在一起，如图，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义等知识，根据对顶角的性质可得出，，根据邻补角的定义可得，即可判断． 【详解】解∶根据题意，得，，， 根据已知无法得出，，， 故选∶A． 3．如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，角的和差. 由题意可得，即得，得到，再根据角平分线的定义求出即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 4．下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查对顶角性质、平行公理、垂线段最短性质和中点定义，根据以上知识点逐项判断正误即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两直线相交，对顶角相等，原说法正确； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原说法正确； ④当点在线段上时，才表示M是的中点，否则不一定，故原说法错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：C． 5．如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，内错角的定义等知识，根据内错角的定义可判断选项A，根据平行线的判定定理可判断选项B，C，D． 【详解】解：．和不是内错角，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项符合题意； 故选：D． 6．设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的性质．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过的长． 【详解】解：根据垂线段最短的性质可知点P到直线的距离不能超过的长． 故选：C． 二、填空题 7．如图，直线、相交于点，，垂足为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角度的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 由于对顶角相等，得出，结合，进行角度的和差计算，得出的度数即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图直线相交于点，是的邻补角是 ，的对顶角是 ，若，则 度， 度． 【答案】 50 130 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的邻补角是或；的对顶角是， ∵， ∴，； 故答案为：、；；；． 9．如图，直线，，两两相交，，，则的大小为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，先根据对顶角相等求出，即可求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数，熟练掌握对顶角相等、邻补角互补的性质是解题的关键． 【详解】解：和是对顶角， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 10．如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 11．如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 12．点的位置如图所示，点是轴上的一个动点，当线段的长最小时，点的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、垂线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知当轴时，线段的长最小，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：当轴时，线段的长最小， ， 当线段的长最小时，点的坐标是． 故答案为：． 13．如图，直线，相交于点O，于点O，．则的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查了垂直，对顶角相等，角之间关系，解题的关键是掌握这些知识点． 根据得，即可得，根据角之间的关系得，根据对顶角相等得，即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）根据网格线的特征画图； （2）根据网格线的特征画图； （3）根据两点之间线段最短求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）∵两点之间线段最短， ∴直接连接即可， 如图，点即为所求． 【点睛】本题考查了作图，熟悉网格线的特征是解题的关键． 三、解答题 16．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义． （1）由角平分线的定义可得的度数，再由对顶角相等可得答案； （2）由邻补角的定义可得的度数． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：，， ． 17．如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 【答案】(1)与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 (2)与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 (3)，和互补，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义． （1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，在被切直线同一侧， 而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案； （2）根据图形中和的位置关系，可知和不在一条直线的两侧，即可判断答案； （3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到再根据平行线的性质，即可得到答案． 【详解】（1）∵与两个角都在两直线的中间， 截线的两侧， ∴与是内错角， ∵与两个角都在两直线的中间， 截线的同旁， ∴与是同旁内角， ∵与两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置， ∴与是同位角． 故答案为：与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 （2）∵内错角必须在两条被截直线之间， ∴与不是内错角． 故答案为：与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 （3）理由: ∵，而， ， ∵和互补，， ∴和也互补． 故答案为：，和互补 18．如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 学科网（北京）股份有限公司 $